試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)分析第一次作業(yè)習(xí)題答案

1、習(xí)題 答案1設(shè)用三種方法測(cè)定某溶液時(shí)，得到三組數(shù)據(jù)，其平均值如下：x1=(1.54±0.01)mol/Lx2=(1.7±0.2)mol/Lx3=(1.537±0.005)mol/L試求它們的加權(quán)平均值。解：根據(jù)數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差計(jì)算權(quán)重：w1=10.012，w2=10.22，w3=10.0052因?yàn)閣1:w2:w3=400:1:1600所以X=1.54×400+1.7×1+1.537×1600400+1+1600=1.5376812試解釋為什么不宜用量程較大的儀表來測(cè)量數(shù)值較小的物理量。答：因?yàn)橛昧砍梯^大的儀表來測(cè)量數(shù)值較小的物理量時(shí)，所

2、產(chǎn)生的相對(duì)誤差較大。如3測(cè)得某種奶制品中蛋白質(zhì)的含量為(25.3±0.2)g/L，試求其相對(duì)誤差。解： ER=mm=0.225.3=0.79%4在測(cè)定菠蘿中維生素C含量的測(cè)試中，測(cè)得每100g菠蘿中含有18.2mg維生素C，已知測(cè)量的相對(duì)誤差為0.1%，試求每100g菠蘿中含有維生素C的質(zhì)量范圍。解：ER=mm=0.1%，所以m=m×ER=18.2×0.1%=0.0182mg所以m的范圍為18.1818mg<m<18.2182mg或依據(jù)公式mt=m×1±ER=18.2×1±0.1%mg5今欲測(cè)量大約8kPa（表壓

3、）的空氣壓力，試驗(yàn)儀表用1）1.5級(jí)，量程0.2MPa 的彈簧管式壓力表；2）標(biāo)尺分度為1mm的U型管水銀柱壓差計(jì)；3）標(biāo)尺分度為1mm的U形管水柱壓差計(jì)。求最大絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。解：1）壓力表的精度為1.5級(jí)，量程為0.2MPa，則xmax=0.2×1.5%=0.003MPa=3KPaER=xx×100%=38×100%=3.75×10-1=37.5%2）1mm汞柱代表的大氣壓為0.133KPa，所以xmax=0.133KPaER=xx×100%=0.1338×100%=1.6625×10-2=1.6625%3）1mm水

4、柱代表的大氣壓：gh，其中g(shù)=9.80665m/s2，通常取g=9.8m/s2則xmax=9.8×10-3KPaER=xx×100%=9.8×10-38×100%=1.225×10-36在用發(fā)酵法生產(chǎn)賴氨酸的過程中，對(duì)產(chǎn)酸率（%）作6次評(píng)定。樣本測(cè)定值為3.48，3.37，3.47，3.38，3.40，3.43，求該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值、標(biāo)準(zhǔn)差s、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差s2、總體方差s2、算術(shù)平均誤差和極差R。解：數(shù)據(jù)計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果3.48算術(shù)平均值 x=x1+x2+xnn3.4216673.37幾何平均值 xG=nx1x2x

5、n3.4214073.47調(diào)和平均值 H=n1x1+1x2+1xn=ni=1n1xi或 1H=1x1+1x2+1xnn=i=1n1xin3.4211483.38標(biāo)準(zhǔn)樣本差 s=i=1n(xi-x)n-1=i=1ndi2n-1=i=1nxi2-(i=1nxi)2/nn-10.0462243.40總體標(biāo)準(zhǔn)差 =i=1n(xi-x)n=i=1ndi2n=i=1nxi2-(i=1nxi)2/nn0.0421973.43樣本方差 s20.002137總體方差 20.001781算術(shù)平均誤差 =i=1n|xi-x|n=i=1n|di|n0.038333極差 R=xmax-xmin0.117A與B兩人用同一

6、種分析方法測(cè)定金屬鈉中的鐵，測(cè)得鐵含量（g/g）分別為：分析人員A：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0，4.0，6.0，6.0，8.0分析人員B：7.5，7.5，4.5，4.0，5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0試問A與B兩人測(cè)定鐵的精密度是否有顯著性差異？（=0.05）解：依題意，檢驗(yàn)A與B兩人測(cè)定鐵的精密度是否有顯著性差異，采用F雙側(cè)檢驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)值計(jì)算出兩種方法的方差以及F值：sA2=3.73，sB2=2.30F=sA2sB2=1.62根據(jù)顯著性水平=0.05，dfA=9，dfB=9查F分布表得F0.9759，9=0.248，F(xiàn)0.0259，9=4.03。所以

7、F0.9759，9<F<F0.0259，9，A與B兩人測(cè)定鐵的方差沒有顯著差異，即兩人測(cè)定鐵的精密度沒有顯著性差異。分析人員A分析人員B87.587.5104.510465.56847.567.565.588F-檢驗(yàn) 雙樣本方差分析分析人員A分析人員B平均7.26.55方差3.7333333332.302778觀測(cè)值1010df99F1.621230398P(F<=f) 單尾0.24144058F 單尾臨界3.1788931048用新舊兩種工藝冶煉某種金屬材料，分別從兩種冶煉工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽樣，測(cè)定產(chǎn)品中的雜質(zhì)含量（%），結(jié)果如下：舊工藝（1）：2.69，2.28，2.57

