CAD技術(shù)及其應(yīng)用

1、三維幾何造型 電子圖板 全生命周期曲曲 面面 造造 型型 實實 例例 產(chǎn)品的傳統(tǒng)生產(chǎn)過程產(chǎn)品的傳統(tǒng)生產(chǎn)過程 計算機輔助下的產(chǎn)品開發(fā)過程計算機輔助下的產(chǎn)品開發(fā)過程需求分析方案論證總體設(shè)計技術(shù)設(shè)計詳細設(shè)計試生產(chǎn)性能實驗修改定型工程（有限元）分析工程（有限元）分析優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計開始開始需求分析需求分析確定性能確定性能總體設(shè)計總體設(shè)計原型產(chǎn)品參考原型產(chǎn)品參考原型修改原型修改結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)構(gòu)設(shè)計評估決策評估決策工程描述工程描述制制 造造產(chǎn)產(chǎn) 品品結(jié)束結(jié)束初步設(shè)計初步設(shè)計三維幾何建模三維幾何建模知識庫知識庫模型庫模型庫二維繪圖二維繪圖數(shù)控編程數(shù)控編程工藝設(shè)計工藝設(shè)計數(shù)控加工數(shù)控加工CADCAM是是是是否否否

2、否 集成化集成化單一數(shù)據(jù)源；產(chǎn)品主模型；產(chǎn)品生命周期管理單一數(shù)據(jù)源；產(chǎn)品主模型；產(chǎn)品生命周期管理 智能化智能化知識工程；專家系統(tǒng)；自頂而下知識工程；專家系統(tǒng)；自頂而下 標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化GKS ； IGES ；STEP 網(wǎng)絡(luò)化網(wǎng)絡(luò)化基于基于Web的資源共享、設(shè)計評估、協(xié)同工作的資源共享、設(shè)計評估、協(xié)同工作 低端低端AutoCAD; MasterCAM 等等 中端中端SolidWorks 等等 高端高端UG；ProE；CATIA等等一個實例一個實例自頂而下的智能化軸系設(shè)計制造自頂而下的智能化軸系設(shè)計制造系統(tǒng)數(shù)據(jù)流系統(tǒng)數(shù)據(jù)流可運行于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，實現(xiàn)跨地區(qū)和國家的分布式資源共享及設(shè)計評估三維幾何模型二維圖

3、紙工藝規(guī)劃自自動動輸輸出出的的結(jié)結(jié)果果1. 平時測驗平時測驗 30 課堂測驗課堂測驗10 大型作業(yè)大型作業(yè)202. 期末考試期末考試 70本章要點：本章要點：1. 理解點、矢量、坐標(biāo)系的概念理解點、矢量、坐標(biāo)系的概念2. 理解理解預(yù)備知識：預(yù)備知識：坐標(biāo)系、點、矢量回顧坐標(biāo)系、點、矢量回顧1. 刻舟求劍的故事刻舟求劍的故事坐標(biāo)系的人為性和相對性坐標(biāo)系的人為性和相對性2. 點坐標(biāo)系中的絕對位置。點坐標(biāo)系中的絕對位置。3. 矢量具有矢量具有長度和方向，長度和方向，且服從且服從相等、相相等、相加、相減及數(shù)乘加、相減及數(shù)乘諸法則的量。諸法則的量。4. 點與矢量的關(guān)系絕對位置與相對位置點與矢量的關(guān)系絕對

4、位置與相對位置。例：直線的參數(shù)方程例：直線的參數(shù)方程矢量形式：矢量形式：曲線的參數(shù)矢量方程曲線的參數(shù)矢量方程0101( )(01)( )x taa tty tbbt 0( )( )( )Ttx ty ttPPT01( )( )( )(1)Ttx ty tttPPP0P1PT( )cos(02 )( )sinx tRtty tRt 曲線的參數(shù)矢量方程曲線的參數(shù)矢量方程或或2220 xyR圓的非參數(shù)方程圓的非參數(shù)方程例：圓的參數(shù)方程例：圓的參數(shù)方程22yRx 采用參數(shù)矢量方程的幾點理由：采用參數(shù)矢量方程的幾點理由：1參數(shù)方程便于曲線的繪制參數(shù)方程便于曲線的繪制2參數(shù)方程與坐標(biāo)系選取無關(guān)參數(shù)方程與坐

5、標(biāo)系選取無關(guān)3參數(shù)方程可以方便地表示垂參數(shù)方程可以方便地表示垂 直切線直切線4參數(shù)方程可以方便地表示空參數(shù)方程可以方便地表示空 間曲線間曲線圓弧？圓??？12( ) ( ), ( ), ( )( )i( )j( )k ,tx ty tz tx ty tz ttt tp，2 , 0sin,cos)(p曲線的參數(shù)矢量方程曲線的參數(shù)矢量方程0)(v/L,tvt, tsina, tcosatp一般形式：一般形式：思考題：上面空間螺旋線的非參數(shù)方程表示形式是什么？基表示形式：基表示形式：, )()(210tttttniiiaptttttttttiii)(1)( 1 , 0),()1 ()(101010pp

6、pp1)(0niit曲線的參數(shù)矢量方程曲線的參數(shù)矢量方程ttttdtdtttt)(p)(plimp)(p00000 )( ),( ),( )(tztytxt p( )( )( ),p ( )p ( )p ( )x ty tz ttttT)(p)( ,)(p)( nttxtty 平面曲線平面曲線矢量函數(shù)的導(dǎo)矢及其應(yīng)用矢量函數(shù)的導(dǎo)矢及其應(yīng)用( ) sincos a,br課后習(xí)題課后習(xí)題2 矢量函數(shù)的導(dǎo)矢及其應(yīng)用矢量函數(shù)的導(dǎo)矢及其應(yīng)用導(dǎo)矢運算法則導(dǎo)矢運算法則 參見參見P15。課后習(xí)題課后習(xí)題2012( )111010ttt p(0.5)p課后習(xí)題課后習(xí)題3 ：求曲線 上一點處的切線方程和法平面方程。

