考試直通車高等數(shù)學(xué)

1、直通車（高等數(shù)學(xué)）（期末）經(jīng)濟(jì)篇大一（上）西安交通大學(xué)學(xué)生會(huì)（西區(qū)）二零一五年十二月高等數(shù)學(xué)2012 年高數(shù)（上）期末試題一、填空題（每小題 3 分，共 15 分）1xò1函數(shù) F (x) =(2 -)dt (x > 0) 的單調(diào)減區(qū)間為 t1f (x) = 2 ，則及 f ¢(0) =2若 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)且limf (0) =xx®0ìï³ 03若 f (x) = íïïî有可去間斷點(diǎn) x = 0 ，則a = a + x -a ,x < 0xeax ,ì

2、;x £ 0x > 0f (x) = í在(-¥, +¥) 可微，則a =， b = 4設(shè)îb(1- x ),25設(shè) x ® 0 時(shí)， f (x) = ln(1+ ax2 ) 與 g(x) = sin2 3x 是等價(jià)無窮小，則a = 二、計(jì)算下列各題（每小題 8 分,共 72 分）求極限lim ln cos(x -1)1.1- sin p xx®122)2 dx 的單調(diào)性和極值;2.求函數(shù) f (31dx ;x 1+ x2ò3. 求定14.求微分方程 dy + xy = x3 y3 的通解;dx¥1

3、å5.判定級數(shù)(1- cos ) n 的斂散性;nn=1我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。1ìx + p ,0 < x < p2p6. 將 f (x) = ï20,，展開為以2p 為周期的正弦級數(shù);íïïî< x < p2p7. 設(shè)由曲線 y = cos x（其中 x Î0, ）及 x 軸， y 軸所圍成平面圖形的面積2被曲線 y = a sin x(a > 0) 二等分.確定a 的值;求曲線 y = cos x, y = a sin x 及 x = 0 所圍平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體

4、積.ìxòtf (t)dt8. 設(shè)函數(shù) F (x) = ï2x ¹ 0 ,其中x = 00,f (x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且íx a,ïîf (0) = 0 .(1) a 為何值時(shí)，F(xiàn) (x) 在 x = 0 處連續(xù);(2)討論 F ¢(x) 在(-¥, +¥) 上的連續(xù)性.xn-1¥ån=19.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).nn2我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。2三、（7 分）（學(xué)習(xí)工科數(shù)學(xué)分析者做（1），其余的做（2）¥(1) 證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ån=1(0, +

5、65;) 內(nèi)不一致收斂.n 2- nx , 在區(qū)間d , +¥) (d > 0) 一致收斂.但在x2x2 + 3x - 2(2) 將函數(shù) f (x) =在 x = 2 處展開為冪級數(shù).0四 、 (6 分 ) 設(shè) f (x) 在 a, b 上 可 導(dǎo) (a > 0, b > 0) , 且 滿 足 方 程 .a +b2òel(x2 -b2 ) f (x)dx = (b - a) f (b) ，2a證明：存在x Î (a, b) ,使2lx f (x ) + f ¢(x ) = 0 .2011 年高數(shù)（上）期末試題一、填空題ìsi0

6、ï1、f(x)=í，在 x=0 處連續(xù)，則 k=。ïî3x2 - 2x + k, x ³ 0ò2、(1+ x) 4 - x2 dx =2。-2我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。3¥¥3、設(shè)å a xn 收斂半徑為 3，則å na (x -1)n-1 的收斂半徑 R=。nnn=1n=1dsin tòx2dt =4、。dx1+ cos2 t0二、選擇題。f (1) - f (1 - x) = -1 ，1、設(shè)周期函數(shù) f（x）在(-¥,+¥) 內(nèi)可導(dǎo)，其周期為 4，且lim2 xx&#

