第九章微分方程

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念9.2 一階微分方程一階微分方程9.4 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用9.3 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程第九章第九章 微分方程微分方程 9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定義二、微分方程的解 含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)(或微分或微分)的函數(shù)方程的函數(shù)方程, 稱為微分方程稱為微分方程. 微分方程中微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 稱為微分方稱為微分方程的階程的階.定義定義9.1一、微

2、分方程的定義例如，例如，,xyy , 0dd)(2 xxtxt,e32xyyy yxxz 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .例例1著名的科學(xué)家伽利略在當(dāng)年研究落體運(yùn)動(dòng)時(shí)著名的科學(xué)家伽利略在當(dāng)年研究落體運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn), xt 時(shí)刻下落的距離為時(shí)刻下落的距離為如果自由落體在如果自由落體在則則,dd22是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù)加速度加速度tx即有方程即有方程)19(dd22 gtx從而解得落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律從而解得落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律:,21)(2gttx 這是微分方程應(yīng)用的最早的一個(gè)例子這是微

3、分方程應(yīng)用的最早的一個(gè)例子.例例2),(tPt 時(shí)刻人口數(shù)量為時(shí)刻人口數(shù)量為設(shè)某地區(qū)在設(shè)某地區(qū)在在沒有人員在沒有人員遷入或遷出的情況下遷入或遷出的情況下, 時(shí)刻人口數(shù)時(shí)刻人口數(shù)人口增長率與人口增長率與 t,)( 成正比成正比tP于是有微分方程于是有微分方程)29()(d)(d trPttP,為常數(shù)為常數(shù)其中其中r方程表述的定律稱為群體增長的馬爾方程表述的定律稱為群體增長的馬爾薩斯律薩斯律.例例3在推廣某項(xiàng)新技術(shù)時(shí)在推廣某項(xiàng)新技術(shù)時(shí), 若設(shè)該項(xiàng)技術(shù)需要推廣若設(shè)該項(xiàng)技術(shù)需要推廣,N的總?cè)藬?shù)為的總?cè)藬?shù)為),(tPt為為時(shí)刻已掌握技術(shù)的人數(shù)時(shí)刻已掌握技術(shù)的人數(shù)則則新技術(shù)推廣的速度與已推廣人數(shù)和尚待推廣

4、人數(shù)成新技術(shù)推廣的速度與已推廣人數(shù)和尚待推廣人數(shù)成正比正比, 即有微分方程即有微分方程)39()0()(dd aPNaPtP在很多領(lǐng)在很多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用域有廣泛應(yīng)用.形如形如 的方程通常稱為邏輯斯諦方程的方程通常稱為邏輯斯諦方程, )39( 例例4,Pt 的售價(jià)為的售價(jià)為若設(shè)某商品在時(shí)刻若設(shè)某商品在時(shí)刻社會(huì)對(duì)該商品社會(huì)對(duì)該商品),(),(PSPDP 的函數(shù)的函數(shù)是是的需求量和供給量分別的需求量和供給量分別則則的變化率可認(rèn)為與該的變化率可認(rèn)為與該對(duì)于時(shí)間對(duì)于時(shí)間時(shí)刻價(jià)格時(shí)刻價(jià)格在在ttPt)(,)()(成正比成正比求量求量商品在同時(shí)刻的超額需商品在同時(shí)刻的超額需PSPD 即即有微分方程有微分方程

5、)49()0()()(dd kPSPDktP,)()(確定的情況下確定的情況下和和在在PSPD的關(guān)的關(guān)可解出價(jià)格與可解出價(jià)格與 t.系系未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程定義為常微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程定義為常微分方程;未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程定義為偏微分方程未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程定義為偏微分方程.微分方程的一般形式是微分方程的一般形式是常常階階)(n)59(0),()( nyyyxF般形式：般形式：階線性常微分方程的一階線性常微分方程的一n)69()()()()(1)1(1)( xfyxayxayxaynnnn不能表示成形如不能表示成形如 形式的微分方程，統(tǒng)稱為非形式的微分方

6、程，統(tǒng)稱為非線性方程線性方程.)69( 定義定義9.2.)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上存在上存在在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)nIxy ,)59()(后后代入方程代入方程如果將如果將 xy I在在使方程使方程)59( ,上為恒等式上為恒等式上上在在是方程是方程則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixy)59()( 的解的解. yyx所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)如果關(guān)系式如果關(guān)系式0),( ,)59()(的解的解是方程是方程 x )59(0),( 是方程是方程則稱則稱yx .上的隱式解上的隱式解在區(qū)間在區(qū)間 I二、微分方程的解可以驗(yàn)證，可以驗(yàn)證，.)19(),(21,21212122的解的解都是方程都是方程是任意常數(shù)是任意常數(shù)函數(shù)函

7、數(shù) CCCtCgtxgtx.)29()(e)(的解的解是方程是方程為是任意常數(shù)為是任意常數(shù)函數(shù)函數(shù) CCtPrt.)39()(e式解式解的隱的隱是方程是方程為是任意常數(shù)為是任意常數(shù) CCPNPaNt微分方程的解與隱式解都統(tǒng)稱為微分方程的解微分方程的解與隱式解都統(tǒng)稱為微分方程的解.)79(21212 CtCgtx其中包含兩個(gè)任意常數(shù)，其中包含兩個(gè)任意常數(shù)，. )0(, )0(21xCxC .)19()79(所有解的一般表達(dá)式所有解的一般表達(dá)式是方程是方程 例例1中，考慮自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由積分法和二階方程中，考慮自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由積分法和二階方程 可得可得)19( 定義定義9.3求特解的步驟：求特

