第五章 速度運(yùn)動學(xué)

1、機(jī)器人原理與應(yīng)用機(jī)器人原理與應(yīng)用2022-4-261徐心和 郝麗娜 叢德宏東北大學(xué)人工智能與機(jī)器人研究所第五章 速度運(yùn)動學(xué) 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-262本章將進(jìn)一步討論運(yùn)動的幾何學(xué)及與時(shí)間有關(guān)的量，本章將進(jìn)一步討論運(yùn)動的幾何學(xué)及與時(shí)間有關(guān)的量，即討論機(jī)器人的速度運(yùn)動學(xué)問題。即討論機(jī)器人的速度運(yùn)動學(xué)問題。速度運(yùn)動學(xué)問題重要是因?yàn)椴僮鳈C(jī)不僅需要達(dá)到某個(gè)速度運(yùn)動學(xué)問題重要是因?yàn)椴僮鳈C(jī)不僅需要達(dá)到某個(gè)（或一系列的）位置，而且常需要它按給定的速度達(dá)（或一系列的）位置，而且常需要它按給定的速度達(dá)到這些位置。到這些位置。主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 5.1 5.1 操作機(jī)的微分移動操作機(jī)的

2、微分移動 5.2 5.2 微分轉(zhuǎn)動的兩個(gè)定理微分轉(zhuǎn)動的兩個(gè)定理 5.3 5.3 微分算子微分算子 5.4 5.4 雅可比矩陣及其變換雅可比矩陣及其變換 5.5 5.5 雅可比矩陣的力學(xué)意義雅可比矩陣的力學(xué)意義 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2635.1 操作機(jī)的微分移動操作機(jī)的微分移動 所謂微分運(yùn)動指的是無限小的運(yùn)動，即無限小的移動和所謂微分運(yùn)動指的是無限小的運(yùn)動，即無限小的移動和無限小的轉(zhuǎn)動。它既可以用指定的當(dāng)前坐標(biāo)系來描述，也可無限小的轉(zhuǎn)動。它既可以用指定的當(dāng)前坐標(biāo)系來描述，也可以用基礎(chǔ)坐標(biāo)系來描述。以用基礎(chǔ)坐標(biāo)系來描述。 對于微分移動（平動）的齊次變換矩陣對于微分移動（

3、平動）的齊次變換矩陣T可表示為可表示為 1000100010001),(dzdydxdzdydxTrans式中式中 是微分位移矢量在基礎(chǔ)坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的是微分位移矢量在基礎(chǔ)坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的分量。分量。 dzdydx, 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2645.2 微分轉(zhuǎn)動的兩個(gè)定理微分轉(zhuǎn)動的兩個(gè)定理 若繞若繞x軸轉(zhuǎn)微小軸轉(zhuǎn)微小 角表示為角表示為 ，并考慮，并考慮， 則對則對x,y,zx,y,z多軸多軸微分轉(zhuǎn)動的齊次變換矩陣微分轉(zhuǎn)動的齊次變換矩陣R R應(yīng)該有如下形式：應(yīng)該有如下形式： xxx sin1cos x100001 00 100001),(xxxxRot10000

4、10 00100 01),(yyyyRot10000100001 00 1),(zzzzRot 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-265100001 0 1 0 1),(),(),(xyxzyzyxzzxyzyxzyxzRotyRotxRot100001 0 1 0 1xyxzyz上面的近似等式上面的近似等式是在略去二階與三階無窮小量的條件下獲得的。是在略去二階與三階無窮小量的條件下獲得的。 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-266定理定理1 1 繞任意單位向量繞任意單位向量 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 的微分轉(zhuǎn)動等的微分轉(zhuǎn)動等效于繞軸效于繞軸x，y，z的的3個(gè)微分轉(zhuǎn)動個(gè)微分轉(zhuǎn)動 ，

