理學高等數(shù)學微分中值定理PPT學習教案

1、會計學1理學高等數(shù)學微分中值定理理學高等數(shù)學微分中值定理2第五節(jié)第五節(jié) 微分中值定理微分中值定理極值概念與費馬定理極值概念與費馬定理羅爾定理羅爾定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理 推廣泰勒公式(第六節(jié))落必達法則落必達法則小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第1頁/共67頁3一、一、極值概念與費馬定理極值概念與費馬定理定義定義,0的某鄰域內的某鄰域內若在若在x0( )(),f xf x或的一個的一個為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱)()(0 xfxf0( )()f xf x極大值極大值 (或極小值或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值極值.極值點極值

2、點. .恒有恒有1. 函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點使函數(shù)取得極值的點x0(自變量自變量)稱為稱為極小值極小值(minimal value)極大值極大值(maximal value)若上不等號為嚴格不等號,則相應稱為嚴格極值.若將鄰域改為區(qū)間,相應為區(qū)間上的最大值,最小值.微分中值定理微分中值定理第2頁/共67頁41x2x3x4x5x6x 函數(shù)的極大值、極小值函數(shù)的極大值、極小值 是是局部性局部性的的. 在一個區(qū)間內在一個區(qū)間內,函數(shù)可能存在許多個極值函數(shù)可能存在許多個極值,最大值與最小值最大值與最小值,有的極小值可能大有的極小值可能大于某個極大值于某個極大值.只是只是一點附近

3、一點附近的的 xyOab)(xfy 微分中值定理微分中值定理第3頁/共67頁5微分中值定理微分中值定理2. 費馬引理費馬引理 費馬費馬 Fermat,(法法) 1601-1665 如果對如果對 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么證證對于對于),(00 xUxx 有有 )()(00 xfxxf 0 , 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 x若若; 0 ; 0 )()(00 xfxxf xxfxxf )()(00,)(0存在且xf ,)(0baxbaxf內有定義在設函數(shù),bax第4頁/共67頁6微分中值定理微分中值定理費馬引理費馬引理如果對如

4、果對 ,bax有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么 0limx )(0 xf)()(00 xfxf )(0 xf 由極限的保號性由極限的保號性, 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 , 0 x若若. 0 xxfxxf )()(00 )(0 xf 0limx 函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點(Stationary point),穩(wěn)定點穩(wěn)定點,臨界點臨界點(Critical point). 0,)(0baxbaxf內有定義在設函數(shù),)(0存在且xf 第5頁/共67頁7問問:若在若在Fermat定理中定理中,000(),f xfx x是 在上的最大值上的最大

5、值,0,fx在 可導則是否有則是否有0()0fx?如考慮如考慮,1( )1,)f xx在上的情況.微分中值定理微分中值定理結論:函數(shù)在開區(qū)間內可導的最值點處,其導數(shù)為零.第6頁/共67頁8推論 設( ),f xa ba b在上可微 且在內部取到最大(最小)值,又( ),f xa b在內部只有一個臨界點,則該臨界點就是函數(shù)的最大(最小)值點.微分中值定理微分中值定理第7頁/共67頁9(1)其中最大其中最大(小小)者者 求連續(xù)函數(shù)求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上的最上的最大大(小小)值的方法值的方法:將閉區(qū)間將閉區(qū)間a, b內所有駐點和導數(shù)不存在的內所有駐點和導數(shù)不存在的區(qū)間端點區(qū)

6、間端點的的就是就是 f (x)最值必在端最值必在端(2)點處達到點處達到. .點點(即為即為可能極值點可能極值點)處的函數(shù)值和處的函數(shù)值和函數(shù)值函數(shù)值 f (a), f (b)比較比較,在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上的最大上的最大(小小)值值. 當當 f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上上單調單調時時,微分中值定理微分中值定理第8頁/共67頁10(3),0 x)(0 xf且且在在就是就是則則)()(0 xfxf(4) 若連續(xù)函數(shù)若連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間I內只有內只有一個極值點一個極值點為極大為極大 (小小)值值,區(qū)間區(qū)間 I上的最大上的最大 (小小)值值. 對實際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲髮?/p>

