電磁場與電磁波(第三版之5)

1、第第 5 5 章章 恒定磁場分析恒定磁場分析 實(shí)驗(yàn)表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒實(shí)驗(yàn)表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中質(zhì)中 ，不僅有，不僅有恒定電場恒定電場 ，同時還有不隨時間變化的磁場，同時還有不隨時間變化的磁場 ，簡稱，簡稱 恒恒定磁場定磁場。 首先建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位首先建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位A A; ;確確立磁場的邊界條件；在特定條件下引入標(biāo)量位立磁場的邊界條件；在特定條件下引入標(biāo)量位 。m 最后討論自感和互感的計(jì)算、磁場能量和磁場力。最后討論自感和互感的計(jì)算、磁場能量和磁場力。 5.1

2、5.1 恒定磁場分析的基本變量恒定磁場分析的基本變量 5.2 5.2 真空中磁場的基本方程真空中磁場的基本方程 5.3 5.3 矢量磁位矢量磁位 5.4 5.4 磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位 5.5 5.5 物質(zhì)的磁化現(xiàn)象物質(zhì)的磁化現(xiàn)象 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度 5.6 5.6 磁介質(zhì)中磁場的基本方程磁介質(zhì)中磁場的基本方程 5.7 5.7 磁場的邊界條件磁場的邊界條件 5.8 5.8 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 5.9 5.9 自電感自電感 互電感互電感 5.10 5.10 磁場能量磁場能量 5.11 5.11 磁場力磁場力5.1 5.1 恒定磁場分析的基本變量恒定磁場分析的基本變量 第第2

3、 2章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度03dd4IRlRB 任意電流閉合回路任意電流閉合回路c 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 03d4cIRlRB 定義任意電流閉合回路定義任意電流閉合回路c 產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度 301d4cIRBlRH 關(guān)系式關(guān)系式 稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。 0BH 恒定磁場的源變量是電流密度矢量恒定磁場的源變量是電流密度矢量 J r將矢量恒等式將矢量恒等式ddSS n AA0d1d4cSISRln5.2 5.2 真空中磁場的基本方程真空中磁場的基本方程一、

4、磁場的散度一、磁場的散度設(shè)設(shè)B 是由直流回路是由直流回路c 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，S 為一閉合曲面，則磁感應(yīng)強(qiáng)度為一閉合曲面，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B 穿過穿過S 的通量為的通量為dSBS02dd4RScIRl eSB BdSSc cR RI Idl l02dd4RcSIRleS0d1d4csIRlS0d1d4cIR l因?yàn)橐驗(yàn)?0R得得d0SBS 穿過任意閉合曲面的穿過任意閉合曲面的磁通量恒為零磁通量恒為零 B r由由dd0S BSB得得0BdsHS 斯托克斯定理dSJ Sd lIHl二、磁場的旋度二、磁場的旋度d lHl2d d4RlcIRlel經(jīng)分析計(jì)算該積分結(jié)果為經(jīng)分析計(jì)算該積分結(jié)

5、果為安培環(huán)路定律的積分形式安培環(huán)路定律的積分形式得得HJ安培環(huán)路定律的微分形式安培環(huán)路定律的微分形式真空中磁場的基本方程真空中磁場的基本方程d0SBS0Bd lIHlHJ設(shè)設(shè)H 是由直流回路是由直流回路 c 產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度，為一閉合曲線產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度，為一閉合曲線, ,則磁場強(qiáng)度則磁場強(qiáng)度H沿沿 的環(huán)流為的環(huán)流為ll（式中（式中 是是S 的周界）的周界）l式中式中I是回路是回路 所包圍電流的代數(shù)和所包圍電流的代數(shù)和lR RcldI ldI la a 例例 5.2.1 5.2.1 半徑為半徑為a 的無限長直導(dǎo)體通有電流的無限長直導(dǎo)體通有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變量量

6、。（教材例。（教材例5.2.1)5.2.1) H r 解：很顯然，場變量與座標(biāo)解：很顯然，場變量與座標(biāo) 無關(guān)，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)線軸上的一簇同無關(guān)，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)線軸上的一簇同心圓。由基本方程心圓。由基本方程,z dcIH rl而而 dd2ccH rHrH rlI是回路是回路c c所包圍電流的代數(shù)和所包圍電流的代數(shù)和當(dāng)當(dāng)ra故有故有222rHrIa 得得22IHra當(dāng)當(dāng)ra得得2IHrHaror r1c回路回路 所包圍的電流所包圍的電流2222IIrrIaa1cr r2c回路回路 所包圍的電流所包圍的電流II2c設(shè)電流設(shè)電流 均勻分布于導(dǎo)體橫截面均勻分布于導(dǎo)體橫截面IHJ代入矢量磁位矢量磁