7、)(),(),()(ppszsysxs ,pp)()(p10110 tttt,pp)()(p1011202 tttt)(),(),()(pptztytxt 2222)()()(dzdydxds 曲線的自然參數(shù)方程曲線的自然參數(shù)方程dttdttztytxtstztytxdtdzdydxdtdstttt 002222222222)( p)( ()( ()( ()()( ()( ()( ()()()()()(p)(ppsst 曲線的自然參數(shù)方程曲線的自然參數(shù)方程例：圓柱螺線的參數(shù)方程為：例：圓柱螺線的參數(shù)方程為： 求圓柱螺線的自然參數(shù)方程。求圓柱螺線的自然參數(shù)方程。)(bt, tsina, tcos

8、at r2222)()()(dzdydxds 22( )()()( )1dsdsdsdsppp 2.4 曲線論的基本公式曲線論的基本公式( )( )sstp 0)()(21)(2 sssttt垂垂直直與與)( t)( tss)()()(ssksnt )(p)( t)(sssk )()()(sssbnt )(st)(sn)(sb( ) sT( ) sN( ) sB2( )( )0( )( )( )( )0( )( )( ( )1( )( )2 ( )( )0( )( )sssssssssssssss BTBTBTBTBBNBBBB與垂直又與平行與垂直( )( )ss BN( )( )( )( )

9、( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )sssssssssk ssssk ss NBTBTNTBNBT( )( )( )sssNBT2.4 曲線論的基本公式曲線論的基本公式00000 TTNNBB( )( )( )limlimlimsssdsk ssdssssddsTTTT2.5 曲率、撓率的意義及計算曲率、撓率的意義及計算222( )( ) ( ) ( ) ( )k ssx sy sz sp ？( ) sT()ssTT( ) sT( ) sN( ) sB曲率的應(yīng)用：曲率的應(yīng)用：1. 已知曲線，求任意點的曲率。已知曲線，求任意點的曲率。2 . 在作曲線光順處理

10、時，作為判別曲線是否光在作曲線光順處理時，作為判別曲線是否光 順的準(zhǔn)則。順的準(zhǔn)則。3 . 已知曲率已知曲率k(s)和邊界條件，求解曲線的方程。和邊界條件，求解曲線的方程。 。2.5 曲率、撓率的意義及計算曲率、撓率的意義及計算2)()(),(),()(sssssp(ppp ( ) ( )ss BN000( )limlimlimsssdsdssssdds BBB( ) sB()ssBB？課后習(xí)題：課后習(xí)題：),sin,cos()(baa ppFrom CorcoranFrom mt_vernonmt_vernoncorcoranmt_vernoncorcoranComparison-Symmet

11、ry Profilesmt_vernoncorcoranComparison-Symmetry Profiles with Curvaturemt_vernon corcoranNose bridge Nose tip Nose bottom mmlmmdcc352.86856.65mmlmmdvv652.77639.60Where d is the Euclidean distance between the nose bridge and the nose bottom; l is the arc length between the nose bridge and the nose bo

12、ttom. The superscripts v and c represent Mt-Vernon and Corcoran respectively. %9 . 7/ )(cvcdddd%1 .10/ )(cvcllllShrinkage rate:mt_vernoncorcoran 1. 一般形式一般形式 vuvuzvuyvuxvu、，),(),(),(),(p),(,),(0 vuvuvubappp( , )cos ,sin , 0,2 ,(,)zzz 0,00,11,01,11( , )1,01,01vu vuuuvvppppp回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面00000( , ) ( )cos ,( )

13、sin ,(t), , nntx tx tztt t r1. 曲面的等參線、偏導(dǎo)矢、混合偏導(dǎo)矢曲面的等參線、偏導(dǎo)矢、混合偏導(dǎo)矢2. 曲面的法矢曲面的法矢vvuvvuvuvuvuvuuvuuvvuu),(),(lim),(),(),(lim),(00pppppppp ),(),(),(),(vuvuvuvuu,vvuvupppp)n( ),(),(),(vuvuvuvvuuuvppp，)(),(),()(),(tztytxtvtu pp1. 曲面的法曲率曲面的法曲率2.高斯曲率、平均曲率高斯曲率、平均曲率21K)(M2121Colored Central Profile6. 曲面上曲面上峰脊鞍形

14、脊鞍形谷平面阱谷極小曲面Besl通過高斯曲率通過高斯曲率K和平均曲率和平均曲率M的組合，將點附近的曲面形的組合，將點附近的曲面形狀分為八種基本特征類型狀分為八種基本特征類型 三角網(wǎng)格模型三角網(wǎng)格模型曲率類型標(biāo)識曲率類型標(biāo)識區(qū)域分割區(qū)域分割懸鏈面的高斯曲率懸鏈面的高斯曲率 手動工具的平均曲率圖手動工具的平均曲率圖 3.1 三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景EJxMx)()(1232)1 ()()(1/yxyx 若若1)(xy則則EJxMxy)()( )(xM分段三次多項式分段三次多項式分段線性多項式分段線性多項式v點點通過點點通過v分段三次分段三次v二階連續(xù)二階連續(xù)三次樣條的特點：三次

