高等電路分析6 拓撲分析

1、第二部分第二部分 電路的矩陣分析電路的矩陣分析電力系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、集成電路等規(guī)模越來電力系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、集成電路等規(guī)模越來越大，必須用計算機輔助分析。越大，必須用計算機輔助分析。經典電路分析方法：回路法和節(jié)點法。只適用于經典電路分析方法：回路法和節(jié)點法。只適用于簡單電路，簡單電路，“手和筆手和筆”算，講究解題技巧。算，講究解題技巧?，F(xiàn)代電路分析方法：系統(tǒng)化方法、便于計算機求現(xiàn)代電路分析方法：系統(tǒng)化方法、便于計算機求解，且占用存儲單元少、節(jié)省機時。解，且占用存儲單元少、節(jié)省機時。電路電路計算機求解計算機求解網絡拓撲計算機借助于網絡拓撲圖自動地建立矩陣方程求計算機借助于網絡拓撲

2、圖自動地建立矩陣方程求解，并自動輸出分析結果。解，并自動輸出分析結果。輸入電路圖和器件參數(shù)器件模型化形成電路方程電路方程的數(shù)值計算輸出圖形和數(shù)值解數(shù)據后處理計算機處理利用計算機解決實際問題的步驟利用計算機解決實際問題的步驟1.建立數(shù)學模型：建立數(shù)學模型：把實際問題抽象為數(shù)學問題，把實際問題抽象為數(shù)學問題，方程方程組組、函數(shù)函數(shù)、微分方程微分方程2.選擇數(shù)值方法：選擇數(shù)值方法：考慮算法能達到的考慮算法能達到的精度精度、計算量計算量、對數(shù)據微小對數(shù)據微小擾動的靈敏度擾動的靈敏度計算量是衡量算法好壞的重要標準。計算量是衡量算法好壞的重要標準。128643216842255xxxxxxxxx3. 編寫

3、程序，上機計算編寫程序，上機計算n避免兩個相近的數(shù)相減避免兩個相近的數(shù)相減n防止大數(shù)吃掉小數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)n防止接近零的數(shù)作除數(shù)防止接近零的數(shù)作除數(shù)n減少運算次數(shù)減少運算次數(shù)n防止舍入誤差被放大防止舍入誤差被放大xx11xx1遞推公式：遞推公式：nIInn151nIInn5151改為，計算是穩(wěn)定的。，計算是穩(wěn)定的。建立電路方程的常用方法建立電路方程的常用方法n表矩陣法（稀疏表格法）表矩陣法（稀疏表格法）n基于單圖的節(jié)點法基于單圖的節(jié)點法n基于單圖的改進節(jié)點法基于單圖的改進節(jié)點法n基于雙圖的改進節(jié)點法基于雙圖的改進節(jié)點法2.1 網絡拓撲網絡拓撲網絡拓撲網絡拓撲是幾何學的一個分支，是幾何學的一個

4、分支，1736年歐拉創(chuàng)立，目年歐拉創(chuàng)立，目前廣泛應用于網絡分析和綜合、集成電路的布線、通前廣泛應用于網絡分析和綜合、集成電路的布線、通訊和運輸網絡、甚至應用于物理學、化學、經濟學、訊和運輸網絡、甚至應用于物理學、化學、經濟學、心理學等領域。心理學等領域。1847年基爾霍夫將其應用于電路中。年基爾霍夫將其應用于電路中。網絡拓撲網絡拓撲研究幾何圖形的點和線段及其連接性質研究幾何圖形的點和線段及其連接性質。ABCDABCD 哥尼斯堡（今哥尼斯堡（今俄羅斯俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河萊格爾河橫貫其中。十八世紀

5、在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結起來。人們閑暇時經常在這上邊散中間的兩個島和河岸聯(lián)結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。很多人在嘗試各種各樣的走法，但沒人做到。原來的位置。很多人在嘗試各種各樣的走法，但沒人做到。 1736年，有人找到了當時的大數(shù)學家歐拉，歐拉經過一年，有人找到了當時的大數(shù)學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。 歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別歐拉把這個問題首先簡化，他把

6、兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論進一步的分析，歐拉得出結論不可能每座橋都走一遍，不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。最后回到原來的位置。 這是拓撲學的這是拓撲學的“先聲先聲”。 圖、有向圖圖、有向圖電路的支路電路的支路 圖的圖的線線電路的節(jié)點電路的節(jié)點 圖的圖的節(jié)點節(jié)點支路電流的方向支路電流的方向 圖中線的方向圖中線的方向5R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i