8、解的步驟：然后再根據(jù)實(shí)際然后再根據(jù)實(shí)際情況給出確定通解中情況給出確定通解中n個(gè)常數(shù)的條件個(gè)常數(shù)的條件,稱為定解條件稱為定解條件,最后根據(jù)定解條件求出滿足條件的特解最后根據(jù)定解條件求出滿足條件的特解.由定解條件求特解的問題，稱為微分方程的定解問題由定解條件求特解的問題，稱為微分方程的定解問題.而通解中而通解中則稱這樣的解為方程則稱這樣的解為方程 的通解的通解.如果方程如果方程 的解中含有的解中含有n個(gè)獨(dú)立的任意個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，常數(shù)，)59( )59( 給任意常數(shù)以確定值的解給任意常數(shù)以確定值的解, 稱為方程稱為方程 的特解的特解.)59( 首先要求出方程首先要求出方程 的通解，的通解，)59(

9、 常見的定解條件是常見的定解條件是)89(,)(,)(,)(10)1(1000 nnyxyyxyyxy.,)89(110常數(shù)常數(shù)為給定為給定其中其中又稱為初始條件又稱為初始條件 nyyy相應(yīng)的定解問題又稱為微分方程的初值問題相應(yīng)的定解問題又稱為微分方程的初值問題.作業(yè)作業(yè)P 9.2 一階微分方程一、可分離變量方程二、齊次微分方程三、一階線性微分方程一階微分方程的形式可表為一階微分方程的形式可表為)99(0),( yyxF一、可分離變量方程.,),(的已知函數(shù)的已知函數(shù)是是其中其中yyxyyxF 形如形如)109(d)(d)( yygxxf的一階微分方程的一階微分方程, 稱為可分離變量方程稱為可

10、分離變量方程.對(duì)對(duì)（9-10）兩邊積分兩邊積分, , 得通解得通解 )119(d)(d)( Cyygxxf 將微分方程化為分離變量形式求解方程的方法，將微分方程化為分離變量形式求解方程的方法，稱為稱為分離變量法分離變量法. ., )()(ddyhxxy 例例如如.0d)()(d)()(2121 xyNxNyyMxM均為可分離變量方程均為可分離變量方程.例例1.)1()1(2dd22的通解的通解求方程求方程yxxy 解解分離變量分離變量, 得得xxyyd)1(2d1122 兩邊積分兩邊積分, 得得 xxyyd)1(2d1122即得通解即得通解Cxy 3)1(32arctan)( 為任意常數(shù)為任意

11、常數(shù)C例例2.d3d3d42的通解的通解求方程求方程yyxyyxx 解解合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng), 得得yxyxxd)1(3d42 分離變量分離變量, 得得yyxxxd3d142 兩邊積分兩邊積分, 得得.ln43)1ln(22Cyx 即有通解即有通解2432e1yCx )(為正常數(shù)為正常數(shù)C例例3.0,0,41)0(,)(dd yNaNyyNayxy式中式中的特解的特解以及以及的通解的通解求解邏輯斯蒂方程求解邏輯斯蒂方程解解分離變量分離變量, xayNyyd)(d 即有即有xaNyyNydd11 兩邊積分兩邊積分, 得得CaNxyNylnln aNxCeln ,0 yNy由于由于整理得通解整理得

12、通解NaxNaxCCNye1e )( 為正常數(shù)為正常數(shù)C,41)0(代入代入將將Ny ,31 C得得于是所求特解為于是所求特解為.e3eNaxNaxNy 例例4, ):( )(百萬元百萬元單位單位年凈資產(chǎn)有年凈資產(chǎn)有某公司某公司tWt并且并且,%5的速度連續(xù)增長的速度連續(xù)增長資產(chǎn)本身以每年資產(chǎn)本身以每年同時(shí)該公司每同時(shí)該公司每年要以年要以30百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.;)()1(的微分方程的微分方程給出描述凈資產(chǎn)給出描述凈資產(chǎn)tW;,)2(0W這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為求解方程求解方程解解(1) 利用平衡法利用平衡法,即由即由凈資產(chǎn)增長速度凈資產(chǎn)增

13、長速度= 資產(chǎn)本身增長速度資產(chǎn)本身增長速度 職工工資支付速度職工工資支付速度.)(,700,600,500)3(0化特點(diǎn)化特點(diǎn)的變的變?nèi)N情況下三種情況下討論在討論在tWW 得到方程得到方程3005. 0dd WtW(2) 分離變量分離變量, 得得tWWd05. 0600d 積分積分, 得得CtWln05. 0600ln )( 為正常數(shù)為正常數(shù)C于是于是tCW05. 0e600 或或)(e60005. 0CAAWt ,)0(0代入代入將將WW 得方程通解得方程通解:tWW05. 00e )600(600 ,600 W上式推導(dǎo)過程中上式推導(dǎo)過程中,600時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) W, 0dd tW,6000WW