15、樣條的特點：10)(332210 x,xaxaxaaxy232132)(xaxaaxy3.2 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù)已知一段曲線已知一段曲線 的兩個端點的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值：的兩個端點的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值：1010y,y,y,y則，設(shè)該段曲線為三次多項式函數(shù)：則，設(shè)該段曲線為三次多項式函數(shù)：10)( x,xy帶入四個已知條件求解，可得到四個未知量帶入四個已知條件求解，可得到四個未知量3210a,a,a,a320100100100( )(22 )(332),01y xyyyyxyyyy xy xyx10)()2()32() 13(2)(231230231230 x,xxyxxxyxxyxxyx

16、y10)()()()()(11001100 x,xGyxGyxFyxFyxy3.3 參數(shù)三次（參數(shù)三次（PC）曲線段曲線段給定曲線段的兩個端點，和在兩給定曲線段的兩個端點，和在兩個端點處的一階導(dǎo)矢，設(shè)曲線段個端點處的一階導(dǎo)矢，設(shè)曲線段的表達式為：的表達式為：332210)(ttttaaaaP232132)(tttaaaP 將已知端點條件帶入到上兩式中：將已知端點條件帶入到上兩式中：) 1 (32)0() 1 ()0(321132100PaaaPaPaaaaPa ) 1 ()0()1 ()0( 2) 1 ()0(2)0() 1 ( 3)0()0(3210PPPPaPPPPaPaPa 3.3 參數(shù)

17、三次（參數(shù)三次（PC）曲線段曲線段0101P( )( )P(0)( )P(1)( )P (0)( )P (1)tF tF tG tG t ) 1()() 1()(32)(132)(2120231230tttGtttGtttFtttF ) 1 ()0() 1 ()0(00010100123311221)(32PPPPPtttt三次三次Hermite基函數(shù)基函數(shù)PC曲線段實質(zhì)曲線段實質(zhì)就是參數(shù)三次就是參數(shù)三次Hermite 插值插值不具有不具有對稱性對稱性設(shè)設(shè) 分別為曲線段首末端的單位切矢，則分別為曲線段首末端的單位切矢，則 ) 1 ()0(tt、) 1 () 1 ()0()0(10tPtP ，式

18、中式中 決定了曲線的豐滿程度，一般決定了曲線的豐滿程度，一般10、)0() 1 (310PP ，切矢模長的影響切矢模長的影響3.3 參數(shù)三次（參數(shù)三次（PC）曲線段曲線段Hermite插值的域變換插值的域變換實踐中常常需要定義任意參數(shù)域?qū)嵺`中常常需要定義任意參數(shù)域 上的參數(shù)三次上的參數(shù)三次Hermite插插值，這可以通過定義在值，這可以通過定義在 上的參數(shù)三次上的參數(shù)三次Hermite插值作域變換插值作域變換得來。得來。,1 iiuuu 1 , 0 tiiuuutt )(令令iiiuu 1, )()()()()(1111010 iiiiiiiiuuutGtGtFtFutPPPPPP) 1 ()

19、()0()()0()()0()()(1000PPPPP tGtGtFtFt 1) 1 ()0(iiiiPPPPHermite插值插值給定數(shù)據(jù)點列給定數(shù)據(jù)點列nii,.,1 , 0, p及其切矢及其切矢nii,.,1 , 0, p對數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化，即確定一個參數(shù)分割對數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化，即確定一個參數(shù)分割nuuuu 10:就可以構(gòu)造就可以構(gòu)造Hermite插值曲線插值曲線p(u), 即有即有iiiiuupppp )()(，iiuut 其中其中, )()()()()(1111010 iiiiiiiiuuutGtGtFtFuPPPPp1, 1 , 0 niHermite插值插值實際問題中，一般只有數(shù)

20、據(jù)點，而沒有數(shù)據(jù)點處的切矢。可以根據(jù)數(shù)據(jù)點計實際問題中，一般只有數(shù)據(jù)點，而沒有數(shù)據(jù)點處的切矢。可以根據(jù)數(shù)據(jù)點計算切矢，方法有多種，如：算切矢，方法有多種，如：（1）FMILL方法：方法：iiiiiiiiiiippp 11111（2）Bessel方法方法(拋物線擬合法）：拋物線擬合法）：iiiiiiiii 111tpppppt111100022 nnnnpppppp，二二二二二二 階階階階階階 連連連連連連 續(xù)續(xù)續(xù)續(xù)續(xù)續(xù)？, )()()()()(1111010 iiiiiiiiuuutGtGtFtFuPPPPp 111010 )()()()(1)(iiiiiiiitGtGtFtFuPPPPp 1

21、110102 )()()()()(1)(iiiiiiiitGtGtFtFuPPPPpiiuuutt )(對每段曲線求一階、二階導(dǎo)矢函數(shù)：對每段曲線求一階、二階導(dǎo)矢函數(shù)： iiiiiiiitGtGtFtFuPPPPp11110110211 )()()()()(1)(,1iiuuu 1 ,iiuu u,1 iiuuu將將u=ui帶入帶入 ，并令其相等，可得，并令其相等，可得1, 1 3)(21111111 niiiiiiiiiiiiiippppp三三 切切 矢矢 連連 續(xù)續(xù) 性性 方方 程程補充兩個補充兩個邊界條件邊界條件，即，即可求解出所有的切矢。可求解出所有的切矢。（1）切矢條件）切矢條件（2