5、 ， ，并有并有TzyxKKKK,_xyzxxKyyKzzK于是總的轉(zhuǎn)動微分于是總的轉(zhuǎn)動微分 可由如下的齊次矩陣描述可由如下的齊次矩陣描述),(KRot),(),(),(),(zyxzRotyRotxRotKRot1000 1 01xyxzyzKKKKKK 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-267證明證明：取以下的兩個(gè)相繼微分轉(zhuǎn)動，則有取以下的兩個(gè)相繼微分轉(zhuǎn)動，則有 1000010 00100 01100001 00 100001),(),(yyxxyxyRotxRot100001 0 100 1xyxyyx100001 0 1 0 01),(),(xyxyxyxyxRotyRo

6、t略去二階無窮小量后得：略去二階無窮小量后得： ),(),(),(),(xyyxxRotyRotyRotxRot定理定理2 微分轉(zhuǎn)動與微分轉(zhuǎn)動的次序無關(guān)微分轉(zhuǎn)動與微分轉(zhuǎn)動的次序無關(guān) 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2685.3 微分算子微分算子 已知坐標(biāo)系下操作機(jī)的手部位姿可用齊次矩陣已知坐標(biāo)系下操作機(jī)的手部位姿可用齊次矩陣T來描述，來描述，經(jīng)過微分運(yùn)動后變?yōu)榻?jīng)過微分運(yùn)動后變?yōu)門+dT。應(yīng)用相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的左乘法。應(yīng)用相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的左乘法則，則，T+dT可以表示為：可以表示為： TdKRotdzdydxTransdTT),(),(TIdKRotdzdydxTransdT)

7、,(),(得得定義微分算子定義微分算子 IdKRotdzdydxTrans),(),(000 - 0 0 0 - 0 xyxzyzdzdydxTdT得得 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-269例例：設(shè)操作機(jī)的位姿為設(shè)操作機(jī)的位姿為 ，求先實(shí)施轉(zhuǎn)動求先實(shí)施轉(zhuǎn)動 ，再實(shí)施移動，再實(shí)施移動 的微分運(yùn)的微分運(yùn)動動dT，以及其后操作機(jī)的新位姿，以及其后操作機(jī)的新位姿T+dT。1000001020015100T) 1 . 0 ,(xRot)5 . 0 , 0 , 1 (Trans 解：解：由于由于 =0.1，dx=1； =0，dy=0； =0，dz=0.5xyz00005 . 001 .

8、0001 . 0001000由定義式得：由定義式得： 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2610100000102001510000005 . 001 . 0001 . 0001000TdT00007 . 0001 . 0001 . 001000則則操作機(jī)實(shí)施微分運(yùn)動后的新位姿為：操作機(jī)實(shí)施微分運(yùn)動后的新位姿為： 00007 . 0001 . 0001 . 0010001000001020015100dTT10007 . 0011 . 0201 . 016100 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26115.4 雅可比矩陣及其變換雅可比矩陣及其變換 5.4.1 雅可

9、比矩陣雅可比矩陣 dtdJdtdrTfJ),( 即為著名的雅可比矩陣。通過即為著名的雅可比矩陣。通過 可以實(shí)現(xiàn)從關(guān)節(jié)速度可以實(shí)現(xiàn)從關(guān)節(jié)速度到基坐標(biāo)速度的變換。到基坐標(biāo)速度的變換。 JJ 考慮操作機(jī)的手爪位姿考慮操作機(jī)的手爪位姿 r 和關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)變量 的關(guān)系用正運(yùn)動的關(guān)系用正運(yùn)動學(xué)方程學(xué)方程 表示的情況。表示的情況。 )(fr 對于對于6 關(guān)節(jié)的操作機(jī)關(guān)節(jié)的操作機(jī) ，有有 ， ).,(62111fr ).,(62166fr )(fr 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2612展開為：展開為： 66661612111ijJffffffJjiijfJ同樣對于同樣對于mn維的空間的機(jī)

