21大學(xué)大學(xué)應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)ppt課件

1、隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布第二章第二章 n離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律n正態(tài)分布正態(tài)分布n連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布律n隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C.表示事件，并視之為樣本空間的子集；針對(duì)等能夠古典概型，主要研究了用排列組合手段計(jì)算事件的概率。 本章，將用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)變量隨機(jī)變量 P28P28n基本思想基本思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即用數(shù)值來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果即用數(shù)值來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果n 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來(lái)表示有些隨

2、機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來(lái)表示. .例如例如: 在擲骰子試驗(yàn)中在擲骰子試驗(yàn)中,結(jié)果可用結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來(lái)表示來(lái)表示n 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來(lái)表示，有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來(lái)表示，n 但可數(shù)量化但可數(shù)量化10X=正面向上=反面向上 例如例如: 擲硬幣試驗(yàn)擲硬幣試驗(yàn),其結(jié)果是用其結(jié)果是用 “正面向上和正面向上和“反面向上反面向上” 來(lái)表示的來(lái)表示的 P28可規(guī)定可規(guī)定: 用用1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上” 特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了 對(duì)應(yīng)關(guān)系繼續(xù)繼續(xù)隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 1) 它是一個(gè)變量，它的取值隨試驗(yàn)結(jié)

3、果而改變 2隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個(gè) 隨機(jī)事件n隨機(jī)變量隨機(jī)變量 P28P28n隨機(jī)變量的兩個(gè)特征隨機(jī)變量的兩個(gè)特征: :設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn) ，均有唯一的實(shí)數(shù)，均有唯一的實(shí)數(shù) 與與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)之對(duì)應(yīng)，稱(chēng) 為樣本空間為樣本空間上上的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。( )X( )XX前往前往某個(gè)燈泡的使用壽命某個(gè)燈泡的使用壽命X X。 某電話(huà)總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)某電話(huà)總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X.X.在在00，11區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0,+ 0,+

4、) )X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，11上的全體實(shí)數(shù)。上的全體實(shí)數(shù)。用隨機(jī)變量表示事件用隨機(jī)變量表示事件n若若X X是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)E E的一個(gè)隨機(jī)變量，的一個(gè)隨機(jī)變量，S SR R，那么，那么n n XSXS可表示可表示E E中的事件中的事件 如在擲骰子試驗(yàn)中，用如在擲骰子試驗(yàn)中，用X X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), ,那么那么 “ “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可表示為：可表示為：X=2X=2 X=4 X=4 X=6X=6 “ “出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于可表示為：可表示為：X4X4或或XX33n E中的

5、事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值來(lái)表示的不同取值來(lái)表示.隨機(jī)變量的類(lèi)型隨機(jī)變量的類(lèi)型 P29P29n 離散型離散型n 非離散型非離散型隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)隨機(jī)變量的取值有無(wú)窮多個(gè)，且不可列隨機(jī)變量的取值有無(wú)窮多個(gè)，且不可列其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類(lèi)型其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類(lèi)型 稱(chēng)此式為離散型隨機(jī)變量稱(chēng)此式為離散型隨機(jī)變量 X的的 分布律列或概率分布分布律列或概率分布kkpxXP 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率為的概率為X12,nx xxkxkp即即隨機(jī)變量隨機(jī)

6、變量X X的概率分布全面表達(dá)了的概率分布全面表達(dá)了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各個(gè)值的概率情況值以及取各個(gè)值的概率情況 p1 ， p2 ， pk P x1， x2， xk， X離散隨機(jī)變量分布律的表示法離散隨機(jī)變量分布律的表示法 P29n 公式法公式法kkpxXPn 表格法表格法1)01,2,kpk12)1kkp性質(zhì)性質(zhì) 例例2 2、 設(shè)設(shè)X X的分布律的分布律為為求求 P0X2=2/3 例例3 3、 設(shè)有一批產(chǎn)品設(shè)有一批產(chǎn)品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，從中任意抽取件次品，從中任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量品數(shù)，求隨機(jī)變

7、量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品的概率。的概率。解：解：X的可能取值為的可能取值為 0，1，2 實(shí)際上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事實(shí)際上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事件的方式變了件的方式變了設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為2() ,1,2,3,3kP Xkbk試確定常數(shù)試確定常數(shù)b.例例4、12111,.0| 1limnnniiniiaa aqaqaa引理：若為等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，則12b 11aq1(1)lim1nnaqq幾種常見(jiàn)的離散型分布幾種常見(jiàn)的離散型分布 1p p P 0 1 X 則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p 的兩點(diǎn)分布