22、）自由端點條件（端點曲）自由端點條件（端點曲率為率為0）（3）拋物線條件（）拋物線條件（Bessel條件條件，即使首末段為拋物線），即使首末段為拋物線）邊界條件應(yīng)根據(jù)實際情況靈活給出。邊界條件應(yīng)根據(jù)實際情況靈活給出。i = ?根據(jù)對數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化的方法，可以將參數(shù)三次樣條曲線劃分成根據(jù)對數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化的方法，可以將參數(shù)三次樣條曲線劃分成如下類型：如下類型：（1）均勻參數(shù)三次樣條曲線（）均勻參數(shù)三次樣條曲線（Ferguson參數(shù)樣條曲線）參數(shù)樣條曲線）1, 1 341111 niiiiiippppp1, 1 , 0, 1 niiuii此時，三切矢方程簡化為：此時，三切矢方程簡化為：Fergu

23、son 方法的優(yōu)點是簡化，方法的優(yōu)點是簡化，但當(dāng)數(shù)據(jù)點分布不均勻時，曲但當(dāng)數(shù)據(jù)點分布不均勻時，曲線會產(chǎn)生波動。線會產(chǎn)生波動。此乃最常采用的一種數(shù)據(jù)點參數(shù)化方法。此乃最常采用的一種數(shù)據(jù)點參數(shù)化方法。（2）累加弦長參數(shù)三次樣條曲線）累加弦長參數(shù)三次樣條曲線niuuuiii, 2 , 10110 p根據(jù)對數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化的方法，可以將參數(shù)三次樣條曲線劃分成根據(jù)對數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化的方法，可以將參數(shù)三次樣條曲線劃分成如下類型：如下類型：（3）向心參數(shù)三次樣條曲線）向心參數(shù)三次樣條曲線niuuuiii, 2 , 1021110 p考慮曲線拐折，使向心考慮曲線拐折，使向心加速度與曲線段起點到加速度與曲線段起

24、點到終點的拐角成正比，推終點的拐角成正比，推得。得。（4）修正弦長參數(shù)三次樣條曲線）修正弦長參數(shù)三次樣條曲線參數(shù)三次樣條曲線參數(shù)三次樣條曲線存在唯一性存在唯一性收斂性收斂性不易控制不易控制計算穩(wěn)定計算穩(wěn)定整體性整體性缺乏柔性缺乏柔性代數(shù)方程代數(shù)方程 V.S. 參數(shù)矢量方程參數(shù)矢量方程!1. “大撓度大撓度”問題問題2. 端點條件端點條件3. 擬合封閉曲線（見擬合封閉曲線（見P40例題）例題）4. 關(guān)于三關(guān)于三“二階導(dǎo)矢二階導(dǎo)矢”方程方程5. 強制二階連續(xù)的問題強制二階連續(xù)的問題P38P40討論：討論：給定呈拓撲矩形陣列的數(shù)據(jù)點：給定呈拓撲矩形陣列的數(shù)據(jù)點：njmiji, 1 , 0;, 1 ,

25、 0, p沿沿u向?qū)Ω髋艛?shù)據(jù)點分別構(gòu)造向?qū)Ω髋艛?shù)據(jù)點分別構(gòu)造Ferguson參數(shù)三次樣條曲線，由三切矢方程：參數(shù)三次樣條曲線，由三切矢方程：1, 1 34, 1, 1, 1,1 mijijijijijipppppuuu加上邊界條件，可以求得所有的加上邊界條件，可以求得所有的jui,p沿沿v向?qū)Ω髋艛?shù)據(jù)點分別由三切矢方程加上邊界條件可以求得向?qū)Ω髋艛?shù)據(jù)點分別由三切矢方程加上邊界條件可以求得jvi,p構(gòu)造構(gòu)造張量積張量積曲面：曲面： )()()()(0000 )()()()(),(10101,1, 11,1,1, 11,1, 11,1,1010tGtGtFtFsGsGsFsFvuj,ijui,ji

26、,ji,j,ijvi,j,iji,ji,ji,ji,ji,uuuvvvppppppppppppp各網(wǎng)格線上二階連續(xù)各網(wǎng)格線上二階連續(xù)1v ,v ,101,1,11,v1,110101u ,u ,1uv ,uv ,101,u111,uv1,11pppp( )pppp( )p( , )( )( )( )( )pppp( )pppp( )i,ji,ji ji jijijvijiji ji ji ji juiji,juvijijF tF tu vF sF sG sG sG tG tuv ,1uv ,uv ,1,1,1p4pp3pp1,1i ji ji jui jui jjn整張曲面處處二階連續(xù)整張曲面

27、處處二階連續(xù),1,1,1,11,11,1,11,11,1,1,1,1,11,11,1,11,1,1pppppppppp43ppppppppppvi jvi jvi ji ji jvijvijvijijijuvi juvi juvi jui jui juvijuvijuvijuijui j1,1jn思考題：思考題：為什么雙三次樣條曲面能夠達到整張曲面處處二階連續(xù)，為什么雙三次樣條曲面能夠達到整張曲面處處二階連續(xù)，而而Ferguson雙三次曲面只能達到整體一階連續(xù)？雙三次曲面只能達到整體一階連續(xù)？1, 1341,1, 1,1,1,1, 11, 11,1,1, 1,1,1, 1,1, 1, 1,1,

28、 1,1,1, 1,1, njjiujiujiujiujijijijijiuvjiuvjivjivjiuvjiuvjivjivjiuvjiuvjivjivppppppppppppppppppppji4.1 選定一對混合函數(shù)選定一對混合函數(shù)F0、F1，它們，它們具備以下性質(zhì)：具備以下性質(zhì)：1 , 0,)(, jijFjii第一步：第一步：在在u向構(gòu)造插值邊界向構(gòu)造插值邊界p(0,v)、p(1,v)的曲面片的曲面片), 1 ()(), 0()(),(101vuFvuFvuppp 4.1 選定一對混合函數(shù)選定一對混合函數(shù)F0、F1，它們，它們具備以下性質(zhì)：具備以下性質(zhì)：1 , 0,)(, jijFj