7、位BA5.3 5.3 矢量磁位矢量磁位 為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。 由磁場的散度為零，引入矢量磁位。由磁場的散度為零，引入矢量磁位。 利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。0B由由0 A其單位為其單位為Tm（特（特米）或米）或Wb/m（韋（韋/ /米）米）得得01AJ即即20AAJ得得20AJ矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程規(guī)定其散度規(guī)定其散度0A（庫侖規(guī)范）（庫侖規(guī)范）在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中20AJ可分解為三個標(biāo)量泊松方程可分解為三個標(biāo)量泊松方程202020 xxyyzzAJAJAJ

8、其解其解000d4d4d4xxxyyyzzzJACRJACRJACR于是，矢量位滿足的泊松方程的解為于是，矢量位滿足的泊松方程的解為0d4JACR體電流體電流 、面電流、面電流 、線電流、線電流dJdsSJdI l產(chǎn)生的矢量位分別為產(chǎn)生的矢量位分別為000d,d,d44ddd4sISJAARRlAJR例例 5.3.1 5.3.1 求無限長直線電流的矢量位求無限長直線電流的矢量位A 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（教材例（教材例5.3.1)5.3.1)2l2ld z,0,P rzArzxo解：首先計(jì)算一根長度為解：首先計(jì)算一根長度為 的長直線電流的長直線電流I產(chǎn)生的矢量位。產(chǎn)生的矢量位。l04ddIl

9、AR由線電流的矢位計(jì)算公式由線電流的矢位計(jì)算公式01/222d d4zIzrzzAeR積分可得積分可得2220021/222221/22201/222d ln4422ln422llzzllzIIzzzzzrrzzllzzrIllzzrAeee1/222001/2222022ln422lnn24lzzzIlllrIllrIlrr eAee當(dāng)當(dāng) 時時l 若若 ，則，則 l A這時可在這時可在A 的表達(dá)式中附加一個常矢量的表達(dá)式中附加一個常矢量00ln2xIrlCe則則000002lnl2ln2nzzzIIrlrlIrrAeCee磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B 等于等于02zIArrBAee磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度

10、H H 等于等于02IrBHe與例與例.1直接積分所得的結(jié)果相直接積分所得的結(jié)果相同同5.4 5.4 磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位 一面積為一面積為S, ,通以電流通以電流I 的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量 為磁偶極子的為磁偶極子的磁偶極矩磁偶極矩。mIPSRrdIdlaxyz, ,0P r202sin4a IArAee考慮考慮mIPS2za Ie得得002144mrmrrpepA磁偶極子磁偶極子 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度mp0003144mmmrrBAPP r產(chǎn)生的合成矢位只有產(chǎn)生的合成矢位只有 分量分量 如圖

11、建立坐標(biāo)系，與如圖建立坐標(biāo)系，與x 軸對稱的兩個電流元軸對稱的兩個電流元 在考在考察點(diǎn)察點(diǎn), ,0P rdI l2dA1dAey式中式中34mmrpr稱為磁偶極子的標(biāo)量位稱為磁偶極子的標(biāo)量位0mBH磁場的另一基本變量磁場的另一基本變量5.5 5.5 物質(zhì)的磁化現(xiàn)象物質(zhì)的磁化現(xiàn)象 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度 媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質(zhì)的極化類同。媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質(zhì)的極化類同。 無外磁場作用時，媒質(zhì)對外不顯磁性，無外磁場作用時，媒質(zhì)對外不顯磁性，10nmiP 用用磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度M 表示磁化的程度，即表示磁化的程度，即)(米安ddmmNNPMP式中：式中：N

12、為單位體積內(nèi)被磁化的分子數(shù)。為單位體積內(nèi)被磁化的分子數(shù)。A/mI分子電流，電流方向與分子電流，電流方向與 方向成右手螺旋關(guān)系。方向成右手螺旋關(guān)系。SddmIPS 分子磁偶極矩分子磁偶極矩 在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)，在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)， 旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。性，稱為磁化現(xiàn)象。10nmipmPI 磁化體電流磁化體電流 mJM 由于磁偶極子的定向排列，媒質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)磁化體電流，媒質(zhì)表面出現(xiàn)磁化面電流。由于磁偶極子的定向排列，媒質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)磁化體電流，媒質(zhì)表面出現(xiàn)磁化面電流。（ 為媒質(zhì)表