10、器人，其雅可比矩陣維的空間的機(jī)器人，其雅可比矩陣 nmijnmmmnJffffffJ112111 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2613雅可比矩陣的一般形式：雅可比矩陣的一般形式： n一般地一般地,對于對于n個(gè)自由度的機(jī)械手末端手爪的角速度和線速個(gè)自由度的機(jī)械手末端手爪的角速度和線速度，在基坐標(biāo)系中的描述記為度，在基坐標(biāo)系中的描述記為 , 。如果寫成一個(gè)向量。如果寫成一個(gè)向量kkkkx具體的推導(dǎo)結(jié)果可表示為一個(gè)雅可比矩陣形式具體的推導(dǎo)結(jié)果可表示為一個(gè)雅可比矩陣形式)(Jx其中其中,為為n1的機(jī)械手關(guān)節(jié)的機(jī)械手關(guān)節(jié)(旋轉(zhuǎn)或平移關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)或平移關(guān)節(jié))的位移向量。的位移向量。 雅可比

11、矩陣雅可比矩陣J()表明了機(jī)械手關(guān)節(jié)速度與末端表明了機(jī)械手關(guān)節(jié)速度與末端(手爪手爪)直角直角坐標(biāo)速度之間的線性變換關(guān)系。坐標(biāo)速度之間的線性變換關(guān)系。 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26145.4.2 雅可比逆矩陣雅可比逆矩陣當(dāng)機(jī)械手有六個(gè)自由度時(shí)當(dāng)機(jī)械手有六個(gè)自由度時(shí), , 雅可比矩陣雅可比矩陣J J()()為為6 66 6方陣。如果方陣。如果J J()()可逆可逆, ,那末只要給定機(jī)械手末端的直角坐標(biāo)速度那末只要給定機(jī)械手末端的直角坐標(biāo)速度, ,就可以求就可以求得相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度得相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度xJ)(1 但是但是, , 雅可比矩陣雅可比矩陣J()J()是隨著機(jī)械手的形態(tài)變化

12、的是隨著機(jī)械手的形態(tài)變化的, ,某些形態(tài)某些形態(tài)下的下的值就可能使值就可能使J()J()成為奇異成為奇異, ,這時(shí)的機(jī)械手末端位置稱之為機(jī)這時(shí)的機(jī)械手末端位置稱之為機(jī)械手的奇異點(diǎn)。械手的奇異點(diǎn)。 當(dāng)機(jī)械手處于奇異形態(tài)時(shí)當(dāng)機(jī)械手處于奇異形態(tài)時(shí), ,它在直角坐標(biāo)空間的自由度就有所它在直角坐標(biāo)空間的自由度就有所減少減少, ,這意味著在直角坐標(biāo)空間的某些方向上這意味著在直角坐標(biāo)空間的某些方向上, ,無論選取什么樣的關(guān)無論選取什么樣的關(guān)節(jié)速度節(jié)速度, ,機(jī)械手都不能沿著那些方向運(yùn)動。奇異點(diǎn)可能處于機(jī)械手機(jī)械手都不能沿著那些方向運(yùn)動。奇異點(diǎn)可能處于機(jī)械手工作空間的邊界或工作空間內(nèi)部。工作空間的邊界或工作空

13、間內(nèi)部。 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26155.4.3 操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆矩陣操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆矩陣 r對于對于 操作機(jī)操作機(jī) r根據(jù)雅可比矩陣的定義根據(jù)雅可比矩陣的定義式有：式有：rJyxsincosryrxcossinsincosrrJ則則rrryxcossinsincos 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2616由由 操作機(jī)幾何關(guān)系得：操作機(jī)幾何關(guān)系得： r222yxr對對 t 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 yryxrxrxytg另外，有另外，有xrcos1sec對對 t 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 yrxxryyxrxxxrxy22222221yxrxryryrxr

14、22221rxryryrxJ則則求雅可比逆矩陣求雅可比逆矩陣 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26172L1LYXo1221112211sLsLycLcLx解：解：1222122111122212211,cLycLcLysLxsLsLx1221221112212211cLcLcLsLsLsLJ得得例例5-1 試求圖所示的試求圖所示的2自由度機(jī)械手的雅可比矩陣自由度機(jī)械手的雅可比矩陣 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26185.4.4 雅可比矩陣的物理意義雅可比矩陣的物理意義 11J22Jr YX121L2L1 ,EP2,EP關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)2 和和 分別為分別