29、ii第二步：第二步：在在v向構(gòu)造插值邊界向構(gòu)造插值邊界p(u,0)、p(u,1)的曲面片的曲面片) 1 ,()()0 ,()(),(102uvFuvFvuppp 4.1 選定一對混合函數(shù)選定一對混合函數(shù)F0、F1，它們，它們具備以下性質(zhì)：具備以下性質(zhì)：1 , 0,)(, jijFjii4.1 第三步：第三步：用四個角點和混合函數(shù)用四個角點和混合函數(shù)F0、F1構(gòu)造張量積曲面構(gòu)造張量積曲面 )()( ) 1 , 1 ()() 1 , 0()()0 , 1 ()()0 , 0()()()() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0( )()(),(10101010103vFvFu

30、FuFuFuFvFvFuFuFvuppppppppp4.1 用用p1(u,v)p2(u,v)p3(u,v)即完全插值了給定的四條邊界。即完全插值了給定的四條邊界。4.1 ) 1 ,()()0 ,()(),(102uvFuvFvuppp ), 1 ()(), 0()(),(101vuFvuFvuppp )()() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0( )()(),(10103vFvFuFuFvuppppp )()(1) 1 , 1 ()0 , 1 (), 1 () 1 , 0()0 , 0(), 0() 1 ,()0 ,(0 )()(1),(),(),(),(101032

31、1vFvFvvuuuFuFvuvuvuvupppppppppppp邊界信息方陣邊界信息方陣4.2 給定曲面的四條邊界曲線給定曲面的四條邊界曲線p(u,0)、p(u,1)、p(0,v)、p(1,v)，以及四條，以及四條邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線pv(u,0)、pv(u,1)、pu(0,v)、pu(1,v)。第一步：第一步：利用帶一階導(dǎo)矢的利用帶一階導(dǎo)矢的Hermite插值，構(gòu)造插值，構(gòu)造u向插向插值曲面值曲面 )1)0)0)0 )()()()(),(10101,v,v,v,vuGuGuFuFvuuu(p(pp(p(p選定兩對混合函數(shù)選定兩對混合函數(shù)F0、F1； G0、G1，

32、它們具備以下性質(zhì)：，它們具備以下性質(zhì)：,()()0,0 ,1()0()iijiiiijFjFjijGjGj4.2 第二步：第二步：利用帶一階導(dǎo)矢的利用帶一階導(dǎo)矢的Hermite插值，構(gòu)造插值，構(gòu)造v向插向插值曲面值曲面 )()()()( ) 1) 0) 1) 0),(10102vGvGvFvFu,u,u,u,vuvv(p(pp(p(p4.2 第三步：第三步：利用角點信息和同利用角點信息和同樣的樣的Hermite插值，構(gòu)造張插值，構(gòu)造張量積曲面曲面量積曲面曲面 )()()()() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0

33、, 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0( )()()()(),(101010103vGvGvFvFuGuGuFuFvuuvuvuuuvuvuuvvvvppppppppppppppppp4.2 插值給定曲面的四條邊界曲線插值給定曲面的四條邊界曲線p(u,0)、p(u,1)、p(0,v)、p(1,v)，以及四條，以及四條邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線pv(u,0)、pv(u,1)、pu(0,v)、pu(1,v)的的Coons曲曲面即為：面即為： )()()()(1) 1 , 1 ()0

34、 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 (), 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(), 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 (), 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(), 0() 1 ,()0 ,() 1 ,()0 ,(0 )()()()(1),(),(),()(10101010321vGvGvFvFvvvvuuuuuGuGuFuFvuvuvuu,vuvuvuuuuvuvuuuvvvvvvpppppppppppppppppppppppppppp4.3 給定曲面的四條邊界曲線給定曲面的四條邊界曲

35、線p(u,0)、p(u,1)、p(0,v)、p(1,v)，以及四條，以及四條邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線邊界處的跨界一階導(dǎo)矢曲線pv(u,0)、pv(u,1)、pu(0,v)、pu(1,v)和跨界和跨界二階導(dǎo)矢曲線二階導(dǎo)矢曲線pvv(u,0)、pvv(u,1)、puu(0,v)、puu(1,v)。選定三對混合函數(shù)選定三對混合函數(shù)F0、F1； G0、G1 ； H0、H1， 它們具備以下性質(zhì)：它們具備以下性質(zhì)：1 ,0,)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)()(, jijHjGjFjHjGjFjHjGjFjiiiiijiiiiijii )()()()()()(1) 1 , 1 ()0 , 1 (

36、) 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 (), 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(), 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 (), 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(), 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 (), 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(),

37、 0() 1 ,()0 ,() 1 ,()0 ,() 1 ,()0 ,(0 )()()()()()(1),(),(),()(101010101010321vHvHvGvGvFvFvvvvvvuuuuuuuHuHuGuGuFuFvuvuvuu,vuuvvuuvvuuvuuvuuuuuuuuvvuuvvuuvuuvuuuuuuuvvuvvuvuvuuuuvvuvvuvuvuuuuvvvvvvvvvvvvvvvvvpppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp4.3 可以明顯看出孔斯方法的規(guī)律性，從而能夠?qū)懗霾逯悼梢悦黠@看出孔斯方法的規(guī)律性，

