第二節(jié)對面積的曲面積分ppt課件

1、一、概念的引入一、概念的引入二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義三、計算法三、計算法四、小結(jié)四、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 (第一類曲面積分第一類曲面積分)一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實例實例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當點在且當點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. .二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義 設(shè)曲面設(shè)曲面 是光滑的是

2、光滑的, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小塊小塊iS （iS 同時也表示同時也表示第第i小塊曲面的面積）小塊曲面的面積）, ,設(shè)點設(shè)點),(iii 為為iS 上上任意取定的點任意取定的點, ,作乘積作乘積 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果當當各各小小塊塊曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 時時, , 這這和和式式的的極極限限存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在曲曲面面 上上對對面面積積的的曲曲面面積積分分或或第第一一類類曲曲面面積積分分. .1.1.定義定義即即 dSzy

3、xf),(iiiniiSf ),(lim10 記記為為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì)則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 三、計算法三、計算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.

4、1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面那那么么),(. 2zxyy ：若曲面 計算計算 dszyx)(, 其中其中 為平面為平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.例例1 1積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 計算計算dSxyz |,其中其中 為拋物面為拋物面

5、 22yxz （10 z）.解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標面對稱坐標面對稱軸軸對對稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用極極坐坐標標 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412

6、sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯然顯然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分為為左左、右右兩兩片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2

7、212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00. 計計算算dSzyx)(222 , 其其中中 為為內(nèi)內(nèi)接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面體體azyx |表表面面.例例4 4被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關(guān)關(guān)于于坐坐標標面面、原原點點均均對對稱稱 , 積積分分曲曲面面 也也具具有有對對稱稱性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxy

8、D 3)(8222.324a 四、小結(jié)四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算域上的二重積分計算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個因子的幾何意義.221yxzz 思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 22

9、1yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積積為為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. .練練 習習 題題二二、計計算算下下列列對對面面積積的的曲曲面面積積分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 為為平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 為為錐錐面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分 . . 三三、求求拋拋物物面面殼殼)10)(2122 zyxz的的質(zhì)質(zhì)量量, ,此此殼