如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型

1、如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型一、模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征 形成一個(gè)比較清晰的“問(wèn)題問(wèn)題” 拿到需要解決的問(wèn)題之后，首先應(yīng)該做的事情是:了解有關(guān)背景知識(shí)，查閱前人在這方面的工作，并在此基礎(chǔ)上探討解決問(wèn)題的方法。 例1.1 CMCM-96B題：節(jié)水洗衣機(jī) 由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣為普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假為普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序?yàn)椋杭铀黄匆幻撍患铀黄匆粸椋杭铀黄匆幻撍患铀黄匆幻撍唬撍唬?(稱稱“加水一漂水一脫水加水一漂水一脫

2、水”為一輪。為一輪。)現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等)，使得在，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數(shù)據(jù)計(jì)算。最少，選用合理數(shù)據(jù)計(jì)算。洗衣的基本原理 洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過(guò)脫去污水而帶走污物。無(wú)論是如何精心設(shè)計(jì)中，通過(guò)脫去污水而帶走污物。無(wú)論是如何精心設(shè)計(jì)的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過(guò)程就的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過(guò)程就是通過(guò)加水來(lái)實(shí)現(xiàn)上述是通過(guò)加水來(lái)實(shí)現(xiàn)上述“溶污物一脫污

3、水溶污物一脫污水”動(dòng)作的反動(dòng)作的反復(fù)執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來(lái)越少，直到滿復(fù)執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來(lái)越少，直到滿意的程度意的程度. 通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解物溶解. 洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此因此“污物污物”應(yīng)是衣物上原有污物與洗滌劑的總和應(yīng)是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.例1.2： CMCM-92B題。 組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過(guò)質(zhì)譜實(shí)驗(yàn)測(cè)定分子量來(lái)分析蛋白質(zhì)分子的組成時(shí)，遇到的首要問(wèn)題是如何將它的分子量X分解為幾個(gè)氨基酸的已知分子量

4、之和。)18, 2 , 1(mii分析：題目要求根據(jù)蛋白質(zhì)的分子量給出所有的氨基酸組合方式。 令M為蛋白質(zhì)的分子量， 表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數(shù)目，問(wèn)題歸結(jié)為求解下列不定方程 計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)的分子量為1000時(shí)，解的個(gè)數(shù)已達(dá)到28268個(gè)，這樣的模型對(duì)于實(shí)際的工作而言并無(wú)多大的意義。im,181Mmaiii 要想建立一個(gè)合理的有用的模型，首先應(yīng)該了解生物學(xué)要想建立一個(gè)合理的有用的模型，首先應(yīng)該了解生物學(xué)中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測(cè)試方面的知中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測(cè)試方面的知識(shí)，例如原題中提到了質(zhì)譜儀的使用，質(zhì)譜儀可以精確測(cè)識(shí)，例如原題

5、中提到了質(zhì)譜儀的使用，質(zhì)譜儀可以精確測(cè)定分子量和分子式，即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的定分子量和分子式，即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數(shù)目和計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間，而且便模型更具有實(shí)用減少解的數(shù)目和計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間，而且便模型更具有實(shí)用性。性。有些問(wèn)題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問(wèn)題，專家們已經(jīng)有些問(wèn)題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問(wèn)題，專家們已經(jīng)有過(guò)許多研究，充分利用他們的研究結(jié)果，對(duì)于建模有很有過(guò)許多研究，充分利用他們的研究結(jié)果，對(duì)于建模有很大的幫助大的幫助. .例如例如: : CMCM-91B題（施

6、肥效果分析） 農(nóng)學(xué)家已經(jīng)總結(jié)出肥料對(duì)作物生長(zhǎng)作用的一些規(guī)律，如米采利希學(xué)說(shuō)：只增加某種養(yǎng)分x時(shí)，引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供應(yīng)充足時(shí)達(dá)到的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)有產(chǎn)量W的差成正比： 其中C為常數(shù)，綜合運(yùn)用這些農(nóng)學(xué)家的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，結(jié)合所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，就容易建立施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型。 )(WACdxdW例1.3 CMCM-92A題（施肥效果分析） 總之總之，抓住了本質(zhì)的東西，建立的模型才是有合理性，一個(gè)模型的優(yōu)與劣，最根本的是在于是否采用恰當(dāng)?shù)姆椒?，合理地描述了?shí)際問(wèn)題，而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。二、模型假設(shè)1、假設(shè)的依據(jù):（1）、對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)。（2）、對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建

