高等數(shù)學(xué)實驗matlab資料

1、高等數(shù)學(xué)實驗matlab第1章函數(shù)與極限驗證性試驗驗證性試驗實驗一實驗一 函數(shù)圖形函數(shù)圖形實驗二實驗二 函數(shù)的極限函數(shù)的極限實驗三實驗三 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗 實驗一 函數(shù)圖形【實驗?zāi)康摹?.了解基本初等函數(shù)及圖形特征，會用Matlab圖形命令畫圖2.會畫復(fù)合函數(shù)、參量函數(shù)及分段函數(shù)的圖形【實驗要求】 熟悉Matlab圖形命令plot第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.利用圖形命令分別在同一坐標(biāo)系下畫出下列基本初等函數(shù)的圖形，并觀察圖形特征（1）【實驗過程】 1.（1）x=-1:0.01:1; y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4;

2、 plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4)432,xyxyxyxy第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖1-1 冪函數(shù)圖第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗（2） x=linspace(-1,1,60);y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x);plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); xxxxeyyyy,)31(,10,2第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖1-2 指數(shù)函數(shù)圖第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗2.利用圖形

3、命令畫出下列函數(shù)的圖形（1） ;x=-5:0.01:5;y=3*x.2-x.3;plot(x,y);323xxy5 , 5x第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖1-3 函數(shù)的 圖形323xxy第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗（2） ; x=-pi:0.01:pi; y=cos(4*x); plot(x,y);xy4cos,x第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖1-4 函數(shù) 的圖形xy4cos第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗 實驗二 函數(shù)的極限【實驗?zāi)康摹?.熟悉函數(shù)極限的概念2.掌握求各種類型函數(shù)的極限的方法3.會用Matlab命令求函數(shù)極限【實驗要求】熟悉Matlab中求極限的命令lim

4、it第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.計算下列極限(1) (2)【實驗過程】（1） syms x a b limit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0)運(yùn)行結(jié)果：ans =a/bbxaxxsinsinlim0 xxxxsincos1lim0第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0)運(yùn)行結(jié)果：ans =1/2第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗 實驗三 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)【實驗?zāi)康摹?.了解簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系，理解能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件，掌握如何求幾個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2.掌握函數(shù)的反函數(shù)概念，會求函數(shù)的反函數(shù)【實驗要求

5、】 熟悉Matlab中求復(fù)合函數(shù)的命令compose,以及求反函數(shù)的命令finverse第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)(1) ，求【實驗過程】1.（1）syms x y f=1/(1+x2); g=sin(y); compose(f,g)運(yùn)行結(jié)果：ans =1/(sin(y)2+1) 由上述結(jié)果可知： ygxfsin,112)(ygf( ( )f g y21sin1y第1章函數(shù)與極限-驗證性實驗2求下列函數(shù)的反函數(shù) （1）(1) syms xy=1/tan(x); g=finverse(y)運(yùn)行結(jié)果：g =atan(1/x) 由上述結(jié)果可知： 的反函數(shù)為xyta

6、n1xytan1xg1arctan第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗設(shè)計性實驗實驗一實驗一 數(shù)據(jù)擬合問題數(shù)據(jù)擬合問題實驗二實驗二 復(fù)利問題復(fù)利問題第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗實驗一實驗一 數(shù)據(jù)擬合問題數(shù)據(jù)擬合問題【實驗?zāi)康摹?.加深對函數(shù)基本概念的理解2.討論了函數(shù)的實際應(yīng)用問題3.掌握Matlab軟件中有關(guān)函數(shù)、畫圖等命令【實驗要求】掌握函數(shù)基本知識，Matlab軟件第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 某研究所為了研究氮肥(N)的施肥量與土豆產(chǎn)量的影響，做了十次實驗，實驗數(shù)據(jù)見表1，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克。試分析氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量之間的關(guān)系。第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 表1

7、氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量關(guān)系的實驗數(shù)據(jù)【實驗方案】 設(shè)y代表土豆產(chǎn)量，x代表氮肥的施肥量。顯然，y和x之間應(yīng)該有某種關(guān)系，假設(shè)y與x之間的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，則問題就轉(zhuǎn)化為已知數(shù)據(jù)點(xi,yi)位置關(guān)系，尋找函數(shù)y=y(x)。這就是數(shù)據(jù)擬合問題。 所謂數(shù)據(jù)擬合，就是從一組實驗數(shù)據(jù)點(xi,yi)出發(fā)，尋找函數(shù)y=y(x)的一個近似表達(dá)式y(tǒng)=f(x)(稱為經(jīng)驗公式)。從幾何上看，就是希望根據(jù)給定的這些數(shù)據(jù)點(xi,yi) ，求曲線y=y(x)的一條近似曲線y=f(x)。近似曲線y=f(x)不必過每一個數(shù)據(jù)點，但如果近似曲線的效果要好的話，那么數(shù)據(jù)點 (xi,yi)離近似曲線的距離應(yīng)該盡量小。用偏差平方