7、實際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小小)值必值必在在區(qū)間內部取得區(qū)間內部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內又僅有如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內又僅有一個可能極值點一個可能極值點,那末這點處的函數(shù)值就是最那末這點處的函數(shù)值就是最大大(小小)值值.微分中值定理微分中值定理第9頁/共67頁11例例3( )10,1.ppf xxx求在上的最值提示提示:111( )( )(1)(0)1.22pff xff微分中值定理微分中值定理第10頁/共67頁12 本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的AB在一條光滑的平面曲線段在一條光滑的平面曲線段AB上上,至少有至少有與連接此曲線兩端點的弦與連接此曲線兩端點

8、的弦平行平行.幾何事實幾何事實:微分中值定理微分中值定理一點處的切線一點處的切線 連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直于連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直于x軸的切線軸的切線 .有水平的切線有水平的切線0)( fABxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 第11頁/共67頁131. 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf 羅爾羅爾 Rolle,(法法)1652-1719 ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得. 0)( f如如,32)

9、(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(內可導內可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf微分中值定理微分中值定理二、微分中值定理二、微分中值定理第12頁/共67頁14),(afM 設設,),( 內內至至少少存存在在一一點點則則在在ba.)(Mf 微分中值定理微分中值定理羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得

10、使得. 0)( f使使,ba 有有),()( fxf 由由費馬引理費馬引理,. 0)( f.)(mMb 若若證證.)(mMa 若若.,)(mMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(Mxf 則則. 0)( xf得得),(ba )( f都都有有. 0所以最值不可能同時在端點取得所以最值不可能同時在端點取得.費馬引理費馬引理有定義有定義,如果對如果對 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么內的某鄰域在點設函數(shù))()(00 xUxxf,)(0存在且xf 第13頁/共67頁15(1) 定理條件不全具備定理條件不全具備, , 1,0

11、10,)(xxxxf1 ,1, |)( xxxf注注微分中值定理微分中值定理結論不一定成立結論不一定成立. . 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得. 0)( f1xyO11 yxO1yxO 1 ,0,)(xxxf第14頁/共67頁16(2) 定理條件只是充分的定理條件只是充分的. .本定理可推廣為本定理可推廣為: :在在( a , b )內可導內可導, ,且且 )(lim0 xfax)(lim0 xfb

12、x 則在則在( a , b )內至少存在一點內至少存在一點, 使使. 0)( f提示提示 )(xF設設axaf , )0(bxaxf , )(bxbf , )0(證證 F(x)在在a,b上滿足羅爾定理上滿足羅爾定理 . 設設微分中值定理微分中值定理羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得. 0)( f注注)(xfy 第15頁/共67頁17幾何意義幾何意義如果連續(xù)曲線如果連續(xù)曲線 除端點外處處有除端點外處處有不

13、垂直于不垂直于x軸的切線軸的切線 .( )yf x( )( , )f xa b在可導且兩端點的縱坐標相等且兩端點的縱坐標相等,則這曲線上至少則這曲線上至少存在點存在點C,使得曲線在使得曲線在C點處的切線水平點處的切線水平.由圖形可知由圖形可知,在曲在曲線的最高點或最線的最高點或最低點處切線水平低點處切線水平.xyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 有水平的切線有水平的切線0)( f微分中值定理微分中值定理第16頁/共67頁18例例1 證明證明:32101,0 xx 在內只有一個根內只有一個根.例例2 不用求函數(shù)不用求函數(shù)( )1234f xxxxx的導數(shù)的導數(shù),說明方說明方程程(

14、 )0fx有幾個實根有幾個實根.微分中值定理微分中值定理第17頁/共67頁19注意注意:證明方程證明方程( )0f x 的根的存在性方法的根的存在性方法:(1) 利用閉區(qū)間上零點的存在性定理利用閉區(qū)間上零點的存在性定理;(2) 歸結為考慮函數(shù)歸結為考慮函數(shù)( ),( )( ),F xF xf x使得利用利用Rolle定理來證明定理來證明.關鍵是找輔助函關鍵是找輔助函數(shù)數(shù)微分中值定理微分中值定理( ).F x第18頁/共67頁20例例3 設設( ), 0,f xa bab在上連續(xù),( ),( ).a bf ab f ba在內可導 且證明證明:,fa bf( )至少存在,使得 ( )=-.微分中值

