強(qiáng)烈推薦高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)選修

1、第一章 導(dǎo)數(shù)1.1 導(dǎo)數(shù)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivative function)(簡稱導(dǎo)數(shù))：f'x=y'=limx0fx+x-fxx函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)：f'x0=y'=limx0fx0+x-fx0x1.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1. f(x)=c (c為常數(shù))，f(x)=02. f(x)=xn ，f(x)=nxn-1 3. fx=sinx ，fx= cosx4. f(x)=cosx ，f(x)= -sinx5. f(x)=ax ，f(x)=axlna 6. f(x)=ex，f(x)=exfx=lnx ，

2、則f'x=1xfx=logax ，則f'(x)=1xlna導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：fx±gx'=f'(x)±g'(x)fxgx'=f'xgx+f(x)g'(x)fxgx'=f'xgx-f(x)g'(x)gx2 (g(x)0)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'ux'即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積。1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>

3、0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。極大值點(diǎn)(如x=a)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值小，該點(diǎn)的函數(shù)值叫做極大值；極小值點(diǎn)(如x=b)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值大，該點(diǎn)的函數(shù)值叫做極小值。極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值(extreme value)。注意：極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。*導(dǎo)數(shù)值為0是該點(diǎn)取得極值點(diǎn)的必要不充分條件。一般地，求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是：解方程f(x)=0，當(dāng)f(x0)=0時(shí)：(1) 如果

4、在x0附近的左側(cè)f(x0)>0，右側(cè)f(x0)<0，那么f(x0)是極大值；(2) 如果在x0附近的左側(cè)f(x0)<0，右側(cè)f(x0)>0，那么f(x0)是極小值。一般地，求函數(shù)y=f(x)在a，b的最大值與最小值的步驟：(1) 求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2) 將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。1.5.3 定積分的概念(1)分割 (2)近似代替 (3)作和 (4)取極限一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0<x1<<xi-1<xi&

5、lt;<xn=b將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi-1，xi上任取一點(diǎn)i(i=1，2，n)，作和式i=1nf(i)x=i=1nb-anf(i)當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分(definite integral)，記作abf(x)dx，即abf(x)dx=limni=1nb-anf(i)這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。定積分的幾何意義：從幾何上看，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分abf(x)dx表示由直

6、線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分的性質(zhì)：abkf(x)dx=kabf(x)dx (k為常數(shù))abf1(x)±f2(x)dx=abf1(x)dx±abf2(x)dxabf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx (其中a<c<b)i=1ni3=13+23+n3=14n2(n+1)21.5 微積分一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x)，那么abfxdx=Fx|ab=Fb-F(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛頓-

7、萊布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）。第二章 推理與證明推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。2.1.1 合情推理e.g. (1) 哥德巴赫(Goldbach)猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；(2) 費(fèi)馬(Fermat)猜想：任何形如22n+1 (nN*)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)(善于計(jì)算的歐拉(Euler)發(fā)現(xiàn)第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)F5=225+1=4294967297=641×6700417，從而推翻了費(fèi)馬的猜想)；(3)地圖的“四色猜想”；(4)歌尼斯堡七橋猜想）根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的

8、推理統(tǒng)稱為合情推理(plausible reasoning)。合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明。得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論；證明一個(gè)結(jié)論之前或探索一個(gè)問題，合情推理能為我們提供證明或解決問題的思路和方向。2.1.1.1 歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理)。（抽樣調(diào)查是一種歸納）2.1.1.2 類比(analogy)由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（由特殊到

9、特殊的推理）。類比直角三角形的勾股定理，在直三棱錐（三條棱兩兩垂直的棱錐）中，有：直三棱錐中三個(gè)側(cè)面的面積的平方和等于底面面積的平方，即S底2=S12+S22+S32Quotations“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題。”波利亞(Polya)“合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭議的和暫時(shí)的?！辈ɡ麃啞拔艺湟曨惐葎龠^任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密?！遍_普勒(Kepler，15711630)“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”拉普拉斯(Laplace，1749-1827)2.1.2 演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的

10、結(jié)論，這種推理稱為演繹推理(demonstrative reasoning)。演繹推理是由一般到特殊的推理。演繹推理具有證明結(jié)論，整理和構(gòu)建知識體系的作用，是公理體系中的基本推理方法?！叭握摗保⊿yllogism）（由亞里士多德創(chuàng)立，他還提出用演繹推理來建立各門學(xué)科體系的思想）是演繹推理的一般模式，包括：(1) 大前提已知的一般原理；（如果大前提是顯然的，則可以省略）(2) 小前提所研究的特殊情況；(3) 結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的。公理化方法：盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題(公理、共設(shè))，以此為出發(fā)點(diǎn)，

11、應(yīng)用演繹推理，推出盡可能多的結(jié)論。*直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。類比三角形的余弦定理，可得四面體的余弦定理：SBCD=SVBCcos1+SVCDcos2+SVBDcos3SBCD2=SVBC2+SVBD2+SVCD2-2SVBCSVBDcos1-2SVBCSVCDcos2-2SVBDSVCDcos32.2 直接證明與間接證明2.2.1 綜合法和分析法（直接證明中最基本的兩種方法）一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(synthetical method)，又叫順推證法或由因?qū)ЧāＳ肞表示已知條件

12、、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可表示為：*解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等，還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來。一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種方法叫做分析法(analytical method)，又叫逆推法或執(zhí)果索因法。用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可表示為：在解決問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法與分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間

13、結(jié)論P(yáng)；若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立。用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則該過程可表示為：2.2.2 反證法一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(reduction to absurdity)，或叫歸謬法。反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等。反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具。數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱贊它：“歸謬法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器，比起象棋開局犧牲一

14、子以取得優(yōu)勢的讓棋法，它還要高明。象棋對弈者不外犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓予對方！”2.3 數(shù)學(xué)歸納法（mathematical induction）多米諾骨牌的類比（只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就都能倒下）：(1) 第一塊骨牌倒下；(2) 任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1) (歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0N+)時(shí)命題成立；(2) (歸納遞推)假設(shè)n=k (kn0，kN+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。

15、可表示為：歸納奠基歸納遞推第三章 復(fù)數(shù)3.1.1 復(fù)數(shù)的概念形如a+bi (a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)(complex number)，其中i叫做虛數(shù)單位(imaginary unit)。全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集(set of complex numbers)。復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi (a，bR)，這一形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式(algebraic form of complex number)，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部(real part)與虛部(imaginary part)。復(fù)數(shù)z實(shí)數(shù) (b=0)虛數(shù)b0 (當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù))規(guī)定：復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a

16、=c且b=d用建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。一一對應(yīng)平面向量OZ一一對應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z或說成向量OZ，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|；|z|=|a+bi|=r=a2+b2 (r0，rR)3.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算3.2.1 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義z1±z2=a+bi±c+di=a±c+(b±d)i復(fù)數(shù)加法交換律、結(jié)合律

17、：z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)兩個(gè)向量的和(差)就是與該兩向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)之和(差)所對應(yīng)的向量。因此，復(fù)數(shù)的加減法可以按照向量的加減法來進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。3.2.2 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算z1z2=a+bic+di=ac-bd+(ad+bc)i復(fù)數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律：z1z2=z2z1(z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)(conjugate complex number)。虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 z復(fù)數(shù)的除法法則：z1÷z2=a+bi÷c+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i (c+di0，即除數(shù)不為0)“實(shí)數(shù)化因式”(分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，使分母“實(shí)數(shù)化”*代數(shù)基本定理(fundamental theorem of algebra)：任何n (nN*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。推論1：任何n (nN*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的