8、和函數(shù)W=施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471產(chǎn)量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.752iii(f(x )-y )第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 來刻畫近似曲線的效果，偏差平方和函數(shù)越小則近似曲線的擬合效果越好，因此最好的近似曲線應(yīng)該滿足 。 多項式函數(shù)由于性質(zhì)良好，計算方便，常常用來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。 可以考慮采用1，x，x2作為基函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)(即用二次多項式函數(shù)a0+a1x+a2x2作為經(jīng)驗公式)，此時偏差平方和函數(shù)為 W= 其中n為數(shù)據(jù)點的數(shù)目。要使偏差平方和函數(shù)W最小，需要

9、2iiimin(f(x )-y )2201i2iii=1(a +a x +a x -y )n201211123012111123420121111nnniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiinaaxaxyaxaxaxx yaxaxaxx y第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 (該方程組稱為法方程組)，將實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492 即擬合函數(shù)為 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2 從圖1-10可以看出擬合效果比較好，但是是否還可以更好呢？一般而言，擬合次數(shù)

10、的提高可以使得擬合效果變好，但是并不是次數(shù)越高越好?，F(xiàn)在提高擬合次數(shù)，將基函數(shù)由1，x，x2修改為1，x，x2，x3(三次擬合)，1，x，x2，x3，x4(四次擬合)，得到擬合圖1-5至圖1-9。 從圖形可以看出擬合曲線的次數(shù)在二、三、四、五次擬合的效果都相差不大，但是高次擬合效果反而不理想，例如本例中的八次擬合，所以在本例中使用二次擬合效果就比較好了，擬合函數(shù)為 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗【實驗過程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72

11、32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;p=polyfit(x,y,2); disp(num2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num2str(p(3);xx=linspace(0,471,100);yy=polyval(p,xx);plot(x,y,r*,xx,yy)第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖1-5 二次擬合 圖1-6 三次擬合 圖1-7 四次擬合 圖1-8 五次擬合第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 圖1-8 八次擬合 第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 實驗二實驗二 復(fù)利問題復(fù)利問題【實驗?zāi)康摹?.加深對函數(shù)極限概念的

12、理解2.討論極限在實際問題中的應(yīng)用3.會用Matlab命令求函數(shù)極限【實驗要求】掌握極限概念，Matlab軟件求函數(shù)極限的命令limit第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 復(fù)利，即利滾利。不僅是一個經(jīng)濟(jì)問題，而且是一個古老又現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)社會問題。隨著商品經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，復(fù)利計算將日益普遍，同時復(fù)利的期限將日益變短，即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。現(xiàn)在我們已進(jìn)入電子商務(wù)時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續(xù)不斷存款和取款，結(jié)算本息的頻率趨于無窮大，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行不斷地向儲戶支付利息，稱為連續(xù)復(fù)利問題。 若銀行一年活期年利率為0.06，那么

13、儲戶存10萬元的人民幣，如果銀行允許儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計利息稅的情況下，由于復(fù)利，顯然這比一年結(jié)算一次要多，因為多次結(jié)算增加了復(fù)利。結(jié)算越頻繁，獲利越大。連續(xù)復(fù)利會造成總結(jié)算額無限增大嗎？隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗【實驗方案】 設(shè)本金為p，年利率為r，若一年分為n期(即儲戶結(jié)算頻率為n)，每期利率為r/n,存期為t年，依題意，第一期到期后利息為 本金*利率=p*r/n 第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 因規(guī)定按復(fù)利計息，故第二期開始時的本金為p(1+r/n)，第二期

14、到期后的利息應(yīng)為 本金*利率= p(1+r/n)*r/n 第二期到期后的本利和是 本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2 ， 第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n 存期為t年(事實上是有tn期)，到期后的本利和為 p(1+r/n)tn 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即在上式中n,t=1年后本息共計 10.6184(萬元) 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后本息總和將穩(wěn)定于10.6184萬元，儲戶并不能通過該方法成為百萬富翁。實際上，若nnlim100000r/n（1+）第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 年利率為r，一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有一個上限，即10000