15、定理微分中值定理提示提示:( )( )F xxf x令第19頁/共67頁21例例4 4滿足條件滿足條件設常數(shù)設常數(shù)nccc,10. 01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc.)1 , 0(內存在一個實根內存在一個實根在在微分中值定理微分中值定理提示提示:2110( )21nnccF xc xxxn令第20頁/共67頁22證證設設,12)(1210 nnxncxcxcxf, 1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在xf0)0( f,)1 , 0(內內可可導導在在)1(f 且且 羅爾定理羅爾定理,)1 , 0( 內內至至少少存存在在一一個個實實根根在在, 0)( f使得使得即即010 n

16、nccc .為所求實根為所求實根即即 x滿足條件滿足條件設常數(shù)設常數(shù)nccc,10. 01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc.)1 , 0(內存在一個實根內存在一個實根在在微分中值定理微分中值定理第21頁/共67頁23結結論論亦亦可可寫寫成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf(1)(2),),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 微分中值定理微分中值定理;,上連續(xù)在閉區(qū)間ba.),(內

17、可導在開區(qū)間ba第22頁/共67頁24幾何解釋幾何解釋:上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 AB分析分析式式變變?yōu)闉閷?()()(abfafbf , 0)()()( abafbff 定理的結論就轉化為函數(shù)定理的結論就轉化為函數(shù),)()()()(xabafbfxfxg ,),( 內內有有點點在在區(qū)區(qū)間間ba.AB,0)(的問題的問題使使 g化為化為羅爾定理羅爾定理.微分中值定理微分中值定理在該點處的切線在該點處的切線,C一點一點平行于弦平行于弦利用利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)的函數(shù). .)(xfy xyOABbaC1 2 D第23頁/共67頁25證證

18、作作輔助函數(shù)輔助函數(shù),)()()()(xabafbfxfxg 使使得得內內至至少少存存在在一一點點故故在在開開區(qū)區(qū)間間,),( ba. 0)()()()( abafbffg 由此得由此得).()()()( fabafbf )()(1)(bafabfabag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立對對ab ,)(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間baxg內內開區(qū)間開區(qū)間),(ba且且)(bg 易知易知,可導可導微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理第24頁/共67頁26注意注意:1. 特別特別( )( )f af b( )0,f即即Lagrange定理是定理是Rolle定理的推廣定理

19、的推廣.時時,Lagrange中值公式為中值公式為2. 作輔助函數(shù)的方法不是唯一的作輔助函數(shù)的方法不是唯一的.思考思考:Lagrange中值定理證明中中值定理證明中還可以如何作輔助函數(shù)還可以如何作輔助函數(shù)?3. 定理中的條件只是充分定理中的條件只是充分條件條件,而非必要條件而非必要條件.微分中值定理微分中值定理第25頁/共67頁27例例5驗證驗證Lagrange中值定理對于函數(shù)中值定理對于函數(shù)arctan0,1yx在上的正確性上的正確性.微分中值定理微分中值定理第26頁/共67頁28Lagrange公式公式可以寫成下面的各種形式可以寫成下面的各種形式:.).)()()()1(時也成立時也成立當

20、當baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3( .的精確表達式的精確表達式增量增量 y 它表達了函數(shù)增量和某點的它表達了函數(shù)增量和某點的注注, 未未定定這這里里 ,)(xf .之之間間和和在在xxx 但是增量、但是增量、這是十分方便的這是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10( 導數(shù)之間的直接關系導數(shù)之間的直接關系.微分中值定理微分中值定理導數(shù)是個等式關系導數(shù)是個等式關系.拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.第27頁/共67頁29它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值它表明了函數(shù)在

