數(shù)學(xué)思想與方法考試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上模擬題一一、填空題（每題5分.共25分）1算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā).能夠得到這一問題的正確解）。3所謂數(shù)形結(jié)合方法.就是在研究數(shù)學(xué)問題時.（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題）的一種思想方法。5古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理.以幾何原本為代表；一種是長于計算和實際應(yīng)用.以（九章算術(shù)）為典范。7數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映.是數(shù)學(xué)中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn).它表現(xiàn)為（數(shù)學(xué)的各個分支相互滲透和相互結(jié)合）的趨勢。9學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程一般有三個主要階段：（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段）。二、判斷

2、題（每題5分.共25分。在括號里填上是或否）1計算機是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物.又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。 （ 是 ） 2抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系。 （ 否 ）3一個數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證明。 （ 否）4貫穿在整個數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩個思想.一是公理化思想.一是機械化思想。 （ 是）5提出一個問題的猜想是解決這個問題的終結(jié)。 （否）三、簡答題（每題10分.共50分）1為什么說幾何原本是一個封閉的演繹體系？答：因為在幾何原本中.除了推導(dǎo)時所需要的邏輯規(guī)則外.每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯

3、上對概念下定義的要求.原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個封閉的演繹體系。另外.幾何原本的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關(guān)的應(yīng)用問題.因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說.它也是封閉的。所以.幾何原本是一個封閉的演繹體系。2為什么說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人？答：因為在中國漢代的古算書九章算術(shù)中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)模型。九章算術(shù)將246個題目歸結(jié)為九類.即九種不同的數(shù)學(xué)模型.分列為九章。它在每一章中所設(shè)置的問題.都是從大量的實際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型.然后再通過“術(shù)”(即算法)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)

4、學(xué)史上是最早的。因此.我們說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人。3什么是類比猜想？并舉一個例子說明。答：人們運用類比法.根據(jù)一類事物所具有的某種屬性.得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷.即猜想.這種思想方法稱為類比猜想。例如.分式與分?jǐn)?shù)非常相似.只不過是用字母替代數(shù)而已。因此.我們可以猜想.分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應(yīng)相似的。4簡述表層類比.并用舉例說明。答：表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差.結(jié)論具有很大的或然性。例如.從類比出是錯誤的.而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。又如.由三角形內(nèi)角平

5、分線性質(zhì).類比得到三角形外角平分線性質(zhì).就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。5數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進原則？試舉例說明。答：數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握.它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學(xué)生對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運用中形成的.是從個別到一般.從具體到抽象.從感性到理性.從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。例如.學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時.要求學(xué)生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。模擬題二一、填空題（每題3分.共30分）1在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué).而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的

6、（幾何原本）。2隨機現(xiàn)象的特點是（在一定條件下.可能發(fā)生某種結(jié)果.也可能不發(fā)生某種結(jié)果）。3演繹法與（歸納法）被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。4在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是（簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則）是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶.是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂.它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。6三段論是演繹推理的主要形式.它由（大前提、小前提、結(jié)論）三部分組成。7傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重（形式化數(shù)學(xué)知識）的傳授. 而忽略對知識發(fā)生過程中（數(shù)學(xué)思想方法）的挖掘。8特殊化方法是指在研究問題中.（從對象的一個給定集合出發(fā).進而考慮某個包含于該集合的較小集合）的思想方法。

7、9分類方法的原則是（不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一、按層次逐步劃分）。10數(shù)學(xué)模型可以分為三類：（概念型、方法型、結(jié)構(gòu)型）。二、判斷題（每題2分.共10分。在括號里填上是或否）1數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用。 （否）2在解決數(shù)學(xué)問題時.往往需要綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。 （是）3如果某一類問題存在算法.并且構(gòu)造出這個算法.就一定能求出該問題的精確解。（否）4分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。 （是）5在建立數(shù)學(xué)模型的過程中.不必經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。 （否）三、簡答題（每題6分.共30分）1我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？答：數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果.輕過程；重解題訓(xùn)練.輕智力、情感開發(fā)；