7、模目的，針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的， 作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)設(shè)，作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)設(shè)，在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中2、基本原則：（1）多數(shù)的原則。如曲線擬合時(shí)，可根據(jù)多數(shù)點(diǎn)的分布趨勢(shì)來(lái)確定曲線，經(jīng)驗(yàn)證后，選擇誤差少的曲線。（2）發(fā)展的原則。觀察事物的發(fā)展方向。（3）主導(dǎo)性的原則。分析何種因素起主導(dǎo)作用。如修盤山公路，主導(dǎo)性因素是公路坡度在一個(gè)合理范圍內(nèi)。（4）相對(duì)性的原則。例2.1：AMCM-92B題，在應(yīng)急系統(tǒng)的研制過(guò)程中，優(yōu)秀論文作者作了如下假定： （1）、從派遣中心到事故發(fā)生地點(diǎn)的距離以兩地橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值之和度量（2）、修理隊(duì)總以30里/小時(shí)的平均速度行駛

8、（3）、在緊急情況下，修理隊(duì)隨時(shí)可供派遣（4）、修理隊(duì)的車輛無(wú)損壞情況這些假設(shè)給應(yīng)急系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便3、假設(shè)的分類：（1）簡(jiǎn)化問(wèn)題的假設(shè)。（2）對(duì)所研究對(duì)象進(jìn)行近似，使之滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必需的前提條件。例2.2：椅子能否在不平的地面放穩(wěn)？第二條假設(shè)為我們利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理奠定了基礎(chǔ)。模模型型假假設(shè)設(shè)四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。時(shí)著地。 建立數(shù)

9、學(xué)模型就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來(lái)解決具體的問(wèn)題，而每種理論的應(yīng)用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究對(duì)象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對(duì)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問(wèn)題的方便，即假設(shè)必須合理。 例2.3：雙層 玻璃窗的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，如圖所示：兩層厚度為 的玻璃夾著一層厚度為 的空氣，試建立一個(gè)模型描述熱量通過(guò)窗戶的傳導(dǎo)（即流失）過(guò)程。dl以上假設(shè)為我們利用熱傳導(dǎo)定理奠定了基礎(chǔ)。假假設(shè)設(shè)1、熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流、熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流2、T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程

10、處于穩(wěn)態(tài)3、材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)、材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 例2.4：AMCM-89A題要求對(duì)蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設(shè)：1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長(zhǎng)度的總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)與學(xué)習(xí)樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長(zhǎng)度x和y服從二維正態(tài)分布這兩條假設(shè)為從概率論的角度對(duì)蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù)這兩條假設(shè)為從概率論的角度對(duì)蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù)，由于統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用必須建立在對(duì)大量樣本進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，而我們面臨的問(wèn)題是，題中所給的數(shù)據(jù)（15個(gè)學(xué)習(xí)樣本）太少，因此優(yōu)秀論文作者清醒指出，這些假設(shè)未必一定可靠，這顯示了他們對(duì)實(shí)際問(wèn)題及所用方法的深刻見(jiàn)解， 例2.5：

11、AMCM-86A題水道測(cè)量數(shù)據(jù)。 對(duì)海底地形圖的插值擬合，其成立的條件是曲面必須光滑，因此有必要假設(shè)，海底地形無(wú)陡峭形狀，可當(dāng)作光滑曲面處理，在實(shí)際中，由于海水的不斷沖蝕，這個(gè)假設(shè)是近似成立的，這樣就為模型的合理性提供了依據(jù)。 三、模型的建立1、分析問(wèn)題，闡明建模的依據(jù)。不同性質(zhì)的問(wèn)題需要采用不同的數(shù)學(xué)方法加以解決，建立什么樣的模型是由問(wèn)題的本質(zhì)決定的。 例3.1、Logistic模型。 資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，即增長(zhǎng)率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡(jiǎn)單的假設(shè)是).0,()(srsxrxr例3.2 CMCM-04B 電力市場(chǎng)輸電阻塞模型 關(guān)于有功潮流近似表達(dá)的確定，有一