8、或的兩點(diǎn)分布或(0-1)分布分布如：上拋一枚硬幣，新生兒性別的判別，如：上拋一枚硬幣，新生兒性別的判別， 檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格等等。檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格等等。 例例6、設(shè)一個(gè)袋中裝有設(shè)一個(gè)袋中裝有3 3個(gè)紅球和個(gè)紅球和7 7個(gè)白球，現(xiàn)在從中個(gè)白球，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一球，并且用數(shù)隨機(jī)抽取一球，并且用數(shù)“1 1代表取得紅球，代表取得紅球，“0 0代表取得白球代表取得白球10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為其概率分布為即即X X服從兩點(diǎn)分布。服從兩點(diǎn)分布。 7/10 3/10 P 0 1 X(1)0,1, 2.,;kknknP XknkCpp其中其中0 p 0, 則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分

9、布的泊松分布XP()n定義定義交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)X;礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目醫(yī)院在一天內(nèi)的急癥病人數(shù)醫(yī)院在一天內(nèi)的急癥病人數(shù)n 實(shí)際問(wèn)題中若干隨機(jī)現(xiàn)象是服從或近似服從實(shí)際問(wèn)題中若干隨機(jī)現(xiàn)象是服從或近似服從n PoissonPoisson分布的分布的例例9 9、已知某商店某種商品每月的銷(xiāo)、已知某商店某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù)售數(shù)X X服從服從解解 每月銷(xiāo)售某種商品每月銷(xiāo)售某種商品X X

10、件，月底進(jìn)貨件，月底進(jìn)貨a a件件010010 =0.95!akkakP XaP Xkek的泊松分布，為了以的泊松分布，為了以95%以上的把握保證以上的把握保證不會(huì)供不應(yīng)求，問(wèn)商店在月底至少要進(jìn)某種商品不會(huì)供不應(yīng)求，問(wèn)商店在月底至少要進(jìn)某種商品多少件？多少件？10a=15 已知某電話(huà)交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)已知某電話(huà)交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求求1 1每分鐘內(nèi)恰好接到每分鐘內(nèi)恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2 2每分鐘不超過(guò)每分鐘不超過(guò)4 4次的概率次的概率例例1010、至少要聘用多少個(gè)服務(wù)員，才能使得每分鐘至少要聘用多少個(gè)服

11、務(wù)員，才能使得每分鐘沒(méi)有顧客等待服務(wù)的概率不小于沒(méi)有顧客等待服務(wù)的概率不小于80%呢呢解解 設(shè)每分鐘接到設(shè)每分鐘接到X X次呼喚次呼喚至少至少6人人ekppCkknkkn!)1 (二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似P32The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 某人騎摩托車(chē)上街某人騎摩托車(chē)上街, ,出事故率為出事故率為0.020.02，獨(dú)立重，獨(dú)立重復(fù)上街復(fù)上街400400次，求出事故至少兩次的概率次，求出事故至少兩次的概率. .(400, 0.02)XBn 結(jié)果表明，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，結(jié)果表明，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，n

12、 小概率事件總會(huì)發(fā)生的！小概率事件總會(huì)發(fā)生的！ 例例1111、 解解思索：出事故率為思索：出事故率為0.002，至少發(fā)生兩次事故的概率為多少至少發(fā)生兩次事故的概率為多少隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) P34P34 設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量, ,則對(duì)任意實(shí)數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x x，稱(chēng)函數(shù)，稱(chēng)函數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量X X落在區(qū)間（落在區(qū)間（，x)x)內(nèi)內(nèi)的概率的概率定義域?yàn)槎x域?yàn)?(,)；值域?yàn)橹涤驗(yàn)?。n分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義( )F xP Xx 引進(jìn)分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來(lái)表示。P34nPX

13、b=F(b)nPaXb=F(b) - F(a)nPXb=1 PXb=1 - F(b)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)n F(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù) P34n 0 F(x) 1, 0 F(x) 1, 且且 P35 P35 ()lim ( )0,()lim ( ) 1xxFF xFF x 12xx若12()()F xF x()FP X 不可能事件不可能事件()FP X 必然事件必然事件分布函數(shù)分布函數(shù) F(x)F(x)的圖形的圖形nF(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù)21(1) ( )1F xx是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？是不是某一隨機(jī)變量的