14、 可知可知通常稱為平衡解通常稱為平衡解, 仍包含在通解表達(dá)式中仍包含在通解表達(dá)式中.(3) 由通解表達(dá)式可知由通解表達(dá)式可知,5000百萬元時(shí)百萬元時(shí)當(dāng)當(dāng) W凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減, 公司將在第公司將在第36年破產(chǎn)年破產(chǎn);,6000百萬元時(shí)百萬元時(shí)當(dāng)當(dāng) W公司將收支平衡公司將收支平衡, 凈資產(chǎn)保持凈資產(chǎn)保持在在600百萬元不變百萬元不變;公司凈資產(chǎn)公司凈資產(chǎn)百萬元時(shí)百萬元時(shí)當(dāng)當(dāng),7000W將按指數(shù)不斷增長將按指數(shù)不斷增長. 1. 齊次微分方程齊次微分方程形如形如)129(dd xyfxy的一階微分方程的一階微分方程, 稱為齊次微分方程稱為齊次微分方程, 簡稱齊次方程簡稱齊次方程.二、

15、齊次微分方程例如例如,0d)2(d)(22 yxyxxyxyxyxyxyxy2dd22 .212 xyxyxy所以該方程是齊次方程所以該方程是齊次方程.)139( xuyxyu或或令令, )(xuuu 是新的未知函數(shù)是新的未知函數(shù)其中其中uuxy uufxux )(dd的解法：的解法：齊次方程齊次方程 xyfxydd分離變量再積分，得分離變量再積分，得 xxuufud)(d)149(ln Cx代入方程代入方程 ，得，得)129( ,回代回代將將xyu .即可得通解即可得通解,a當(dāng)有常數(shù)當(dāng)有常數(shù), 0)( aaf使使,是新方程的解是新方程的解則則au ,代回原方程代回原方程.axy 得齊次方程的

16、特解得齊次方程的特解注意注意例例5.tan的通解的通解求方程求方程xyxyy 解解所給方程為齊次方程所給方程為齊次方程, ,xyu 令令代入原方程代入原方程, 得得,tanuuuux 即即uxuxtandd 分離變量分離變量, 得得xCCxulnlnlnsinln xxuud1dcot 積分積分, 得得即即Cxu sin,代入上式代入上式將將xyu 即得方程通解即得方程通解Cxxy sin)arcsin(Cxxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例6.0d)32(d)2(2323的通解的通解求方程求方程 xyxyyxyx解解將方程改寫為齊次方程將方程改寫為齊次方程232132dd xyxyx

17、yxy,xyu 令令則有則有,212323uuuuux 即即2212dduuxux 分離變量分離變量, 得得xxuuudd21 積分積分, 得得Cxuulnln21ln212 即即,e22Cxuu 2CC ,回代回代將將xyu 得方程通解得方程通解322eCxyxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例7.,dd,2112122112212121的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式與與求求的彈性為的彈性為相對(duì)于相對(duì)于且價(jià)格且價(jià)格相關(guān)相關(guān)與與價(jià)格價(jià)格已知已知的售價(jià)分別為的售價(jià)分別為和商品和商品設(shè)商品設(shè)商品PPPPPPPPPPPPPPPPBA 解解所給方程為齊次方程所給方程為齊次方程, 整理得整理得21212

18、12111ddPPPPPpPP ,21PPu 令令則有則有uuuuuP 112分離變量分離變量, 得得222d2d11PPuuu 積分積分, 得得CPuulnlnln122 ,21回代回代將將PPu 于是有通解于是有通解2112ePCPPP .為任意正的常數(shù)為任意正的常數(shù)其中其中C2. 可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程,)159(dd111的微分方程的微分方程形如形如 cybxacbyaxfxy為齊次方程為齊次方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc，令令kYyhXx ,dd,ddYyXx 否則為非齊次方程否則為非齊次方程. . 11111ddckbhaYbXacbkahbYaXfXY解法解法.

19、是待定的常數(shù)是待定的常數(shù)及及其中其中kh原方程成為原方程成為 , 0, 0111ckbhacbkah,11babaD 系數(shù)行列式系數(shù)行列式有唯一一組解有唯一一組解. .,dd11 YbXabYaXfXY得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( D未必有解未必有解, , 上述方法不能用上述方法不能用. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b.1中必至少有一個(gè)為零中必至少有一個(gè)為零與與ba方程組方程組, 0)1(11 babaD,11 bbaa令令,)(dd1 cbyaxcbyaxfxy 方程可化為方程可化為,byaxz 令令，則則xybaxzdddd .dd11 czczfaxzb , 0 b若若可分離變

20、量的微分方程可分離變量的微分方程. ., 0, 01 ab若若,dd1dd axzbxy,dd11 cczfaxzb可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,byaxz 令令可分離變量可分離變量. .例例8.42dd的通解的通解求方程求方程 yxxyxy解解因?yàn)橐驗(yàn)?1111 D, 0 于是由方程于是由方程 42 解得解得, 1, 3 則令則令1,3 vyux方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閡vuvuv dd,uvw 再令再令得得11 wwwuw分離變量分離變量, 得得uuwwwdd112 積分得積分得Cuwwlnln)1ln(21arctan2 ,31, 3代入上式代入上式將將 xy