12、篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的：根據(jù)功率疊加原理，我們認(rèn)為各線路上的有功潮流應(yīng)為各發(fā)電機(jī)組出力的線性組合。 隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。如線路1受機(jī)組1的影響，線路3受機(jī)組4的影響，可以發(fā)現(xiàn)，有功潮流受到各機(jī)組的影響近似成線性關(guān)系。因此假設(shè)有功潮流關(guān)于各個(gè)機(jī)組出力的函數(shù)關(guān)系為).6 , 2 , 1(81jaxkljiiijj2采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立模型 主要有以下幾種類型 （1）優(yōu)化模型 根據(jù)已知信息，對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，如費(fèi)用最小，時(shí)間最短等。如AMCM89B設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)起飛的系統(tǒng)， CMCM-96B節(jié)水洗衣機(jī)，CMCM-010B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸，等等。 一般分三種情況。 1）給出了明確的優(yōu)化目標(biāo) 2）

13、有些問(wèn)題本身的性質(zhì)（如圖與網(wǎng)絡(luò)中的NPC問(wèn)題）決定了無(wú)法找到最優(yōu)解。應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)近似算法，使目標(biāo)盡可能優(yōu)化。 3）沒(méi)有提出明確的優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要，提出合理的優(yōu)化目標(biāo)。 （2）微分方程模型 所研究對(duì)象與已知因素之間的關(guān)系可以用微分方程的形式加以表示。 如AMCM-85A動(dòng)物群體的增長(zhǎng)。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。 （3）統(tǒng)計(jì)分析模型 如AMCM-89A可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的Fisher判別法對(duì)蠓蟲加以分類。 （4）插值與擬合模型 這是離散數(shù)據(jù)連續(xù)化處理時(shí)常用的方法。如 AMCM-86A題海底地形的描繪，AMCM-91A水塔水流量的估計(jì)等。

14、 （5）其它。如計(jì)算機(jī)模擬，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。方法總結(jié)： 用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法. 插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時(shí)插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時(shí)很有必要。很有必要。 灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。經(jīng)常被亂用。 層次分析只能做半定量分析層次分析只能做半定量分析3創(chuàng)造性地改造已有模型。 數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題一般來(lái)自解決的實(shí)際問(wèn)題，沒(méi)有現(xiàn)成的模型可直接套，能否提出自己見(jiàn)解是評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)闀r(shí)間和知識(shí)水平的限制，一般在現(xiàn)有的模型上對(duì)已有的模型進(jìn)行必要的修正，或者創(chuàng)

15、造條件而使用這些模型。 例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊(duì)利用等高線圖確定目標(biāo)的方法很有創(chuàng)造性，盡管有其他不足，仍被評(píng)為特獎(jiǎng)。例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問(wèn)題，需要做的是提DNA序列的分類特征。例3.5 減肥問(wèn)題在以下假設(shè)下：在以下假設(shè)下：1、體重增加正比于吸收的熱量；、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且、運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。得到下面的基本模型：得到下面的基本模型：)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型 四、模型簡(jiǎn)

16、化 根據(jù)賽題的實(shí)際情況，對(duì)建立的模型作出合理根據(jù)賽題的實(shí)際情況，對(duì)建立的模型作出合理的簡(jiǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。的簡(jiǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例4.1 CMCM-98B 根據(jù)題意，得到購(gòu)買根據(jù)題意，得到購(gòu)買SiSi的金額為的金額為xixi的交易費(fèi)為的交易費(fèi)為iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc,0,0,0)(但因M相當(dāng)大，Si若被選中，其投資額xi一般都超過(guò)ui，交易費(fèi)可簡(jiǎn)化為iiiixpxc)(數(shù)學(xué)模型的建立是一個(gè)從實(shí)際數(shù)學(xué)實(shí)際的過(guò)程，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象化描述后，可編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用各種軟件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數(shù)學(xué)軟件包）對(duì)模型進(jìn)

