參數(shù)估計-概率論重點內(nèi)容

1、第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計第二節(jié)第二節(jié) 估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計.),(,),(.),(),(, 1,),( 212121212121121的估計值為稱的估計量為稱隨機變量的估計值作為用它的觀察值構(gòu)造一個統(tǒng)計量樣本值為的一個樣本是數(shù)均為未知參其中的分布函數(shù)為設(shè)總體nnnnnnkkxxxXXXxxxXXXxxxXXXXkxFX 定義定義1： 點估計是指把總體的未知參數(shù)估計為某個確定點估計是指把總體的未知參數(shù)估計為某個確定的值或在某個確定的點上的值或在某個確定的點上.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1、矩

2、估計法、矩估計法矩估計法的思想矩估計法的思想:用樣本矩作為總體矩的估計。當(dāng)總用樣本矩作為總體矩的估計。當(dāng)總體體X的分布類型已知，但含有未知參數(shù)，可以用矩的分布類型已知，但含有未知參數(shù)，可以用矩估計法獲得未知參數(shù)的估計。估計法獲得未知參數(shù)的估計。1212( , ),(,),(1,2, )kkiXF xXkik 設(shè) 的分布函數(shù)為為待估參數(shù)，設(shè)總體 的前 階矩存在,并且它們均是的函數(shù)，求待估參數(shù)的矩估計的步驟為：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回的的矩矩估估計計。作作為為就就以以時時數(shù)數(shù)需需要要估估計計未未知知參參數(shù)數(shù)的的函函的的估估計計量量。分分別別作作出出用用這這個個解解),(),(,),(,)3

3、(2121212121kkkkkggg ., 2 , 1),()() 1 (21klXEkXkll階矩的前求出總體.,., 2 , 1,),()2(2121112121nkknklklXXXXXXklA 即是可從中解出令上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2222111, 111 () .nnniiiiiiXXXXXXnnn的的估估計計量量。為為來來自自總總體體的的樣樣本本。求求，的的二二階階矩矩存存在在且且未未知知，設(shè)設(shè)總總體體例例)(),(:1221XDXEXXXXn 2222(),().lE XE X解：由于22221;1.niiXAXn令的矩估計分別為解此方程組得2 ,上一頁上一頁下一頁下

4、一頁返回返回的的矩矩估估計計分分別別為為則則均均未未知知，若若總總體體222,),( NX21221)(1 ,SnnXXnXnii上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回122:e,00,0,.xxnTxf xxntttP Tte例設(shè)某種產(chǎn)品的壽命 服從指數(shù)分布，其概率密度為（ ， ）為未知參數(shù)，現(xiàn)抽得 個這種產(chǎn)品，測得其壽命數(shù)據(jù)為， ， ，求參數(shù) 及產(chǎn)品可靠度的矩估計111:.niiE XTTn解 由于（ ），記1,T令 , t于是得 的矩估計值1 e .ttP TteP Tt的矩估計值為上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、極、極(最最)大似然估計大似然估計. ),( ),(),(),( )()()

5、( ,.,),(,121221122112121niinnnnnnnxpxpxpxpxXPxXPxXPxXxXxXPXXXxxxxpxXPX，的一組觀察值為樣本假定為待估計的未知參數(shù)，其中為離散型總體設(shè)總體(1)似然函數(shù)似然函數(shù)(a)離散型總體離散型總體上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回; ),()( )(,),(11niiniixpLLxp記為的函數(shù)看作是參數(shù)將 (b)連續(xù)型總體連續(xù)型總體 niinnxfxfxfxfXXXxfX12121),(),(),(),( ),.,(),(, 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度為為為為待待估估參參數(shù)數(shù)，則則樣樣本本，已已知知其其概概率率密密度度為為連連續(xù)續(xù)型型設(shè)設(shè)總總

6、體體上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回),()( ).(,),(11 iniinixfLLxf 記記為為的的函函數(shù)數(shù)看看作作是是關(guān)關(guān)于于參參數(shù)數(shù)將將.),( 稱之為似然函數(shù)的函數(shù)到一個關(guān)于參數(shù)或密度函數(shù)，總可以得布體，只要知道其概率分對于離散型或連續(xù)型總結(jié)論：L上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回)(max)(),(.)(,2121LLxxxLxxxnn滿足即的極大似然估計，作為大的選取使“似然程度”最看做為未知參數(shù)的函數(shù)把似然函數(shù)值對于已得到的樣本觀察的的極極大大似似然然估估計計。為為極極大大估估計計量量。兩兩者者統(tǒng)統(tǒng)稱稱的的）稱稱為為，（由由此此得得到到的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的極極大大似似然然估估計

7、計值值，）為為參參數(shù)數(shù)，（稱稱 nnXXXxxx2121(2)極大似然估計極大似然估計上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回極大似然估計。的便是參數(shù)，那么的最大值點）求似然函數(shù)（)(2L，數(shù)數(shù)）先先求求出出樣樣本本的的似似然然函函（)(1 L值值的的基基本本步步驟驟：求求參參數(shù)數(shù)的的極極大大似似然然估估計計估估計計。采采用用微微分分法法求求極極大大似似然然偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時時或或具具有有連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo)關(guān)關(guān)于于參參數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)似似然然函函數(shù)數(shù))()( L).)(,.,2 , 1(0),.,ln()(0)(ln2121時，個未知參數(shù)總體分布中含有或時未知參數(shù)總體分布中只含有一個的極大似然估計求解下面方