7、174;0則曲線 y=f（x）在點(diǎn)（5，f（5）處的切線的斜率為（）A、2B、-2C、1D、 -1¥1k2、對于常數(shù) k0，級數(shù)å(-1)n=1n-1tan(+) （2）nnC、發(fā)散A、絕對收斂B、條件收斂D、與 K 有關(guān)(x2 + x)(In | x |) sin 13、 f (x) =x 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）x2 -11A、0B、C、2D、 3p40ptaò4、 I1 =的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A、I1I2I 三、計(jì)算題。B、II1I2C、I2I11D、II2I11、lim arctan x - xx sin x dxò52、In(1+ 2x2

8、)cos xx®0ì x =t2 uInuduòInxï1ò413、dxx4、í，t1，求òt 2y =u Inudu2ïî1d 2 ydx2。5、求微分方程 xy-3y=x4ex 的通解。我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。46、求 f(x)=|x|， x £ p 的 fourier 展開式。7、在 y=x2，（ 0 £ x £ 8 ）上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與 x=8 及 x 軸圍成的圖形的面積最大。x + 42x2 - 5x - 38、將函數(shù) f(x)=在 x=1 處展開 x-1 的冪函

9、數(shù)，并求其收斂域。9、（學(xué)習(xí)工科數(shù)學(xué)分析者做（1），其余的做（2）+¥ f 2 (x)dx 發(fā)散，證明f (x) dx 絕對收斂。òò+¥（1）廣義11x+¥ arctan x dx 。ò（2）計(jì)算1x3我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。5xn-1¥ån=1四、求的收斂域及和函數(shù)。n × 2nf (x)x -11òf ¢ (x) 存在，且lim= 0 ，記j (x) =f 1 + (x -1)tdt¢，求j (x) 在五、設(shè)x=1x®10的某個(gè)鄰域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，并討論j¢

10、(x) 在 x=1 處的連續(xù)性。2010 年高數(shù)（上）期末試題一、填空題（每小題 5 分，共 15 分）1、在拋物線 y = x 2 上與直接 x+2y=0 垂直的切線方程是。ìeaxx £ 0x > 02、設(shè) f (x) = í在(-¥, +¥) 上可微，則 a=，b=。îb(1- x )23、設(shè) f(x)的定義域?yàn)?0, +¥) ，已知 f (1) = 1, f (x2 ) = x3 ，則 f(4)=。我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。6二、單項(xiàng)選擇題（每小題 5 分，共 15 分）1.設(shè) f (x) 在 x = a 處取得極值

11、且滿足 f ²x+1ò(x) + 2 f ¢(x) =edt ，則 f (x) 在 x = af (t )a處（）A必取極大值C不可能取極值¥.設(shè) a 為常數(shù)，則級數(shù)åB必取極小值 D是否取極值不能確定ésin(nx) - 1 ù （）ên-1 ën úûB.條件收斂n2A.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性與 a 的取值有關(guān)), g(x) = sin2 x 則當(dāng) x ® 0 時(shí)， f (x) 是 g(x) 的（3.設(shè) f (）A.同價(jià)但非等價(jià)無窮小C.高階無窮小B.等價(jià)無窮小D.低

12、階無窮小三、解答下列各題（每小題 6 分，共 24 分）ln xdy1.設(shè) y = arctan(- 1) -x 2(x1) ，求 linx®1+ dxx 2- 1ìtò2x =edu-ud 2 yït = 12.設(shè)í，求dx20ïî y = e -t (1 + t 2 )2ò ex ln(ex + 1)dx3.求不定我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。74.求微分方程2xy¢ = y + 2x 2 的通解。四、解答下列各題（每小題 8 分，共 40 分） 1.（說明：學(xué)習(xí)工科分析者做（1），其余的做（2 ）¥

13、（1）討論級數(shù)å n2-nx 在d ,+¥)(d0) 上的一致收斂性，并求和。n=1¥1n2ån=1n-1（2）求冪級數(shù)x的收斂性及和函數(shù)。n0 £ x £ 1ì1,2.設(shè)函數(shù) f (x) = í2,1 < x < 2 在0,2上將 f (x) 展成以 4 為周期的正弦級數(shù)，并î指出級數(shù)在 x=5 處的值。ì1xò(sin) ·sin t dt,2x ¹ 0，求x = 0ïf ¢(x) ，并討論 f ¢(x) 在 x=0 點(diǎn)