15、0*exp(r)元。它表明在n時，結(jié)果將穩(wěn)定于這個值。而且用復(fù)利計息時，只要年利率不大，按季、月、天連續(xù)計算所得結(jié)果相差不大。第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 【實驗過程】 syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf)a =100000*exp(3/50)一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有上限為 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a =100000*exp(r)第1章函數(shù)與極限設(shè)計性實驗 思考與提高 1.本世紀(jì)初，瘟疫還常在某些地區(qū)流行?，F(xiàn)假設(shè)有這樣一種傳染病，任何人得病后，在傳染期內(nèi)不會死亡，且最初設(shè)有A人患病，每個人年平均傳染

16、率為k ,治愈率為i，若一年內(nèi)等時間間隔檢測n次，則一年后患病人數(shù)為多少？若檢測次數(shù)無限增加，一年后傳染病人數(shù)會無限增加嗎？ 2.一條長凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考慮若干塊磚在長凳一端疊成階梯狀而盡量向外延伸。一塊磚放在長凳右端極端位置是磚的一半在外，但第二塊磚若任放一半必會倒下。應(yīng)如何放置這兩塊磚？n塊磚呢？ 理工數(shù)學(xué)實驗第2章 一元函數(shù)微分法 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗驗證性實驗實驗一實驗一 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實驗二實驗二 隱函數(shù)與參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)與參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實驗三實驗三 函數(shù)的微分函數(shù)的微分實驗四實驗四 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗實驗一

17、實驗一 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【實驗?zāi)康摹?.熟悉基本求導(dǎo)公式，掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)方法2.會求函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)值【實驗要求】熟悉，Matlab中的求導(dǎo)命令diff 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2)【實驗過程】 1.（1） syms x y=exp(x)*(sin(x)+cos(x); diff(y)運(yùn)行結(jié)果：ans =exp(x)*(sin(x)+cos(x)+exp(x)*(cos(x)-sin(x) 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 )cos(sinxxeyx11ln23xxyxexxexxeyxxxcos2)sin(cos)cos(sin 第2章一

18、元函數(shù)微分法驗證性實驗（2） syms xy=log(x3+1)/(x2+1);diff(y)運(yùn)行結(jié)果：ans =(3*x2/(x2+1)-2*(x3+1)/(x2+1)2*x)/(x3+1)*(x2+1)即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡得 ) 1)(1(2332324xxxxxy2.求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)值 （1）已知函數(shù) ，求 ； 2.（1）syms x;f=1/x;f1=diff(f,x);ff=inline(f1);x=1;ff(1)運(yùn)行結(jié)果：ans =-1 x=-2; ff(-2)運(yùn)行結(jié)果：ans = -0.2500 xxf1)()2(),1 (ff 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗 第2章一元函

19、數(shù)微分法驗證性實驗 實驗二實驗二 隱函數(shù)與參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)與參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【實驗?zāi)康摹?掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的方法和步驟2掌握參量函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的方法和公式【實驗要求】熟悉Matlab中解方程的命令solve和求導(dǎo)命令diff 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)設(shè) ，求【實驗過程】1.（1）解法一： syms x y; f=solve(x2+y2-R2=0,y); diff(f,x)運(yùn)行結(jié)果：ans = -1/(-x2+R2)(1/2)*x 1/(-x2+R2)(1/2)*x 222Ryxy 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗 即 或說明：對于能從方程

20、中求出函數(shù)顯示形式的題可以采用這種做法。解法二： syms x y R; f=x2+y2-R2; f1=diff(f,x); f2=diff(f,y); -f1/f2運(yùn)行結(jié)果：ans =-x/y 即 說明：對于不能從方程中解出函數(shù)顯示形式的題要采用這種做法。22xRxy22xRxyyxy 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗2.求下列參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1）已知 ，求2.(1) syms t; x=t2; y=4*t; f=diff(y,t);f1=diff(x,t); f2=f/f1運(yùn)行結(jié)果：f2 =2/t 即 tytx4222,dxyddxdytdxdy2 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗 實驗三實

21、驗三 函數(shù)的微分函數(shù)的微分【實驗?zāi)康摹?.懂得函數(shù)的求導(dǎo)與微分的關(guān)系2.會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分【實驗要求】熟悉Matlab中的求導(dǎo)命令diff，賦值命令inline. 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.求下列函數(shù)的微分 （1） ; 【實驗過程】1.（1） syms x; f=log(sin(x); f1=diff(f,x)運(yùn)行結(jié)果：f1 =cos(x)/sin(x)即： dyxysinlncostansinxdydxxdxx 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗 實驗四實驗四 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【實驗?zāi)康摹?.會寫函數(shù)的Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函數(shù)的極值和最值的

