教學(xué)課件數(shù)學(xué)分析

1、2 含參量反常積分 與函數(shù)項級數(shù)相同, 含參量反常積分的重要內(nèi)容是判別含參量反常積分的一致收斂性. 在相應(yīng)的一致收斂的條件下, 含參量反常積分具有連續(xù)性, 可微性, 可積性. 含參量反常積分的一致收斂性的判別法與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的判別法類似.一、含參量反常積分的一致收斂性二、含參量反常積分一致收斂性的判別三、含參量反常積分的性質(zhì)四、含參量 的無界函數(shù)反常積分x一含參量反常積分一致收斂性( ,)f x y ,)RJc 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域定義在無界區(qū)域上上, 其其中中J,xJ 是任意區(qū)間是任意區(qū)間. 若若反常積分反常積分 ( )( ,)d(1)cI xf x yy都收斂，則都收斂，則

2、( )I xJ是是上的函數(shù)上的函數(shù). . 稱稱(1)為定義在為定義在J上的含參量上的含參量 x 的無窮限反常積分的無窮限反常積分, 或或稱稱含參量反常積分含參量反常積分. 定義定義1 若含參量反常積分若含參量反常積分(1)與函數(shù)與函數(shù) I(x)對對0 , ,Nc MN ,xJ 使得當(dāng)使得當(dāng)時時, 對一切對一切 都有都有 ( ,)d( ),Mcf x yyI x 即即( ,)d,Mf x yy 則稱含參量反常積分則稱含參量反常積分(1)在在J上一致收斂于上一致收斂于I(x), 或簡或簡 單地說含參量積分單地說含參量積分(1)在在J上一致收斂上一致收斂. ( )( ,)dcI xf x yyJ注注

3、1 由定義由定義, 在在 上一致收斂的上一致收斂的 充要條件是充要條件是 ( )sup( , )d0().Ax JAf x yyA ( )( ,)dcI xf x yyJ注注2 由定義由定義, 在在 上不一致收斂上不一致收斂 的充要條件是的充要條件是 000,McAMxJ 及及00(,)d.Af xyy 例例1 討論含參量反常積分討論含參量反常積分 0ed ,(0,)xyxy x的一致收斂性的一致收斂性. . 解解 若若0,xuxy令令 則則 ede de,xyuxAAxAxyu于是于是0,)( )suped1,xyAxAxy 因此因此, 含參量積分在含參量積分在(0,) 上非一致收斂上非一致

4、收斂.而而 ,)( )supede0(),xyAAxAxyA 因此因此, 含參量積分在含參量積分在 ,) 上一致收斂上一致收斂.二含參量反常積分一致收斂性的判別 定理定理19.7 (一致收斂的柯西準(zhǔn)則一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 含參量反常積分含參量反常積分(1) , a b0,Nc 在在上一致收斂的充要條件是上一致收斂的充要條件是: 12,AAN , ,xa b使得當(dāng)使得當(dāng)時時, 對一切的對一切的都有都有 21( ,)d.(3)AAf x yy 證證 必要性必要性 ( )( ,)dcI xf x yyJ若若 在在上一致收斂上一致收斂, 則則0,NcANxJ 及及有有 ( ,)d( ),2Acf x

5、yyI x 因此因此,12,A AN 2121( ,)d( ,)d( ,)dAAAAccf x yxf x yxf x yx11( ,)d( )( ,)d( )AAccf x yxI xf x yxI x.22 21( ,)d.AAf x yy 則令則令 2,( ,)d.MAf x yy 得得 ( )( ,)dcI xf x yyJ這就證明了這就證明了在在上一致收斂上一致收斂.例例2 證明含參量反常積分證明含參量反常積分0sind(4)xyyy充分性充分性 若若120,NcMAAN ,)(0), 上上一一致致收收斂斂 其其中中(0,)在在但在但在 內(nèi)內(nèi)不一致收斂不一致收斂. . 證證 作變量代

6、換作變量代換,uxy得得sinsindd , (5)AAxxyuyuyu0,A0sinduuu其中其中由于由于收斂收斂, 故對任給的正數(shù)故對任給的正數(shù), AM 總存在某一實數(shù)總存在某一實數(shù)M , 當(dāng)當(dāng)時就有時就有sind.Auuu ,MAMA 則則當(dāng)當(dāng)時時, ,0 ,x 對對 取取 由由 (5) 式式sind,Axyyy 所以所以(4)在在 0 x 上一致收斂上一致收斂.現(xiàn)證明現(xiàn)證明(4) 在在(0,)內(nèi)不一致收斂內(nèi)不一致收斂. 由一致收斂定由一致收斂定義義的注的注2, 只要證明只要證明: 存在某一正數(shù)存在某一正數(shù) 0, 使得對任何使得對任何(0,) ,x使得使得()McAM, 總相應(yīng)地存在某