14、處的連3.設(shè)函數(shù) f (x)íx0ïî0,續(xù)性。我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。8xe- x+¥I = ò04.計(jì)算反常(1 + e-x )dx5.一拋物線 y = ax 2 + bx + c 通過（0，0），（1，2）兩點(diǎn)，且 a0 確定 a，b，c的值與x 軸所圍圖形D 的面積最小？并求此形D 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。五、（6 分）設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ¢( x)0 ，2xf (x )f (2x - a)b2 - a2存在，證明在（a，b）內(nèi)存在點(diǎn)x ，使=若極限 limx

15、- abòx®a +f (x)dxa我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。92009 年高數(shù)（上）期末試題（2008 級學(xué)生考題）一、計(jì)算下列各題（60 分）11、 lim x ln(1 + e x ).x®0+2、 y = x x2 + a2 + a2 ln(x +x2 + a2 ) ，求dy 。ìïx = 2t - t 2d 2 y(l - e)2 lnn!¥4、判定ån =1， (l ³ 0) 的斂散性。3、í，求3dx2ïî y = 3t - tnnarcsinxx(1- x)tp6、求

16、2; x arctan xdxòò7、sin x - sin3 xdx5、求反常dx00我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。10< pìx, xï8、將 f (x) =在p ,p 上展為以2p 為周期的 Fourier 級數(shù)，并指出2xípï0,££ pïî2收斂區(qū)間。9、求微分方程 ydx + (x 2 - 4x)dy = 0 的解。10、求曲線 xy = 1 與直線 x = 1, x = 2, y = 0 所圍平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。二、（8 分）將 f (x) = ln(4x -

17、 5) 展開為 x - 2 的冪級數(shù)，并指出其收斂域。我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。11三、（9 分）在曲線 y = sin x 2 (0 £ x £ 1) 上取點(diǎn) A(a, sin a 2 )，(0 £ a £ 1)，過點(diǎn) A 作平行于 x 軸的直線 L，由直線 L，y 軸及曲線 y = sin x 2 (0 £ x £ a) 所圍成的圖形L，直線 x = 1及曲線 y = sin x 2 (a £ x £ 1)所圍成的圖形記為S1，由直線S2，問 a 為何值時(shí)，面積 SS1+ S2 取得最小值。四、（9 分）冷卻定律指出

18、，物體在空氣中冷卻的速度與物體和空氣溫度之差成正比，已知空氣溫度為 30時(shí)，物體由 100經(jīng) 15 分鐘冷卻至 70,問該物體冷卻至 40需要多少時(shí)間？(-1)n-1(2n -1) 22n-1¥五、（8 分）求冪級數(shù)ån=12n-2x的收斂域和函數(shù)。六、（6 分） f (x) Î C 2a, b，試證存在x Îa,b。我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。12使f (x)dx = (b - a) f ( a + b ) + 1 (b - a) 3 f ¢（x）aò224b2008 年高數(shù)（上）期末試題一、解答系列個(gè)題（每小題 6 分，共 60 分）ex

19、 ( x - 2) + x + 21 計(jì)算極限lim。3sin xx®02 設(shè) y = e2x - x log x + arctan p ，求dy 。25ìx = ln cos tp öæd 2 yç 0 < t <÷, 求.3 設(shè)íî y = sin t - t cos t è2 ø2dxt =p3我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。13¥3nn2ån=14 判定級數(shù)的斂散性。n+¥ ln x dx 的斂散性，若收斂，試計(jì)算其值。òx25 判斷反常12x s

