事件的條件概率和三個(gè)基本公式課件

1、關(guān)于事件的條件概率和三個(gè)基本公式1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁(yè)，共29頁(yè)2一、條件概率 對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的，但有時(shí)除了這個(gè)確定的條件以外，還會(huì)提出附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。 例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一樣的。 若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2； 但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3. 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁(yè)，共29頁(yè)3 例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女), (女,男),(

2、女,女)的可能性是一樣的。 若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2； 但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3. 我們將“已知事件 B 發(fā)生的條件下,事件 A 發(fā)生的概率”稱為條件概率，記為P (A | B)。若記B為至少有一男孩，則上述概率為)(PBA.)(P)(PBAB 32 4342 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁(yè)，共29頁(yè)4條件概率的計(jì)算公式規(guī)定如下： )(P)(P)(PBABBA )0)(P( B例 設(shè)袋中有7個(gè)黑球，3個(gè)白球，非還原摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改為還原摸取，結(jié)果如何？ 解 設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則 非還原:)(P)

3、(P)(PAABAB 還原:)(P)(P)(PAABAB .92103CC21023 .10310310322 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁(yè)，共29頁(yè)5不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)： ；0)(P BA(1) 非負(fù)性；1)(P B(2) 規(guī)范性(3) 可列可加性設(shè)設(shè)nAA,1是是兩兩兩兩不不相相容容的的事事件件，則則 11)(PPiiiiBABA并由此推出條件概率的其它性質(zhì)： ；0)(P)4( B;)(P1)(P)5(BABA )(P)(P)(P)(P)6(212121BAABABABAA 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁(yè)，共29頁(yè)6二、乘法公式二、乘法公式由條件概率的定義：即若P(B) 0, 則 P(AB)=

4、P(B)P(A|B)(P)(P)(PBABBA 若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).若P(A) 0, 則 P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個(gè)事件： ，)(P)(P)(P)(PABCABAABC P (A1A2An )=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)一般,與次序無關(guān)。乘法公式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁(yè)，共29頁(yè)7例1 解設(shè)設(shè)BA,為為任任意意兩兩個(gè)個(gè)事事件件，且且已已知知，5 . 0)(P A ，6 . 0)(P B 4 . 0)|(P AB, 求求)|(PBA )|(P)(P)(PABABA )(P)(P)(P BABAB ；20. 04 . 0

5、5 . 0 , BAABB 40. 020. 060. 0 )(P)(P)|(P BBABA )(P)(P)(PBABA 4 . 01 . 0 .25. 0 互互斥斥且且、 BAAB現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁(yè)，共29頁(yè)8例2 某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率. 解記A：合格品；B：一等品， ,%96%41)(P, A由由題題意意，%75)(P ABAB .BAB )(P)(PBAB )(P)(PABA ，72. 075. 096. 0 即一等品率為72%. 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁(yè)，共29頁(yè)9 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽

6、的方法來解決.入場(chǎng)券5張同樣的卡片, 只有一張上寫有“入場(chǎng)券”, 其余的什么也沒寫. 將它們放在一起, 洗勻, 讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ”后抽比先抽的確吃虧嗎？ 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁(yè)，共29頁(yè)10 到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！爆F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁(yè)，共29頁(yè)11用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券” ，i1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5 .iA則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券” .因?yàn)槿舻?/p>

7、2個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒抽到.)|(P)(P)(P1212AAAA 212AAA 由于由乘法公式 = (4/5)(1/4) 同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此= 1/5 .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁(yè)，共29頁(yè)12)(P)(P3213AAAA 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券” 的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后.也就是說，)|(P)|(P)(P213121AAAAAA 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁(yè)，共29頁(yè)13三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式和貝

8、葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用. 綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁(yè)，共29頁(yè)14A定定義義 若若事事件件組組nBBB,21滿滿足足以以下下兩兩個(gè)個(gè)條條件件： ( (1 1) )nBBB,21兩兩兩兩不不相相容容 (即每次至多發(fā)生其中一個(gè)) ( (2 2) )BBBn 21 (即每次至少發(fā)生其中一個(gè)) 則則稱稱nBBB,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組. . B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁(yè)，共29頁(yè)15設(shè)設(shè)nBB

9、B,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組，對(duì)對(duì)任任一一事事件件A，有有 AA nABABAB 21顯顯然然nABABAB,21也也兩兩兩兩不不相相容容， AB1B2B3B4B6B7B5B8現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁(yè)，共29頁(yè)16由概率的可加性及乘法公式, 有 )(P)(P21nABABABA niiAB1)(P. )(P)(P1 niiiBAB這個(gè)公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式. 設(shè)設(shè)nBBB,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組，對(duì)對(duì)任任一一事事件件A，有有 AA nABABAB 21顯顯然然nABABAB,21也也兩兩兩兩不不相相容容， 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁(yè)，共29頁(yè)17 niiiBA

10、BA1)(P)(P)(P全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡(jiǎn)單情形，分別求概率然后求和 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁(yè)，共29頁(yè)18例1 市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30、20、 50,且三家工廠的次品率分別為 3、3、1，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2 、B3分別表示買到設(shè)A:買到一件次品；解)(P)(P)(P)(P)(P)(P332211BABBABBAB .02. 001. 05 . 003. 02 . 003. 03 . 0 )(P)(P)(P)(P321ABABABA 加權(quán)平均一件

11、甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁(yè)，共29頁(yè)19例2 袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不還原摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式, )(P)(P)(P)(P)(PABAABAB baa .baa 可可以以想想見見，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍為為baa ，這這體體現(xiàn)現(xiàn)了了抽抽簽簽好好壞壞與與先先后后次次序序無無關(guān)關(guān)的的公公平平性性. . 練習(xí) 求第三次摸出白球的概率.11 baabab 1 baa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁(yè)，共29頁(yè)20解分別記A,B ,C為第一、二、三次摸到白球，由全概率公式, )(P)(P)(