38、從而能夠?qū)懗霾逯到o定四條邊界和直到給定四條邊界和直到k階跨界導(dǎo)矢階跨界導(dǎo)矢的的Coons曲面。曲面。14.4 )()()()() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0( )()()()(),(101010103vGvGvFvFuGuGuFuFvuuvuvuuuvuvuuvvvvppppppppppppppppp )()()()( ) 1) 0) 1) 0),(10102vGvGvFv

39、Fu,u,u,u,vuvv(p(pp(p(p )1)0)0)0 )()()()(),(10101,v,v,v,vuGuGuFuFvuuu(p(pp(p(p4.4 )1)0)1)0 )()()()(),(10101,v,v,v,vuGuGuFuFvuuu(p(pp(p(p )()()()() 10) 00) 10) 00)01010vGvGvFvF,vvv(p(pp(p(p(若若 )()()()( ) 10 () 00 () 10 () 00 ()0 (1010vGvGvFvF,vuvuvuuuppppp )()()()( ) 11 () 01 () 11 () 01 ()1 (1010uGuG

40、uFuF,vuvuvuuuppppp )()()()( ) 11) 01) 11) 01)11010vGvGvFvF,vvv(p(pp(p(p(4.4 )1)0)1)0 )()()()(),(10101,v,v,v,vuGuGuFuFvuuu(p(pp(p(p若若 )()()()() 11) 01) 11) 01) 10) 00) 10) 00) 11) 01) 11) 01) 10) 00) 10) 001010vGvGvFvF,uvuvuvuvvvvv(p(p(p(p(p(p(p(p(p(pp(p(p(pp(p(uuuu),(),(32vuvupp 用端點信息和同樣的混合函數(shù)構(gòu)造用端點信息

41、和同樣的混合函數(shù)構(gòu)造p(u,0)、p(u,1)、pv(u,0)、pv(u,1)，帶入帶入p2(u,v)的方程中，會得到的方程中，會得到所以，所以，),(),(),(),(),(3321vuvuvuvuvuppppp 則則),(),(31vuvupp 010101uu0uu1(0 0)(01)(0 0)(01)( )(10)(11)(10)(11)( )( , )( )( )( )( )(0 0)(01)(0 0)(01)( )(10)(11)(10)(11)( )vvvvuvuvuvuvTTcc,F v,F vu vF uF uG uG u,G v,G vUM BM Vpppppppppppp

42、ppppp雙三次曲面的矩陣表示：雙三次曲面的矩陣表示：曲面插值數(shù)據(jù)點的參數(shù)化曲面插值數(shù)據(jù)點的參數(shù)化參見P60P61Coons四邊界曲面實例四邊界曲面實例4.5 1. 張量積法張量積法)(),(ji,vuvup(p 作用于呈矩作用于呈矩形陣列的給形陣列的給定矢量定矢量0,00,11,01,11( , )1,01,01vu vuuuvvppppp例例1例例2,1v ,v101,1,11,v1110101u ,u ,1uv ,uv ,101,u111,uv111( )( )( , )( )( )( )( )( )( )i, ji, ji, ji,jijijviji,ji ji, ji ji juij

43、i,juviji,jF tF tu vF sF sG sG sG tG tppppppppppppppppp),(ju,vvup(p 作用于一個參作用于一個參數(shù)方向上的給數(shù)方向上的給定曲線及導(dǎo)矢定曲線及導(dǎo)矢等等2. 母線法母線法),(,vuvuip(p 4.5 例例1:例例2：單向蒙皮曲面：單向蒙皮曲面 )()()(),(u,vvupp作用于兩個參數(shù)方向上作用于兩個參數(shù)方向上的給定曲線及導(dǎo)矢的給定曲線及導(dǎo)矢3. 布爾和法布爾和法4.5 例例1：孔斯曲面：孔斯曲面p(u,v) p1(u,v)p2(u,v)p3(u,v)例例2：雙向蒙皮曲面：雙向蒙皮曲面10),()(0, ttBtnjnjjbpn

44、jttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 5.1 曲線的定義曲線的定義重溫一個圖例重溫一個圖例 關(guān)于幾何直觀性與形狀控制關(guān)于幾何直觀性與形狀控制jb5.2 的性質(zhì)的性質(zhì),( )(1),0,1,.,jjnjj nnBtC ttjn10 t,1,0(0)0,0j njjB,1,(1)0,j njnjnB端點處：端點處：5.2 的性質(zhì)的性質(zhì)njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t1)(0, njnjtBnjnjn , jjnjinntttCtt00)()1 ()1(1B5.2 的性質(zhì)的性質(zhì)njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 1

45、0 t)1 ()(,tBtBnjnnj jnjjnnjttCtB )1 ()(,jjnjnjjnjnnnjnttCttCtB )1 ()1 ()1 (,5.2 的性質(zhì)的性質(zhì)njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t1)()()()1 ()(001, 11, ttttttnjnjnj，其中，其中，BBBB)()()1 ()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1, 11,111111,ttttttCttCttCCttCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjnjjnnj BBB5.2 的性質(zhì)的性質(zhì)njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10

46、 t)()()(1,1, 1,ttntnjnjnj BBB)()()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1,1, 11111111,ttnttnCttnCttjnCtjtCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjjnnj BBB5.3 的性質(zhì)的性質(zhì)10),()(0, ttBtnjnjjbp00010j,j,)(n , jB njnjnj, 0, 1) 1 (,Bnbpbp) 1 ()0(0通過首、末通過首、末控制頂點控制頂點5.3 的性質(zhì)的性質(zhì))()-()()()(11111110tBntBtBntn ,jjjnjn , jn ,jnjjbbbp)()()(1,1, 1,ttntnjn