21、兩點處的函數(shù)值)()()()( fabafbf 的單調性及某些等式與不等式的證明的單調性及某些等式與不等式的證明.在微分學中占有在微分學中占有極重要的地位極重要的地位.與導數(shù)間的關系與導數(shù)間的關系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)尤其可利用它研究函數(shù)微分中值定理微分中值定理第28頁/共67頁30例例6 6證明不等式證證).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某區(qū)間上可導在某區(qū)間上可導,要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.記記,arctanarctan12

22、12xxxx,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理,得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx )()()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理第29頁/共67頁31例例7 證明下列不等式證明下列不等式(1)ln 1, (0)1xxxxx(2)ln,0abaabbaabb(3)sinsinbaba(4),1xeexx微分中值定理微分中值定理第30頁/共67頁32推論推論1baxxf, 0)()3(證證21, xxI上上任任取取兩兩點點在在區(qū)區(qū)間間)()()(1212xxfxfxf

23、 ),()(21xfxf 則則.)(Cxf .,)(上是一個常數(shù)在區(qū)間則baxf,由由拉拉氏氏定定理理有有由條件由條件,即在區(qū)間即在區(qū)間I中任意兩中任意兩點的函數(shù)值都相等點的函數(shù)值都相等,所以所以,),(21xx 0)(21xx 微分中值定理微分中值定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf(1)(2);,上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),(內可導在開區(qū)間ba第31頁/共67頁33推論推論2:)(),(滿足若函數(shù)xgxf(1);,上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),(內可導在開區(qū)間ba(2)baxxgxf,),()()3(.,)()(為常數(shù)則CbaxCxgxf注意注意:將推論將推論1,推論推論2中的區(qū)間換成其它各種區(qū)間中的

24、區(qū)間換成其它各種區(qū)間(但不能是區(qū)間的并但不能是區(qū)間的并),結論仍成立結論仍成立.微分中值定理微分中值定理第32頁/共67頁34例例8 證明證明:1,2x 當時 有33arccosarccos 34xxx1,1,2x上等式對于時 也成立.微分中值定理微分中值定理第33頁/共67頁35例例9 設設( ),f x 在上可導 且( )( ),0fxf x證明證明:( ),.xf xCeC為常數(shù)微分中值定理微分中值定理提示提示:( )( ).xF xf x e令第34頁/共67頁36柯西柯西 Cauchy (法法)1789-18593. 柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf

25、;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理廣義微分中值定理廣義微分中值定理第35頁/共67頁37),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 這兩個這兩個錯錯 ! !柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內可導內

26、可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述證法對嗎柯西定理的下述證法對嗎 ? ?不一定相同不一定相同第36頁/共67頁38 前面對拉格朗日中值定理的證明前面對拉格朗日中值定理的證明,構造了構造了xabafbfxfxg )()()()( 現(xiàn)在對現(xiàn)在對兩個兩個給定的函數(shù)給定的函數(shù) f(x)、F(x), 構構造造 )()(xfx 即可證明柯西定理即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù))(xF)()(afbf )()(aFbF 微分中

27、值定理微分中值定理)()()()()()( FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析上式寫成上式寫成xxF )( 用類比法用類比法),(),()()()(bafabafbf第37頁/共67頁39柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()

28、()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理切線斜率切線斜率XYO)(bF)(aF)( F)(bf)(af第38頁/共67頁40例例1010).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內可導內可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)證證分析分析結論可變形為結論可變形為 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 設設上上在在1 , 0)(),(xFxf有有內內至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 01)0()1( ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即微分中值定理微分

29、中值定理滿足柯西中值定理條件滿足柯西中值定理條件, , 第39頁/共67頁411( ) , ,( , ),f xa ba b設在上連續(xù) 在內可導 且( )( )0,( )0,.f af bf xxa b證明證明:( ),(),.( )fkRabkf 對存在點使試證至少存在一點試證至少存在一點 使使2 2), 1(e.lncos1sin微分中值定理微分中值定理( )( ).kxF xf x e令( )sinln ,( )lnf xx g xx令第40頁/共67頁42羅爾羅爾定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾羅爾(Rolle)定理、拉