21、wxu得原方程通解得原方程通解,e)1()3(31arctan22 xyCyx.為任意正的常數(shù)為任意正的常數(shù)其中其中C形如形如)169()()( xQyxPy的一階微分方程的一階微分方程, 稱為一階線性微分方程稱為一階線性微分方程, 其中其中, 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)槿羧?0)( xQ)179(0)( yxPy則稱方程則稱方程(9-17)為一階齊次線性方程為一階齊次線性方程,)(不恒等于零不恒等于零若若xQ三、一階線性微分方程則稱方程則稱方程 為一階非齊次線性方程為一階非齊次線性方程.)169( . 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy 分離變量，得分離變量，得兩端積分，得兩端積分，得,lnd

22、)(lnCxxPy 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為)189(.ed)( xxPCy1. 一階齊次線性方程的解法一階齊次線性方程的解法可可分離變量的方程分離變量的方程.為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C2. 一階非齊次線性方程的解法一階非齊次線性方程的解法的通解變形為的通解變形為（將方程將方程)179 ,ed)(CyxxP 兩邊求導(dǎo)，得兩邊求導(dǎo)，得,0)(eeddd)(d)( yxPyyxxxPxxP得得利用上面的等式利用上面的等式兩端同乘兩端同乘將方程將方程,e)169(d)( xxP,)(edd)(ed)(d)(d)( xxPxxPxxPexQyxyxPy兩邊積分，得兩邊積

23、分，得,de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP的通解的通解（即得方程即得方程)169 )199(.de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP,ed)(因子法因子法求解方程的方法叫積分求解方程的方法叫積分這種利用因子這種利用因子 xxP.ed)(稱為積分因子稱為積分因子 xxP, )(xCC 換換成成待待定定函函數(shù)數(shù)將將的步驟：的步驟：（求解方程求解方程)169 的通解的通解（對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程（求出方程求出方程)179)169 ,ed)( xxPCy的通解為的通解為（即令方程即令方程)169 )209(,e )(d)( xxPxCy代入原方程，得代入原方程，得, )(

24、e )()(e )()(e )(d)(d)(d)(xQxCxPxPxCxCxxPxxPxxP 這種通過將齊次方程通解中任意常數(shù)變易為待這種通過將齊次方程通解中任意常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法. .)219(,de )()(d)( CxxQxCxxP即即得得. )199()169)209 的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式（即得方程即得方程，（代入代入例例9.12的通解的通解求方程求方程 xyyx解解由方程對(duì)應(yīng)的齊次方程由方程對(duì)應(yīng)的齊次方程02 xyyx分離變量分離變量, 得得xxyyd1d1 積分積分, 得得xCyCxy 或或lnlnln),(xCC 變易為變易為將將

25、,)(為原方程的解為原方程的解設(shè)設(shè)xxCy 代入原方程代入原方程, 得得1)()(11)(22 xxCxxCxxxCx即有即有,1)(xxC 積分積分, 得得CxxC ln)(于是原方程的通解為于是原方程的通解為)(ln1Cxxy .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例10.0d)12(d23的通解的通解求方程求方程 yxyxy解解,的函數(shù)時(shí)的函數(shù)時(shí)看作看作當(dāng)將當(dāng)將xy方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?321ddxyyxy 不是一階線性微分方程不是一階線性微分方程, 不便求解不便求解.,的函數(shù)的函數(shù)看作看作若將若將yx方程改寫為方程改寫為12dd23 xyyxy則為一階線性微分方程則為一階線性微分方程, 于是對(duì)

26、應(yīng)齊次方程為于是對(duì)應(yīng)齊次方程為02dd23 xyyxy分離變量分離變量, 積分積分, 得得,d2d yyxx21yCx 即即,C變易常數(shù)變易常數(shù)即令即令21)(yyCx 為原方程的解為原方程的解, 代入原方程代入原方程, 有有,1)(yyC 積分積分, 得得.ln)(CyyC 于是原方程的通解為于是原方程的通解為)(ln12Cyyx .為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C例例11. )(,)0(,22922,2, )()(0tybyybabtatyybttytyt求求均為正常數(shù)均為正常數(shù)其中其中）（并有方程并有方程有關(guān)有關(guān)以及新增投資以及新增投資的增長率與產(chǎn)值的增長率與產(chǎn)值時(shí)刻產(chǎn)值時(shí)刻產(chǎn)值設(shè)某企業(yè)設(shè)

27、某企業(yè) 解解atyty2dd 分離變量分離變量, 積分積分, 得得2eatCy ,e )(2attCy 方程方程 對(duì)應(yīng)的齊次方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程為)229( 變易常數(shù)變易常數(shù), 令令 的通解為的通解為)229( 代入原方程代入原方程,積分積分, 得得得得,e2)(2atbttC CabtCat 2e)(2e)(atCabty ,)0(0代入通解代入通解將初始條件將初始條件yy 得得abyC 0所以所求產(chǎn)值函數(shù)為所以所求產(chǎn)值函數(shù)為.e)(20atabyabty 于是方程于是方程 的通解為的通解為)229( 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPxy)()(d

28、d )239()1,0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. . 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程. .時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1,0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1,0 n伯努利方程解法伯努利方程解法: :經(jīng)過變量代換化為線性微分方程經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .3. 伯努利方程伯努利方程,1 nyz 令令，則則xyynxzndd)1(dd ),()(dd1xQyxPxyynn )249(, )()1()()1(dd xQnzxPnxz代入即得代入即得求出通解后，將求出通解后，將nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )de )1)(ed)()1(d)()1(1 CxnxQzyxxP