7、5i6uS123412345有向圖有向圖連通圖、非連通圖連通圖、非連通圖1234連通圖：a、b、d非連通圖：c、ea1234b1234d如果圖的任意兩節(jié)點之間至少存在一條由支路構成的路如果圖的任意兩節(jié)點之間至少存在一條由支路構成的路徑，則稱該圖為連通圖，否則為非連通圖。徑，則稱該圖為連通圖，否則為非連通圖。124c31234e 樹、割集、環(huán)集樹、割集、環(huán)集1、樹的定義：、樹的定義：1）包含連通圖）包含連通圖G 的全部節(jié)點；的全部節(jié)點；2）不包含回）不包含回路；路；3）是連通的）是連通的。1234123412341234v樹支樹支：組成樹的所有支路：組成樹的所有支路v連支連支：G中除去樹支外剩余

8、的支路中除去樹支外剩余的支路v樹的性質：樹的性質：對于對于n個節(jié)點，個節(jié)點，b條支路的任意樹，條支路的任意樹，樹支數(shù)樹支數(shù)nT = n1；樹枝電壓是獨立變量樹枝電壓是獨立變量連支數(shù)連支數(shù) nL = b（n1）；）；連支電流是獨立變量連支電流是獨立變量123412342、割集的定義：、割集的定義：用一封閉面切割掉的所有支路的集合叫切割，需滿足：用一封閉面切割掉的所有支路的集合叫切割，需滿足： 1）把切割移去后）把切割移去后G分成兩部分；分成兩部分； 2）只要少割去任一條支路，）只要少割去任一條支路，G仍是連通的仍是連通的。單樹枝切割的集合稱為單樹枝切割的集合稱為割集割集12345678Q1 (2

9、,3,7)Q2(1,7,8,4)Q3(4,5)12456783下列支路集合不是切割：下列支路集合不是切割：支路支路1、2、7 支路支路1、3、5、7、8 (3 parts)割集的性質：割集的性質：對割集可以列出對割集可以列出n-1個獨立個獨立KCL方程。方程。123456783、環(huán)集的定義：、環(huán)集的定義：單連枝回路的集合稱為環(huán)集。單連枝回路的集合稱為環(huán)集。對環(huán)集可以建立對環(huán)集可以建立b-(n-1)個個KVL方程。方程。連支電流是一組獨立變量，個數(shù)連支電流是一組獨立變量，個數(shù) （(n)） ；單連支回路是一組獨立回路單連支回路是一組獨立回路，可列獨立可列獨立KVL方程；方程；小結：小結：樹支電壓是

10、一組獨立變量，個數(shù)為（樹支電壓是一組獨立變量，個數(shù)為（n）；）；單樹支切割的集合是獨立割集，可列獨立單樹支切割的集合是獨立割集，可列獨立KCL方程；方程；矩陣分析法：矩陣分析法：描述電路結構的三種主要矩陣：描述電路結構的三種主要矩陣：v割集矩陣割集矩陣Q（/D）v環(huán)集矩陣環(huán)集矩陣B（/C）v關聯(lián)矩陣關聯(lián)矩陣A描述支路組成的矩陣：描述支路組成的矩陣：支路阻抗矩陣支路阻抗矩陣Z支路導納矩陣支路導納矩陣Y支路電壓、電流列向量支路電壓、電流列向量0IAb0IQb0UBbbbIU、0bTbnAIUA UssbbIUUYI)()TnssAYA UA IYUtTbbUQUIQ 0ssbbIUUYI)()(s

11、stTUQIQUQYQlTbbIBIUB 0ssbbUIIZU)()(sslTIZUBIBZB2.2 節(jié)點分析法節(jié)點分析法關聯(lián)矩陣關聯(lián)矩陣A1201I3I2I4I0bAI 0011110014321IIII121I3I2I4I142322211nnnnnUUUUUUUUUnbUU01101011TbnUA U0標準支路及伏安關系標準支路及伏安關系 +Zkk或或Ykk()kkkkskskiYuUI+ uk ()kkkkskskuZiIU支路導納矩陣支路導納矩陣442211zzzZ支路阻抗矩陣支路阻抗矩陣ikIskUsk112244YYYY()bbssIY UUI()bbssUZ IIU節(jié)點分析法