20、in x dx 。ò6 計(jì)算不定cos3 xdx1ò7 計(jì)算定。(1+ e)20x8 將函數(shù) f ( x) = ì1, 0 £ x £ 1 在0, 2 上展成以 4 為周期的正弦級數(shù)。í2,1 < x < 2î我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。149 求微分方程(1+ y)dx + (x + y2 + y3 )dy = 0 的通解。10.求由曲線 y = x2 + 7 及 y = 3x2 + 5 所圍成的圖形繞ox 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。arctan x - 2 ln (1+ x2 )二、（9 分）證明：當(dāng) x

21、79; 0 時(shí)，有(1+三、（9 分）設(shè)拋物線 y = ax2 + bx (a < 0) 通過點(diǎn)M (1, 3) ，為了使此拋物線與直線y = 2x 所圍成的平面圖形的面積最小，試確定a 和b 的值。四、（8 分）設(shè)一車間空間容積為 10000 立方米，空氣中含有 0.12%的以容積計(jì)算），現(xiàn)將含0.04%的新鮮空氣以 1000 立方米每分鐘的流量輸入該車間，同時(shí)按 1000 立方米每分鐘的流量抽出混合氣體，問輸入新鮮空氣 10我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。15分鐘后，車間內(nèi)的濃度降到多少？¥n + 1ån=0n五、（9 分）求冪級數(shù)x 的收斂域及和函數(shù)。n2 n!f ( x

22、)在 x = 0 的 鄰 域 內(nèi) 有 連 續(xù) 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) ， 且六 、（ 6 分 ） 設(shè) 函 數(shù)f ( x) = a (a > 0) ，證明： å¥f æ 1 ö 條件收斂。(-1)n-1limç n ÷xèøx®0n=12007 年高數(shù)（上）期末試題（2006 級學(xué)生考題）一、解答下列各題（每小題 6 分，共 60 分）ex + ln (1- x) -11.計(jì)算極限lim.x - arctan xx®0我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。162.設(shè) y = arctan1- x2 ，求dy .&

23、#236;tò2x =edu.-uïdy3. 設(shè)í，求.0dx x= 0îïey sin t - y +1 = 0.¥nån=14.判定級數(shù)的斂散性.4 + 3n dx+¥ò.5.計(jì)算反常(1+ x)1x6. 設(shè)ln (x + 1+ x2 ) 為f ( x ) 的原函數(shù)，求ò xf ¢( x) dx.0 £ x £ p / 2f ( x) = ì1展開成以2p 為周期的傅里葉正弦級數(shù)，并求此級數(shù)í7.將î0 p / 2 < x &

24、#163; p分別在 x = 3 p 和 x = 5 p 兩點(diǎn)的收斂值.22我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。17f ( x ) = ln x 展開為 x - 2 的冪級數(shù)，并指出其收斂域.8.將函數(shù)9.求微分方程( x + 1) y¢ - 2 y = ( x + 1)7 / 2 的通解.10.求拋物線 x = 5 y2 與 x = 1+ y2 所圍圖形的面積.ì1ò2et dtf ( x) = ï, x ¹ 0 在 x = 0 點(diǎn)可導(dǎo)，求a 和,x = 0cos xf ¢(0).二、（9 分）若函數(shù)íxïaî9 分）

25、在曲線 y = ex ³ 0 上求一點(diǎn) x , e-x0 ) ，使得過該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐()- x三、（0我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。18標(biāo)軸所圍平面圖形的面積最大，并求出此最大面積.四、（8 分）半徑為 R 的半球形水池充滿水，將水從池中抽出，當(dāng)抽出的水所作的功為將水全部抽出所作的功的一半時(shí)，試問此時(shí)水面下降的深度 H 為多少？n (n +1)2n¥¥五、（8 分）求冪級數(shù)å n (n +1) x 的和函數(shù)并求出級數(shù)ån的和.n=1n=1六、（6 分）已知函數(shù) f ( x ) 在0, +¥) 上可導(dǎo)，且并滿足等式 1 1+ xxf 