15、為 和和 反反時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)針轉(zhuǎn)動 而成。而成。 將雅可比矩陣定義為列向量將雅可比矩陣定義為列向量 21,JJJ 12RJi以上述例題為例：以上述例題為例： 2211JJr有有1J2J1EP2EP2如何驗(yàn)證？如何驗(yàn)證？ 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2619解：解：已知已知 ，則，則 ，又知，又知 ，則由已知矩陣式可知，則由已知矩陣式可知 1y0y 1x 1222xxxyxxxrxr112222xxyxyxry分析分析：當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí), 。又因?yàn)橐鸭僭O(shè)了。又因?yàn)橐鸭僭O(shè)了y1，以以致致 ，即操作機(jī)手臂長度不為零，上式分母不為零，不，即操作機(jī)手臂長度不為零，上式分母不為零，不會出現(xiàn)奇異

16、問題。會出現(xiàn)奇異問題。1max0r例例5-2：已知：已知： ，當(dāng)手部沿著，當(dāng)手部沿著y=1的直線以均速的直線以均速 運(yùn)動，試將運(yùn)動，試將 ， 表示為表示為 x 的函數(shù)的函數(shù) 。yxrxryryrxr22r 1x 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-2620（1）對于）對于 ，當(dāng)，當(dāng) r 趨于趨于 0 時(shí)，時(shí)， 操作機(jī)出現(xiàn)奇異問題。操作機(jī)出現(xiàn)奇異問題。此時(shí)操作機(jī)失控，即遇到速度趨于無窮大的困難。此時(shí)，此時(shí)操作機(jī)失控，即遇到速度趨于無窮大的困難。此時(shí)， 若若 或或 為有限值時(shí)，為有限值時(shí)， 和和 趨于無窮大。事實(shí)上趨于無窮大。事實(shí)上 的條件是很容易辨別和避免的的條件是很容易辨別和避免的

17、；1Jrx y r 0r（2）由以上）由以上 操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆陣的推導(dǎo)操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆陣的推導(dǎo)可以看出，當(dāng)操作機(jī)具有可以看出，當(dāng)操作機(jī)具有6關(guān)節(jié)時(shí)，雅可比矩陣的推導(dǎo)將關(guān)節(jié)時(shí)，雅可比矩陣的推導(dǎo)將會更加復(fù)雜。會更加復(fù)雜。r由以上分析可以得出兩點(diǎn)結(jié)論由以上分析可以得出兩點(diǎn)結(jié)論： 第五章第五章 速度運(yùn)動學(xué)速度運(yùn)動學(xué)2022-4-26215.5 雅可比矩陣的力學(xué)意義雅可比矩陣的力學(xué)意義類似于速度的雅可比矩陣形式類似于速度的雅可比矩陣形式, ,我們也可以得到一個(gè)我們也可以得到一個(gè)力域中的雅可比矩陣形式力域中的雅可比矩陣形式, ,而且可以證明而且可以證明, ,在此在此, ,速度速度雅可比矩陣是以轉(zhuǎn)置的形式出現(xiàn)的雅可比矩陣是以轉(zhuǎn)置的形式出現(xiàn)的)(TJ其中其中, 為為n1向量向量,表示表示n個(gè)關(guān)節(jié)上的平衡力個(gè)關(guān)節(jié)上的平衡力/平衡力矩平衡力矩,而而 為作用在手爪上的直角坐標(biāo)力為作用在手爪上的直角坐標(biāo)力/力矩形成的力矩形成的61向向量。因此量。因此, 實(shí)際上實(shí)際上 表示把手爪上的直角坐標(biāo)力表示把手爪上的直角坐標(biāo)力/力矩映射為等價(jià)的關(guān)節(jié)力力矩映