8、不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng).雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高.但是學(xué)習(xí)能力低下；重模仿.輕探索.學(xué)習(xí)缺少主動性.缺乏判斷力和獨立思考能力；學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效益不高.教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn).不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試.不少教師心存以量求質(zhì)的想法.造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。2幾何原本貫徹哪兩條邏輯要求？答：幾何原本貫徹了兩條邏輯要求。第一.公理必須是明顯的.因而是無需加以證明的.其是否真實應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗.但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的.因而無需加以定義。第二.由公理證明定理時.必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣.通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時.必須遵守下

9、定義的邏輯規(guī)則。3簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。答：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性；數(shù)學(xué)抽象具有層次性；數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺；數(shù)學(xué)的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象4什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。答：算法得有限性是指一個算法必須在有限步之內(nèi)終止。例如.對初始數(shù)據(jù)20和3.計算過程為無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束.同時也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程.我們只能得到一個近似的、不準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法。可見.十進小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。5簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理

10、由。答：由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后.知識教學(xué)雖然蘊含著思想方法.但是如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時.學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識.而注意不到處于深層的思想方法。因此.進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時必須以數(shù)學(xué)知識為載體.把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來.使之明朗化.才能通過知識教學(xué)過程達到思想方法教學(xué)之目的。四、解答題（每題15分.共30分）1(1)什么是類比推理？(2)寫出類比推理的表示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結(jié)論的可靠性？答：類比推理是指.由一類事物所具有的某種屬性.可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比推理的表示形式為：A具

11、有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此.B也可能具有性質(zhì)。盡量滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性：l A與B共同(或相似)的屬性盡可能多些；l 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性；l 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的不同方面.并且盡可能是多方面的；可遷移的屬性d應(yīng)是和屬于同一類型。2一個星級旅館有150個房間。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐.經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價為160元.住房率為55%；如果每間客房定價為140元.住房率為65%；如果每間客房定價為120元.住房率為75%；如果每間客房定價為100元.住房率為85%。欲使每天收入提高.問每間住房的定價應(yīng)是多少？答：弄清實際問題加以化

12、簡。經(jīng)分析.為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型.可作如下假設(shè)：l 設(shè)每間客房的最高定價為160元；l 根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù).設(shè)隨著房價的下降.住房率呈線性增長；l 設(shè)旅館每間客房定價相等。建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意.設(shè)表示旅館一天的總收入.為與160元相比降低的房價。由假設(shè).可得每降低1元房價.住房率增加為因此一天的總收入為 （1）由于。于是問題歸結(jié)為：當(dāng)時.求的最大值點.即求解(模型求解。將(1)左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響.因此可化為求的最大值點。利用配方法得易知當(dāng)=25時最大.因此可知最大收入對應(yīng)的住房定價為160元25元=135元相應(yīng)的住房率為0.55

13、+0.005×25=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)檢驗。容易驗證此收入在已知各種客房定價的對應(yīng)收入中確實是最大的.這可從下面表格中看出。定價160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理.那么定價140元也是可以的.因為這時它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價為180元.住房率為45%.其相應(yīng)收入只有12150元。由此可見假設(shè)是合理的。實際上二次函數(shù)在之內(nèi)只有一個極值點。數(shù)思一、簡答題 1、分別簡單敘說算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本

14、思想.并且比較 它們的區(qū)別。 答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量. 收集和整理各種已知的數(shù)據(jù).并依據(jù)問題的條件列出關(guān)于這些具 體數(shù)據(jù)的算式.然后通過四則運算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含 已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式.并按等量關(guān)系列出方程.然后通過對 方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。 它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量.而代數(shù) 解題允許未知的量參與運算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式.而 代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點.

15、簡單敘說確定數(shù) 學(xué)的局限。 答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象.一類是決定性 現(xiàn)象.另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條 件下.其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之 間存在著必然的聯(lián)系.所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。 隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下.可能發(fā)生某種結(jié)果. 也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對于這類現(xiàn)象.由于條件和結(jié)果之間不 存在必然性聯(lián)系。 在數(shù)學(xué)學(xué)科中.人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些 數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些的分支來定量地描述某些決定性 現(xiàn)象的運動