7、個總相應(yīng)地存在某個及某個及某個實數(shù)實數(shù)由于非正常積分由于非正常積分0sinduuu收斂收斂 (在本節(jié)例在本節(jié)例6 中我們中我們 將將求出這個積分的值求出這個積分的值), 故對故對000,M 與與總總 0,x 使得使得00sinsindd,Mxuuuuuu 即即0( ,)d.Af x yy 現(xiàn)令現(xiàn)令001sind ,2uuu 由由(5)及不等式及不等式(6)的左端就有的左端就有000sinsindd2.MMxxyuyuyu所以所以(4)在在(0,)內(nèi)不一致收斂內(nèi)不一致收斂.收斂之間的聯(lián)系有下述定理收斂之間的聯(lián)系有下述定理.關(guān)于含參量反常積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致關(guān)于含參量反常積分一致收斂性與

8、函數(shù)項級數(shù)一致定理定理19.8 含參量反常積分含參量反常積分(1)在在J上一致收斂的充要上一致收斂的充要 0000sinsinsinddd.(6)Mxuuuuuuuuu1(nAA其其中中條件是條件是: 對任一趨于對任一趨于的遞增數(shù)列的遞增數(shù)列111(, )d( )(7)nnAnAnnf x yyux J0, ,Mc證證 必要性必要性 由由(1)在在上一致收斂上一致收斂, 故故AAM時，時，,xJ使得當(dāng)使得當(dāng)對一切對一切總有總有( ,)d.(8)AAf x yy 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)),c在在J上一致收斂上一致收斂, 其中其中1( )( , )d .nnAnAuxf x yy 又由又由(),nA

9、n所以對正數(shù)所以對正數(shù)M, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N,mnN.mnAAM只要當(dāng)只要當(dāng)時時, 就有就有由由(8)對一切對一切 ,xJ就有就有11( )( )( ,)d( ,)dmnmnAAnmAAuxuxf x yyf x yy1( ,)d.mnAAf x yy 這就證明了級數(shù)這就證明了級數(shù)(7)在在J上一致收斂上一致收斂.充分性充分性 用反證法用反證法. 假若假若(1) 在在J不上一致收斂不上一致收斂, 則則 00 , ,Mc AAMxJ和和，對對使得使得0(,)d.AAf xyy 1211max1, ,McAAM則則存存在在1 , ,xa b及及 現(xiàn)取現(xiàn)取使得使得 2110(,)d.AAf x

10、yy 一般地一般地, 取取2(1)max ,(2),nnMn An則有則有221,nnnnAAMxJ及及 使得使得2210(,)d.(9)nnAnAf xyy nAlimnnA 由上述所得到的數(shù)列由上述所得到的數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, 且且111( )( ,)d .nnAnAnnuxf x yy0, ,nN由由(9)式知存在正數(shù)式知存在正數(shù)對任何正整數(shù)對任何正整數(shù)N, 只要只要 就有某個就有某個0,xJ 使得使得21220()(,)d.nnAnnnAuxf xyy 這與級數(shù)這與級數(shù)(7)在在J上一致收斂的假設(shè)矛盾上一致收斂的假設(shè)矛盾. 故含參量故含參量現(xiàn)在考慮級數(shù)現(xiàn)在考慮級數(shù).反反常積分在常

11、積分在J上一致收斂上一致收斂.注注 由定理由定理19.8, 含參量反常積分可看作連續(xù)型的函含參量反常積分可看作連續(xù)型的函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù).們的證明與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿們的證明與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿, 我們用我們用下面列出含參量反常積分的一致收斂性判別法下面列出含參量反常積分的一致收斂性判別法. 它它柯西準(zhǔn)則證明魏爾斯特拉斯柯西準(zhǔn)則證明魏爾斯特拉斯M判別法和狄利克萊判判別法和狄利克萊判判別法判別法. . 阿貝耳判別法的證明留給讀者阿貝耳判別法的證明留給讀者. .魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯M判別法判別法 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) g(y), 使得使得( ,)( ) ,.f x yg yxJ c

12、y 若若( )d( ,)dccg yyf x yyJ收斂,則在收斂,則在上一致收斂上一致收斂.( )dcg yy 收收斂斂, ,12,NcA AN 證證 由于由于21( )d.AAg yy 因此因此12, , ,A ANxc d及及 2211( , )d( )d.AAAAf x yxg yy 從而從而 ( ,)dcf x yyJ在在上一致收斂上一致收斂.狄利克萊判別法狄利克萊判別法 設(shè)設(shè)(i) 對一切實數(shù)對一切實數(shù) ,Nc含參量正常積分含參量正常積分( ,)dNcf x yy J對參量對參量 x 在在 上一致有界上一致有界, 即存在正數(shù)即存在正數(shù)M, 對一切對一切,Nc,xJ 及一切及一切都有