22、方法3.懂得一點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義【實驗要求】熟悉Matlab中求Taylor展開式的命令taylor，以及求極值的方法 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.求函數(shù)的Taylor展開式，并在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)及函數(shù)展開式的圖形 （1）將函數(shù) 在 處展開到第5項；【實驗過程】1.（1） syms x; f=sin(x);y=taylor(f,pi/2,6)運(yùn)行結(jié)果：y =1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4xfsin2x再畫出函數(shù)與展開式的圖形：x=linspace(-2,2,60);f=sin(x);y=1-1/2*(x-1/2*pi).2+1/24*

23、(x-1/2*pi).4;plot(x,f,x,y)運(yùn)行結(jié)果： 圖2-1 函數(shù) 與其Taylor展開式對比圖 xfsin 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗2. 求函數(shù) 的極值;2. syms x; y=2*x3-3*x2; f1=diff(y,x); f1=diff(y)運(yùn)行結(jié)果：f1 =6*x2-6*x x0=solve(f1)2332xxy 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果：x0 = 0 1 f2=diff(f1,x)運(yùn)行結(jié)果：f2 =12*x-6 ff=inline(f2) ff(x0)運(yùn)行結(jié)果：ans = -6 6由此可知：函數(shù)在點處二階導(dǎo)數(shù)為-6，

24、所以0為極大值；函數(shù)在點處二階導(dǎo)數(shù)為6，所以-1為極小值。3.求圓過點（2，1）的切線方程。 syms x y; f=(x-1)2+(y+3)2-17; f1=diff(f,x); f1=diff(f,x);f2=diff(f,y); ff=-f1/f2運(yùn)行結(jié)果：ff =(-2*x+2)/(2*y+6) f3=inline(ff)； f3(2,1)運(yùn)行結(jié)果：ans = -0.2500所以切線方程為) 2(25. 01xy 第2章一元函數(shù)微分法驗證性實驗第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗設(shè)計性實驗實驗一實驗一 最優(yōu)價格問題最優(yōu)價格問題實驗二實驗二 效果最佳問題效果最佳問題實驗三實驗三 相關(guān)變化率相關(guān)

25、變化率 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 實驗一實驗一 最優(yōu)價格問題最優(yōu)價格問題【實驗?zāi)康摹?.加深對微分求導(dǎo)，函數(shù)極值等基本概念的理解2.討論微分學(xué)中的實際應(yīng)用問題3.會用Matlab命令求函數(shù)極值【實驗要求】掌握函數(shù)極值概念，Matlab軟件中有關(guān)求導(dǎo)命令diff 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 某房地產(chǎn)公司擁有100套公寓當(dāng)每套公寓的月租金為1000元時，公寓全部租出。當(dāng)月租金每增加25元時，公寓就會少租出一套。 1.請你為公司的月租金定價，使得公司的收益最大，并檢驗結(jié)論 2.若租出去的公寓每月每套平均花費(fèi)20元維護(hù)費(fèi)，又應(yīng)該如何定價出租，才能使公司收益最大【實驗方案】 1.方

26、法一： 設(shè)每套公寓月租金在1000元基礎(chǔ)上再提高x元，每套租出公寓實際月收入為( )元，共租出( )套。1000 x10025x 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 收益 R(X )= ( )( ) (02500) R( x)= 令R(x)=0，解得駐點=750。 R(x)= 0，故R(x)在=750處取得極大值。在0,2500上只有一個駐點，故R（x）在=750處取最大值。即每套公寓的月租金為1750元時，才能使公司收益最大。 檢驗：x=1750元，少租出 =30套，實際租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出時公司租金收入1000*100=100000元多2

27、2500元。 方法二： 設(shè)每套公寓月租金為x元，少租出 套，實際租出 100020 x10025x26025x2251750 100025100025x100010025x 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 套 收益 R(x)= x( ) (10003500) R(x)= 令R(x)=0，解得駐點=1750(每套公寓租金) 檢驗討論如方法一。 2.設(shè)每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓實際月租金收入是(1000+x-20)元，共租出 套 收益 R(x)= ( )( ) (0 x2500) R(x)=+(980+x)( ) 100010025x214025x10025x100020 x