30、格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之間的關系中值定理、柯西中值定理之間的關系:推廣推廣推廣推廣 這三個定理的條件這三個定理的條件都是充分條件都是充分條件,換句話說換句話說, 滿足條件滿足條件,不滿足條件不滿足條件,定理可能成立定理可能成立, 不是必要條件不是必要條件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定理定理定理也可能也可能第41頁/共67頁43應用三個中值定理常解決下列問題應用三個中值定理常解決下列問題(1) 驗證定理的正確性驗證定理的正確性;(2) 證明方程根的存在性證明方程根的存在性;(3) 引入輔助函數(shù)證明等式引入輔助函數(shù)證明等式;(4) 證明

31、不等式證明不等式;(5) 綜合運用中值定理綜合運用中值定理(幾次運用幾次運用).微分中值定理微分中值定理 關鍵關鍵 逆向思維逆向思維,找輔助函數(shù)找輔助函數(shù)第42頁/共67頁44三、落必達法三、落必達法(LHospital) ,)(時時或或如果當如果當 xax其極限都不能直接利用極限運算其極限都不能直接利用極限運算在第一章中看到在第一章中看到,無窮大之商無窮大之商,法則來求法則來求.稱為稱為)()(lim)(xFxfxax 那末極限那末極限定義定義00 型未定式型未定式.或或如如, ,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim0 意味著關于它的極限不能確定意味著關于它的極限不能確定

32、出一般的出一般的 未未定定 情況下關于它的極限不能確定情況下關于它的極限不能確定.而并不是在確定而并不是在確定的的結論結論,兩個無窮小之商或兩個兩個無窮小之商或兩個兩個函數(shù)兩個函數(shù) f (x)與與F(x)都趨于零或趨于無窮大都趨于零或趨于無窮大,00 微分中值定理微分中值定理第43頁/共67頁45我們介紹一個求未定式極限的有效方法我們介紹一個求未定式極限的有效方法, 此方法的關鍵是將此方法的關鍵是將)()(lim)(xFxfxax 的計算問題轉化為的計算問題轉化為)()(lim)(xFxfxax 的計算的計算. 其基本思想是由微積分著名其基本思想是由微積分著名先驅先驅, 從而產生了簡從而產生了

33、簡洛必達法則洛必達法則. .后人對他的思想作了推廣后人對他的思想作了推廣,提出的提出的,17世紀的法國數(shù)學家世紀的法國數(shù)學家洛必達洛必達 (LHospital) 便而重要的便而重要的微分中值定理微分中值定理第44頁/共67頁46滿足條件滿足條件及及設函數(shù)設函數(shù))()(xFxf定理定理6 (落必達法則落必達法則)0,0 1、型型未定式);()()(lim)3( 或或AxFxfax處處點點的的鄰鄰域域內內可可導導在在點點aaxFxf( ,)(),()2(),(0)(lim)1( 或或xfax);(0)(lim 或或xFax; 0)( xF且且)可除外可除外 )()(limxFxfax則則).()(

34、)(lim 或或AxFxfax微分中值定理微分中值定理第45頁/共67頁47證證,)(),(連續(xù)連續(xù)在點在點若若axFxf. 0)()( aFaf, 0)(lim)1( xfax; 0)(lim xFax則由條件則由條件(1),必有必有,)(),(不連續(xù)不連續(xù)在點在點若若axFxf, 0)(lim xFax. 0)()( aFaf.)(),(點點連連續(xù)續(xù)在在使使axxFxf , 0)(lim xfax由于由于可補充定義可補充定義,x任任取取點點).(axaxa 不不妨妨設設 )00(型給出證明僅對滿滿足足)(),(xFxf; 0)( xF且且;,) 1上連續(xù)在xa),()(),()2(處除外點

35、的鄰域內可導在點aaxFxf. 0)(,),()2 xFxa且且內內可可導導在在微分中值定理微分中值定理第46頁/共67頁48 )()(xFxf)()( Ff )(之間之間與與在在ax ,時時當當ax AxFxfax )()(lim)3( )()(limxFxfax 柯西定理柯西定理使使內內至至少少存存在在點點在在,),( xa )()(limxFxfax)()(xFxf,a )()(lim Ffa .A)(aF )(af 微分中值定理微分中值定理第47頁/共67頁49注注)()(lim) 1 (xFxfax再求極限來確定未定式的值的方法稱為再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則洛必達法