16、和變化過程.從而確定結(jié)果。但是由于隨機現(xiàn)象條件 和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系.因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量 描述。同時確定數(shù)學(xué)也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊 涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學(xué)的局限所在。二、論述題 1、論述社會科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。 答：從整個科學(xué)發(fā)展趨勢來看.社會科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必 然的趨勢.其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個方面： 第一.社會管理需要精確化的定量依據(jù).這是促使社會科學(xué) 數(shù)學(xué)化的最根本的因素。 第二.社會科學(xué)的各分支逐步走向成熟.社會科學(xué)理論體系 的發(fā)展也需要精確化

17、。 第三.隨著數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展.它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。 第四.電子計算機的發(fā)展與應(yīng)用.使非常復(fù)雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進行數(shù)值處理。 2、論述數(shù)學(xué)的三次危機對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。 答：第一次數(shù)學(xué)危機促使人們?nèi)フJ(rèn)識和理解無理數(shù).導(dǎo)致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。  第二次數(shù)學(xué)危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論.導(dǎo)致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。  第三次數(shù)學(xué)危機促使人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論.導(dǎo)致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。 由此

18、可見.數(shù)學(xué)危機的解決.往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容.新 的進展.甚至引起革命性的變革.這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史.斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。三、分析題 1、 分析幾何原本思想方法的特點.為什么？ 答：（1）封閉的演繹體系 因為在幾何原本中.除了推導(dǎo)時所需要的邏輯規(guī)則外. 每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過 的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上 對概念下定義的要求.原則上不再依賴其它東西。因此幾

19、何原 本是一個封閉的演繹體系。另外.幾何原本的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生 活有關(guān)的應(yīng)用問題.因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說.它也是 封閉的。所以.幾何原本是一個封閉的演繹體系。 （2）抽象化的內(nèi)容 ：幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題.它所探 討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系.不討論這些概念和命題 與社會生活之間的關(guān)系.也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。因此幾何原本的內(nèi)容是抽象的。（3）公理化的方法：幾何原本的第一篇中開頭5個公設(shè)和5個公理.是全書其 它命題證明的基本前提.接著給出23個定義.

20、然后再逐步引入 和證明定理。定理的引入是有序的.在一個定理的證明中.允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇 除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與 表述方法就是公理化方法。 2、分析九章算術(shù)思想方法的特點.為什么？ 答：（1）開放的歸納體系：從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出.它是以應(yīng)用問題解法集成 的體例編纂而成的書.因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放 體系。 在九章算術(shù)中通常是先舉出一些問題.從中歸納出某一 類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來.得到解決該領(lǐng)域中

21、60;各種問題的方法；最后.把解決各領(lǐng)域中問題的數(shù)學(xué)方法全部綜 合起來.就得到整個九章算術(shù)。另外該書還按解決問題的不同數(shù)學(xué)方法進行歸納.從這些 方法中提煉出數(shù)學(xué)模型.最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫入九章算 術(shù)。 因此.九章算術(shù)是一個開放的歸納體系。（2）算法化的內(nèi)容 ：九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個實際問題.并對每 個問題都給出答案.然后再給出“術(shù)”.作為一類問題的共同解 法。因此.內(nèi)容的算法化是九章算術(shù)思想方法上的特點之 一。 （3）模型化的方法 ：九章算術(shù)各章都是先從相應(yīng)的社會實踐中選擇具有典

22、60;型意義的現(xiàn)實原型.并把它們表述成問題.然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過 程.即先給出數(shù)學(xué)模型.然后再舉出可以應(yīng)用的原型。數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)2一、簡答題1、敘述抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認(rèn)識事物的過程中.舍棄那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性.抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性.形成科學(xué)概念.從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較.就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區(qū)分.則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來.利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與

23、收括.舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì).收括則是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來.并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念.同時也就形成了表示這個概念的詞.于是完成了一個抽象過程。2、敘述概括的含義及其過程。答：概括是指在認(rèn)識事物屬性的過程中.把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來.整理推廣到同類的全體事物.從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通常可分為經(jīng)驗概括和理論概括兩種。經(jīng)驗概括是從事實出發(fā).以對個別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ).上升為普遍的認(rèn)識由對個體特性的認(rèn)識上升為對個體所屬的種的特性的認(rèn)識。理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎(chǔ)上.由對種的特性的認(rèn)識上升為對種所屬的屬的特性