28、10025x125 令R(x)=0，解得駐點x=760。R(x)= f=inline(-(1000+x)*(100-x/25) x=-f(a)f = Inline function: f(x) = -(1000+x)*(100-x/25)a = 750 x = 122500225 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗方法二 f=inline(-x*(100-(x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500) x=-f(a)f = Inline function: f(x) = -x*(100-(x-1000)/25)a = 1750 x = 122500 (2) f=inline(

29、-(980+x)*(100-x/25) a=fminbnd(f,0,2500)f = Inline function: f(x) = -(980+x)*(100-x/25)a = 760 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 實驗二實驗二 效果最佳問題效果最佳問題【實驗?zāi)康摹?.利用積分概念、函數(shù)最大值(最小值)理論，解決實際最優(yōu)化問題2.掌握符號求導(dǎo)的實際應(yīng)用3.熟悉Matlab命令求函數(shù)積分，解代數(shù)方程【實驗要求】 掌握函數(shù)最大值(最小值)理論，Matlab軟件求導(dǎo)命令、解方程的命令 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 洗過的衣服含有洗衣粉殘液，現(xiàn)用總量為

30、A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有a m3的洗衣粉殘液。若規(guī)定漂洗兩遍，問如何分配水兩次的用水量，才能使漂洗效果最佳？【實驗方案】 設(shè)第一次用水量為x m3，則第二次用水量為(A-x) m3。并設(shè)漂洗前衣服上含有的 m3的洗衣粉殘液中洗衣粉占b m3. 第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比為 ，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為 第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比為 baxb*abaaxax()()ababaxaAxax aAx 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為 兩次漂洗后效果最佳就是漂洗后殘液中洗衣粉含量最小，為此只要求 g(x)=(a+x)(a+A

31、-x) (0 xA) 的最大值。 g(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g(x)=0解得 因g(x)=-2 syms x a A f=(a+x)*(a+A-x); b=diff(f,x);solve(b)ans =1/2*A 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗實驗三實驗三 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 【實驗?zāi)康摹?.加深對復(fù)合函數(shù)、相關(guān)變化率的理解2.通過實例學(xué)習(xí)用微分知識解決實際問題3.熟悉Matlab命令求復(fù)合函數(shù)，符號函數(shù)求微分【實驗要求】掌握復(fù)合函數(shù)求微分、相關(guān)變化率應(yīng)用，熟練應(yīng)用Matlab軟件中求復(fù)合函數(shù)，符號函數(shù)求微分命令 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 有一個長度為

32、5m的梯子貼靠在垂直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速率離開墻腳而滑動，求 1.當(dāng)其下端離開墻腳1.4m時，梯子的上端下滑之速率為多少？ 2.何時梯子的上下端能以相同的速率移動？ 3.何時其上端下滑之速率為4m/s？【實驗方案】 設(shè)t=0時，梯子貼靠在墻上，在時刻t（秒）時，梯子上端離t=0時位置的距離為S米，梯子下端離開墻腳的距離為x米，則有x=3t，S=5- (見圖2-2) 225x 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 圖2-3 位置示意圖 1.梯子的上端下滑之速率 當(dāng)x=1.4m時， 2.梯子上、下端相同速率處， 即 解得x2= ， （舍去），即當(dāng)梯子下2222533*522*xxxxd

33、tdxdxdSdtdS)./(875. 04 . 1254 . 1*32smdtdS.dtdxdtdS32532 xx225553.54,22xx 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 下端離開墻腳的距離是3.54m時，梯子的上、下端的相同的速率移動. 3. 解得 x=4，-4（舍去）.即當(dāng)梯子下端 離墻腳4m時,其上端下滑之速度為4m/s., 4253, 42xxdtdS即【實驗過程】(1) syms x t f=5-sqrt(52-x2); x=3*t; a=compose(f,x); c=diff(a,t); b=subs(c,t,x/3); d=subs(b,x,1.4); numeric(

34、d)ans = 0.8750(2) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x)a =5/2*2(1/2)(3) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x)a =4 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗 第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計性實驗思考與提高 1.工廠A到鐵路的垂直距離為3公里，垂足B到火車站C為5公里，汽車運(yùn)費(fèi)20元/噸公里，鐵路運(yùn)費(fèi)15元/噸公里，為使運(yùn)費(fèi)最省，在M點建一轉(zhuǎn)運(yùn)站，且M在鐵路BC間，問M應(yīng)建在何處? 2.一幢樓房的后面是一個很大的花園，在花園中緊靠著樓房有一個溫室，溫室伸入花園寬2m，高3m，溫室正上方是樓房的窗臺清潔工打

