初一數(shù)學(xué)-個人教學(xué)講義-平行線和相交線的證明題--難度比較大

1、學(xué)生姓名怪年級初一授課時間2012.3.24教師姓名劉 課時 2課題平行線和相交線的證明題教學(xué)目標(biāo)掌握平行相關(guān)證明要領(lǐng)，熟悉幾何語言的應(yīng)用重點幾何語言的描述，因果關(guān)系的銜接難點證明流程中因果關(guān)系的銜接幾何證明題的基本結(jié)構(gòu)和方法：1 .正確地進(jìn)行證明，先要探求證明的思路：這有三種方法：一種方法是從結(jié)論著眼，思考 要使結(jié)論成立，需要具備什么條件，這樣逆推直到需要的條件已經(jīng)具備，當(dāng)然這種逆推的過程中，要不斷地向已知條件靠攏，這就是執(zhí)果索因有時，這種逆推會遇到障礙，這時也可用另一種方法思考，即從已知條件入手， 思考從已知條件可以順推出什么結(jié)論來，這樣順推直至結(jié)論成立，這就是 由因?qū)Ч保蛘咭部梢皂樛?/p>

2、與逆推相結(jié)合，從問題的兩頭向中間靠攏，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口，這也叫兩頭湊”。2 .執(zhí)果索因”的方法也就是證明的思維方法中的綜合法”，由因?qū)Ч钡姆椒ㄒ簿褪亲C明的思維方法中的 分析法"。兩頭湊”的方法也就是證明的思維方法中的分析綜合法”。3 .綜合法”、分析法”，分析綜合法”是證明的思維方法中的直接證法。注：今后學(xué)習(xí)中還會學(xué)習(xí)到證明的思維方法中的間接證法：反證法和同一法。 這兩種方法在今后的學(xué)習(xí)中會逐步介紹給同學(xué)們。八.思維方法的訓(xùn)練例1 .已知如圖，AOC為一直線，OB為任一射線，OP平分/ AOB,OE 平分/ BOC ,1 / E求證：OEXOPo嵐£廠,分析：1、由逆

3、推法分析要證明 OELOP,由垂直定義只要證明/ EOP=90 ,而/ EOP由/ 1、 1 /2所組成，只要證明/ 1 + /2=90°。由于OE, OP分別是/ BOC和/ AOB的角平分線，/ 1='1 1/BOC , / 2=亍 / AOB ,又由于 AOC 為一直線，/ AOB+ / BOC=180 ,那么3(/AOB+ /BOC)=90 ° ,即/ 1+Z2=90 o2 .由順推法分析： 由AOC為直線推出/ AOB+ / BOC=18 0，由OP, OE分別為/ AOB , / BOC平分線推得1/2=2/AOB, /1=/BOC,由/ POE=/1

4、+ /2=2 (/AOB+ / BOC)推得 /POE=90 再推 得 OPLOE。3 .上述分析中和的兩個推理是并列的，因而在證明中先寫或沒有什么關(guān)系，但 是和共同的結(jié)果，所以必須在和的后面。證明：t口評分工由口工, 0E平%上B0C1已支口).亡2 = ；40&(角平分線定義,(1)丁40C為直然（已知）- ZAQC =聞I平角定義）ZAOB+ZBOC = ZAOC（全量等于部分之和）18。弋等量代換）（3） ./ POE=/1 + /2 （全量等于部分之和）= 5（/ AOB+ / BOC）（等量代換）=5洶80° （等量代換）=90°OPXOE （垂直定義）

5、整個證明過程由3部分推理所組成，書寫證明過程要用順推法由前向后寫 例2、已知如圖，/ AOC , / BOD為對頂角，OE平分/ AOC , OF平分/ BOD ,求證：OE,OF互為反向延長線。分析：（1） OE, OF互為反向延長線是指 EOF為一條直線，即 證明E、O、F三點共線。證明這類問題首先要克服視覺給我們帶來 的干擾，如/ 1和/ 2并不能看成是一對對頂角，因為缺乏構(gòu)成對頂 角的必要條件。OE與OF互為反向延長線，而這一點恰恰是本題證 明的目標(biāo)。（2）證明E、O、F三點共線通常采用/EOF=180 ,利用平角定義完成三點共線證明（3）為證明/ EOF=180 ,只要證明/ 1 +

6、 /AOF=180 ,從已知/ AOC與/ BOD為對頂角， 可推知A、O、B三點共線：即/ AOF+ / 2=180° ,只要證明/ 1=/2,題設(shè)中由/ AOC和/ BOD 為對頂角又可知/ AOC= / BOD,又由OE, OF分別為/ AOC和/ BOD平分線，正好創(chuàng)設(shè)了證 明/ 1=/ 2的條件。證明：AOC, / BOD為對頂角（已知）/ AOC= / BOD （對頂角相等） OE平分/ AOC , OF平分/ BOD （已知）./1 = R/AOC, /2=2/BOD （角平分線定義） ./ 1 = /2 （等量之半相等） / AOC , / BOD為對頂角（已知） A