26、2;( x) +( )f (t ) dt = 0 ，求并證明： e- x £ f ( x ) £ 1( x ³ 0).òf x -02006 年高數(shù)（上）期末試題一、解答下列各題（每小題 6 分，共 60 分）計(jì)算極限lim tan x - sin x .1.x3x®02. 設(shè) y = arctanæ 1 tan x ö ，求dy .ç 22 ÷èø我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。19ìïe -x , x ³ 03. 設(shè) f (x) = í，求f (x -

27、1) .2òïîx + 1, x < 02-1n2¥æ n + 1ö 21ån=1ç÷4. 判定的斂散性.n2nèø5. 設(shè) y = y(x)由方程 y = tan(x + y) 所確定，求 y¢ .(1 + ex )2ò6. 計(jì)算不定dx .1 + e2xÎ - p ,p 展開成以 2p 為周期的 Fourier 級數(shù).f (7. 將8. 將函數(shù) f (展開成 x + 4 的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.+ 29. 求微分方程 xy¢ - 3

28、y = x 4e x 的通解.我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。2010. 設(shè)曲線 y = ax 2 (a > 0, x ³ 0)與 y = 1 - x 2 交于點(diǎn) A ，過坐標(biāo)原點(diǎn)o 和點(diǎn) A 的直線與曲線 y = ax 2 圍成一個(gè)平面圖形，問a 為何值時(shí)，該圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積最大.二、（8 分）試證明不等式：當(dāng) x > 0 時(shí)， xa - ax £ 1 - a .2三、（9 分）設(shè) f (x) =edt ，求x1òò-t2.10四、（9 分）一物體在某一介質(zhì)中按 x = ct 3 作直線運(yùn)動(dòng)，已知介質(zhì)的阻力與物體速度的平方成正

29、比，計(jì)算物體由 x = 0 移動(dòng)到 x = a 時(shí)克服阻力所作的功.五、（9 分）（注意:學(xué)習(xí)工科分析者做第（1）題，其余的做第（2）題）（1） 證明：級數(shù)å n 2-nx 在區(qū)間上d ,+¥) 一致，而在(0,+¥)上不一致收斂.¥n=1¥1ån=1（2） 求級數(shù)的和.()n + 1n3我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。21f (a) + f (b)六、（5 分）設(shè) f ¢ (x) > 0, x Îa,b，證明： f æ a + b ö £1bf (x)dx £ò

30、1;÷b - aè2ø2a2005 年高數(shù)（上）期末試題一、解答下列各題（每小題 6 分，共 60 分）+1)ex sinx - sin x1. 計(jì)算極限lim.x®02 +1)，求dy .x22. 設(shè) y =f ( x) = ìï0 在 x 處可導(dǎo)，求常數(shù)a 和b .3. 設(shè)íax + b, x > x0ïî0(-1)n-1 n¥4. 判定級數(shù)ån=1的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？3n設(shè) y = y ( x ) 由方程 y = 1 - ln ( x + y ) +

31、ey 所確定，求 y¢5.x3 -1f ( x ) 連續(xù)，且滿足ò0f (t ) dt = x ，求 f (26) = ？6. 設(shè)我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。227. （注意:學(xué)習(xí)工科分析者做第（1）題，其余的做第（2）題）f (f (Î-p ,p 展開成以2p 為周期的傅里葉級數(shù).2 -12x + 1的極值.（1） 將（2） 求òdx8計(jì)算不定x 4 - ln2 x1ò9.計(jì)算定arctanxdx011. 求曲線 y = x2 +1, 直線 y = 0, x = 0, x = 1 所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.æp

32、 ö3二、（8 分）試證明不等式 x Îç 0, 2 ÷ 時(shí)， tanèø3f (展成 x - 3 的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.- 3我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。23三、（9 分）將函數(shù)四、（9 分）已知 f ( x ) 在 x = 12 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f ( x) = 0 ，lim f ¢( x) = 2005 .2x®12x®12ò ét òx12f (u ) duù dt求極限lim 12 êë túû.(12 - x