24、的認(rèn)識.從而達到對客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。3、簡述公理方法歷史發(fā)展的各個階段答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎(chǔ)開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的.現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”.從字面上看.應(yīng)可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學(xué)家們把待解決

25、或未解決的問題.通過某種轉(zhuǎn)化過程.歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去.最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程   可以令   .將原方程化為關(guān)于   的二次方程  這個方程我們會求其解： 和 .從而得到兩個二次方程： 和 這也是我們會求解的方程.解它們便得到原方程的解： . . . .這里所用的就是化歸方法。二、論述題1、敘述不完全歸納法的推理形式.并舉一個應(yīng)用不完全歸納法的

26、例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S= ；由于具有屬性p.具有屬性p.具有屬性p.因此推斷S類事物中的每一個對象都可能具有屬性p。2、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆篈具有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此.B也可能具有性質(zhì)。其中.分別相同或相似。欲提高類比的可靠性.應(yīng)盡量滿足條件：(1)A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的各個不同方面.并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性d應(yīng)該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比.其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提

27、高.但仍不能保證結(jié)論一定正確。3、試比較歸納猜想與類比猜想的異同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點是：他們都是一種猜想.即一種推測性的判斷.都是一種合情推理.其結(jié)論具有或然性.或者經(jīng)過邏輯推理證明其為真.或者舉出反例予以反駁。歸納猜想與類比猜想的不同點是：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想.是一種由特殊到一般的推理形式.其思維步驟為“特例歸納猜測”。類比猜想是運用類比法得到的猜想.是一種由特殊到特殊的推理形式.其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測”。三、設(shè)計題設(shè)計運用“猜想”進行數(shù)學(xué)教學(xué)的一個片斷。答：以“認(rèn)識長方形的對邊相等”為內(nèi)容.設(shè)計一個教學(xué)片斷。將教學(xué)過程設(shè)計成四個層次：讓學(xué)生說一說：我們周圍有哪些長

28、方形物體？學(xué)生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學(xué)生仔細觀察：看一看、想一想.這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察后.會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。教師進一步提出問題：同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時.學(xué)生會想出許多辦法.如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生通過量量、折折的具體操作.確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著.師生討論長方形“對邊”的含義.以及一個長方形有幾組對邊的問題。鞏固長方形對邊相等的認(rèn)識。利用多媒體展示下面的長方形：(3厘米)  &#

29、160;               （2厘米）（  ）教師提問：如何填寫括號內(nèi)的數(shù)字？為什么？要求學(xué)生會用“因為所以”句式回答。如“因為長方形的對邊相等.已知長方形的一條邊是3厘米.所以它的對邊也是3厘米?！?#160;數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計算和算法的含義。答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過程.是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用.計算的重要意義更加凸現(xiàn).主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)推動了數(shù)學(xué)

30、的應(yīng)用；(2)加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化進程；(3)促進了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個過程。所謂一個算法它實質(zhì)上是解決一類問題的一個處方.它包括一套指令.只要按照指令一步一步地進行操作.就能引導(dǎo)到問題的解決。在一個算法中.每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白.不會產(chǎn)生歧義.并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無算法的問題.因此.算法對數(shù)學(xué)中的許多問題的解決有著決定性作用。另外.算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式；(2)作為表述一個復(fù)雜過程

31、的方法；(3)減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學(xué)工具。2、簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的.因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學(xué)中有些運算性質(zhì)、運算法則是分類給出的.進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題.根據(jù)題設(shè)不能只用一個圖形表達.必須全面考慮各種不同的位置關(guān)系.需要分類討論；許多數(shù)學(xué)問題中含有字母參數(shù).隨著參數(shù)取值不同.會使問題出現(xiàn)不同的結(jié)果。因此需要對字母參數(shù)的取值情況進行分類討論。二、論述題1、什么是數(shù)學(xué)模型方法？并用框圖表示MM方法解題的基本步驟。答：所謂

