理學(xué)概率統(tǒng)計(jì)

1、1. 二維隨機(jī)變量的概念二維隨機(jī)變量的概念2. 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量 4. 二二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的分布函數(shù) 5. 小結(jié)小結(jié)第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量圖示圖示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)變量叫作二維隨機(jī)向量叫作二維隨機(jī)向量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量上的隨機(jī)變量上的隨機(jī)變量是定義在是定義在和和設(shè)設(shè)它的樣本空間是它的樣本空間是是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè)YXSeYYeXXeSE 1.1.二維隨機(jī)變量的概念二維隨機(jī)變量的概念(1) 定義定義實(shí)例實(shí)例1

2、 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是一個(gè)二維隨機(jī)變量. 二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例實(shí)例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).說明說明 2.2.二維離散型隨機(jī)變量 (1) 定義定義 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 所有可能取到的不所有可能取到的不相同的數(shù)偶相同的數(shù)偶 是有限對(duì)或無限是有限對(duì)或無限可列對(duì)時(shí)可列對(duì)時(shí),則稱則稱 ( X, Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量.,.2, 1,),( jiyxji(2) 二

3、維離散型隨機(jī)變量的分布律二維離散型隨機(jī)變量的分布律 . 1, 0 , , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(11 ijijijijjijippYXYXjipyYxXPjiyxYX其其中中的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律和和機(jī)機(jī)變變量量或或隨隨的的分分布布律律變變量量稱稱此此為為二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)記記所所有有可可能能取取的的值值為為設(shè)設(shè)二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp例1 一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，

4、不放回地抽取，連續(xù)兩次如下：和定義隨機(jī)變量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律試求YX解得：按概率的乘法公式計(jì)算及對(duì)：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示為),(YX.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律試求試求整數(shù)值整數(shù)值中等可能地取一中等可能地取一在在另一個(gè)隨機(jī)變量另一個(gè)隨機(jī)變量取值取值四個(gè)整數(shù)中等

5、可能地四個(gè)整數(shù)中等可能地在在設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量YXXYX解解:,的取值情況是的取值情況是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i,的的正正整整數(shù)數(shù)取取不不大大于于 ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律為為于于是是),(YX例例2XY12341234418112116108112116100121161000161 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果存在定義在平是二維隨機(jī)變量，如果存在定義在平面上的函數(shù)面上的函數(shù)f(x,y),滿足條件滿足條件(1)定義定義 3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量. 0),

6、()1( yxf. 1dd),()2( yxyxf內(nèi)內(nèi)的的概概率率為為落落在在點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè)GYXxoyG),(,)3(.dd),(),( GyxyxfGYXP則稱則稱(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，而是連續(xù)型隨機(jī)變量，而f(x,y)稱為二維隨機(jī)稱為二維隨機(jī)變量變量(X,Y)的概率密度函數(shù)或稱為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)或稱為隨機(jī)變量X和和Y的聯(lián)的聯(lián)合概率密度函數(shù)合概率密度函數(shù).表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 說

7、明說明.),(, ),(為頂面的柱體體積為頂面的柱體體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空間的一個(gè)曲面表示空間的一個(gè)曲面幾何上幾何上yxfz 由概率的性質(zhì) ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式為概率密度，如果一個(gè)二維隨機(jī)變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機(jī)變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為4. 二維隨機(jī)變量

8、的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) (1)分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義 .,),(,)()(),( :,),( 的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)和和機(jī)變量機(jī)變量或稱為隨或稱為隨的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量二元函數(shù)二元函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量設(shè)設(shè)YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. , ),(示區(qū)域內(nèi)的概率示區(qū)域內(nèi)的概率就是隨機(jī)點(diǎn)落在如圖所就是隨機(jī)點(diǎn)落在如圖所的函數(shù)值的函數(shù)值yYxXPyxF , ),( xxyyijijpyxF說明說明（）離散型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)歸納為. , ,求和求和

9、的的其中和式是對(duì)一切滿足其中和式是對(duì)一切滿足jiyyxxji （）連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)為,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的連續(xù)點(diǎn)有的連續(xù)點(diǎn)有且在且在例3具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX( , )f x y(2)2e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY試求:( )分布函數(shù)( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2GyxXO

10、Y上方的區(qū)域記為平面的直線把位于1于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 落入任一矩形點(diǎn)這時(shí)),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性質(zhì)求得 如下圖1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)： ）（ 10( , )1F x y且, y對(duì)任意固定的(, )0Fy，對(duì)任意固定的x( ,)0F x (,)0,F (,)1F 的不減函數(shù)或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F

11、 xyF x y F x yF x y）（3）對(duì)任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有定義個(gè)隨機(jī)變量上的是定義在樣本空間設(shè)nXXXn,21則12(,)nXXXnn稱為 維隨機(jī)向量或 維隨機(jī)變量個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意n12,nx xx函數(shù),12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXx維隨機(jī)變量稱為n12(,)nXXX的分布函數(shù)或.,21的聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)變量nXXX實(shí)例實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是一個(gè)二維隨機(jī)變量. 二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與

12、X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例實(shí)例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).說明說明 XY12341234418112116108112116100121161000161表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 說明說明.),(, ),(為頂面的柱體體積為頂面的柱體體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空間的

13、一個(gè)曲面表示空間的一個(gè)曲面幾何上幾何上yxfz 由概率的性質(zhì) ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式為概率密度，如果一個(gè)二維隨機(jī)變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機(jī)變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為, ),( xxyyijijpyxF說明說明（）離散型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)歸納為. , ,求和求和的的其中和式是對(duì)一切滿足其中和式是對(duì)一切滿足jiyyxxji （）連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)為,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的連續(xù)點(diǎn)有的連續(xù)點(diǎn)有且在且在分布函數(shù)具