12、矩陣方程：節(jié)點分析法矩陣方程：0bAI TbnUA U()bbssIY UUI得出求節(jié)點電壓的矩陣形式：得出求節(jié)點電壓的矩陣形式：1()()TnssUAYAA IYU()TnssAYA UA IYUn無無受控源、無互感受控源、無互感n含受控源轉移導納耦合含受控源轉移導納耦合單獨寫含受控源支路的電流電壓關系單獨寫含受控源支路的電流電壓關系n含互感轉移阻抗耦合含互感轉移阻抗耦合標準支路的幾種情況：標準支路的幾種情況：例例1：用矩陣節(jié)點方程求各支路電壓和電流（無受控源）：用矩陣節(jié)點方程求各支路電壓和電流（無受控源） 杜普選書杜普選書34頁例頁例2-3例例2：列寫節(jié)點法矩陣方程（含受控源）：列寫節(jié)點法

13、矩陣方程（含受控源）解：43300000001000YYYLjcjYcj3I3sU+ 1IY3+2UC2sILY43I+2U4I2I0003SsUU33020sUYsIIs1201234120123411000111A34333) 1() 1(1)1 (YYYYYLjcjAYAT33332) 1()(sssssUYUYIUYIA333322134333) 1() 1() 1(1)1 (sssnnUYUYIUUYYYYYLjcj2.3 表矩陣法表矩陣法n電路的矩陣分析法不能處理所有的理想元件電路的矩陣分析法不能處理所有的理想元件(電壓源電壓源)；n討論建立電路方程的一般方法討論建立電路方程的一般

14、方法n通用的表矩陣法通用的表矩陣法幾種改進方法幾種改進方法n各種改進方法的出發(fā)點：消去冗余變量各種改進方法的出發(fā)點：消去冗余變量000000IbnbbbbTWVIVAZYA表矩陣方程一般形式：表矩陣方程一般形式：bbbbbnTbbWIZVYVAV0IA表矩陣法的主要價值在于理論上表矩陣法的主要價值在于理論上元件支路方程電阻VbRbIb=0電導GbVbIb=0電容sCbVbIb=CbV0電感VbsLbIb=LbI0電壓源Vb=Eb電流源Ib=IsbbbbbbWIZVY R2 J1 G4 C3 例例3：杜：杜p54 例例3-1，寫出圖的表矩陣方程，寫出圖的表矩陣方程121I3I2I4I011010

15、011A11222333444IJVR IsC VIG VI000受控源視為受控源視為2條支路條支路I1=0, V2= V1 V1+_V2I2_V1I1+-112200100100VIVI 0 I1+_V2I2_V1I1+112210000000VIVI +-3RiuR20uRC4RC5二階低通濾波器二階低通濾波器表矩陣規(guī)模是多少？表矩陣規(guī)模是多少？ C5 + V6 C4 G2 + E1 G3 + V7V6 1818，7+7+4180076655544433322211VVIIVsCIVsCIVGIVGEV0000元件的支路方程：元件的支路方程： C5 + V6 C4 G2 + E1 G3 +

16、 V7V6 4120132345 672.4 基于單圖的改進節(jié)點法基于單圖的改進節(jié)點法n思想：支路分類思想：支路分類n支路電流能用導納表示，支路電流能用導納表示，I1n支路電流不能用導納表示，支路電流不能用導納表示，I2（主要是電壓源支路）（主要是電壓源支路）n獨立電流源支路，獨立電流源支路，IS0WIVA0ZAYbbnbTbbbbbbnTbbWIZVYVAV0IA式式(2) 帶入帶入(3)，消去，消去Vb再減少變量再減少變量bbbbbnTbbWIZVYVAVAI00S21321IIIAAAnT3T2T1S21VAAAVVV22222111WIZVYIVYS32211IAIAIA只保留只保留V

17、n和和I2為變量為變量2S32n2T222T111WIAIVZAYAAYA單圖改進節(jié)點方程組是：單圖改進節(jié)點方程組是： C5 + V6 C4 G2 + E1 G3 + V6 n能用導納表示的支路電流：能用導納表示的支路電流： I2 I5n不能用導納表示的支路電流：不能用導納表示的支路電流：I1、I7n獨立電流源支路：無獨立電流源支路：無n單圖改進節(jié)點法不能消去單圖改進節(jié)點法不能消去I=0的冗余變量的冗余變量77，4個節(jié)點+2個電壓源支路+1條電流為0支路用觀察法建立改進節(jié)點方程組：00000 001000000011000000000s -010017143214453343432222EII

