整理天一專升本高數(shù)知識點

1、 第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性 奇函數(shù)：，圖像關(guān)于原點對稱。 偶函數(shù)：，圖像關(guān)于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較 設(shè)是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則 （1）若，則是比高階的無窮小量。（2）若（不為0），則與是同階無窮小量 特別地，若，則與是等價無窮小量（3）若，則與是低階無窮小量 記憶方法：看誰趨向于0的速度快，誰就趨向于0的本領(lǐng)高。4、兩個重要極限 （1） 使用方法：拼湊 ，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致 （2） 使用方法1后面一定是一個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件

2、得拼湊。5、 的最高次冪是n,的最高次冪是m.,只比較最高次冪，誰的次冪高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度快。,以相同的比例趨向于無窮大；，分母以更快的速度趨向于無窮大；，分子以更快的速度趨向于無窮大。7、左右極限 左極限：右極限：注：此條件主要應(yīng)用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8、連續(xù)、間斷 連續(xù)的定義： 或 間斷：使得連續(xù)定義無法成立的三種情況 記憶方法：1、右邊不存在 2、左邊不存在 3、左右都存在，但不相等9、間斷點類型 （1）、第二類間斷點：、至少有一個不存在 （2）、第一類間斷點：、都存在 注：在應(yīng)用時，先判斷是不是“第二類間斷點”，左右只要有一個不存在，就是“第二類”然后再判斷是不

3、是第一類間斷點；左右相等是“可去”，左右不等是“跳躍”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1） 最值定理：如果在上連續(xù)，則在上必有最大值最小值。（2） 零點定理：如果在上連續(xù)，且，則在內(nèi)至少存在一點，使得 第三講 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、 羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3），則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得b記憶方法：腦海里記著一幅圖：2、 拉格朗日定理如果滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)； 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得腦海里記著一幅圖： （*）推論1 ：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)=C

4、恒為常數(shù)。 記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0。（*）推論2：如果在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么 記憶方法：兩條曲線在每一點切線斜率都相等3、 駐點 滿足的點，稱為函數(shù)的駐點。幾何意義：切線斜率為0的點，過此點切線為水平線4、極值的概念設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點x,有，則稱為函數(shù)的極大值，稱為極大值點。設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點x,有，則稱為函數(shù)的極小值，稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、 拐點的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。注在原點即是拐點6、 單調(diào)性的判

5、定定理設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，如果，則在內(nèi)單調(diào)增加；如果，則在內(nèi)單調(diào)減少。 記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調(diào)增加，；在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調(diào)減少，；7、 取得極值的必要條件可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的必要條件是8、 取得極值的充分條件第一充分條件：設(shè)在點的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且在處連續(xù)，則（1） 如果時，; ,那么在處取得極大值；（2） 如果時，；，那么在處取得極小值；（3） 如果在點的兩側(cè)，同號，那么在處沒有取得極值； 記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)，且，則 （1）如果，那么在處取得

6、極大值； （2）如果，那么在處取得極小值9、 凹凸性的判定設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果，那么曲線在內(nèi)凹的；（2）如果，那么在內(nèi)凸的。圖像表現(xiàn)：凹的表現(xiàn) 凸的表現(xiàn)10、 漸近線的概念曲線在伸向無窮遠(yuǎn)處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。（1） 水平漸近線：若,則有水平漸近線 (2) 垂直漸近線：若存在點，則有垂直漸近線 （2） 求斜漸近線：若，則為其斜漸近線。11、 羅比達法則遇到“” 、“”，就分子分母分別求導(dǎo)，直至求出極限。如果遇到冪指函數(shù)，需用把函數(shù)變成“” 、“”。第二講 導(dǎo)數(shù)與微分 1、 導(dǎo)數(shù)的定義（1）、（2）、（3）、注：使用時務(wù)必保證后面和分母保持一致，不一致就拼湊。