29、nxxPnn所以所以例例12.)(ln2dd2的通解的通解求方程求方程yxxyxy 解解,2y將方程兩端除將方程兩端除得得xyxxyyln2dd12 ,1 yz令令則方程化為則方程化為xzxxzln2dd 其通解為其通解為.1ln2 xxCxz,1代入代入將將 yz所求方程的通解為所求方程的通解為11ln2 xxCyx.為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9.3 二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性方程二、二階常系數(shù)非齊次線性方程三、n 階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) )259(0 byyay形如形如稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,

30、.,為已知常數(shù)為已知常數(shù)其中其中ba一、二階常系數(shù)齊次線性方程稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 形如形如時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階齊次線性微分方程稱為二階齊次線性微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程例如，例如，,sincos線性無關(guān)線性無關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xx,ee線性無關(guān)線性無關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xxx.222線性相關(guān)線性相關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xx,cos1sin22線性相關(guān)線性相關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xx 定義定義9.4內(nèi)的兩個(gè)函內(nèi)的兩個(gè)函為定義在為定義在設(shè)設(shè)),()(, )(21baxyxy數(shù)數(shù)., )(

31、)(,21xkyxyk 使得使得如果存在非零常數(shù)如果存在非零常數(shù) 則稱則稱,)(, )(21線性相關(guān)線性相關(guān)xyxy,k如果對(duì)于任意常數(shù)如果對(duì)于任意常數(shù))(1xy, )(2xky.)(, )(21線性無關(guān)線性無關(guān)則稱則稱xyxy定理定理9.1的兩個(gè)線性的兩個(gè)線性是方程是方程設(shè)設(shè))259()(, )(21 xyxy則則無關(guān)的解無關(guān)的解,)269()()()(2211 xyCxyCxy.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例如例如, 有兩個(gè)特解，有兩個(gè)特解，方程方程0 yy,cos1xy ,sin2xy 它們是線性無關(guān)的它們是線性無關(guān)的.sincos21xCxCy xxyycossin12 且且

32、xtan 常數(shù)，常數(shù)， 故方程的通解為故方程的通解為是方程是方程 的通解的通解,)259( ,為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)?和它的各階導(dǎo)數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)x e.都只相差一個(gè)常數(shù)因子都只相差一個(gè)常數(shù)因子得得求導(dǎo)求導(dǎo)將將,exy ,exy ,e2xy 所以所以)279(02 ba 是上方程的根，是上方程的根，只要只要 .e就是微分方程的解就是微分方程的解xy ,中中代代入入齊齊次次線線性性微微分分方方程程把把yyy 0e )(2 xba , 0e x 由于由于,2422, 1baa 特征特征方程的方程的根為根為.02的特征方程的特征方程稱為齊次線性微分方程稱為齊次線性微分方程方程方程

33、ba 特征根的三種不同情況討論：特征根的三種不同情況討論：,)1(21 與與實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)不同的特征方程有兩個(gè)不同的, 042 ba,2421baa 有有.2422baa 方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;ee2121xxCCy ,)2(21 實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)相同的特征方程有兩個(gè)相同的, 042 ba,221b 有有,e12xxy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為,e11xy 得一個(gè)解為得一個(gè)解為,12常數(shù)常數(shù)由于由于 xyy,21線性無關(guān)線性無關(guān)則則yy得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)289(e )(121 xxCCy ,e11

34、xy ,e22xy ,i1 , )0(i2 通過直接驗(yàn)證可知，通過直接驗(yàn)證可知，,cose1xyx ,sine2xyx 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)299().sincos(e21 xCxCyx 根：根：特征方程有一對(duì)共軛復(fù)特征方程有一對(duì)共軛復(fù))3(, 042 ba是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解, 二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟: :(1) (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個(gè)根求出特征方程的兩個(gè)根; 02 ba (3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況根據(jù)特征

35、方程的兩個(gè)根的不同情況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21 21 ，特征方程的兩個(gè)根特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解微分方程的通解21, 兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)不相等的實(shí)根21 兩個(gè)相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根 i2, 1 一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根xxCCy21ee21 xxCCy1e )(21 )sincos(e21xCxCyx 例例1.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為022 ,2,121為兩個(gè)相異實(shí)根為兩個(gè)相異實(shí)根其特征根其特征根 所以所以所給方程的通解為所給方程的通解為xxCCxy221ee)( .,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中

36、其中CC例例2.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為0122 ,1為二重實(shí)根為二重實(shí)根其特征根其特征根 所以所給方程的通解為所以所給方程的通解為xxCCxy e )()(21.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例例3.20,為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)的解都是以的解都是以使方程使方程試確定常數(shù)試確定常數(shù) ayya解解方程的特征方程為方程的特征方程為02 a 于是容易得到于是容易得到:,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a方程的通解為方程的通解為xaxaCCxy ee)(21,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a方程的通解為方程的通解為21)(CxCxy 方程的通解為方程的通解為,sincos)(21xaCxaCx