8、，2.30，2.23，2.42，2.61，2.64，2.72，3.02，2.45，2.95，2.51；新工藝（2）：2.26，2.25，2.06，2.35，2.43，2.19，2.06，2.32，2.34試問新冶煉工藝是否比舊工藝生產(chǎn)更穩(wěn)定，并檢驗(yàn)兩種工藝之間是否存在系統(tǒng)誤差？（=0.05）解：工藝的穩(wěn)定性可用精密度來表征，而精密度可由極差、標(biāo)準(zhǔn)差或方差等表征，這里依據(jù)方差來計(jì)算。s12=0.0586，s22=0.0164，由于s12>s22，所以新的冶煉工藝比舊工藝生產(chǎn)更穩(wěn)定。（依據(jù)極差：R1=3.02-2.28=0.74，R2=2.43-2.06=0.37，同樣可以得到上述結(jié)論）（依

9、據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差s1=0.242103，s2=0.128106）檢驗(yàn)兩種工藝之間是否存在系統(tǒng)誤差，采用t檢驗(yàn)法。1）先判斷兩組數(shù)據(jù)的方差是否有顯著性差異。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出各自的平均值和方差：x1=2.5685，s12=0.0586x2=2.2511，s22=0.0164故F=s12s22=0.05860.0164=3.5731已知n1=13，n2=9，則df1=12，df2=8，根據(jù)顯著性水平=0.05，查F分布表得F0.0512，8=3.28，F(xiàn)>F0.0512，8，兩方差有顯著差異。舊工藝新工藝2.692.262.282.252.572.062.302.352.232.432.422.19

10、2.612.062.642.322.722.343.022.452.952.51F-檢驗(yàn) 雙樣本方差分析舊工藝新工藝平均2.5684615382.251111111標(biāo)準(zhǔn)差0.2421034960.128105859方差0.0586141030.016411111觀測(cè)值139df128F3.571610854P(F<=f) 單尾0.039724983F 單尾臨界3.283939006t-檢驗(yàn): 雙樣本異方差假設(shè)舊工藝新工藝平均2.5684615382.251111111方差0.0586141030.016411111觀測(cè)值139假設(shè)平均差0df19t Stat3.988050168P(T&

11、lt;=t) 單尾0.000393697t 單尾臨界1.729132812P(T<=t) 雙尾0.000787395t 雙尾臨界2.0930240542）進(jìn)行異方差t檢驗(yàn)t=x1-x2s12n1+s22n2=3.988df=(s12n1+s22n2)2(s12n1)2(n1+1)+(s22n2)2(n2+1)-2=0.058613+0.0164920.058613213+1+0.0164929+1-222.4667-220根據(jù)顯著性水平=0.05，查單側(cè)t分布表得t0.02520=2.086，所以t>t0.02520，則兩種工藝的平均值存在差異，即兩種工藝之間存在系統(tǒng)誤差。備注：實(shí)

12、驗(yàn)方差分析是單側(cè)檢驗(yàn)：因?yàn)榉讲罘治霾幌癫町愶@著檢驗(yàn)，方差分析中關(guān)心的只是組間均方是否顯著大于組內(nèi)均方或誤差均方。目的是為了區(qū)分組間差異是否比組內(nèi)差異大的多，因?yàn)橹挥写蟮枚?，才能證明實(shí)驗(yàn)的控制條件是否造成了顯著的差異， 方差齊性中F檢驗(yàn)要用到雙側(cè)檢驗(yàn)，因?yàn)橐吹氖欠裼酗@著性差異，而沒有說是要看有差異時(shí)到底是誰大于誰，所以沒有方向性。9用新舊兩種方法測(cè)得某種液體的黏度（mPas）如下：新方法：0.73，0.91，0.84，0.77，0.98，0.81，0.79，0.87，0.85舊方法：0.76，0.92，0.86，0.74，0.96，0.83，0.79，0.80，0.75其中舊方法無系統(tǒng)誤差。試

13、在顯著性水平（=0.05）時(shí)，檢驗(yàn)新方法是否可行。解：檢驗(yàn)新方法是否可行，即檢驗(yàn)新方法是否有系統(tǒng)誤差，這里采用秩和檢驗(yàn)。先求出各數(shù)據(jù)的秩，如表所示。秩123456.56.589101112131415161718新0.730.770.790.810.840.850.870.910.98舊0.740.750.760.790.800.830.860.920.96此時(shí)，n1=9，n2=9，n=18，R1=1+5+6.5+9+11+12+14+15+18=91.5R2=2+3+4+6.5+8+10+13+16+17=79.5對(duì)于=0.05，查秩和臨界值表，得T1=66，T2=105，由于T1<R