13、面外法線方向）為媒質(zhì)表面外法線方向） 磁化面電流磁化面電流 msnJeMne斯托克斯定理5.6 5.6 磁介質(zhì)中磁場的基本方程磁介質(zhì)中磁場的基本方程 引入磁化電流后，媒質(zhì)的磁化效應(yīng)由磁化電流表征，即空間的磁場由傳導(dǎo)電流和引入磁化電流后，媒質(zhì)的磁化效應(yīng)由磁化電流表征，即空間的磁場由傳導(dǎo)電流和磁化電流產(chǎn)生。而磁化電流和傳導(dǎo)電流的實(shí)質(zhì)相同，則磁化電流產(chǎn)生。而磁化電流和傳導(dǎo)電流的實(shí)質(zhì)相同，則d,d0cSIHlBS將將mJM0ddcSIBlMS得得dcIMl0dcIBMl令令0BHM（為磁介質(zhì)中的（為磁介質(zhì)中的磁場強(qiáng)度矢量）磁場強(qiáng)度矢量）于是磁介質(zhì)中的基本方程于是磁介質(zhì)中的基本方程dcIHl微分形式微分

14、形式HJ 由實(shí)驗(yàn)證明，除鐵磁性物質(zhì)外，由實(shí)驗(yàn)證明，除鐵磁性物質(zhì)外，M 和和H之間有一定的線性關(guān)系，即之間有一定的線性關(guān)系，即mMH得得0mBHH0001mmr HHHBHHBH（為磁介質(zhì)中的（為磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系）0r 媒質(zhì)的磁導(dǎo)率媒質(zhì)的磁導(dǎo)率（除鐵磁性物質(zhì)外（除鐵磁性物質(zhì)外 ）1rr媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率m磁化率磁化率0dmcIIBldmSIJS式中式中 均為傳導(dǎo)電流均為傳導(dǎo)電流, I J 小圓柱側(cè)面積，小圓柱側(cè)面積， h為無為無窮小量，該面積趨于零窮小量，該面積趨于零5.7 5.7 磁場的邊界條件磁場的邊界條件一、磁感應(yīng)強(qiáng)度一、磁感應(yīng)強(qiáng)度B B的邊界條件的邊界條件 設(shè)兩種

15、不同的磁介質(zhì)設(shè)兩種不同的磁介質(zhì) ，其分界面的法線方向?yàn)?，其分界面的法線方向?yàn)閚。在分界面上作一小圓柱形表。在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為 ，h為無窮小量。為無窮小量。12, Sn n122B1B2nB1nBSh 將磁場基本方程將磁場基本方程 用于所用于所作的圓柱形表面。作的圓柱形表面。d0SBSdsSS 12BSB nBnBS方程左邊方程左邊1n2nBBS磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B 的邊界條件的邊界條件1n2nBB用矢量表示用矢量表示012nBB分界面上分界面上B 的法向分量連的法向分量連續(xù)續(xù)二、磁場強(qiáng)度二、磁場強(qiáng)度H H的邊界條件

16、的邊界條件 在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊 分居于分界面兩側(cè)，而高分居于分界面兩側(cè)，而高 ，取取H 沿此回路的環(huán)積分為沿此回路的環(huán)積分為l0h22tHln1H1tHh12HSsJ12dc HlHlHl 設(shè)分界面上的自由電流面密度為設(shè)分界面上的自由電流面密度為 sJ 則回路所圍面積上通過的電流為則回路所圍面積上通過的電流為Il sJS（其中（其中 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)榛芈匪鶉娣e的法回路所圍面積的法線方向）線方向）Sl 矢量矢量 可寫為可寫為l lS n 方程方程 變?yōu)樽優(yōu)閐cIHl 12llll s12sJHHS nJSnHHSS 因?yàn)榛芈肥侨我獾?，其所圍因?yàn)?/p>

17、回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有面的法向也是任意的，因而有12snHHJ磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H 的邊界條件：的邊界條件：若分界面上沒有自由的表面電流若分界面上沒有自由的表面電流012nHH另外，由另外，由012nBB0 12nAA12AA 例例 .1 鐵質(zhì)的無限長圓管中通過電流鐵質(zhì)的無限長圓管中通過電流I，管的內(nèi)外半徑分別為，管的內(nèi)外半徑分別為a和和b。已知鐵的磁導(dǎo)。已知鐵的磁導(dǎo) 率為率為 ，求管壁中和管內(nèi)外空氣中的，求管壁中和管內(nèi)外空氣中的B，并計(jì)算鐵中的，并計(jì)算鐵中的 M 和和 等。（教材例等。（教材例5.7.1)5.7.1)mJ 解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)解：如圖建