7、B為直線（對頂角定義） / AOF+ / 2=180° （平角定義）/ AOF+/ 1=180° （等量代換） ./ EOF=180 （等量代換） .OE, OF互為反向延長線（平角定義）九.剖析圖形結(jié)構(gòu)，挖掘等量關(guān)系 例3、已知如圖， OBLOA,直線 CD過O點，/ AOC=20 ,求證/ DOB的度數(shù)分析：題設(shè)中的條件給出了許多的角的關(guān)系，由OBLOA可知/ 1 + /2=90°由CD過O點,可知/ 2+ /BOD=180 ,再由/ AOC=20 ,很容易求得/ DOB的度數(shù)解：（不是證明題，不能寫證明"，而寫 解”字） OBXOA （已知） ./

8、AOB=90 （垂直定義）/ 1 + 2 2=90° （等量代換）/2=90°-/1 （等式性質(zhì)） .直線CD過O點（已知） ./ COD=180 （平角定義） / BOD+ / 2=180° （等量代換） ./ BOD=180 -/2 （等式性質(zhì)）=180°-（90 -/ 1）（等量代換）=90° + /1 （等式性質(zhì)） / 1=20° （已知） ./ BOD=90 +20° （等量代換）=110° （等式性質(zhì)）答：/ BOD的度數(shù)為110。（求解題最后寫答）例 4、已知如圖，OALOC, OBXOD, / AO

9、D=3 / BOC ,求/ BOC 度數(shù)。分析：由題設(shè)條件（/AOD=3 /BOC,這是有關(guān)/ BOC的關(guān)系式， 垂直條件可推出）/ AOB=90 -/BOC,COD=9O° -/BOC,可見/ AOB , / COD者B與/ BOC相關(guān)，可運用代 方法，設(shè)元，用方程思想解題，直接設(shè)BOC=x ,用x表示其余的相關(guān)角，分析其等量關(guān)系，得到關(guān)于x的方程，這樣做，無論從敘述或思考都比較簡捷。解：設(shè)/ BOC=x / AOD=3 / BOC （已知） ./ AOD=3x又 / AOD= / AOB+ / BOC+ / COD （全量等于部分之和）3x= / AOB+x+ / COD （等量

10、代換）2x= / AOB+ / COD （等式性質(zhì)） OAXOC, OBXOD （已知） ./AOB=90 -x, / COD=90 -x （垂直定義）2x=90° -x+90 -x （等量代換）4x=180° （等式性質(zhì)）x=45° 即/ BOC=45答：BOC的度數(shù)為45°。十.例題：例1.如圖所示，直線 AB、CD、EF相交于點 O, / AOC=70 , / BOE=80 ,求/ DOF的 度數(shù)。精析：/AOC、/ COE、/ BOE組成一個平角，而/ AOC、 /BOE的度數(shù)為已知，所以，可以先求出/COE的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等得到/ DOF

11、的度數(shù)。解：.AB是直線（已知）， / AOC+ /COE+/ BOE=180 （平角的定義）， ./ COE=180 -/AOC- / BOE ,/AOC=70 , / BOE=80 （已知）CD、EF相交于點 O （已知） / COE與/ DOF是對頂角（對頂角的定義）/ COE= / DOF （對頂角相等） ./ DOF=30例2.如圖所示，直線 AB與CD相交于O點，OE平分/ AOC ,射線OFLCD于點O,且 /BOF=24 ,求/ COE 的度數(shù)。解：,. OFXCD, / BOF=24 , ./AOC=180 -/COF-/BOF =180 -90 -24 °=66又

12、 OE平分/ AOC ./ COE= 2 / AOC2=2 X66°=33°即/ COE的度數(shù)為33°以下兩題和平行有關(guān)，等學(xué)習(xí)平行之后再看。例3.如圖所示，AB/EF ,求證：/ BCF=/B+/F精析：過點C作CD/AB ,則/ B= / 1,由平行公理 還可推出CD/EF , ./2=/F, .有/ BCF=/B+/F。證明：過點C作CD/AB ,則/ B=/1 （兩條線平行，內(nèi)錯角相等）AB/EF （已知），CD/ABCD/EF （平行公理推論）./ F=/2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. / 1 + / 2= / B+ / F 即/ BCF= / B+

13、/ F例4.如圖所示，已知 ABLBC于B, EF分別交 AC、BC于E、F, /A+/AEF=180，求證：EFXBCo精析：由/A與/AEF互補可推得 AB/EF ,然后由AB ± BC可 推出EFXBCo這樣就把推論兩條直線垂直的問題轉(zhuǎn)化成證明兩條直 線平行的問題。證明：./A+/AEF=180 （已知）AB/EF （同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）./ B=/EFC （兩直線平行，同位角相等） AB XBC （已知）./ B=90° （垂線定義） EFXBC （垂線定義）課堂練習(xí)：、平行線之間的基本圖1、如圖已知，AB / CD. AF,CF分別是 EAB、ECD的角平分