33、)3x®12五、（8 分）（注意:學(xué)習(xí)工科分析者做第（1）題，其余的做第（2）題）（1） 求微分方程(1+ x2 ) y¢ - 2xy = (1+ x2 )2 的通解；¥n +1（2） 求冪級數(shù)åx 的收斂域及和函數(shù).nn!n=0六、（6 分）設(shè) f ( x ) 在0,1上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且0 <f ¢( x ) £ 1, f (0) = 0 ，證明：ù2é1f ( x) dxúû1( x) dx 。òò³f3êë00我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。2

34、4高數(shù)2011 年我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。25我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。26我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。27我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。28我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。29我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。30我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。31我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。322008 年ex (- ex +1xex1e= lim=一、1. lim26x6x®012. dy = (2e2x - log 2x -)dxln 2cos2 t - t sin t cos t1-3pd 2 ydy = -=t cos t,.3.pp2dxdxsin tx=3x=3634.Qlim an+1 = 3 > 1,原級數(shù)發(fā)散an2n®¥+&

35、#165; llim æ1- 1+ ln b ö = 1ò1 =5.b®+¥ ç÷èbø我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。332x sin x dx =òòòxd sec2- sec2 xd- tan x + C.6.cos3 xeæ1öt=exdx(1+ex )111t12e111eò2òò1=dt =ç -÷dt =ln+e = ln+-.7.ç t÷t (1+t)(1+t)t +11+tt +1

36、11 + ee + 122201èøf ( x ) 作奇延拓，再做周期延拓，顯然延拓后的函數(shù)滿足8.將收斂定理Dirichlet的條件.= 0 (n = 0,1, 2,L)an1np x2np xænp öb =sindx +2 sindx =1- 2 cos np + cos2ò0ò1np ç÷n22è2ø1 - 2 cos np + cos npp ¥2pnx()( x ) =ån =1 2 n()() fx Î 0,1 È 1, 2sin2ì

37、;ï f( x )x Î (0,1) È (1, 2 )x = 0, 2x = 1S ( x ) = ï 0íï 3ïî 2dx +1x = - y2 ,9.dy1+ yéù 1 1 òò1éy4 ù1y3- dydy()êò - y2edy + C ú =éòùx = e1+ y1+ y- y1+ y dy + C =2êC -úëû1+ y1+ y &#

38、235;34êëúûû512()()éù122px + 7- 3x + 5dx =p .ò10.V = 2220 êëúû152 )f () -1 +1- 4) - arctan xùû ,且f ¢(0) = 0二、令f ¢(f ¢( x) = 4 éln (1+ x) +1-ù > 0 Þ1f ¢( x)單調(diào)減又 f ¢(0) = 0 ，êë1+ x

39、2 úûf ¢( x ) < 0, 從而f ( x )單調(diào)減，又f (0) = 0, 故f ( x ) < 0, 證畢.故三、b = 3 - a, y = ax2 + (3 - a ) x,另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x = 1- 1 .a(a -1)31- 1A(a) =()ò0ëéax + 3 - a x - 2xù dx = -2aû6a2我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。34A¢(a ) = - 1 a (a -1)(a + 2) ，解得駐點(diǎn)為a = -2 ，a46因駐點(diǎn)唯一， 且在駐點(diǎn)處取得極大值， 所以在該

40、點(diǎn)也取得最大值， 故a = -2, b = 3 - a = 5的含量為 x (t ) m3四、設(shè)t 時(shí)刻車間內(nèi)( )æöx t()( )x t + Dt -x t = 100.04% × vD3t -× vDtç÷104èøì dx +14x =- tï dt1010 ，解此微分方程得， x (t ) = Ce 10 + 4, C = 8, x (10) = 6.96 ,íïîx (0) = 12所以 10 分鐘后車間的濃度約降到 0.0696%u( x)n +1

41、æ x ön¥= 0 < 1,收斂域?yàn)?-¥, +¥) ，設(shè)和函數(shù)為S ( x) = ån=0n+1五、limç÷un ( x )n!è 2 øn®¥nn+1¥x n +1¥¥xe2S ( x) - S (0) = ån=0òxnd2n n!èø0n=0n=0xS ( x) = xe2 , x Î(-¥ + ¥)f ( x) x= a (a > 0) ，六、由于li