18、立坐標(biāo)系，設(shè)電流沿電流沿z方向，則場分布是軸方向，則場分布是軸對稱的，只有對稱的，只有 分量。分量。利用基本方程的積分形式，有利用基本方程的積分形式，有BA012nHH由由11tt12AA2222222222raIarbbarraIarbbar 222HHeBe 222222d2cIraHrba 2Hl（a)a)(b)(b)111d2cHrHl1122IebrrIbrr HBe (c)(c)333d20cHr Hl300raH xyz 2c1c3cxyz 2c1c3c在在區(qū)的管壁空間內(nèi)，磁化強(qiáng)度為區(qū)的管壁空間內(nèi)，磁化強(qiáng)度為22220012raIbar222BMeHe管壁內(nèi)的磁化體電流為管壁內(nèi)的

19、磁化體電流為m222011zzIrMr rba2JMee在在r =a 和和r =b 處的磁化面電流為處的磁化面電流為 mm0012s r ars r brzIb 22JMeJMee0H在恒定磁場無電流區(qū)域在恒定磁場無電流區(qū)域mHmLdHlm標(biāo)量磁位，單位：標(biāo)量磁位，單位：A（安培）。（安培）。 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。m標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：m5.8 5.8 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 滿足的微分方程滿足的微分方程 m20m 標(biāo)量磁位滿足的邊界條件標(biāo)量磁位滿足的邊界條件 121212,mmmmnn5.9

20、5.9 自電感自電感 互電感互電感 在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的 B與電流成正比，因而穿與電流成正比，因而穿過任意回路的磁通過任意回路的磁通 也與電流成正比；若一回路由也與電流成正比；若一回路由N匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝磁通之和，成為磁鏈，用磁通之和，成為磁鏈，用 表示。且可近似為表示。且可近似為N1c2coR2r1r 當(dāng)磁場由自身回路的電流當(dāng)磁場由自身回路的電流產(chǎn)生則回路磁鏈與電流之比產(chǎn)生則回路磁鏈與電流之比LI稱為稱為自感系數(shù)自感系數(shù)，簡稱，簡稱自感自感，單位為單位為H（亨）（亨） 第第1 1回路電

21、流回路電流 產(chǎn)生的磁場與產(chǎn)生的磁場與第二回路交鏈的磁鏈為第二回路交鏈的磁鏈為 ，則比，則比值值1I1212121MI稱為稱為互感系數(shù)互感系數(shù)，簡稱，簡稱互感互感，單位仍為，單位仍為H H 同樣，第同樣，第2 2回路電流回路電流 產(chǎn)生的磁場與第產(chǎn)生的磁場與第一回路交鏈的磁鏈為一回路交鏈的磁鏈為 ，其比值同樣稱為，其比值同樣稱為互感系數(shù)互感系數(shù)2I2121212MI 自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ羞€與兩個回寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ羞€與兩個回路的相互位置有關(guān)。路的相互位置有關(guān)。o1c2cR2r1r兩個單匝回路的互感兩個單匝回路的互

22、感設(shè)回路設(shè)回路1 1通過電流通過電流1I21212122dcAl而而10 1112d4cIRlA所以所以210121212dd4ccR ll2101212121dd4ccMIR ll同理同理1202121212dd4ccMIR ll由此可見由此可見1221MM諾伊曼公式諾伊曼公式2c1c單匝回路的自感單匝回路的自感 對于單匝回路，可將電流對于單匝回路，可將電流看作集中于軸線回路看作集中于軸線回路 上，而上，而將計(jì)算磁通的回路取作導(dǎo)線邊將計(jì)算磁通的回路取作導(dǎo)線邊緣的回路緣的回路 ，應(yīng)用諾伊曼公式，應(yīng)用諾伊曼公式計(jì)算自感為計(jì)算自感為1c2c21012dd4ccLIR ll與電流與電流2222Irr