35、掃窗臺周圍，他得用梯子越過溫室，一頭放在花園中，一頭靠在樓房的墻上因為溫室是不能承受梯子壓力的，所以梯子太短不行，現(xiàn)有一架7m長的梯子，問：它能達(dá)到要求嗎? 3.某商店每年銷售某種商品a件，每次購進(jìn)的手續(xù)費(fèi)b元，而每件的庫存費(fèi)為c元。在該商品均勻銷售情況下，商店應(yīng)分幾批購進(jìn)商品才能使所花手續(xù)費(fèi)及庫存費(fèi)之和為最??？理工數(shù)學(xué)實驗第3章 一元函數(shù)積分法 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗驗證性實驗實驗一 不定積分實驗二 定積分實驗三 定積分的應(yīng)用 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗實驗一 不定積分【實驗?zāi)康摹?.掌握求函數(shù)的原函數(shù)的方法2.熟悉基本積分公式和積分方法【實驗要求】掌握Matlab中積分命令in

36、t 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】 求下列函數(shù)的一個原函數(shù) (1) (2)【實驗過程】1.（1） syms x; f=1/x4; int(f,x)運(yùn)行結(jié)果：ans =-1/3/x3 即函數(shù) 的一個原函數(shù)為 .41xxxee14x1331x 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗（2） syms x; f=exp(x)/(1+exp(x); int(f,x)運(yùn)行結(jié)果：ans =log(1+exp(x) 即函數(shù) 的一個原函數(shù)為 .xxee1)1 (lnxe 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗 實驗二 定積分【實驗?zāi)康摹?.掌握求函數(shù)定積分的方法2.會求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和帶有變上限函數(shù)的極限【實驗要

37、求】熟悉Matlab中求定積分的命令 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗【實驗內(nèi)容】1.求下列定積分 （1） ;【實驗過程】1.（1） syms x; f=sqrt(1-x2); int(f,x,0,1)運(yùn)行結(jié)果：ans =1/4*pi dxx1021 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗2.求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） ;2.（1） syms t x; y=sin(t)/t; diff(int(y,t,0,x),x)運(yùn)行結(jié)果：ans =sin(x)/x 即 dtttdxdx0sindtttdxdx0sinxxsin 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗3.求下列極限（1） ; 3.（1） syms x t; f

38、=cos(t2); int(f,t,sin(x),0); f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x) f2=f1/1 limit(f2)運(yùn)行結(jié)果：ans =-1dttxxx)cos(1lim0sin20 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗實驗三 定積分的應(yīng)用【實驗?zāi)康摹?.熟悉不定積分、定積分的求解過程2.會求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.掌握用定積分求平面圖形面積、立體體積、曲線弧長以及立體側(cè)面積等應(yīng)用【實驗要求】掌握Matlab中求定積分的命令 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗 1.求由拋物線 與 所圍圖形的面積A； 【實驗過程】1.第一步：畫出積分區(qū)域的圖形： y=linspace(-1,

39、1,60); x1=5*y.2;x2=1+y.2; plot(x1,y,x2,y)運(yùn)行結(jié)果： 圖3-1 拋物線 與 所圍圖形 25yx 21yx25yx 21yx 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗第二步：先觀察曲線，再計算面積 syms y f=(1+y2)-5*y2; A=int(f,y,-0.5,0.5)運(yùn)行結(jié)果：A =2/3即所求平面圖形的面積為2/3。 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗2.求 與 所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積；2.第一步：畫出兩曲線所圍圖形 x=linspace(-0.5,1.5,60); y1=x.2;y2=x.3; plot(x,y1,x,y2)運(yùn)行結(jié)果： 圖3-

40、2 函數(shù) 與 所圍圖形2xy 3xy 2xy 3xy 第3章一元函數(shù)積分法驗證性實驗第二步：觀察圖形，求旋轉(zhuǎn)體體積 syms x; f=x4-x6; V=int(f,x,0,1)運(yùn)行結(jié)果：V =2/35*pi 即所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 .352 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗設(shè)計性實驗實驗一實驗一 樹的高度問題樹的高度問題實驗二實驗二 還款問題還款問題實驗三實驗三 生日蛋糕問題生日蛋糕問題 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗實驗一實驗一 樹的高度問題樹的高度問題【實驗?zāi)康摹?.加深對積分概念的理解2.使用積分理論解決實際問題3.熟悉Matlab命令求不定積分，解數(shù)值方程【實驗要求】掌握積分概念，Mat