42、m由題設(shè)條件知、x®0f æ1ö £ f æ 1 öf (0) = 0, f ¢(0) = a, 根據(jù)f ¢( x)的保號性，$U (d ), f ¢( x) > 0,0 £ç n +1 ÷ç n ÷èøèøf æ 1 öç n ÷æ 1 öè1ø = a > 0,å f ç÷發(fā)散.從而原級數(shù)條件

43、收斂.故級數(shù)收斂，又limè n øa®¥n2007 年1(1+ x2 ) éë(1- x)ex -1ûù-1- xex(1- x)ex -11+ x2(2¢) = lim(4¢)= lim=lim一、1.2xx®01+ x2(1+ x) ex - ex12.(6 )¢= lim= -2xx®0我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。35-x1-x11- (1- x2 )dx (5¢) =dx (6¢)2. dy =×2x = 0，t = 0，y = 1.

44、 dy3. ey × y¢sin t + ey cos t - y¢ = 0 (3¢)dx = e-t2 (4¢)= e (6¢)dtdx x=0n +1 × 3nnn= 1 < 1()收斂(6 )<2¢p = lim¢4.n+14 + 33nn3n3n®¥pdx+¥ d+¥( )()ò1ò1¢¢= 2+¥15 =6 .5.(1+ x)1+2x6.2 )+ C.ò xf ¢( x) d

45、x = ò xdf ( x)(2¢) = xf ( x ) - ò f ( x)d1+ xp2np ö2p2æò7.將函數(shù)在上作奇延拓. an = 0. bn =sin nxdx =ç1- cos÷np è2ø0npp3p¥2np11ån-1f (x) =(1 - cos) sin nx(4')2x =時(shí)，收斂于-, x =時(shí)，收斂于 . 2222(-1)n æ x - 2 önæx - 2 ö¥8. ln x = l

46、n éë2 + ( x - 2)ùû = ln 2 + ln ç1+÷ = ln 2 + å(5¢)ç÷è2ønè2øn=1收斂域?yàn)?0, 42x +15y = ( x +1)2 (1¢)9. y¢ -y = eò+ C(4¢) = ( x +1)2 2 ( x+1)3/ 2 + C(6¢)3ìï x = 1 + 5 y21æ 51 ö()2÷(2¢

47、;)()(6¢)ò¢得交點(diǎn)ç, ±S = 21+ y - 5 ydy 5 =2210 由方程組í2ïî x = 1 + y2è 42 ø301ò2et dt二、Q f ( x ) 在 x = 0 可導(dǎo)， f ( x ) 在 x = 0 點(diǎn)連續(xù)，于是a = f (0) = limcos xxx®0a = lim ecos x sin x = 0 (5¢)2即x®01ò2et dtf ( x) - f (0)2ecos x sin x12f 

48、2;(0) = lim( ¢) =(9¢)=cos x我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。36三、曲線 y = e-x 上一點(diǎn)( x , ex0 ) 的切線方成為 y - e-x00= -e-x0 ( x - x )(2¢)0在 x 軸上截距為1 + x0 ，在 y 軸上截距為(1 + x0 ) e 0 (4¢) ，- x面積為S = 1 (1+ x )2 e-x0 ( x > 0)(5¢)002令S ¢ = (1+ x )1- 1 (1+ x )e-x0= -1 （舍去） (7¢)= 0, 得 x = 1及x00002即在 x0 &

49、gt; 0 內(nèi)駐點(diǎn)唯一，所求點(diǎn)為(1, e )(8¢) ，最大面積為S = 2e .(9¢)-1-1變量，對應(yīng)的一薄層水，其體積為dV = p y2 dx = p (R2 - x2 )dx(3¢)四、取作把這層水抽出所作的功為dW = r gp (R2 - x2 )dx (5¢) ，p()()H()ò故水面下降 H 時(shí)作的功為W (H ) =r gp R - xdx =r gH2R - H7¢2222240將全部水抽出所作的功為W (R) = p r gR4. 由題設(shè)p r gH 2 (2R2 - H 2 ) = p r gR4 ，4