47、jnj BBB因為因為所以所以)() 1 ()()0(101nnnnbbpbbp類似地有：類似地有：)()(1() 1 ()()(1()0(2110112 nnnnnnnnbbbbpbbbbp跟首末跟首末各一各一條邊有關(guān)條邊有關(guān)跟首末跟首末各兩各兩條邊有關(guān)條邊有關(guān)5.3 的性質(zhì)的性質(zhì)10),()(0, ttBtnjnjjbp1)(0, njnjtB5.3 的性質(zhì)的性質(zhì))1 ()(,tBtBnjnnj 因為jn*j bb)-(1)-(1)-(1)()()(0000ttBtBtBtBtnjn , jjnjn , jnjnnjn , jjnnjn , j*j*pbbbbp5.3 的性質(zhì)的性質(zhì)10),

48、()(0, ttBtnjnjjbp凸包示意圖凸包示意圖5.3 的性質(zhì)的性質(zhì)10),()(0, ttBtnjnjjbp5.3 的性質(zhì)的性質(zhì)10),()(0, ttBtnjnjjbp5.3 的遞推定義的遞推定義1. 2. knjnktbbtkbnktBtkjkjjkjknjknjkj,.,2 , 1 , 0,.,2 , 1)1 (0,.,1 , 0),()(1110,bbp5.4 的分割的分割習(xí) 題000Tb11 1Tb210Tb1. 給定平面上三個控制頂點給定平面上三個控制頂點 、 、0.3t 計算由這三個控制頂點定義的二次計算由這三個控制頂點定義的二次Bzier曲線曲線上參數(shù) 處的點的位置及曲

49、線在該點處的切矢。2. 將上題中所給的曲線在點 處分割為兩段曲線，求它們各 自的控制頂點。0.3t ,11,10 0( )(1)( )( )( )1j nj njnttttttBBBB，其中，3. 請推導(dǎo)出Bernstein基函數(shù)的如下導(dǎo)數(shù)遞推性：5.5 的拼接的拼接10)(11(1) t,tp10)(22(2) t,tp)0() 1 (2)(1)ppTpTp2(2)1(1)0() 1 (3(2)(2)(2)3(1)(1)(1)| )0(| )0()0(| ) 1 (| ) 1 () 1 (pppppp|) 1 ()0(1)2(2)pTpT) 1 () 1 ()0(1)(1)2(2)ppp對于

50、兩個參數(shù)曲線段：對于兩個參數(shù)曲線段：G0連續(xù)條件：連續(xù)條件：G1連續(xù)條件：連續(xù)條件：G2連續(xù)條件：連續(xù)條件：12(1)(2)| ) 1 (| )0(pp|帶入帶入G1條件條件提高靈活性提高靈活性5.5 的拼接的拼接以三次曲線的拼接為例：以三次曲線的拼接為例：G0連續(xù)條件：連續(xù)條件：(2)0(1)3VVTVVVV)(3)(3(2)0(2)12(1)2(1)31G1連續(xù)條件：連續(xù)條件：三點共線三點共線)(3)2(6)2(6(1)2(1)3(1)3(1)2(1)12(2)2(2)1(2)0VVVVVVVVG2連續(xù)條件：連續(xù)條件：五點共面五點共面5.6 的矩陣表示的矩陣表示10,)()(0, ttBt

51、jnjnjbp nnnnnnnnnnnnnnnnbbbMttbbbmmmmmmmmmttbbbtBtBtBt1010,1 ,0, 11 , 10, 1, 01 , 00, 010, 1, 011)()()()(p5.6 的矩陣表示的矩陣表示的矩陣表示與其他形式等價，矩陣表示十分便于的矩陣表示與其他形式等價，矩陣表示十分便于研究各種方法之間的轉(zhuǎn)換。研究各種方法之間的轉(zhuǎn)換。思考題：思考題：分別將三次分別將三次5.7 的擬合的擬合給定曲線上的型值點列給定曲線上的型值點列pi, i =0,1,m，求一條，求一條n次次曲線曲線mnttBtjnjnj , 10,)()(0,bp最好地逼近給定的型值點，稱為

52、最好地逼近給定的型值點，稱為的擬合問題的擬合問題。其中其中bj, j = 0,1,n待定。待定。pi 所對應(yīng)的參數(shù)值，然后將已所對應(yīng)的參數(shù)值，然后將已知條件帶入（知條件帶入（1）式，得到由）式，得到由m+1個矢量方程組成的方程組：個矢量方程組成的方程組：mitBtjinjnjii,.,1 , 0,)()(0, bpp5.7 的擬合的擬合)0 , 1 , 0(0V、V310 0( , , ) 5523. 0) 12()1 (34222234010 DADBAVVV43 DBDC V10552310( ., , )V2105523 0( , ., )5.8 張量積張量積三次均勻三次均勻B樣條曲線樣

53、條曲線1. 三次三次B樣條曲線段樣條曲線段10 )()()()()(3i2i1ii43424140u,uNuNuNuNu,iVVVVpB,MuuuuuuuNuNuNuN32324342414011331036303030141! 311 )()()()(其中：v三次三次B樣條曲線段的端點性質(zhì)樣條曲線段的端點性質(zhì):321321331036303030141! 311)(iiiiuuuuVVVVp)(21 2 )()()0()(21)0(3231 )2)(2131 )4(61)0(121121211221iiiiiiiiiiiiiiiiiiiVVVVVVVpVVpVmVVVVVVp1. 三次三次B