7、2、 導(dǎo)數(shù)幾何意義：在處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與乘積為13、 導(dǎo)數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、 求導(dǎo)方法總結(jié)（1）、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則（2）、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)： 是由與復(fù)合而成，則 （3）、隱函數(shù)求導(dǎo) 對于，遇到y(tǒng)，把y當(dāng)成中間變量u，然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。（4）、參數(shù)方程求導(dǎo) 設(shè)確定一可導(dǎo)函數(shù)，則 (5) 、對數(shù)求導(dǎo)法 先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導(dǎo)（6）、冪指函數(shù)求導(dǎo) 冪指函數(shù)，利用公式 然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法對指數(shù)單獨求導(dǎo)即可。 第二種方法可使用對數(shù)求導(dǎo)法，先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導(dǎo)注：優(yōu)選選擇第二種方法。5、 高階

8、導(dǎo)數(shù)對函數(shù)多次求導(dǎo)，直至求出。6、 微分 記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導(dǎo)公式，后面加，不需要單獨記憶。7、 可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系可微可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)8、 可導(dǎo)與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖（1） （2）在x=0既連續(xù)又可導(dǎo)。 在x=0只連續(xù)但不可導(dǎo)。所以可導(dǎo)比連續(xù)的要求更高。 第四講 不定積分一、 原函數(shù)與不定積分1、 原函數(shù)：若，則為的一個原函數(shù)；2、 不定積分：的所有原函數(shù)+C叫做的不定積分，記作二、 不定積分公式記憶方法：求導(dǎo)公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質(zhì)1、2、注：求導(dǎo)與求不定積分互為逆運算。四、 積分方法1、 基本積分公式2、 第一換元積分法（

9、湊微分法）把求導(dǎo)公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記憶。3、 第二換元積分法三角代換三角代換主要使用兩個三角公式：4、 分部積分法 第五講 定積分1、定積分定義 如果在上連續(xù)，則在上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因為面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義（1） 如果在上連續(xù)，且，則表示由，x軸所圍成的曲邊梯形的面積。S=。（2） 如果在上連續(xù)，且， S=。3、定積分的性質(zhì)： （1） （2）=（3）（4）（5）如果，則（6）設(shè)m,M分別是在的min, max,則 M m 記憶：小長方形面積曲邊梯

10、形面積大長方形面積（7）積分中值定理 如果在上連續(xù)，則至少存在一點，使得 記憶：總可以找到一個適當(dāng)?shù)奈恢?，把凸出來的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變成一個長方形。 稱為在上的平均值。4、 積分的計算（1）、變上限的定積分注：由此可看出來是的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個是而不是t（2）、牛頓萊布尼茲公式 設(shè)在上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則 由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分，只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。5、 奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分（1）、若在上為奇函數(shù)，則 （2）、若在上為偶函數(shù)，則注：此方法只適用于對稱區(qū)

11、間上的定積分。6、 廣義積分（1） 無窮積分 7、 定積分關(guān)于面積計算 面積，記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界上的定積分。 d c 面積S= 記憶方法：把頭向右旋轉(zhuǎn)90°就是第一副圖。8、 旋轉(zhuǎn)體體積（1） y a b x曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ： （2）、 a b 陰影部分繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積： （3）、 y d c x繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ： (4)、 y d c x 陰影部分繞繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積: 第六講 向量、空間解析幾何（一）向量的相關(guān)考試內(nèi)容一、 向量的基本概念1、 定義：與起點無關(guān)，既有方向又有大小的量稱為向量。（生活來源：力、速度

12、、加速度，位移）2、 向量的表示：或記為，其中為向量在 軸，軸，軸上的投影。其中，為向量在軸，軸，軸上的單位向量 3、 向量的模：，模為1的向量叫做單位向量，模為0的向量叫做0向量。4、 向量的方向余弦： 并且：為向量與軸，軸，軸的正方向的夾角，叫做 的方向角。5、 ，則二、 向量的三種不同運算設(shè)向量，（1）線性運算，（2）兩向量的數(shù)量積 向量，的夾角 ： 注：因為（3）兩向量的向量積 定義： ，滿足下述規(guī)則 1、 2、， 3、成右手系 稱為的向量積，記作: 向量積的坐標(biāo)表示： 的充要條件為：或 注：因為（二）、直線與平面的相關(guān)考試內(nèi)容一、空間平面方程在空間直角坐標(biāo)系下，一次方程表示空間一張平