41、lab軟件中求不定積分命令 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 有一種快速生長的樹，為了衡量它是否有種植的經(jīng)濟(jì)價值（如作為木柴），人們要求該樹在5年內(nèi)（t=6，在種植時已生長一年）至少生長6m，如果樹的生長速度為1.2+5t-4(m/年)，其中t為年數(shù).若種植時（t=1），樹已有1m高，試問種植此樹是否有經(jīng)濟(jì)價值。 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗方案】樹的高度，由題意可得將t1代入，得得即種植樹5年后，樹高8.66m，比種植時的1m長高了7.66m，超過至少生長6m的要求，種植此樹有經(jīng)濟(jì)價值。,352 . 1)52 . 1 ()(34Cttdttth511.23C2215C ,1

42、5223556)(3ttth)(66. 815226*356*56)6(3mh, 666. 7166. 8) 1 ()6( hh 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗過程】 syms t f=int(1.2+5*t(-4)f =6/5*t-5/3/t3 clear syms c c=solve(1.2-5/3+c-1,c)c =1.4666666666666666666666666666667 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗實驗二實驗二 還款問題還款問題【實驗?zāi)康摹?.加深了解一元函數(shù)積分法2.定積分在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的實際應(yīng)用3.熟悉Matlab命令求定積分，解一元數(shù)值方程【實驗要求】掌握定積分概

43、念，Matlab軟件求定積分 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 現(xiàn)購買一棟別墅價值300萬元，若首付50萬元，以后分期付款，每年付款數(shù)目相同。10年付清，年利率為6%，按連續(xù)復(fù)利計算，問每年應(yīng)付款多少？ 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗方案】 每年付款數(shù)目相同，共10年，這是均勻現(xiàn)金流，付款總值的現(xiàn)在值等于現(xiàn)價扣去首付。這類問題屬于貼現(xiàn)問題，若第t年還款為萬元，則第t年還款的貼現(xiàn)值為 ，n年的貼現(xiàn)值為 依題意：設(shè)每年付款A(yù)萬元，則第t年付款的現(xiàn)在值，由連續(xù)貼現(xiàn)公式應(yīng)為A ，因付款流總值為250萬元，即有 得A=33.2447（萬元），故每年應(yīng)付款33.2447萬元。0.04tae

44、n0.040taedtte06. 0100.060250tAedt,4552. 0*06. 0)1 (06. 025010*06. 0AeA 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗過程】 clear syms t A a=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a =-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A)b =-15/(exp(-3/5)-1) 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗實驗三實驗三 生日蛋糕問題生日蛋糕問題【實驗?zāi)康摹?.應(yīng)用數(shù)值積分方法，加深對積分概念的理解2.通過實例學(xué)習(xí)用數(shù)值積分知識解決

45、面積、體積計算等實際應(yīng)用問題3.學(xué)習(xí)使用Matlab軟件中有關(guān)積分計算的命令【實驗要求】掌握積分概念，Matlab軟件中有關(guān)積分計算的命令 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗【實驗內(nèi)容】 一個數(shù)學(xué)家即將要迎來他九十歲生日，有很多的學(xué)生要來為他祝壽，所以要定做一個特大蛋糕。為了紀(jì)念他提出的一項重要成果口腔醫(yī)學(xué)的懸鏈線模型，他的弟子要求蛋糕店的老板將蛋糕邊緣圓盤半徑做成下列懸鏈線函： r= 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5， 0h1(單位m) 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗 由于蛋糕店從來沒有做過這么大的蛋糕，蛋糕店的老板必須要計算一下成本。這主要涉及兩個問題的計算：一個是蛋糕的質(zhì)量，由此可

46、以確定需要多少雞蛋和面粉；另一個是蛋糕表面積(底面除外)，由此確定需要多少奶油?！緦嶒灧桨浮?首先分析一個圓盤形的單層蛋糕，如圖所示， 圖3-4 單層蛋糕 繞水平中心軸旋轉(zhuǎn)而成，若高為(m)，半徑為r(m)，密度為(kg/m3)，則蛋糕的質(zhì)量(kg)和表面積(m2)為 2Wk r H 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗如果蛋糕是雙層圓盤的，如圖所示： 圖3-5 雙層蛋糕 繞水平中心軸旋轉(zhuǎn)而成，每層高為H/2，下層蛋糕半徑為r1，上層蛋糕半徑為r2，此時蛋糕的質(zhì)量和表面積為 以此類推，如果蛋糕是n層的， 圖3-6 多層蛋糕22SrHr22221212/2/2()/2Wk r Hk r HkrrH22