8、程組可求得kikkkidLd上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例 3 設(shè)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為設(shè)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為p，抽，抽n個產(chǎn)品個產(chǎn)品做檢驗，發(fā)現(xiàn)有做檢驗，發(fā)現(xiàn)有m個不合格，求個不合格，求p的極大似然估計的極大似然估計.1212:1,.,10.nnXXpBpnXXXx xxmnm解 設(shè)=0,1分別表示抽樣調(diào)查一個產(chǎn)品為合格品，不合格品，則 服從參數(shù)為 的二點分布（， ），抽查個產(chǎn)品得樣本， ，其觀察值，其中有 個取值為，個取值為（1）寫出似然函數(shù)）寫出似然函數(shù),)1()1()(1111 niiniiiixnxxnixpppppL上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回（2）對）對L(p

9、)取對數(shù)，得對數(shù)似然函數(shù)取對數(shù)，得對數(shù)似然函數(shù)),1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii , 01)(ln311pxnpxdppLdniinii）令（4）解此方程得）解此方程得p的極大似然估計為的極大似然估計為.11nmxxnpnii上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回第二節(jié)第二節(jié) 估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)1、 無偏性無偏性.,)( ),( 21的的無無偏偏估估計計是是則則稱稱，即即未未知知參參數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望等等于于若若 EXXXn定義定義2：本節(jié)討論衡量估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)問題。本節(jié)討論衡量估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)問題。的一個估計量為未知參數(shù)設(shè)),( 21nXXX上一頁

10、上一頁下一頁下一頁返回返回?zé)o偏估計。的階矩是總體階矩樣本證明的樣本。為來自總體，（存在，階矩的設(shè)總體例knikiknkkkXnAkXXXXXEkX1211：)(1，）（因因為為證證kkiXE :,1)(1knikikXEnAE）（所以.一個無偏估計量是所以kkA上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、有效性、有效性.),()( , 212121有效比則稱有若對于任意的的無偏估計都是未知參數(shù)與設(shè)DD定義定義3上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回有有效效。較較時時，故故當(dāng)當(dāng)樣樣本本容容量量，的的無無偏偏估估計計，但但都都是是，則則，且且的的樣樣本本，是是取取自自總總體體，、設(shè)設(shè)例例212221221221

11、1)()()()(2 nDnDXXXDXEXXXXn最最具具有有效效性性。均均值值線線性性無無偏偏估估計計中中，樣樣本本的的在在形形如如可可以以證證明明XXniiniii)1(:11 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回3、一致性、一致性 ,0, lim 1.nnnP 如果依概率收斂于即對有則稱 是 的一致估計量定義定義4上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計 .1.,),(1 )10(1,),(),( 212121212211為為置置信信度度或或置置信信概概率率稱稱信信上上限限分分別別稱稱為為置置信信下下限限與與置置的的的的置置信信區(qū)區(qū)間間，為為參參數(shù)數(shù)則則稱稱隨隨機機區(qū)

12、區(qū)間間有有如如果果對對于于給給定定的的概概率率是是兩兩個個統(tǒng)統(tǒng)計計量量及及設(shè)設(shè) PXXXXXXnn定義定義5：1. 區(qū)間估計的概念區(qū)間估計的概念上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回.1,),(12122的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為求求的的樣樣本本是是來來自自設(shè)設(shè)為為未未知知參參數(shù)數(shù)已已知知設(shè)設(shè)總總體體、例例 XXXXNXn:,(0,1)./XXNn解是 的無偏估計 且有,1/,2 unXP有有分分位位數(shù)數(shù)的的定定義義按按標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上,)1 , 0(/不不依依賴賴于于任任何何未未知知參參數(shù)數(shù)所所服服從從的的分分布布 NnX 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回),(122

13、unXunX 的置信區(qū)間的一個置信度為得到了).(2unX 通常寫成 122unXunXP即即上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2. 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計.1),10(,),(,2221的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為和和分分別別求求參參數(shù)數(shù)給給定定的的對對于于的的一一個個樣樣本本是是來來自自總總體體設(shè)設(shè) NXXXn的的置置信信區(qū)區(qū)間間均均值值 )1();( 1,)(22unXa的置信區(qū)間為的置信度為已知時當(dāng)),1(/,)(2 ntnSXTXb 由于由于的點估計仍為樣本均值的點估計仍為樣本均值取取未知未知當(dāng)當(dāng)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回).1(),1(),1(

14、1222 ntnSXntnSXntnSX 簡簡記記為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信度度為為于于是是得得,1)1() 1( ,1)1(/) 1(,2222ntnSXntnSXPntnSXntPt即分位點的定義知分布上由對于給定上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回的的置置信信區(qū)區(qū)間間方方差差2)2( .1) 1() 1() 1() 1(,1)1() 1() 1(,2122222222122222nSnnSnPnSnnP即有分位點的定義分布的上由)1()1(,222222 nSnS 的的點點估估計計為為取取上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回,) 1() 1(,) 1() 1(121222222nS

15、nnSn的置信區(qū)間為的置信度為得.) 1(1,) 1(11,21222nSnnSn的置信區(qū)間為的置信度為得到同時上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回.95. 0).:(5 .99 , 5 .100 , 1 .102 , 7 .99 , 3 .98 , 2 .101 , 5 .100 , 7 .98 , 3 .99:9,).,(,222的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為方方差差及及分分別別求求總總體體均均值值千千克克單單位位下下包包糖糖的的重重量量如如測測得得某某日日開開工工后后每每包包糖糖的的質(zhì)質(zhì)量量糖糖某某廠廠用用自自動動包包裝裝機機包包裝裝例例 NX,212. 1,978.99,3060. 2