37、y ,2 為周期為周期要使方程的解均以要使方程的解均以,22 a只要只要即得即得.1 a以上通解均不是周期函數(shù)以上通解均不是周期函數(shù), ,0 a故故,i時(shí)時(shí)并有并有a 形如形如)309()( xfbyyay的方程的方程, 稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中其中.0)(, xfba為已知常數(shù)為已知常數(shù)二、二階常系數(shù)非齊次線性方程xAxAxf sincos)(. 321 ：形形式式常常見見的的幾幾種種)(xf)()(. 1xPxfn xnxPxf e )()(. 2 通常稱方程通常稱方程 為方程為方程)259( 對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 . )309( 定

38、理定理9.2)319()()()309(,)259()309(,)309()( xyYxyYxy的通解為的通解為則方程則方程的通解的通解對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程方程方程是是的一個(gè)特解的一個(gè)特解是方程是方程如果如果定理定理9.3,)()()()(2121的特解的特解和和分別為方程分別為方程與與如果如果xfbyyayxfbyyayxyxy ,0的通解的通解是方程是方程 byyayY）（則則329)()()(21 xyxyYxy是方程是方程)339()()(21 xfxfbyyay的通解的通解.非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為*,yYy 關(guān)鍵：如何求非齊次線性微分方程特解關(guān)鍵

39、：如何求非齊次線性微分方程特解特點(diǎn)：特點(diǎn)：.*來來不用積分就可以求出不用積分就可以求出 y待定系數(shù)法待定系數(shù)法：先確定解的形式，再把形式解代入方：先確定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而求出方程求出方程 的特解的特解.)309( )349()()()()( xPxbQxQaxQn, )(*xQy 設(shè)特解為設(shè)特解為,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,)(次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)為為nxQ)(*xQyn ,0,0時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) ab,1)(次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)為為 nxQ即即設(shè)設(shè)即即設(shè)設(shè))()(*xxQxQyn ,0,0時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) ab.)

40、(直直接接積積分分得得到到直直接接由由方方程程xPyn ,21110 xaxaxaxannnn ,1110nnnnaxaxaxa 型型方方程程)(. 1xPbyyayn 有等式有等式代入原方程后代入原方程后,例例4.322的通解的通解求方程求方程 xyy解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCYsincos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為,2120axaxay 210,aaa為待定常數(shù)為待定常數(shù),代入所給方程代入所給方程, 得得322221200 xaxaxaa比較同冪次項(xiàng)系數(shù)比較同冪次項(xiàng)系數(shù), 得得, 20 a, 01 a72 a于是于是, 722 xy方程通解為方程通

41、解為72sincos221 xxCxCy.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC)359()()()()()2()(2 xPxQbaxQaxQn ,e)(*xxQy 設(shè)特解為設(shè)特解為有等式有等式代入原方程后代入原方程后,征根征根不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特即即 ,02 ba 當(dāng)當(dāng)),()(xQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為xnnnnaxaxaxa e)(1110 型型方方程程xnxPbyyay e)(. 2 xnxQy e)(* , 02 ba 當(dāng)當(dāng),02時(shí)時(shí)且且 a ,是對(duì)應(yīng)齊次方程的單根是對(duì)應(yīng)齊次方程的單根即即 ),(1)(xxQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)

42、項(xiàng)式式為為 xnnnnxaxaxaxa e)(21110 xnxxQy e)(* , 02 ba 當(dāng)當(dāng),02時(shí)時(shí)且且 a ,根根是對(duì)應(yīng)齊次方程的二重是對(duì)應(yīng)齊次方程的二重即即 , )(2)(2xQxnxQn次待定系數(shù)多項(xiàng)式次待定系數(shù)多項(xiàng)式為為 xnnnnxaxaxaxa e)(2311120 xnxQxy e)(*2 綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時(shí)綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時(shí) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 , 2, 1, 0k,e)(*xnkxQxy 設(shè)特解為設(shè)特解為例例5.e322的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCy

43、e )(21設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為,e )(223140 xxaxaxay ,210為待定系數(shù)為待定系數(shù)其中其中aaa代入所給方程代入所給方程, 有有2212032612xaxaxa 比較同冪次項(xiàng)系數(shù)比較同冪次項(xiàng)系數(shù), 得得,410 a021 aa于是得于是得,e414xxy 方程的通解為方程的通解為xxxxCCy e41e )(421.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC, )sincos(*21xaxaxyk 設(shè)特解為設(shè)特解為,i根時(shí)根時(shí)為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征當(dāng)當(dāng) ,1 k型型方方程程xAxAbyyay sincos. 321 .0 k否則否則,e)sin

44、cos(*21xkxaxaxy 設(shè)特解為設(shè)特解為,i根時(shí)根時(shí)為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征當(dāng)當(dāng) ,1 k型型方方程程xxAxAbyyay e)sincos(. 421 .0 k否則否則例例6.sine22的通解的通解求方程求方程xyyyx 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為xxaxay221e)sincos( ,21為待定系數(shù)為待定系數(shù)其中其中aa代入所給方程代入所給方程, 有有xxaaxaasinsin)3(cos)3(2121 xxCCY221ee 于是于是 得得xxxy2esin101cos103 所給方程的通解是所給方程的通解是.