50、48解得 H = 1-2 R (8¢)2¥¥¥五、設(shè)å n (n +1) xn=1( )()x( )ån=1x()dt = å(n +1) xòò¢n= xS x2 ,S t dt =n n +1 tn-1n=00n=1¥¥x2x( )åx()å(6¢)g ( x )(4¢) ，收斂域?yàn)?#242;ò< 1.g t dt =n n +1 t dt =nxn+1 =x1- x00n=1n=1求導(dǎo)得 g ( x) = 2x

51、- x( ) =¢( ) =2, S xgx2(1- x)3(7¢) x< 1.(1- x)2n (n +1) =1= 8(8¢)¥ån=12næ1 ö3ç1- 2 ÷èøx六、變形為：(1+ x) éë f ¢( x) +( )f (t ) dt = 0. 由òf x ù -f 可導(dǎo)和等式可得， f 二階û0可導(dǎo).等式兩邊對求導(dǎo)得：- x) = Ce(f ¢( x) + æ1+1ö

52、2;() = (¢)¢(¢)¢() = - ( ) = -1+ x ÷ fx0 2 , fx3 . f0f 01.çx +1èø- xf ¢(f ¢( x ) £ 0,故f ( x ) £ f (0) = 1(4¢).我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。37³ 0 時(shí)，故2006 年-cos x1-cos2 x3cos2 x sin x1. limtan12( )(4 ) = lim(6 ) =¢¢¢=26xx®0x2sec21&#

53、215; 1 æ sec2 x ö × 1 dx =2 dy =dx2 ç2 ÷2x2èø21+ ætanö1x4 + tan2ç 22 ÷èøx-1=t17()2()1f (t ) dt (2¢) =n01()()òòòò¢¢3f x -1 dx =+1 dx +e dx 6 =- e6- x-1x23-1-2-20æ1 ö21+çn ÷4 l = lim

54、 n an (2¢) = lim èøe=< 1收斂22n®¥n®¥sec2 ( x + y)( x + y )û (1 + y )( x + y )(6 )¢éù¢¢¢5.兩邊對 x 求導(dǎo)：y = ësec2= - csc1- sec2 ( x + y )2y(1+ ex )2æö2exx+ 2 arctan ex + c (6¢)ò6.1+ e2= pf ( x ) dx = pp (2 + x

55、) dx = 4 + p (3¢)p= 0 (2¢)2 ò0ò7.ban020ì0, n = 2k2f ( x)cos nxdx =p (2 + x)cos nxdx =é(-1)n -1ù = ï22p(4¢)p ò0òa =4p1(2k -1)2í-n2p ëû×, n = 2k -1pn0ïîp24cos(2k - 1)xxå, f (-p ) = f (p ) ，由 Dirichlet 收斂定理知，其f (x

56、) = 2 +-p(2k - 1)2k =1付氏級數(shù)在- p ,p 上均收斂于 f (x).(6¢)1= 1 ×11 - x + 4- 1 ×311 - x + 48. f (2¢)+ 2223æ x + 4 ön¥¥æ x + 4 ö¥1213æ11öåçåç()åç()n=-5=¢-x + 4÷÷÷n+1n+1n=0 è2øn=0 è

57、3øn=0 è23ø我愛學(xué)習(xí)，無可匹敵。38< 2.(6¢)x + 4收斂區(qū)間為9. y¢ - 3 y = x3e+ c)(6¢)xëûìï y = ax2æö11+ aaax (2 )¢. OA 的方程為： y =10.解得 A,íç÷1+ a1+ ay = 1- x2èøïî1æ a2 x2ö2pa2(1+ a)5 2(4¢)ò0旋轉(zhuǎn)體體積V = p- a2 x4 ÷ dx =×1+a çè 1+ a15ødV = 2p × 4a - a23da15(1+ a)2=