54、樣條曲線樣條曲線現(xiàn)從現(xiàn)從曲線分段光曲線分段光滑連續(xù)的要求出滑連續(xù)的要求出發(fā)，推導(dǎo)三次發(fā)，推導(dǎo)三次B樣樣條曲線方程。條曲線方程。)0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (111iiiiiipppppp連續(xù)條件：4i433i422i411i403i432i421i41i40)0()0()0()0() 1 () 1 () 1 () 1 (VVVVVVVV,NNNNNNNN0)0()0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (0) 1 (4342434142404140,NNNNNNNN0)0()0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (0) 1 (4342434142404140,NNN

55、NNNNN0)0()0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (0) 1 (4342434142404140, N N N N N N N N1)()()()(43424140uNuNuNuN,解解16個方程構(gòu)成的方程組，得到個方程構(gòu)成的方程組，得到4個基函數(shù)中共個基函數(shù)中共16個待定系數(shù)。得到：個待定系數(shù)。得到：343324232413240! 31) 1 ()333(1! 31) 1 ()36(4! 31) 1 ()33(1! 31) 1 (uNuuuNuu-N-uuu-N,) 10310(1)( )()()()()(321323043i2i1ii43424140u;n,.,iMuuuu

56、NuNuNuNuNuiiiiBjji, j,iVVVVVVVVVp 局部性。局部性。 保凸性。保凸性。 對稱性對稱性 曲線易于反向。曲線易于反向。 與與。參見P87給定曲線上的型值點列給定曲線上的型值點列pi, i =0,1,n，求特征多邊形頂點的位置矢，求特征多邊形頂點的位置矢量量 Vi (i = -1, 0, , n+1) 構(gòu)成的一條構(gòu)成的一條三三次均勻次均勻曲線，最好地曲線，最好地逼近給定的型值點，稱為逼近給定的型值點，稱為均勻均勻的擬合問題的擬合問題。)10()4(611ii1 - in,.,i,ipVVV應(yīng)滿足插值條件：應(yīng)滿足插值條件：再補充兩個邊界條件即可解出再補充兩個邊界條件即可

57、解出 Vi (i = -1, 0, , n+1) 通常是補充邊界切矢條件：通常是補充邊界切矢條件：nnnpVVpVV)(21)(2111011最終是解一個三對角方程組，得到各控制頂點，具體可用追趕法最終是解一個三對角方程組，得到各控制頂點，具體可用追趕法解三對角方程組。解三對角方程組。許多軟件系統(tǒng)中，用戶也可以不給定邊界條件，這時系統(tǒng)可根據(jù)許多軟件系統(tǒng)中，用戶也可以不給定邊界條件，這時系統(tǒng)可根據(jù)邊界處的幾個型值點作局部擬合，再求導(dǎo)得到切矢，然后用上述邊界處的幾個型值點作局部擬合，再求導(dǎo)得到切矢，然后用上述方法計算。方法計算。改變某個控制頂點，曲線只有部分發(fā)生改變，這是改變某個控制頂點，曲線只有

58、部分發(fā)生改變，這是B樣條曲線的局樣條曲線的局部性質(zhì)。如果要改變一個內(nèi)部型值點，則曲線整體都會發(fā)生改變部性質(zhì)。如果要改變一個內(nèi)部型值點，則曲線整體都會發(fā)生改變，但在該型值點處改變最大，遠離該型值點的地方改變迅速減小，但在該型值點處改變最大，遠離該型值點的地方改變迅速減小。二次均勻二次均勻B樣條曲線：樣條曲線：10 )()()()(2i1ii323130u,uNuNuNu,iVVVp端點性質(zhì)端點性質(zhì)：)(21) 1 ()(21)0(211iiiiiiVVpVVp121) 1 ()0(iiiiiiVVpVVp1。均勻。均勻B樣條存在的問題樣條存在的問題2。非均勻。非均勻B樣條基函數(shù)的定義樣條基函數(shù)的

59、定義:1,01,11,1111( )0( )( )( )000iiiii mi mi mimi mii miifuuuNuotherwiseuuuuNuNuNuuuuu 規(guī)定 ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuN B樣條基函數(shù)的樣條基函數(shù)的支撐區(qū)間為支撐區(qū)間為ui,ui+m+1*1,jj mkjttjimkitt 111,0(1),1,2, ;,jkjkkjjkkm jimki ddddB樣條曲線上點的計算 類似于類似于Bezier曲線的遞推求值，曲線的遞推求值，B樣條曲線也有幾何直觀的遞推求值方法。樣條曲線也有幾何直觀的遞推求值方法。k為遞推次

60、數(shù)為遞推次數(shù) ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuN21 iiuu m次非均勻次非均勻B樣條曲線除給定控制頂點，還必須按照一定的規(guī)則樣條曲線除給定控制頂點，還必須按照一定的規(guī)則確定節(jié)點矢量中具體的節(jié)點值。開曲線一般取確定節(jié)點矢量中具體的節(jié)點值。開曲線一般取m1重端節(jié)點，并且重端節(jié)點，并且將定義域取成規(guī)范參數(shù)域，即將定義域取成規(guī)范參數(shù)域，即u0=um=0, un+1=un+m+1=1, um,un+1=0,1。主要的問題是考慮內(nèi)節(jié)點的確定。主要的問題是考慮內(nèi)節(jié)點的確定。 節(jié)點是節(jié)點是B樣條曲線分段連接點對應(yīng)的參數(shù)值。參數(shù)值的確定應(yīng)遵樣條曲線分段連接點