18、VVVVsCsCsCGGCGsCGGGGGnnnn2.5 基于雙圖的改進節(jié)點法基于雙圖的改進節(jié)點法nSeparate current and voltage graphn胡健棟胡健棟,江淑倩江淑倩,現(xiàn)代電路時域分析現(xiàn)代電路時域分析，北京郵，北京郵電學院出版社，電學院出版社，1989nVlach J., Singhal K. Computer methods for circuit analysis and design, Van Nostrand Reinhold Companyn傳統(tǒng)的方法是傳統(tǒng)的方法是KCL、KVL共用一個圖共用一個圖n1983年年J. Vlach和和K. Singhal提

19、出了雙圖改進節(jié)提出了雙圖改進節(jié)點法點法n雙圖（分離的電流圖和電壓圖）雙圖（分離的電流圖和電壓圖）n優(yōu)點是具有很大的靈活性，特別適合多端元件電路、優(yōu)點是具有很大的靈活性，特別適合多端元件電路、非線性電路?？蔀榻⒎謱臃謮K方程及進一步消去非線性電路?？蔀榻⒎謱臃謮K方程及進一步消去冗余變量提供方便。冗余變量提供方便。nMultisim已用雙圖編程已用雙圖編程n加拿大滑鐵盧大學有雙圖子程序加拿大滑鐵盧大學有雙圖子程序n畫畫I-圖規(guī)則：圖規(guī)則：n電壓源支路電壓源支路短路短路n支路電流為零的支路支路電流為零的支路開路開路n畫畫V-圖規(guī)則：圖規(guī)則：n電流源支路電流源支路開路開路n支路電壓為零的支路支路電壓

20、為零的支路短路短路n開路刪除支路，節(jié)點不變；開路刪除支路，節(jié)點不變； 短路兩節(jié)點合為一個短路兩節(jié)點合為一個n一條支路在一條支路在I-圖和圖和V-圖的編號相同圖的編號相同例例1：畫低通濾波器的：畫低通濾波器的I-圖和圖和V-圖圖 C5 + V6 C4 G2 + E1 G3 + V7V6 4120132345 6712I-圖如下：03254V-圖不變 C5 + V6 C4 G2 + E1 G3 + V7V6 120132345 67例例2 畫通用阻抗變換器的雙圖（杜普選書畫通用阻抗變換器的雙圖（杜普選書75頁）頁） generalized impedance converter+ +- -jjkk

21、+V1-+V2-I1I2jjk=kI-圖圖V-圖圖kkj=j雙圖表矩陣雙圖表矩陣bbbbbnnTbbWIZVYVVAV0I圖中數(shù)目）是、圖，（圖支路數(shù)）是圖，（-VV-V from -II-I from bbviA例例1低通濾波器的的雙圖表矩陣低通濾波器的的雙圖表矩陣矩陣規(guī)模：矩陣規(guī)模：744通用阻抗變換器的雙圖存儲通用阻抗變換器的雙圖存儲列雙圖改進節(jié)點法方程列雙圖改進節(jié)點法方程n從從V-圖寫支路方程，把所有能用導納表示的支路電流用圖寫支路方程，把所有能用導納表示的支路電流用支路電壓表示；支路電壓表示；n寫寫V-圖的關聯(lián)矩陣圖的關聯(lián)矩陣AV，得，得V-圖的圖的KVL方程，即用節(jié)點電方程，即用節(jié)

22、點電壓替換所有支路電壓；壓替換所有支路電壓；n寫寫I-圖的關聯(lián)矩陣圖的關聯(lián)矩陣Ai，得，得I-圖圖KCL方程；方程；n把已用節(jié)點電壓表示的支路電流帶入把已用節(jié)點電壓表示的支路電流帶入I-圖圖KCL方程，與方程，與V-圖中不能用導納表示的支路方程集中到最終的矩陣圖中不能用導納表示的支路方程集中到最終的矩陣n矩陣規(guī)模：矩陣規(guī)模： V-圖獨立節(jié)點數(shù)目圖獨立節(jié)點數(shù)目例例3，雙圖節(jié)點法列方程，雙圖節(jié)點法列方程從從I-圖得：圖得：-I2 + I3 = 0.對對V-圖得圖得支路方程：支路方程：雙圖改進的低通濾波器節(jié)點方程的矩陣規(guī)模僅雙圖改進的低通濾波器節(jié)點方程的矩陣規(guī)模僅44 C5 + V6 C4 G2 +