12、P)(P)(PBACBAABCABC 2112211 baabaababbaabaabaa.baa 練習(xí) 求第三次摸出白球的概率.)(P)(P)(P)(PBACBABACBA 211211 baababbabbaababbaa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁(yè)，共29頁(yè)21 在上面例1中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式. 在全概率公式的假定下，有 )(P)(P)(PAABABkk njjjkkBABBAB1)(P)(P)(P)(P 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因Bk的概率.), 2 , 1(nk 現(xiàn)

13、在學(xué)習(xí)的是第21頁(yè)，共29頁(yè)22)(P)(P)(P)(P111ABABAB ,3 . 002. 003. 02 . 0)(P2 AB.25. 002. 001. 05 . 0)(P3 AB所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的. 例3 已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30、20、50, 次品率分別為3、3、1.如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少? ,45. 002. 003. 03 . 0 :)(PiB0.3, 0.2, 0.5:)(PABi0.45, 0.3, 0.25解現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁(yè)，共29頁(yè)23解解釋釋：事事件件nBBB,21看看作作是是導(dǎo)導(dǎo)致致事事件件A

14、發(fā)發(fā)生生的的 原原因因 , ,在在不不知知事事件件A是是否否發(fā)發(fā)生生的的情情況況下下，它它們們的的概概率率為為)(P,),(P),(P21nBBB，通通常常稱稱為為先先驗(yàn)驗(yàn)概概率率；現(xiàn)現(xiàn)在在有有了了新新的的信信息息已已知知( (A發(fā)發(fā)生生) ), ,我我們們對(duì)對(duì)nBBB,21發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小)(P,),(P),(P21ABABABn有有了了新新的的估估價(jià)價(jià)，稱稱為為 后后驗(yàn)驗(yàn)概概率率 . . 全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在一個(gè)“結(jié)果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這一結(jié)果？ 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁(yè)，共29頁(yè)

15、24 在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為比如原來認(rèn)為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細(xì)節(jié)后, 這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(B1 | A)知道A發(fā)生后P(B2 | A)P(B3 | A)偏小最大現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁(yè)，共29頁(yè)25再再舉舉一一個(gè)個(gè)醫(yī)醫(yī)學(xué)學(xué)例例子子。在在醫(yī)醫(yī)療療診診斷斷中中，為為了了診診斷斷病病人人到到底底患患了了毛毛病病nBBB,21中中的的哪哪一一種種，對(duì)對(duì)病病人人進(jìn)進(jìn)行行檢檢查查，確確定定了了某某個(gè)個(gè)指指標(biāo)標(biāo)A( (

16、比比如如體體溫溫) ). .根根據(jù)據(jù)以以往往資資料料可可知知)(P,),(P),(P21nBBB，依依靠靠醫(yī)醫(yī)療療知知識(shí)識(shí)可可知知, )(P1BA , )(P, )(P2nBABA再再利利用用貝貝葉葉斯斯公公式式算算出出)(PABi, ,顯顯然然對(duì)對(duì)較較大大的的)(PABi的的“病病因因”iB應(yīng)應(yīng)多多加加考考慮慮，在在實(shí)實(shí)際際工工作作中中檢檢查查的的指指標(biāo)標(biāo)A一一般般有有多多個(gè)個(gè)，綜綜合合這這些些后后驗(yàn)驗(yàn)概概率率，當(dāng)當(dāng)然然會(huì)會(huì)對(duì)對(duì)診診斷斷有有很很大大幫幫助助，在在實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)自自動(dòng)動(dòng)診診斷斷或或輔輔助助診診斷斷中中，這這方方法法是是有有實(shí)實(shí)用用價(jià)價(jià)值值的的。 貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它

17、企業(yè)管理學(xué)科中均有重要應(yīng)用.有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法,叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”.可見貝葉斯公式的影響.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁(yè)，共29頁(yè)26 下面再舉一個(gè)例子，說明貝葉斯公式在實(shí)際問題中的作用. 用用血血清清甲甲胎胎蛋蛋白白法法診診斷斷肝肝癌癌，A 表表示示被被檢檢驗(yàn)驗(yàn)者者患患肝肝癌癌，B 表表示示判判斷斷被被檢檢驗(yàn)驗(yàn)者者患患肝肝癌癌。由由于于種種種種原原因因使使檢檢驗(yàn)驗(yàn)方方法法帶帶有有誤誤差差。 假假定定95. 0)(P AB，90. 0)(P AB， 又又 設(shè)設(shè) 人人 群群 中中 患患 肝肝 癌癌 的的 比比 例例 為為0004. 0)(P A. . 現(xiàn)現(xiàn)在在若若有有一一人人

18、被被此此法法診診斷斷為為患患肝肝癌癌，求求此此人人真真正正患患肝肝癌癌的的概概率率)(PBA. . )(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA 解1 . 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0 .0038. 0 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁(yè)，共29頁(yè)27 因此，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相當(dāng)小。當(dāng)然，醫(yī)生在公布某人患肝癌之前，是不會(huì)只做一次或一種檢驗(yàn)，還會(huì)輔以其它檢驗(yàn)手段。 一一個(gè)個(gè)不不懂懂概概率率的的人人可可能能會(huì)會(huì)這這樣樣推推理理：一一個(gè)個(gè)沒沒有有患患肝肝癌癌的的人人被被診診斷斷為為患患肝肝癌癌的的機(jī)機(jī)會(huì)會(huì)才才1 . 0