13、面，這里A,B,C不同時為零。由A,B,C為向量坐標(biāo)構(gòu)成得向量叫做平面得法向量。即。（1）平面的位置若A=0,即該平面平行軸。同理B=0,平面平行于y軸。C=0,平面平行于z軸。D=0,過原點。記憶方法：“誰”的系數(shù)為0，平面平行于“誰”軸。二、空間直線方程一般式：, (一次項系數(shù)不成比例) 注：兩個平面相交標(biāo)準(zhǔn)式： 注：（）為直線上一已知點，向量為直線的方向向量參數(shù)式：三、總結(jié)：專升本考試中重點考察兩平面的位置關(guān)系，兩直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，記憶的重點在于：（1）平面的法向量為,（2）直線的方向向量為（3）向量平行需滿足：或或（4）向量垂直需滿足四、兩直線的位置關(guān)系： 設(shè)有兩直

14、線 （1）的充要條件為 （2）得充要條件為（3）直線得夾角可由來確定。五、直線和平面的位置關(guān)系： 設(shè)直線方程為平面方程為：（1）的充要條件為（2）的充要條件為（3）直線與平面的夾角可由來確定。六、兩平面的位置關(guān)系： 設(shè)有兩平面 的充要條件是的充要條件是，的夾角可由確定。（三）、曲面的相關(guān)考試內(nèi)容一、簡單的二次曲面 （1）柱面方程 (2)球面方程 (3)橢球面方程 （4）旋轉(zhuǎn)面方程以曲線為母線，軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程為第七講 多元函數(shù)微分學(xué)一、 二元函數(shù)的概念定義：設(shè)有變量，如果當(dāng)相互獨立的變量在一定范圍內(nèi)取定任意一對值時，按照一定法則有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，那么，稱為的二元函數(shù)，記作。注：

15、二元函數(shù)的定義域為坐標(biāo)平面上的一個區(qū)域，二元函數(shù)是懸浮在空間的一個曲面。二、 二元函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)在點某鄰域有定義（但點可以除外），如果當(dāng)點無論沿著任何途徑趨向于時，都無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)點趨向于時，以A為極限，記為 三、 二元函數(shù)的連續(xù)性 若，則稱在點連續(xù)。注：的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。四、 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 五、 偏導(dǎo)數(shù)求法由偏導(dǎo)數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導(dǎo)就只把哪個變量當(dāng)成自變量，其它的變量都當(dāng)成常數(shù)看待。六、 全微分：七、 二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導(dǎo)，但反之不一定成立

16、。若偏導(dǎo)存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)的偏導(dǎo)存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關(guān)系。八、 二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo) 設(shè)， 則 ， 注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)處理。九、 隱函數(shù)求偏導(dǎo)方程確定的隱函數(shù)為，則對等號兩邊同時對求導(dǎo)，遇到的函數(shù)，把當(dāng)成中間變量。十、 二元函數(shù)的極值1、 二元函數(shù)極值存在的必要條件如果在點處取得極值，且兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，則有。若，則稱是的駐點。2、 極值存在的充分條件如果在點的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且是駐點，設(shè)則（1）如果且，則是極大值 （2）如果且，則是極小值 （3）如果，則不是極值 （4）如果則此方法失效。十一、條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。 方法一：（1）從條