23、 E1 G3 + V7V6 通用阻抗變換器的雙圖改進節(jié)點方程通用阻抗變換器的雙圖改進節(jié)點方程小結：n借助圖論可把分析大規(guī)模電路的任務交給計算借助圖論可把分析大規(guī)模電路的任務交給計算機完成。機完成。n從編程的角度，建議采用單圖和雙圖改進節(jié)點從編程的角度，建議采用單圖和雙圖改進節(jié)點法法n表矩陣法在理論方面具有重要價值表矩陣法在理論方面具有重要價值n雙圖節(jié)點法對分析開關電容網絡很有利雙圖節(jié)點法對分析開關電容網絡很有利2.6 大規(guī)模電路分析點滴大規(guī)模電路分析點滴n2.6.1 現(xiàn)代大規(guī)模電路的特點現(xiàn)代大規(guī)模電路的特點n現(xiàn)代電路的復雜性現(xiàn)代電路的復雜性n含有大量有源器件含有大量有源器件n數(shù)字電路和模擬電路

24、的混合電路數(shù)字電路和模擬電路的混合電路n多功能性多功能性SOCn電路的重復性電路的重復性n電路的空間稀疏性電路的空間稀疏性n電路的時間稀疏性電路的時間稀疏性n電路的單向性電路的單向性n大規(guī)模電路的計算機分析大規(guī)模電路的計算機分析n電路方程的維數(shù)電路方程的維數(shù)n，存儲量與，存儲量與n2成比例，耗時與成比例，耗時與n3成比例成比例.n常用算法常用算法建立數(shù)學模型方法建立數(shù)學模型方法求解數(shù)學模型算法求解數(shù)學模型算法改進節(jié)點法改進節(jié)點法微分方程微分方程歐拉法、梯形法、龍格庫塔歐拉法、梯形法、龍格庫塔非線性方程非線性方程牛頓法、分段線性分析法牛頓法、分段線性分析法線性方程線性方程LU分解法、高斯消元法分

25、解法、高斯消元法2.6.2 大規(guī)模電路的現(xiàn)代分析法大規(guī)模電路的現(xiàn)代分析法n網絡分塊技術網絡分塊技術n數(shù)學模型分塊技術數(shù)學模型分塊技術n宏模型技術（宏模型技術（Macro Model）n分層分析技術分層分析技術n混合電路的分析：混合電路的分析： (1)A/D、D/A；(2)采用同一種數(shù)學模型，最常用采用同一種數(shù)學模型，最常用的是分段線性模型的是分段線性模型2.6.3 模型化模型化n元器件的數(shù)學模型元器件的數(shù)學模型nR：i=g(u) 或或 u=f (i) nL，C；n獨立電源獨立電源n受控源受控源n變壓器變壓器n回轉器回轉器n理想運算放大器理想運算放大器n理想晶體三極管理想晶體三極管n半導體器件的

26、電路模型n二級管n雙極型晶體管：電路CAD中普遍使用的是Ebers-Moll模型和Gumel-Poon模型nMOS場效應晶體管模型，SPICE中有6種nMOS1、2適用于2m以上MOS管nMOS3半經驗模型nMOS46適用于亞微米器件模擬n算法模型算法模型n對于非線性元件和儲能元件，采用線性化和離散化對于非線性元件和儲能元件，采用線性化和離散化方法可得到算法模型，方便計算機處理。方法可得到算法模型，方便計算機處理。n非線性電阻，應用牛頓迭代法，壓控、流控非線性電阻，應用牛頓迭代法，壓控、流控n非線性電容非線性電容n非線性電感非線性電感n分段線性模型分段線性模型n宏模型技術宏模型技術n對標準子電

27、路或子系統(tǒng)的簡化、等效表示；對標準子電路或子系統(tǒng)的簡化、等效表示；nSPICE程序的宏模型支路數(shù)和節(jié)點數(shù)約減少程序的宏模型支路數(shù)和節(jié)點數(shù)約減少5倍、倍、CPU用時節(jié)省用時節(jié)省610倍；倍；n可以表示為：一個等效電路；一組數(shù)學方程；可以表示為：一個等效電路；一組數(shù)學方程；一組多維數(shù)表等；一組多維數(shù)表等；n建立宏模型的方法：建立宏模型的方法：(1)簡化電路法；簡化電路法； (2)端口端口特性構造法；特性構造法； (3)表格模型；表格模型；(4)函數(shù)宏模型函數(shù)宏模型n例：（例：（1）高頻放大器；）高頻放大器； （2）運放）運放n一般運放含一般運放含2030個晶體管和許多電阻電容；若晶體個晶體管和許多電阻電容；若晶體管