32、數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法.簡稱MM方法。MM方法解題的基本步驟框圖表示如下：2、特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用？答：特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大致有如下幾個方面：利用特殊值(圖形)解選擇題；利用特殊化探求問題結(jié)論；利用特例檢驗一般結(jié)果；利用特殊化探索解題思路。三、計算題1、用程序框圖表述如下問題的求解過程：在1500中.找出能同時滿足用3除余2.用5除余3.用7除余2的所有整數(shù)。解：設(shè)計算法：(1)給出初始值I=9（因為小于等于8的數(shù)顯然不滿足條件）。(2)判斷I的值是否小于或等于500；若是.則進一步判斷I是否滿足用3除余2.用5除余3.用7除余2三個條件.若滿足

33、則輸出I.否則I遞增1。(3)返回第(2)步.直至I大于500.結(jié)束。畫出程序框圖如下圖8-1：                      圖8-12、一個星級旅館有150個房間。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐.經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價為160元.住房率為55%；如果每間客房定價為140元.住房率為65%；如果每間客房定價為120元.住房率為75%；如果每間客房定價為100元.住

34、房率為85%。欲使每天收入提高.問每間住房的定價應(yīng)是多少？解：(1)、弄清實際問題加以化簡。經(jīng)分析.為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型.可作如下假設(shè)：設(shè)每間客房的最高定價為160元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù).設(shè)隨著房價的下降.住房率呈線性增長；設(shè)旅館每間客房定價相等。(2)、建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意.設(shè)表示旅館一天的總收入.為與160元相比降低的房價。由假設(shè).可得每降低1元房價.住房率增加為因此一天的總收入為()由于。于是問題歸結(jié)為：當(dāng)時.求的最大值點.即求解(3)、模型求解。將()左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響.因此可化為求的最大值點。利用配方法得易知當(dāng)=25時

35、最大.因此可知最大收入對應(yīng)的住房定價為160元25元=135元相應(yīng)的住房率為0.55+0.005×25=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)(4)、檢驗。容易驗證此收入在已知各種客房定價的對應(yīng)收入中確實是最大的.這可從下面表格中看出。 定價160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理.那么定價140元也是可以的.因為這時它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價為180元.住房率為45%.其相應(yīng)收入只有12150元。由此可見假設(shè)是合理的。實際上二

36、次函數(shù)在之內(nèi)只有一個極值點。3、已知AOB及點P.連接OP.若P點不在OB邊上.且BOP表示以O(shè)B為始邊、按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OP的角.試比較AOB與BOP的大小。答：可以有多種情形。情形一：AOB < BOP情形二：AOB > BOP情形三：AOB =BOP  數(shù)學(xué)思想方法作業(yè)4答案 一、簡答題1、簡述國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個主要特點。答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿).充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標(biāo).并呈現(xiàn)下列八個特點：1）、把“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項內(nèi)

37、容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué).且能夠在實際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。2）、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程是將學(xué)生的現(xiàn)實數(shù)學(xué)進一步提高、抽象的過程。    3）、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)”來教.給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機會。    4）、把“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”中的“解決問題”方面的具體闡述.實際上提出了“問題解決”的教學(xué)模式.即：情境問題探索結(jié)論反思。    5）、把“數(shù)學(xué)思想

38、方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。    6）、把“數(shù)學(xué)活動”作為數(shù)學(xué)課程的一個方面。強調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動.注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會”.幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗”。7）、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問題的過程中“學(xué)會與他人合作”.并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。8）、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。2、簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個主要階段。答：學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷潛意識階段、明朗化階段、深化理解三個階段。二、論述題1、試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性。答：數(shù)

39、學(xué)思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶.是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂.它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識。(2)數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用。(3)加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。   2、簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項？答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項：(1)把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)；(2)重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.認(rèn)真設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；(3)做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5)注意不

40、同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。三、分析題1.利用下列材料.請你設(shè)計一個“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)片斷。材料：如圖13-3-18所示.相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點.組成下面12個圖形.你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)以及各圖形的面積.找出一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)、各圖形的面積三者之間的關(guān)系。 提示：所設(shè)計的教學(xué)片斷要求(1)對于第一個問題.體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特點(可以是獨立思考.也可以是小組討論).然后組織學(xué)生交流各自的理解.師生共同(完全)歸納概括出規(guī)律的過程。(2)對于第二個問題.要充分展示學(xué)生結(jié)合“數(shù)”與“形”來考察問題的思維過