17、行求解，得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后，問(wèn)題并未完全解決，前已述及，我們?cè)诮?shù)學(xué)模型的過(guò)程中，作了各種近似和簡(jiǎn)化，而且更重要的是，我們建立的數(shù)學(xué)模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù)，因此，模型的結(jié)果是否具有實(shí)際意義或滿足實(shí)際要求，有待于細(xì)致的分析。五、模型求解及結(jié)果的分析一個(gè)最典型的例子是：AMCM-92A題控制空中交通雷達(dá)發(fā)射功率的計(jì)算。 按照原題中給出的關(guān)于接收線路的靈敏度即對(duì)10微瓦的信號(hào)會(huì)作出反應(yīng)，通過(guò)模型計(jì)算， 對(duì)于大飛機(jī)（保證雷達(dá)反射截面大于75米2）而言，雷達(dá)發(fā)射功率為7.3106瓦，雖然很大，但還是可以達(dá)到。 要控測(cè)到小飛機(jī)（雷達(dá)反射截面約為2米2），雷達(dá)需要的發(fā)射功率為2.61013瓦！這顯然是不

18、合理的。 優(yōu)秀論文作者通過(guò)查閱資料，由1944年某雷達(dá)天線信噪比的數(shù)據(jù)算出，該雷達(dá)可以對(duì) 瓦的信號(hào)作出反應(yīng)，相比之下，本題所給的雷達(dá)的靈敏度就太差了，按照 瓦的靈敏度重新計(jì)算，得到雷達(dá)的發(fā)射功率只需大于36千瓦即可，這就比較符合實(shí)際了14105.114105.114105.1六、模型的檢驗(yàn)完成模型的設(shè)計(jì)及求解之后，我們還需要對(duì)模型的各種性能作出評(píng)價(jià)，這就是模型的檢驗(yàn)，它一般包括以下幾個(gè)方面：1 1、穩(wěn)定性和敏感性分析、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學(xué)模型它的價(jià)值在于能夠從已知的信息預(yù)測(cè)未知的東西，因此，一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果對(duì)模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性，這是其廣泛適用性的保證 以足球賽排名為例，用特

19、征向量法求出排名結(jié)果后，隨意改變一兩場(chǎng)比賽結(jié)果，觀察排名結(jié)果的變動(dòng)，發(fā)現(xiàn)變動(dòng)很小，說(shuō)明該模型對(duì)原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。作為實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)近似描述，數(shù)學(xué)模型所預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差，這種偏差是來(lái)源于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，還是由于模型的不完善造成的？為回答這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該對(duì)殘差（模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差）的分布作統(tǒng)計(jì)分析 。如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態(tài)分布，表示模型很好地反映了實(shí)際情況；如果殘差分布的均值不為0，則表明模型可能還需要進(jìn)一點(diǎn)修正。 2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優(yōu)秀論文作者先假設(shè)殘差服從正態(tài)分布，然后用顯著性水平a=0.01進(jìn)行檢驗(yàn)，

20、發(fā)現(xiàn)不能通過(guò)原假設(shè)，隨后，又對(duì)對(duì)數(shù)殘差 分別表示多巴胺濃度的觀測(cè)值和計(jì)算結(jié)果)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明模型預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)量級(jí)上是保持一致的。另一個(gè)重要的方面是，數(shù)據(jù)的測(cè)量中不可避免地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結(jié)果（依賴于原始數(shù)據(jù)）必然有一定的不準(zhǔn)確度，因此，估計(jì)結(jié)果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來(lái)計(jì)算，s為結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，Si（i=1,2,）是每個(gè)觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，如AMCM-91A題對(duì)于水塔水流量的估計(jì)，用上述方法很容易計(jì)算出用水量總標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.3 %，大約相當(dāng)于水塔容量的2.1% iiiiimmgmmgR,(1122221nssss數(shù)學(xué)建模即根據(jù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，將新建的模型與原來(lái)的模型進(jìn)行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性， 以CMCM-93B題(足球比賽的排名問(wèn)題)為例，優(yōu)秀論文用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)積分法和特征向量法的排名結(jié)果與各隊(duì)強(qiáng)弱順序（事先設(shè)定）進(jìn)行比較，100次模擬的結(jié)果表明，特征向量法給出的結(jié)果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。