高考專題復習19-第19練　空間幾何體的平行與垂直問題新課標試卷

1、第19練空間幾何體的平行與垂直問題一、選擇題 1.設a,b,c是三條不同的直線,是三個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若ab,bc,則acB.若,則C.若ab,a,則bD.若,a,則a答案D已知a,b,c是三條不同的直線,是三個不同的平面,若ab,bc,則a與c相交、平行或異面,故A錯誤;若,則與相交或平行,故B錯誤;若ab,a,則b或b,故C錯誤;若,a,則易得a,故D正確.2.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1,CC1的中點,若過BE的平面與直線A1F平行,則平面截該正方體所得截面的面積為()A.5B.25C.4D.5答案B取DD1的中點G,連

2、接EG,CG,EC,如圖所示:易知A1E􀱀FC,所以四邊形A1ECF為平行四邊形,所以A1FEC.又A1F平面EBCG,EC平面EBCG,所以A1F平面EBCG,即四邊形EBCG為所求截面.易知BE=22+12=5,則S四邊形EBCG=BE×BC=25.3.若,是兩個不同的平面,則的一個充分條件是()A.存在兩條異面直線a,b,a,b,a,bB.存在一條直線a,a,aC.存在一條直線a,a,aD.存在兩條平行直線a,b,a,b,a,b答案A如圖,a,b為異面直線,且a,b,a,b,在內(nèi)過b上一點作ca,則內(nèi)有兩條相交直線平行于,則有,故A正確;若a,a,則與可能平行

3、,也可能相交,故B錯誤;若a,a,則與可能平行,也可能相交,故C錯誤;若ab,a,b,a,b,則與可能平行,也可能相交,故D錯誤. 4.九章算術(shù)中稱底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬,設AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱,如圖,若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點,以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是()A.4B.8C.12D.16答案D如圖所示,符合條件的底面有4個,每個底面對應符合條件的頂點有4個,陽馬的個數(shù)是4×4=16,故選D.5.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形ABCD,AC與BD的交點為O,SO平面ABCD且SO=2,E是邊BC的中點,動點P在四棱

4、錐表面上運動(不與E點重合),并且總保持PEAC,則動點P的軌跡的周長為()A.22B.23C.1+2D.1+3答案D分別取CD、SC的中點F、G,連接EF、FG和EG,如圖所示,則EFBD,EF平面BDS,BD平面BDS,EF平面BDS,同理可得FG平面BDS.又EFFG=F,EF平面EFG,FG 平面EFG,平面EFG平面BDS,由ACBD,ACSO,且BDSO=O,得AC平面BDS,AC平面EFG,點P在EFG的三條邊上,又EF=12BD=1,FG=EG=12SB=12×(2)2+12=32,EFG的周長為EF+EG+FG=1+3.即動點P的軌跡的周長為1+3.6.如圖,直四棱

5、柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=AB=2,BAD=60°,M是BB1的中點,則異面直線A1M與B1C所成角的余弦值為()A.-105B.15C.15D.105答案D由題意可得A1M=A1B1+B1M=AB12BB1,|A1M|=|A1B1|2+|B1M|2=5,B1C=BCBB1,|B1C|=|BC|2+|BB1|2=22,則cos<A1M,B1C>=A1M·B1C|A1M|B1C|=AB-12BB1·(BC-BB1)210=AB·BC+12|BB1|2210 =2×2×cos 60°+12&#

6、215;4210=105.7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點,則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.34B.34C.54D.54答案B如圖,設BC的中點為D,連接A1D、AD、A1B,易知A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補角).設三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長均為1,則AD=32,A1D=12,A1B=22,由余弦定理的推論得cosA1AB=A1A2+AB2-A1B22A1A·AB=1+1-122×1×1=34.8.(多選題)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D

7、1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為98D.點C和點G到平面AEF的距離相等答案BC取DD1的中點N,連接AN,則AN為直線AF在平面ADD1A1內(nèi)的射影,AN與DD1不垂直,從而AF與DD1也不垂直,選項A錯誤;取B1C1的中點M,連接A1M,GM,則A1MAE,GMEF,易證平面A1MG平面AEF,從而A1G平面AEF,選項B正確;連接AD1,D1F,易知四邊形AEFD1為平面AEF截正方體所得的截面四邊形,延長D1F,DC,AE交于點H,則D1H=AH=5,AD1=

8、2,所以SAD1H=12×2×(5)2-222=32,所以S四邊形AEFD1=34SAD1H=98,從而選項C正確;假設點C與點G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將CG平分,則平面AEF必過CG的中點,連接CG交EF于點O,易知O不是CG的中點,故假設不成立,從而選項D錯誤.二、填空題9.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中點,平面經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行,若正方體的棱長為2,則平面截正方體所得的多邊形的面積為. 答案92解析過B作BMC1E交B1C1于M,過M作BD的平行線,交C1D1于N,連接DN,則平面BDMN即為符合條件的平面,易知M

9、,N分別為B1C1,C1D1的中點,故BD=22,MN=2,且BM=DN=5,等腰梯形MNDB的高h=(5)2-222=322,梯形MNDB的面積為12×(2+22)×322=92.10.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,PCAD,底面ABCD為梯形,ABDC,ABBC,AB=BC,點E在棱PB上,若PD平面EAC,則PEEB=. 答案2解析如圖所示,連接BD交AC于點O,連接OE,PA平面ABCD,AD平面ABCD,PAAD,PCAD,PAPC=P,PA、PC平面PAC,AD平面PAC,AC平面PAC,ADAC.ABBC,AB=BC,AC=2A

10、B,BAC=45°,又ABDC,ACD=BAC=45°,ACD為等腰直角三角形,CD=2AC=2AB,OBOD=ABCD=12.PD平面EAC,PD平面PBD,且平面EAC平面PBD=OE,OEPD,PEEB=ODOB=2.11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,AD=2,E、F分別為棱AA1、BB1的中點.P為長方體表面上的一個動點,且EPCF,則點P運動的軌跡的長度為. 答案2+6解析過E構(gòu)造一個平面,使得CF,當點P在平面與長方體的表面的交線上時,EPCF成立.連接EF,因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱AA1、BB1的中點,所以EFCF. 在側(cè)面BCC1B1內(nèi)過點F作FGCF,交B1C1于點G,過G作GHA1B1,交A1D1于點H,則平面EFG就是所需要的平面.則平面EFG截長方體得到的截面為矩形EFGH