23、Iaa交鏈交鏈 以上計(jì)算的自感只考慮了以上計(jì)算的自感只考慮了導(dǎo)線外部的磁通，故稱為外自導(dǎo)線外部的磁通，故稱為外自感；在導(dǎo)線內(nèi)部的磁力線同樣感；在導(dǎo)線內(nèi)部的磁力線同樣套鏈著電流，其磁鏈與電流比套鏈著電流，其磁鏈與電流比值定義為內(nèi)自感。值定義為內(nèi)自感。2Sa 假設(shè)單匝回路，其橫截面積假設(shè)單匝回路，其橫截面積導(dǎo)線內(nèi)的磁場導(dǎo)線內(nèi)的磁場2222d2122cIHrraIHraIra HlHeeBHe穿過圖中面積的磁通為穿過圖中面積的磁通為dddB SBl r穿過圖中面積的磁鏈為穿過圖中面積的磁鏈為2222234ddd2d2rrIlr raaaIlr ra340d28aIllr rIa長度為長度為l一段圓截

24、面導(dǎo)線一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為的內(nèi)自感為8lLarIBdrl0011d2()D aaIxxDx0lnID aa000lnlnD aDLIaa總自感為總自感為00ln4DLa 例例 .1 求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距，導(dǎo)線間距離離 ，如圖所示。（教材例，如圖所示。（教材例.1）DayxxDdx解：由解：由dIHl得二導(dǎo)線在得二導(dǎo)線在x 處產(chǎn)生的磁場分別為處產(chǎn)生的磁場分別為12,22yyIIxDxHeHe總的磁感應(yīng)強(qiáng)度總的磁感應(yīng)強(qiáng)度002112yIxDx1BHHe單位長度的外自感為單位長度的外自感為單位長度

25、的內(nèi)自感為單位長度的內(nèi)自感為000284L穿過面積穿過面積 的磁通的磁通d 1x1Njjk kkM i而回路而回路j 的磁鏈為的磁鏈為111ddNNNmjjjk kjjkWWi M i5.10 5.10 磁場能量磁場能量 電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。 當(dāng)電流從零增加時回路感應(yīng)電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應(yīng)電動當(dāng)電流從零增加時回路感應(yīng)電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應(yīng)電動勢勢 而作功，使回路能量增加。而作功，使回路能量增加。 若所有回路固定，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場若所有回路固定

26、，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場能量，這時回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動勢大小相等方向相反。能量，這時回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動勢大小相等方向相反。回路回路j 中的感應(yīng)電動勢為中的感應(yīng)電動勢為jjt外加電壓外加電壓jjjutdt 時間內(nèi)與回路時間內(nèi)與回路j 相連相連的電源所作的功的電源所作的功ddddjjjjjjjWu qi tit若系統(tǒng)包含若系統(tǒng)包含N個回路，增加的磁場能量為個回路，增加的磁場能量為11dddNNmjjjjjWWi互感系數(shù)互感系數(shù),jjjkjkj ML自感系數(shù)自感系數(shù)假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以百分比假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以

27、百分比 同比例增加，即同比例增加，即 jjit I則則ddkkiI，于是，于是11ddNNmjjkkjjWI M I 充電過程完成后，系統(tǒng)的總磁場能量充電過程完成后，系統(tǒng)的總磁場能量1111101dd2NNNNmmjkj kjkj kjjjjWWM I IM I I 例例21111 1111222221 11 11 2122111:,2112:,22mmNML WLIMLNMLWLILIMI IMMM單回路單回路雙回路雙回路用場量表示該磁場能量用場量表示該磁場能量1d2mWH B單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度22111222mBwHH B例例 5.10.1

28、5.10.1 求無限長同軸線單位長度內(nèi)的磁場能量，如圖所示。求無限長同軸線單位長度內(nèi)的磁場能量，如圖所示。( (教材例教材例5.10.1)5.10.1)abcII解：解：在在 的區(qū)域的區(qū)域ra222122I rIrara1Hee在在 的區(qū)域的區(qū)域arb 22IrHe在在 的區(qū)域由基本方程的區(qū)域由基本方程brc 3dlIHl2222322222IcrrHIrbIcbcb 22222crIr cb3He三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為2101022300012d212d2216amaWHr rIIr ra2202220012d212dln224bmabaWHr rIIbr rra23032222022242202222212d212d223ln44cmbcbWHr rIcrr rrcbIcccbbcbcb因?yàn)榭偞艌瞿芰恳驗(yàn)榭偞艌瞿芰?012312mmmmWL IWWW所以同軸線單位長度的電感為所以同軸線單位長度的電感為012322022mmmmininWLWWWIILLL其中其中012002242203222222282ln223ln24inmminmLWIbLWIacccbLWIbcaca（內(nèi)自感）（內(nèi)自感）（主自感）（主自感