36、則. .這種在一定條件下這種在一定條件下 通過分子分母分別求導通過分子分母分別求導00 00 00 )()(limxFxfax )()(limxFxfax(多次用法則多次用法則)(2)0,0,xaxaxx 落必達法則仍成立.微分中值定理微分中值定理第48頁/共67頁50用洛必達法則應注意的事項用洛必達法則應注意的事項,00) 1 (才可能用法則的未定式或只有,00或只要只要是是則可一直用下去則可一直用下去;(3) 每用完一次法則每用完一次法則,要將式子整理化簡要將式子整理化簡;(4) 為簡化運算經常將法則與等價無窮小為簡化運算經常將法則與等價無窮小及極限的其它性質結合使用及極限的其它性質結合使

37、用.(2) 在用法則之前在用法則之前,式子是否能先化簡式子是否能先化簡;微分中值定理微分中值定理第49頁/共67頁51例例11 求極限求極限2031.lim1 cosxxxeexxarctan22. lim1sinxxx00 00 微分中值定理微分中值定理第50頁/共67頁52例例12 證明證明:ln(1) lim0,0 xxx(2) lim0,0,0 xxxe說明說明:x足夠大時足夠大時,有有l(wèi)n,0,0 xxxe微分中值定理微分中值定理第51頁/共67頁532、其它類型的未定式、其它類型的未定式0(1) 00 ：轉化為或0(2)0 ：先充分，再化為或00(3) 00 0， 1，：先取對數(shù)，

38、化為或微分中值定理微分中值定理第52頁/共67頁54例例13 求下列極限求下列極限01 limln,0 xxaxa（）22 lim sectanxxx（ ）sin03 limxxx（ ）210sin4 limxxxx（ ）015 lim lnxxx（ ）000001116 01微分中值定理微分中值定理第53頁/共67頁55例例1414解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效洛必達法則失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.注注用法則求極限有兩方面的局限性用法則求極

39、限有兩方面的局限性 當導數(shù)比的極限不存在時當導數(shù)比的極限不存在時,不能斷定函數(shù)比的極限不存在不能斷定函數(shù)比的極限不存在,其一其一,這時不能使用洛必達法則這時不能使用洛必達法則.)( 微分中值定理微分中值定理第54頁/共67頁56可能永遠得不到結果可能永遠得不到結果! 分子，分母有單項無理式時分子，分母有單項無理式時,不能簡化不能簡化.如如xxx21lim 1122lim2xxx )( 21limxxx 211limxxx )( xxx21lim 其實其實: . 11lim2 xxx杜波塔托夫的一個著名例子杜波塔托夫的一個著名例子.其二其二用法則求極限有兩方面的局限性用法則求極限有兩方面的局限性

40、微分中值定理微分中值定理第55頁/共67頁57注意：注意：對于數(shù)列的極限，不能直對于數(shù)列的極限，不能直接用洛必塔法則，而是接用洛必塔法則，而是若若lim( ),xf xA則則lim( ),nf nA例例15 求求limnnn微分中值定理微分中值定理第56頁/共67頁58四、小結四、小結微分中值定理微分中值定理 常利用逆向思維常利用逆向思維,構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù)注意利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟注意利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟.三個微分中值定理成立的條件三個微分中值定理成立的條件;各微分中值定理的關系各微分中值定理的關系; 證明存在某點證明存在某點,使得函數(shù)在該點的導數(shù)滿足一個方程使得函數(shù)在該點的導數(shù)滿足一個方程.運用羅爾定理運用羅爾定理. 拉格朗日中值定理的各種形式拉格朗日中值定理的各種形式,其關系其關系;第57頁/共67頁59型型00,1 ,0 ,型型 型型 0,00型型型型 一、一、二、二、三、三、注意注意但求某些未定式極限不要單一使用洛必達但求某些