2.1.1橢圓的定義與標準方程ppt課件

1、仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓“傳說中的飛碟傳說中的飛碟生活中的橢圓“嫦娥二號于2019年10月1日18時59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空 2F1F MM 探求：探求： 2F1FM 在在平平面面內內到到兩兩定定點點的的距距離離之之和和等等于于定定長長( (大大于于兩兩定定點點距距離離) )的的點點的的軌軌跡跡叫叫做做橢橢圓圓。要要素素：( (1 1) )平平面面內內( (2 2) )兩兩定定點點 不不重重合合 ( (3 3) )常常數數大大 于于兩兩定定 點點的的距距離離 2F1FM 在在平平面面內內到到兩兩定定點點的的距距離離之之和和等等于于定定長長( (大大于于兩兩定定點點距距離

2、離) )的的點點的的軌軌跡跡叫叫做做橢橢圓圓。思思考考：與與圓圓相相比比其其定定義義有有何何聯(lián)聯(lián)系系與與區(qū)區(qū)別別？oyx 1F 2F),(yxM oyx 1F 2F),(yxM M F F 1 F F 2 歸納概念歸納概念回憶圓標回憶圓標準方程推準方程推導步驟導步驟 提出了問題就要試著解決問題提出了問題就要試著解決問題.怎么推導橢圓的標準方程呢？ 求動點軌跡方程的一般步驟：求動點軌跡方程的一般步驟：1、建立適當的坐標系，用有序實數對、建立適當的坐標系，用有序實數對（x,y表示曲線上任意一點表示曲線上任意一點M的坐標的坐標;2、寫出適合條件、寫出適合條件 PM） ;3、用坐標表示條件、用坐標表示

3、條件PM），列出方程），列出方程 ; 4、化方程為最簡形式。、化方程為最簡形式。 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy準繩：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；準繩：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸直線作為坐標軸.).)(對稱、對稱、“簡簡約約”)如圖，建立直角坐標系如圖，建立直角坐標系xOy，使使x軸經過點軸經過點F1、F2，并且，并且點點O與線段與線段F1F2的中點重合的中點重合.設點設點M(

4、x, y)是橢圓上任一點，是橢圓上任一點，橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0).2. 橢圓標準方程的推導：橢圓標準方程的推導：講授新課講授新課oyx 1F 2F),(yxM xF1F2M(x , y)0y設M (x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0) . M與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣化簡？）（問題：下面怎樣化簡？）aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxMFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件：由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程2

5、22222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方橢圓的標準方程(ab0).12222byax橢圓的標準方程：橢圓的標準方程：是是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且，且c2a2b2.它所表示的橢圓的焦點在它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦

6、點軸上，焦點講授新課講授新課oyx 1F 2F),(yxM 講授新課講授新課 如果使點如果使點F1、F2在在y軸上，點軸上，點F1、F2的坐標是的坐標是F1(0,c)、F2(0, c)，則橢圓方程為：則橢圓方程為：(ab0).12222 bxayoyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP12222 byax12222 bxay如何根據標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？如何根據標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？ 橢圓的方程 012222 babyax與與 222210yxabab 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上 橢圓標準方程中橢圓標準方程中x2項的分母較大；項的分母較大；

7、橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸上軸上 橢圓標準方程中橢圓標準方程中y2項的分母較大項的分母較大橢圓的方程OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標準方程的特點：橢圓的標準方程的特點：（1橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。（3由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。（4橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。橢圓的標準方程橢圓的標準方程定義定義圖形圖形方程方程焦點焦點a、b、c之之間的關間

8、的關系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)a2=b2+c2分母哪個大，焦點就在哪一根坐標軸上分母哪個大，焦點就在哪一根坐標軸上 22221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，則a ，b ；5346口答：則a ，b ；則a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx2例.求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：(1)橢圓方程具有

9、形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac兩焦點坐標為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為42 a,10|21 PFPF如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標準方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例4. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標準方程8|21FF1169144222 yx）11625122 yx）答答:在在 x 軸上軸上(-3,0)和和(3,0）答答:在在 y 軸上軸上(0,-5)和和(0,5）1132222 mymx）答答:在在y 軸上軸上(0,-1)和和(0,

10、1)焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。判定下列橢圓的焦點在判定下列橢圓的焦點在 哪個軸上，寫出焦點坐標。哪個軸上，寫出焦點坐標。2.用定義判斷下列動點用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。的軌跡是否為橢圓。(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為的距離之和為6的點的軌跡。的點的軌跡。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為4的點的軌跡。的點的軌跡。(4)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為3的點的軌跡。的點的軌跡。因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故點，故點M的軌跡為橢圓。的軌跡為橢圓。因因|MF1|+

11、|MF2|=4=|F1F2|=4，故點，故點M的軌跡不是橢圓的軌跡不是橢圓 (是線段是線段F1F2)。，故故點點MM的的軌軌跡跡為為橢橢圓圓2 22 2| |F FF F| |3 3| |MMF F| | |MMF F| |因因2 21 12 21 1 (3)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為3的點的軌跡。的點的軌跡。因因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故點，故點M的軌跡不存在。的軌跡不存在。例例1、橢圓的兩個焦點的坐標分別是、橢圓的兩個焦點的坐標分別是(4, 0 )、( 4 , 0 )，橢圓上一點橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10,求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 12yoFFMx解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為: 1=by+ax22221=9y+25x22) 0ba (例例2、兩個焦點的坐標分別是、兩個焦點的坐標分別是0，-2）、（）、（0，2） 并且橢圓經過點（并且橢圓經過點（-3/2，5/2）,求橢圓的方程。求橢圓的方程。解：已知焦點為解：已知