14、1<T2，故，兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，新方法無系統(tǒng)誤差，可行。T檢驗(yàn)成對(duì)數(shù)據(jù)的比較新方法舊方法di(di-d)20.730.76-0.030.002075310.910.92-0.010.000653090.840.86-0.020.00126420.770.740.030.000208640.980.960.021.9753E-050.810.83-0.020.00126420.790.7900.000241980.870.80.070.00296420.850.750.10.00713086di 0.140.01582222d=din0.015556sd=(di-d)2n-10.0444

15、7221d0=00.34978145n=9t=d-d0sd×n1.04934436對(duì)于=0.05，查表t0.0258=2.306，所以t<t0.0258，即兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，新方法無系統(tǒng)誤差，可行。10對(duì)同一銅合金，有10個(gè)分析人員分析進(jìn)行分析，測(cè)得其中銅含量（%）的數(shù)據(jù)為：62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.25，71.33，71.38（%）。問這些數(shù)據(jù)中哪個(gè)（些）數(shù)據(jù)應(yīng)被舍去，試檢驗(yàn)？（=0.05）解：1）拉依達(dá)（Pata）檢驗(yàn)法檢驗(yàn)62.20計(jì)算包括62.20在內(nèi)的平均值x=69.967及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=2.79計(jì)算dp

16、=xp-x=62.20-69.967=7.7672s=2×2.79=5.58比較dp和2s，dp>2s，依據(jù)拉依達(dá)檢驗(yàn)法，當(dāng)=0.05時(shí)，62.20應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)69.49計(jì)算包括69.49在內(nèi)的平均值x=70.83及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.615計(jì)算dp=xp-x=69.49-70.83=1.342s=2×0.615=1.23比較dp和2s，dp>2s，依據(jù)拉依達(dá)檢驗(yàn)法，當(dāng)=0.05時(shí)，69.49應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)70.30計(jì)算包括70.30在內(nèi)的平均值x=70.9975及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.3798計(jì)算dp=xp-x=70.30-70.9975=0.69752s=2

17、5;0.3798=0.7596比較dp和2s，dp<2s，依據(jù)拉依達(dá)檢驗(yàn)法，當(dāng)=0.05時(shí)，69.49不應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)71.38計(jì)算包括71.38在內(nèi)的平均值x=70.9975及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.3798計(jì)算dp=xp-x=71.38-70.9975=0.38252s=2×0.3798=0.7596比較dp和2s，dp<2s，依據(jù)拉依達(dá)檢驗(yàn)法，當(dāng)=0.05時(shí)，71.38不應(yīng)該舍去。2）格拉布斯（Grubbs）檢驗(yàn)法檢驗(yàn)62.20計(jì)算包括62.20在內(nèi)的平均值x=69.967及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=2.79，查表得G0.05,10=2.176G0.05, 10s=2.176×

18、2.79=6.07104計(jì)算dp=xp-x=62.20-69.967=7.767>6.07104=G0.05, 10s所以62.20應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)69.49計(jì)算包括69.49在內(nèi)的平均值x=70.83及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.615，查表得G0.05,9=2.110G0.05，9s=2.110×0.615=1.29765計(jì)算dp=xp-x=69.49-70.83=1.34>1.29765=G0.05,9s所以69.49應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)70.30計(jì)算包括70.30在內(nèi)的平均值x=70.9975及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.3798，查表得G0.05,8=2.032計(jì)算G0.05,9s=2.032

19、×0.3798=0.77175計(jì)算dp=xp-x=70.30-70.9975=0.6975<0.77175=G0.05,8s69.49不應(yīng)該舍去。檢驗(yàn)71.38計(jì)算包括71.38在內(nèi)的平均值x=70.9975及標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.3798，查表得G0.05,8=2.032計(jì)算G0.05,9s=2.032×0.3798=0.77175計(jì)算dp=xp-x=71.38-70.9975=0.3825<0.77175=G0.05,8s當(dāng)=0.05時(shí)，71.38不應(yīng)該舍去。3）狄克遜（Dixon）檢驗(yàn)法應(yīng)用狄克遜雙側(cè)情形檢驗(yàn)：對(duì)于62.20和71.38，n=10，計(jì)算D=xn-

20、xn-1xn-x2=71.38-71.3371.38-69.49=0.026455026D'=x2-x1xn-1-x1=69.49-62.2071.33-62.20=0.79846659當(dāng)=0.05，對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，查出臨界值D0.9510=0.530，由于D'>D，且D'>D1-n，故最小值62.20應(yīng)該被舍去。舍去62.20后，對(duì)剩余的9個(gè)數(shù)據(jù)（n=9）進(jìn)行狄克遜雙側(cè)檢驗(yàn)：D=xn-xn-1xn-x2=71.38-71.3371.38-70.30=0.0462963D'=x2-x1xn-1-x1=70.30-69.4971.33-69.49=0.40804598當(dāng)=0.05，對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，查出臨界值D0.959=0.604，由于D'>D，且D'<D1-n，沒有異常值。單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，查表得到臨界值D