47、1211212/22/2()Sr Hr HrrrHr 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗 每層高為H/n，半徑分別為r1，r2，rn，則蛋糕的質(zhì)量和表面積為 事實上，蛋糕邊緣圓盤半徑 (0h syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5; quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2,0,1)ans = 5.4171 r0=subs(r,h,0) r0 = 1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r02 ans = 16.0512求得該數(shù)學(xué)家的生日大蛋糕的質(zhì)量和表面積為 W =5.417

48、1 (kg)，S=16.0512(m2) 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗思考與提高 1.某游樂場新建一個魚塘，在釣魚季節(jié)來臨之際前將魚放入魚塘，魚塘的平均深度為6m，開始計劃時每3m3有一條魚，并在釣魚季節(jié)結(jié)束時所剩的魚是開始的25，如果一張釣魚證可以釣魚20條，試問：最多可以賣出多少釣魚證？魚塘的平面圖如圖： 圖3-7 魚塘平面示意圖 第3章一元函數(shù)積分法設(shè)計性實驗 2.某旅游景點準(zhǔn)備在兩個山頂間設(shè)置一纜車索道，已知兩山頂間相距200m。為施工方便，在兩山頂中間依山勢建有一個塔，塔頂與兩山頂?shù)雀叩染嚯x?，F(xiàn)在塔頂與山頂間懸掛索道，允許索道在中間下垂10m，且兩部分下垂部分一致。請計算在這兩個山

49、頂間所用索道長度。 3.在鋼線碳含量對于電阻的效應(yīng)的研究中，得到以下數(shù)據(jù)： 試求其線性擬合曲線，并估計在碳含量的這一改變過程中對電阻產(chǎn)生的總效應(yīng) 碳含量x0.100.300.400.550.700.800.95電阻效應(yīng)y1518192122.623.826理工數(shù)學(xué)實驗第第4章章 空間解析幾何空間解析幾何 第4章空間解析幾何驗證性實驗驗證性實驗實驗一實驗一 空間曲線空間曲線實驗二實驗二 二次曲面二次曲面 第4章空間解析幾何驗證性實驗實驗一實驗一 空間曲線空間曲線【實驗?zāi)康摹?進(jìn)一步理解空間解析幾何的應(yīng)用2學(xué)習(xí)用Matlab繪制的空間的曲線【實驗要求】 熟悉Matlab圖形命令plot3 第4章空

50、間解析幾何驗證性實驗【實驗內(nèi)容】 1畫出螺旋線 與空間曲線【實驗過程】 t=0:pi/50:10*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t;subplot(1,2,1);plot3(x,y,z,)運(yùn)行結(jié)果： )100(cossinttztytx)5 . 11 . 0(1sincosttztytx 第4章空間解析幾何驗證性實驗 圖4-1 螺旋線t=0.1:0.01:1.5x=cos(t);y=sin(t);z=1/t; subplot(1,2,2);plot3(x,y,z,) 運(yùn)行結(jié)果： 第4章空間解析幾何驗證性實驗 圖4-2 空間曲線 第4章空間解析幾何驗證性實驗 2繪制曲線 2.首先

51、我們把方程組變化成以下形式： 于是輸入： t=0:0.01:1 x=t; y=sqrt(t.*(1-t); z=sqrt(1-x.2-y.2); plot3(x,y,z)22222111()( )22zxyxy22(1)1xtyttzxy 第4章空間解析幾何驗證性實驗運(yùn)行結(jié)果： 圖4-3 空間曲線 第4章空間解析幾何驗證性實驗 實驗二 二次曲面【實驗?zāi)康摹?進(jìn)一步理解空間解析幾何的應(yīng)用2學(xué)習(xí)用Matlab繪制的空間的曲面【實驗要求】 熟悉Matlab中圖形命令mesh，meshc，meshz等 第4章空間解析幾何驗證性實驗【實驗內(nèi)容】 1繪制的 圖像。【實驗過程】1x=-4:4;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); z=(1+X+Y).2; mesh(X,Y,z)運(yùn)行結(jié)果：2( , )(1)zf x yxy 第4章空間解析幾何驗證性實驗 圖4-3 空間曲面 第4章空間解析幾何驗證性實驗2畫旋轉(zhuǎn)拋物面 . x=-3:3; y=x; X,Y=meshgrid(x,y); z=X.2+Y.2; mesh(X,Y,z)運(yùn)行結(jié)果： 圖4-4 旋轉(zhuǎn)拋物面22yxz-4-2024-4-2024051015