（精心整理）一元二次方程的概念及其解法

1、一元二次方程的概念及解法和講義知識點(diǎn)一：一元二次方程的概念 (1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達(dá)式：(3)四個特點(diǎn)： (1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：時，應(yīng)滿足（a0）例1：下列方程x2+1=0；2y(3y-5)=6y2+4；ax2+bx+c=0 ；，其中是一元二次方程的有 。變式:方程： 中一元二次程的是 。例2：一元二次方程化為一般形式

2、為： ，二次項系數(shù)為： ，一次項系數(shù)為： ，常數(shù)項為： 。變式1：一元二次方程3（x2）25x1的一般形式是 ，二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。變式2：有一個一元二次方程，未知數(shù)為y，二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)為3，常數(shù)項為6，請你寫出它的一般形式_。例3：在關(guān)于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:當(dāng)m=_時，它是一元二次方程；當(dāng)m=_時，它是一元一次方程。變式1：已知關(guān)于x的方程(m+1)x2mx+1=0，它是（ ）A一元二次方程 B一元一次方程C一元一次方程或一元二次方程 D以上答案都不對變式2：當(dāng)m 時，關(guān)于x的方程是一元二次方程知識點(diǎn)二：一元二次方程的解

3、（1） 概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。（2） 應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；【典型例題】1. 已知是一元二次方程的一個解，則的值是（ ）ABC0D0或2. 已知的值為2，則的值為 。3. 若x=a是方程x2-x-2015=0的根，則代數(shù)式2a2-2a-2015值為 。4. 關(guān)于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為 。5. 已知關(guān)于的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。【舉一反三】1. 已知關(guān)于的方程的一個根為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A1BC2D2. 若m2-5m+2=0，則2m2-10m+2016= 。3. 若關(guān)于x的方程（a+3）x2-2x+a2-9=0有一個根

4、為0，則a= 。4. 一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，則它的一個根是 。5. 若x=1是關(guān)于x的一元二次方程一個根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值知識點(diǎn)三：解一元二次方程 一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.一：直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是n的平方根，當(dāng)時，當(dāng)n<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根。用直接開平方法解一元二次方程的理論根據(jù)是平方根的定義，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的。（1） 形如的方程的解是x=。當(dāng)p=0時，0（2） 形如的方程的

5、解為x=。形如的方程可先化成的形式，再用直接開平方法解。【例題講解】1、方程（x-2）2=9的解是（）Ax1=5，x2=-1 Bx1=-5，x2=1 Cx1=11，x2=-7 Dx1=-11，x2=72、若方程x2=m的解是有理數(shù)，則實(shí)數(shù)m不能取下列四個數(shù)中的（）A1 B4 C D3、對于形如的一元二次方程，能直接開平方的條件是_。4、方程的根是_。5、用直接開平方法解下列方程：（1） （2） ( 3) （4）【同步訓(xùn)練】1、用直接開平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根為（）Ax=3+2 Bx1=3+2，x2=3-2Cx=3-2 Dx1=3+2，x2=3-22、方程（x-3）2=0的根是（

6、）Ax=3 Bx=0 Cx1=x2=3 Dx1=3，x2=-33、方程的根是_。4、方程的根是_。5、用直接開平方法解下列方程：（1） （2）（3） （4）二：配方法配方法：將形如的一類方程，化為形式求解的方法叫做配方法。一般步驟： （1）把常數(shù)項移到方程右邊； （2）方程兩邊同除以二次項系數(shù)，化二次項系數(shù)為1；（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；（4）原方程變形為的形式；5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解【例題講解】1、用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A（x-1）2=4 B（x+1）2

7、=4 C（x-1）2=16 D（x+1）2=162、若一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b，且ab，則2a-b之值為何？（）A-57 B63 C179 D1813、用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：、x2+6x+     =（x+    ）2 、x25x+    =（x    ）2；、x2+ x+      =（x+    ）2 、x29x+    

8、 =（x    ）24、將二次三項式2x2-3x-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為_5、已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_6、將x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_ _，所以方程的根為_7、若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是 8、用配方法解下列方程：（1） （2） （3） （4） （5） （6）9、用配方法求解下列問題（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值?！九e一反三】1把方程x+3=4x配方，得（ ）A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=22用配

9、方法解方程x2+4x=10的根為（ ）A2± B-2± C-2+ D2-3. 用配方法解下列一元二次方程（1） （2） （3） （4） 三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。由配方法得 ，化簡： 一元二次方程的求根公式：，公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里a為一次項系數(shù)，b為二次項系數(shù)，c為常數(shù)項。【典型例題】例1：一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當(dāng)b2-4ac0時，它的根是_，當(dāng)b-4ac<0時，方程_例2：用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_，x1=_，x

10、2=_例3：一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，則m=（ ）A0 B1 C-1 D±1例4：不解方程，判斷所給方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有實(shí)數(shù)根的方程有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個例5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（）Ax1=1，x2=-3 Bx1=4，x2=-2 Cx1=-1，x2=3 Dx1=-4，x2=2例6：一元二次方程的根是（）A. B. C. D. 例7：一元二次方程x2-3x-1=0的解是 。例8：用公式法解下列方（1）； （2）； （3）；例9：若x2-xy-3y2=0（y0），求的值【舉一反三】1. 用公式法

11、解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_，x1=_，x2=_2. 用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ） Ay= By= Cy= Dy=3. 不解方程，判斷所給方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有實(shí)數(shù)根的方程有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個4. 用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x;   (2)x2+x-6=0;   (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0四：因式分解法因式分解法的步驟是：（1） 將方程右邊化為0；（2） 將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積：（3） 令每個因式等于0，得到兩個

12、一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.例題講解：(1) x212x0； (2)4x210； （3）； 練習(xí)鞏固：(2)x24x210； (3)(x1)(x3)12； (3)3x22x10； (4)10x2x30； (5)(x1)24(x1)210練習(xí)鞏固用適當(dāng)方法解下列方程(1) x24x30； (2)(x2)2256； （3）x23x10； (4) x22x30； （5） (2t3)23(2t3)； (6)(3y)2y29； (7)72x2=15 （8） (9)2x28x7(10) x2(51)x0； (11)(x5)22(x5)80知識點(diǎn)四：判定根的情況（韋達(dá)

13、定理）根的判別式及應(yīng)用（=）判定一元二次方程根的情況：0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；0，方程沒有實(shí)數(shù)根.確定字母的值或取值范圍：應(yīng)用根的判別式，其前提為二次項系數(shù)不為0.韋達(dá)定理：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）存在實(shí)數(shù)解x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=.這是在初中時韋達(dá)定理的定義，但在高中時應(yīng)用就更為廣闊.由代數(shù)基本定理可推得：任何一元n次方程在復(fù)數(shù)集中必有根，因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積形式，兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理，所以韋達(dá)定理在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）在有解的情況下，兩個解

14、為x1=，x2=，通過計算得到結(jié)論x1+x2=-，x1x2=.例 1、 已知關(guān)于的一元二次方程x2-2x+k=0（1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）在（1）中當(dāng)k取最大整數(shù)時，求所得方程的實(shí)數(shù)根.2、已知關(guān)于x的方程kx2+x-2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.例 2已知x1，x2是方程2x2+14x16=0的兩實(shí)數(shù)根，求的值.練習(xí)：1.已知x1,x2是方程3x2+2x-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，求的值.2.設(shè)，是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實(shí)數(shù)根，求2+4+的值.綜合練習(xí) 1、 如果關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0（n0），求出一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知a，b滿足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求的值；（3）已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值2、 若x1，x2是一元二次方程ax2+b