45、esin101cos103ee2221xxxxxCCy 例例7.2cos24的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為042 解得解得, i 21 , i 22 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY2sin2cos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為, )2sin2cos(21xaxaxy ,21為待定系數(shù)為待定系數(shù)其中其中aa,2cos,2sin的系數(shù)的系數(shù)比較比較xx.0,2112 aa得得于是于是, 得得xxy2sin21 所給方程的通解是所給方程的通解是.2sin212sin2cos21xxxCxCy 代入所給方程代

46、入所給方程, 有有xxaxa2cos22sin42cos412 )369()()()()(1)1(1)( xfyxayxayxaynnnn變?yōu)樽優(yōu)閯t則如果如果)369(,0)( xf n 階線性微分方程的一般形式為階線性微分方程的一般形式為.)(),(,),(),(21的已知函數(shù)的已知函數(shù)都是都是其中其中xxfxaxaxan三、n 階線性微分方程解的結(jié)構(gòu))379(0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn稱之為稱之為 n 階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程. . 稱為稱為 n 階非齊次線性微分方程，階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性方程，

47、簡稱非齊次線性方程，,0)( xf如果如果定義定義9.5),()(),(),(21baxyxyxyn是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間設(shè)設(shè),內(nèi)的一組函數(shù)內(nèi)的一組函數(shù),21nkkk數(shù)數(shù)如果存在不全為零的常如果存在不全為零的常使得等式使得等式0)()()(2211 xykxykxyknn,),(內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在區(qū)間在區(qū)間ba,),(),(21xyxy則稱函數(shù)組則稱函數(shù)組,)(是線性相關(guān)的是線性相關(guān)的xyn,1k的數(shù)的數(shù)如果對(duì)于任意不全為零如果對(duì)于任意不全為零,2nkk 內(nèi)總有內(nèi)總有在區(qū)間在區(qū)間),(ba0)()()(2211 xykxykxyknn.)(,),(),(21線性無關(guān)線性無關(guān)則稱則稱xyxyx

48、yn定理定理9.4都是方程都是方程如果函數(shù)如果函數(shù))(,),(),(21xyxyxym,)379(的解的解 則則)()()()(2211xyCxyCxyCxymm .,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中mCCC定理定理9.5階齊次階齊次是是如果函數(shù)如果函數(shù)nxyxyxyn)(,),(),(21,)379(個(gè)線性無關(guān)的特解個(gè)線性無關(guān)的特解的的線性方程線性方程n 則則)389()()()()(2211 xyCxyCxyCxynn個(gè)任意個(gè)任意是是其中其中nCCCn,21也是方程也是方程 的解的解, )379( 是方程是方程 的通解的通解, )379( .常數(shù)常數(shù)定理定理9.6的的是非齊次線性方程是非齊

49、次線性方程如果如果)369()( xy,一個(gè)特解一個(gè)特解,)379(的通解的通解是對(duì)應(yīng)齊次方程是對(duì)應(yīng)齊次方程 Y則則)399()( yYxy例如，例如，,sin,cos, 122xx函數(shù)函數(shù). 0sincos122 xx故它們?cè)谡麄€(gè)數(shù)軸上是故它們?cè)谡麄€(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的線性相關(guān)的上就有恒等式上就有恒等式在在),( , 1, 1321 kkk取取是非齊次線性方程是非齊次線性方程 的通解的通解.)369( 定理定理9.7分別是非齊次線性方程分別是非齊次線性方程如果如果)(, )(21xyxy )()()()(11)1(1)(xfyxayxayxaynnnn )()()()(21)1(1)(xfyx

50、ayxayxaynnnn 的特解的特解.,)379(的通解的通解是對(duì)應(yīng)齊次方程是對(duì)應(yīng)齊次方程 Y則則)409()(21 yyYxy是非齊次線性方程是非齊次線性方程)()()()()(211)1(1)(xfxfyxayxayxaynnnn 的通解的通解.)419()(1)1(1)( xfyayayaynnnnn階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為都是常數(shù)都是常數(shù)其中其中nnaaaa,121 其對(duì)應(yīng)的特征方程為其對(duì)應(yīng)的特征方程為)439(0111 nnnnaaa )429(01)1(1)( yayayaynnnn n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為階常系數(shù)齊次線性

51、微分方程的一般形式為根據(jù)特征方程的根的不同情況根據(jù)特征方程的根的不同情況, ,按照下列規(guī)則按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解寫出微分方程的通解特征方程的根特征方程的根項(xiàng)項(xiàng)微分方程通解中的對(duì)應(yīng)微分方程通解中的對(duì)應(yīng)r單實(shí)根單實(shí)根rk 重實(shí)根重實(shí)根i2, 1 rk 重復(fù)根重復(fù)根一對(duì)一對(duì)rxCe給給出出一一項(xiàng)項(xiàng)：)sincos(e21xCxCx 給出兩項(xiàng)：給出兩項(xiàng)：i2, 1 r一對(duì)單復(fù)根一對(duì)單復(fù)根)(e121 kkrxxCxCCk項(xiàng)：項(xiàng)：給出給出sin)(cos)(e2121121xxDxDDxxCxCCkkkkkx 項(xiàng)：項(xiàng)：給出給出可設(shè)為可設(shè)為的常見類型的常見類型對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)*,)(yxf n 階非齊次線

52、性微分方程的特解求法階非齊次線性微分方程的特解求法)(xf*yk的的重重?cái)?shù)數(shù)特特征征根根 xmxP e)(xBxA sincos xxBxA e )sincos( xmkxQx e)()sincos(21xaxaxk xkxaxax e )sincos(21 的重?cái)?shù)的重?cái)?shù)特征根特征根i 的的重重?cái)?shù)數(shù)特特征征根根i 例例8.5)4(的通解的通解求方程求方程 xyy解解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為024 解得解得, )2(0重重 , i 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.sincos)(4321xCxCxCCY 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為),(2bax