17、件中求出 （2）將代入化為一元函數(shù) （3）利用一元函數(shù)求極值的方法求最值 方法二：拉格朗日乘數(shù)法（1） 作拉格朗日函數(shù)（2） ,，（3） 解上述方程組得駐點，則點就是函數(shù)的極值點，依題意，判定它是極大值或是極小值。第八講 多元函數(shù)積分學(xué)知識點一、 二重積分的概念、性質(zhì) 1、 ，幾何意義：代表由，D圍成的曲頂柱體體積。 2、性質(zhì)： （1） （2）=+ （3）、 （4）,=+ (5)若，則 （6）若則 (7)設(shè)在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點，使二、 計算（1） D:（2） D：，技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和垂直線的方法確定另一個變量的范圍 （3）極坐標(biāo)下：

18、三、 曲線積分1、第一型曲線積分的計算 （1）若積分路徑為L：，則 = （2）若積分路徑為L：，則 = （3）若積分路為L：，則 = 2、第二型曲線積分的計算（1） 若積分路徑為L：，起點,終點，則（2） 若積分路徑為L：，起點，終點，則（3） 若積分路為L：，起點，終點，則第九講 常微分方程一、 基本概念 （1）微分方程：包含自變量、未知量及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程。其中未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫常微分方程。 （2）微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。 （3）微分方程的解：滿足微分方程或。前者為顯示解，后者稱為隱式解 （4）微分方程的通解：含有相互獨立的任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)

19、與方程的階數(shù)相同的解 （5）初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的附加條件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常數(shù)確定之后的解。二、 一階微分方程 1、可分離變量的微分方程（1）形如的微分方程。解法：變形為，兩邊作不定積分求出通解。 （2）形如的微分方程。 解法：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，然后代入原方程，則變量分離 2、一階線性微分方程 一階線性齊次微分方程 形如。解法：變量分離 一階線性非齊次微分方程 形如 解法：常數(shù)變易法或公式法 注：一階線性非齊次微分方程的通解公式為： 在通常使用中建議選擇常數(shù)變易法三、可降階微分方程 形如的微分方程 解法：作n次不等式 形如的微分方程 解法：令四、二階常系數(shù)

20、線性微分方程 形如的微分方程，稱二階常系數(shù)線性齊次微分方程 形如的微分方程，稱二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。（其中，p,q均為常數(shù)）。 有關(guān)解的結(jié)構(gòu)定理 (1) 定理1 若是二階線性齊次方程的解，則其任意一個線性組合也是該方程的解 函數(shù)若滿足為常數(shù)，稱線性相關(guān)，若為常數(shù)，稱 線性無關(guān)(2) 定理2 若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，則就是該方程的通解。(3) 定理3 設(shè)是二階線性非齊次方程的解，是的解，則是方程的解。(4) 定理4 設(shè)是二階線性非齊次微分方程的特解，是與其對應(yīng)的齊次方程的通解，則為方程的通解。1、 常系數(shù)二階線性齊次方程 （1）求通解的步驟如下：(1)、寫出（1）的特征方

21、程（2）寫出特征方程的兩個根（3）按照下列規(guī)律寫出（1）的通解（7）環(huán)境影響評價的結(jié)論。實根二、環(huán)境影響評價的要求和內(nèi)容實根2、 常系數(shù)二階線性非齊次方程 （1） 寫出對應(yīng)的齊次方程（2）（3） D.可能造成輕度環(huán)境影響、不需要進行環(huán)境影響評價的建設(shè)項目，應(yīng)當(dāng)填報環(huán)境影響登記表寫出齊次方程的通解（4） 寫出的一個特解（5） 即為的通解。 （1）報送審批綜合性規(guī)劃草案和專項規(guī)劃中的指導(dǎo)性規(guī)劃草案時，將環(huán)境影響篇章或者說明一并報送。 3、 其中為實常數(shù)，為x的n次多項式 特解可設(shè)為= 其中為x的n次多項式，k按是否為特征方程的根來確定：（三）環(huán)境影響評價的原則 （2）規(guī)劃編制機關(guān)在報送審批專項規(guī)劃草案時，將環(huán)境影響報告書一并附送。4、環(huán)境影響