41、程。教師所起的主導(dǎo)作用就是引導(dǎo)學(xué)生分析同一圖中我們需要考察哪些“數(shù)”？由于這里涉及到三個方面的數(shù)量關(guān)系.教師同時還要進行學(xué)法指導(dǎo).使學(xué)生獲得這樣的策略：當(dāng)所要考察的圖形的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜時.除了靈活運用數(shù)形結(jié)合方法外.還可用列表的形式來幫助分析。解答提示：(一)、列表分析(也可以只列舉部分圖形分析)  圖形邊上點數(shù)內(nèi)部點數(shù)面積401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428 (二)、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析)圖形(1)的面積：4÷201=1圖形(3)

42、的面積：8÷201=3圖形(5)的面積：4÷211=2圖形(8)的面積：14÷211=7圖形(9)的面積：4÷221=3圖形(11)的面積：8÷221=5圖形(12)的面積：14÷221=8(三)、總結(jié)規(guī)律：圖形的面積與格點數(shù)滿足關(guān)系：面積邊上的點數(shù)÷2內(nèi)部點數(shù)1 (四)、教學(xué)設(shè)計一、找圖的排列規(guī)律師：同學(xué)們看圖.找出圖的排列規(guī)律來。（學(xué)生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn).第一行的圖中間沒有點.第二行的圖中間有一個點.第三行的圖中間有兩個點。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將

43、結(jié)果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計算面積師：數(shù)完邊點數(shù).我們再來計算每個圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計算面積.過程略） 序號內(nèi)點數(shù)000011112222邊點數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個表.找一找每列三個數(shù)之間的關(guān)系。告訴同學(xué)們.希望找到相同的規(guī)律。生：第一列.邊點數(shù)等于面積乘以4。師：這個規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能.因為6不等于2乘以4。生2：第一列.邊點數(shù)除以2.減去面積等于1。師：好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師.這個規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看

44、這個規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了.邊點數(shù)除以2.加上內(nèi)點數(shù).再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算.是不是每一列都具有這個規(guī)律。五、總結(jié)師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)面積1也可以寫為：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)1面積2. 假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗.在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時.請你設(shè)計一個“分類法”教學(xué)片斷。解答：材料如下： 提示：所設(shè)計的教學(xué)片斷要求(1)依據(jù)給定的材料設(shè)計一個學(xué)生動手操作的活動.讓學(xué)生分一分.想一想.說一說.充分展示學(xué)生對分類的思考.交流各種不同分法的依據(jù).并通過反思不同分法找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2)體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分類方法”的過程.并開

45、展學(xué)法指導(dǎo).使學(xué)生獲得“單一標(biāo)準(zhǔn)下分類方法”的策略。2、假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識經(jīng)驗.在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時.請你設(shè)計一個孕育“類比法”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式.讓學(xué)生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系)？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似關(guān)系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過一系列層層遞進式的問題情境.把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來.創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”的過程.并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo).使學(xué)生初步領(lǐng)會用

46、“類比法”獲取新知識的策略。解答提示：(一)、列表類比(教師引導(dǎo).師生共同描述除法的性質(zhì).再由學(xué)生通過類比歸納出分?jǐn)?shù)的性質(zhì))   除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分?jǐn)?shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0.則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0.則 除法的性質(zhì)(二)：若M0.則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0.則 除法的性質(zhì)(三)：A÷B÷C=A÷(B×C)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(三)：除法的性質(zhì)(四)：(A÷B)

47、÷(C÷D)= (A×D)÷(B×C)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(四)：注：性質(zhì)（三）、（四）作為擴展學(xué)習(xí)內(nèi)容(應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況取舍)(二)教學(xué)設(shè)計一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數(shù)÷除數(shù)商師：對。我們再回憶分?jǐn)?shù)的概念和記號。生： 。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù).被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時擴大.商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時縮小.商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù).因此我們

48、可以問：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分?jǐn)?shù)上來呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大.分?jǐn)?shù)不變。生2：分子與分母同時縮小.分?jǐn)?shù)不變。四、總結(jié)成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分?jǐn)?shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0.則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0.則 除法的性質(zhì)(二)：若M0.則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0.則       