53、xy代入方程有代入方程有526 xbax比較系數(shù)比較系數(shù), 得得 ,61 a,25 b于是于是.256123xxy 從而得到所給方程的通解從而得到所給方程的通解2343212561sincos)(xxxCxCxCCxy .,4321為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CCCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9.4 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、新產(chǎn)品的推廣模型二、價(jià)格調(diào)整模型三、人才分配問題模型, )(,txt 時(shí)刻的銷量為時(shí)刻的銷量為市場市場設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向)449()(dd xNkxtx,N定的市場容量定的市場容量考慮到產(chǎn)品銷售存在一考慮到產(chǎn)品銷售

54、存在一,同時(shí)同時(shí)于是有于是有一、新產(chǎn)品的推廣模型,品品每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳由于產(chǎn)品性能良好由于產(chǎn)品性能良好因此因此,)(dd成正比成正比與與時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長率時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長率txtxt,統(tǒng)計(jì)表明統(tǒng)計(jì)表明,)(dd也成正比也成正比客潛在的銷售量客潛在的銷售量與尚未購買該產(chǎn)品的顧與尚未購買該產(chǎn)品的顧txNtx .0為比例系數(shù)為比例系數(shù)其中常數(shù)其中常數(shù) k分離變量，積分，可以解得分離變量，積分，可以解得）（459e1)( kNtCNtx也稱為邏輯斯蒂曲線也稱為邏輯斯蒂曲線.由由22)e1(eddkNtkNtCkCNtx 以及以及33222)e1()1e(eddkNtkNtk

55、NtCCNCktx 方程方程 也稱為邏輯斯蒂模型，也稱為邏輯斯蒂模型，)449( 通解表達(dá)式通解表達(dá)式)459( ,*)(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,01e* kNtC當(dāng)當(dāng),2*)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,2)(*時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Ntx ,的一半時(shí)的一半時(shí)量量即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求N,銷售速度不斷增大銷售速度不斷增大.銷售速度逐漸減少銷售速度逐漸減少,一半時(shí)一半時(shí)當(dāng)銷量不足當(dāng)銷量不足 N,當(dāng)銷量超過一半時(shí)當(dāng)銷量超過一半時(shí),0dd tx則有則有.)(單調(diào)增加單調(diào)增加即銷量即銷量tx,2*)(時(shí)時(shí)即即Ntx ;0dd22 tx;0dd22 tx,產(chǎn)品最為暢銷產(chǎn)品最為暢銷.從市場供求關(guān)系從市場供求關(guān)系商

56、品的價(jià)格變化主要服商品的價(jià)格變化主要服,的單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)是價(jià)格是價(jià)格商品供給量商品供給量一般地一般地PS.的單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)商品需求量是價(jià)格商品需求量是價(jià)格 P求函數(shù)分別為求函數(shù)分別為設(shè)商品的供給函數(shù)和需設(shè)商品的供給函數(shù)和需,)(bPaPS )469()( PPD .0,0, bba且且均為常數(shù)均為常數(shù)其中其中當(dāng)供給量和需求量相等時(shí)當(dāng)供給量和需求量相等時(shí),二、價(jià)格調(diào)整模型由由 可得供求平衡時(shí)的價(jià)格可得供求平衡時(shí)的價(jià)格)469( baPe .為均衡價(jià)格為均衡價(jià)格并稱并稱eP,一般地說一般地說,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DS ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DS .商品價(jià)格要落商品價(jià)格要落的變化率的變化率時(shí)刻的價(jià)格

57、時(shí)刻的價(jià)格假設(shè)假設(shè)因此因此)(,tPt,成正比成正比與超額需求量與超額需求量SD 于是有于是有)()(ddPSPDktP .,數(shù)數(shù)用來反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整系用來反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整系其中其中0 k方程方程,可得可得)479()(dd PPtPe ,商品價(jià)格要漲商品價(jià)格要漲將將 代入代入)469( ,0)( kb 其中常數(shù)其中常數(shù)方程方程(9-47)(9-47)的通解為的通解為teCPtP e)(,)(00PP 假設(shè)初始價(jià)格假設(shè)初始價(jià)格代入上式代入上式 , 得得,ePPC 0于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為teePPPtP e )()(0,知知由由0 ).()(,ePtPt時(shí)時(shí)將逐漸趨將逐漸趨實(shí)際價(jià)格實(shí)際價(jià)格說明隨著時(shí)間不斷推延說明隨著時(shí)間不斷推延)(,tP.eP近均衡價(jià)格近均衡價(jià)格 每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍,其余人員將分配到國民經(jīng)濟(jì)其其余人員將分配到國民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.),(txt1年教師人數(shù)為年教師人數(shù)為設(shè)設(shè)目目科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)),(tx2為為,個(gè)畢業(yè)生個(gè)畢業(yè)生個(gè)教員每年平均培養(yǎng)個(gè)教員每年平均培養(yǎng)又設(shè)又設(shè) 1每年每年調(diào)出調(diào)出理崗位上退休、死亡或理崗位上退休、死亡或從教育、科技和經(jīng)濟(jì)管從教育、科