14、線，F(xiàn)是兩條角平分線的交點；1求證： F AEC .2、已知 AB/CD,此時 A、 AEF、 中的規(guī)律嗎？EFC和C的關(guān)系又如何？你能找出其2此時 A、 AEF、3、將題變?yōu)槿缦聢D：AB/CDEFD和D的關(guān)系又如何？你能找出其中的規(guī)律嗎?4、如圖，AB/CD,那么 A、C與AEC有什么關(guān)系?D二、兩組平行線的證明題【找出連接兩組平行線的角】ACEB3、已知：如圖 2-96,DE，AOT E,BO±AO,FCLAB于 C, ,/1 = /2,求證：DOL AB.1.已知：如圖，CD¥分/ ACB AC DE / DCE= FEB 求證：EF平分/ DEBs戶力圖 2-963

15、、如圖，已知 EF± AB, /3=/ B, / 1=/ 2,求證：CD! AB4、已知 AD ± BC , FG ± BC,垂足分別為 D、G,且, 大小關(guān)系？試說明理由.三、兩組平行線構(gòu)造平行四邊形1.已知：如圖，AB是一條直線，/ C = /1,求證：AB/ CD.2、如圖，E點為DF上的點，B為AC上的點，,AC./ 1 = 72,猜想/ BDE與/C有怎樣的BDGC/2和/口互余，BE!FD于GT-ifre/?/ 1 = /2, / C=/ D,求證 DF /DE_F圖7圖83、如圖，M N T和A、B、C分別在同一直線上, 且/ 1=/ 3, / P=

16、/求證：Z M=Z R。四、證特殊角1、ABII CD / BAC勺平分線和/ ACD勺平分線交于點E,則/ AEC的度數(shù)是A2、AB/ CD ,直線EF與AB、CD分別相交于E、F兩點，EP平分/ AEF , 過點F作PF EP垂足為P,若/ PEF=300,則/ PFC=.3、如圖，已知：DE/ AC C葉分/ACB , EF平分/ DEC / 1 與/2互余，求證：DG/ EF.4 .已知：如圖，AB/ DE CMff分/ BCE CN±CM 求證：/ B= 2/DCN5 .如圖已知直線a/ b, AB平分/ MAD AC平分/ NAD DE±AC于E,求證：/ 1

17、=/2.4、求證：三角形內(nèi)角之和等于180AN五、尋找角之間的關(guān)系1、如圖 2-97,已知：/ 1=/2, /3=/4, /5=/6.求證:AD/BC.圖2 97+求證：（1） AB/ CD六、翻折(2) /2 + /3 = 902、已知，如圖，BCE AFE 是直線，AB/ CD / 1=/ 2, /3=/4。求證：AD/BE3.如圖12, /ABD和/BDC勺平分線交于 E, BE交CD于點F, /1 /2 = 901、如圖1,把一個長方形紙片沿 EF折疊后，點D, C分別落在D', C'的位置.若/ EFB = 55°,則/ AED的度數(shù)為 2、如圖2,將三角尺

18、的直角頂點放在直尺的一邊上，1 30°,2 50°,則/B的度數(shù)等于。B-J-圖13、如圖（1）,已知矩形ABCD,將 BCD沿對角線BD折疊，記點C的對應(yīng)點為C',若 ADC ' =20° ,貝iJ/DBCq度數(shù)為 （第1題）AD C第16題4、如圖，在RtABC中，/C=90°, /A= 20°按圖中所示方法將 BCD沿BD折疊，使點 C落在邊AB上的點C處，則/ BDC=.5、（2010江蘇宿遷）如圖，正方形紙片 ABCD的邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中 四個三角形的周長之和為 .6 .如圖是長方形紙帶，將紙帶沿 EF折

19、疊成圖，再沿BF折疊成圖.（1） 若/DEF=20,則圖中/ CFE度數(shù)是多少？（2）若/ DEF=c ,把圖中/ CFEffla表示.七、綜合證明題A=Z ADE的理由。19.如下左圖，EB/ DC / C=Z E,請你說出/20 .如上中左圖 AD是/ EAC的平分線， AD/ BC, / B=30 °,求/ EAD / DAC /C的度數(shù)。21 .已知/ BOCW /AOB互為鄰補角，又 OD OE分另是/ AOB / BOC?勺平分線，若/ AOB=80 ,求/ DOE勺度數(shù).EBF的道理.DABBAFEMFECCEDCDCFBAEECNADDBBCC30.已知31.已知32.已知如上中左圖 如上中右圖 如上右圖，EABD求證：AD / BC2