49、       數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)參考解答（4）一、簡答題1簡述國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個主要特點（189頁）。解答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿).充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標(biāo).并呈現(xiàn)下列八個特點：第一、把“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué).且能夠在實際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。第二、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程是將學(xué)生的現(xiàn)實數(shù)學(xué)進一步提高、抽象的過程。第三、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。

50、把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)”來教.給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機會。第四、把“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”中的“解決問題”方面的具體闡述.實際上提出了“問題解決”的教學(xué)模式.即：情境問題探索結(jié)論反思。第五、把“數(shù)學(xué)思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。第六、把“數(shù)學(xué)活動”作為數(shù)學(xué)課程的一個方面。強調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動.注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會”.幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗”。第七、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問題的過程中“學(xué)會與他人合作”.并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。第八、把

51、“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。2簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的主要階段（198頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)主要有三個階段：多次孕育、初步理解和簡單應(yīng)用階段。這對應(yīng)學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法的三個階段.即：潛意識、明朗化和深刻理解階段。二、論述題1試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性（191頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶.是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂.它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識。(2)數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用。(3)加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。2簡述數(shù)學(xué)

52、思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項（205頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項：(1)把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)；(2)重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.認(rèn)真設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；(3)做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5)注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。三、分析題1利用下列材料.請你設(shè)計一個“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)片斷。材料：如圖13-3-18所示.相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點.組成下面12個圖形.你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)以及各圖形的面積.找出一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)

53、、各圖形的面積三者之間的關(guān)系。教學(xué)片斷設(shè)計如下：一、找圖的排列規(guī)律師：同學(xué)們看圖.找出圖的排列規(guī)律來。（學(xué)生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn).第一行的圖中間沒有點.第二行的圖中間有一個點.第三行的圖中間有兩個點。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將結(jié)果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計算面積師：數(shù)完邊點數(shù).我們再來計算每個圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計算面積.過程略） 序號內(nèi)點數(shù)000011112222邊點數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個表.找一找每列三個數(shù)之間的關(guān)系。告訴同

54、學(xué)們.希望找到相同的規(guī)律。生：第一列.邊點數(shù)等于面積乘以4。師：這個規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能.因為6不等于2乘以4。生2：第一列.邊點數(shù)除以2.減去面積等于1。師：好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師.這個規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了.邊點數(shù)除以2.加上內(nèi)點數(shù).再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算.是不是每一列都具有這個規(guī)律。五、總結(jié)  師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)面積1也可以寫為：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)1面積2假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗.在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

55、時.請你設(shè)計一個孕育“類比法”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式.讓學(xué)生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系)？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似關(guān)系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過一系列層層遞進式的問題情境.把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來.創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”的過程.并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo).使學(xué)生初步領(lǐng)會用“類比法”獲取新知識的策略。教學(xué)片斷設(shè)計如下：一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號

56、？生：被除數(shù)÷除數(shù)商師：對。我們再回憶分?jǐn)?shù)的概念和記生：。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù).被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時擴大.商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時縮小.商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù).因此我們可以問：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分?jǐn)?shù)上來呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大.分?jǐn)?shù)不變。生2：分子與分母同時縮小.分?jǐn)?shù)不變。四、總結(jié)成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分

57、數(shù)的表示：除法的性質(zhì)(一)：若M0.則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0.則除法的性質(zhì)(二)：若M0.則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0.則 數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計算和算法的含義。答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過程.是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用.計算的重要意義更加凸現(xiàn).主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)推動了數(shù)學(xué)的應(yīng)用；(2)加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化進程；(3)促進了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成

58、的一個過程。所謂一個算法它實質(zhì)上是解決一類問題的一個處方.它包括一套指令.只要按照指令一步一步地進行操作.就能引導(dǎo)到問題的解決。在一個算法中.每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白.不會產(chǎn)生歧義.并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無算法的問題.因此.算法對數(shù)學(xué)中的許多問題的解決有著決定性作用。另外.算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式；(2)作為表述一個復(fù)雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學(xué)工具。2、簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的.因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學(xué)中有些運算性質(zhì)、運算法則是分類給出的.進行這類運算時要分類討論；有