13、都有( ,)d;Ncf x yyM,xJ ( ,)g x y(ii)對每一個對每一個函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于 y 單調(diào)且當(dāng)單調(diào)且當(dāng)則含參量反常積分則含參量反常積分( ,) ( ,)dcf x y g x yy在在J上一致收斂上一致收斂.證證 0,( ),2NcANg AM 有有時時, 對參量對參量 x , ( ,)g x y一致收斂于一致收斂于0,y 于是于是, 12,A AN 由積分第二中值定理，由積分第二中值定理，21( , ) ( , )dAAf x y g x yy 221112()( , )d()( , )dAAAAg Af x yyg Af x yy221112()( , )d()( ,

14、)dAAAAg Af x yyg Af x yy221112()( , )d()( , )dAAAAg Af x yyg Af x yy.22MMMM ( ,) ( ,)dcf x y g x yyJ由一致收斂的柯西準(zhǔn)則由一致收斂的柯西準(zhǔn)則,在在上一致收斂上一致收斂.阿貝耳判別法阿貝耳判別法 設(shè)設(shè)(i) ( ,)dcf x yyJ在在上上一一致致收收斂斂；,xJ ( ,)g x y(ii) 對每一個對每一個函數(shù)函數(shù)為為 y 的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)函數(shù), 且且( ,)g x yJ對對參量參量 x,在在上一致有界上一致有界,則含參量反常積分則含參量反常積分( ,) ( ,)dcf x y g x yy在

15、在J上一致收斂上一致收斂.例例3 證明含參量反常積分證明含參量反常積分20cosd(10)1xyxx在在(,) 上一致收斂上一致收斂.證證 由于對任何實數(shù)由于對任何實數(shù) y 有有22cos1,11xyxx 及反常積分及反常積分20d1xx 收斂收斂, 故由魏爾斯特拉斯故由魏爾斯特拉斯M判判 別法別法, 含參量反常積分含參量反常積分(10)在在(,) 上一致收斂上一致收斂. 0sined(11)xyxxx在在0,d上一致收斂上一致收斂.證證 由于反常積分由于反常積分0sindxxx 收斂收斂(當(dāng)然當(dāng)然, 對于參量對于參量y,0,d( ,)exyg x y 它在它在上一致收斂上一致收斂), 函數(shù)函

16、數(shù)對每一對每一例例4 4 證明含參量反常積分證明含參量反常積分0,xd 0,0ydx 個個單調(diào)單調(diào), 且對任何且對任何都有都有( ,)e1.xyg x y 故由阿貝耳判別法即得含參量反常積分故由阿貝耳判別法即得含參量反常積分(11)在在0 , d上一致收斂上一致收斂. .例例5 證明證明: 若若( ,) , ,)f x ya bc 在在上連續(xù)上連續(xù), 又又( ,)dcf x yy( ,)dcf x yy在在 , )a b上收斂上收斂, 但在但在 處發(fā)散處發(fā)散, 則則 xb 在在 , )a b上不一致收斂上不一致收斂.證證 用反證法用反證法. 假若積分在假若積分在 , )a b上一致收斂上一致收

17、斂, 則對于則對于0 , ,Mc ,A AM 任給任給總存在總存在當(dāng)當(dāng)時對一切時對一切 , )xa b 恒有恒有( ,)d.AAf x yy ( ,) , ,f x ya bA A 在在( ,)dAAf x yy因因上連續(xù)上連續(xù), 所以所以x,xb 是是的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù). 在上面不等式中令在上面不等式中令 得到當(dāng)?shù)玫疆?dāng) AAM 時時,( ,)d.AAf b yy ( ,)dcf x yyxb 而而是任給的是任給的, 因此因此 在在處收斂處收斂, ( ,)dcf x yy , )a b這與這與假設(shè)矛盾假設(shè)矛盾. 所以積分所以積分 在在上上不一致收斂不一致收斂.三、含參量反常積分的性質(zhì)定理定理

18、19.9 (含參量反常積分的連續(xù)性含參量反常積分的連續(xù)性)設(shè)設(shè)( ,) ,)f x yJc 在在上連續(xù)上連續(xù), 若含參量反常積分若含參量反常積分( )( ,)d(12)cI xf x yy nA證證 由定理由定理19.8, 對任一遞增且趨于對任一遞增且趨于 的數(shù)列的數(shù)列JJ在在上一致收斂上一致收斂, 則則I(x)在在 上連續(xù)上連續(xù). 1() ,Ac 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) 111( )( ,)d( )(13)nnAnAnnI xf x yyuxJ( ,) ,)f x yJc 在在在在上一致收斂上一致收斂. . 又由于又由于 上連上連續(xù)續(xù), , 故每個故每個 ( )nuxJ都都在在上連續(xù)上連續(xù).

19、根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性定理定理, 函數(shù)函數(shù) I(x)在在 J上連續(xù)上連續(xù).這個定理也證明了在一致收斂的條件下這個定理也證明了在一致收斂的條件下, 極限運算極限運算 與積分運算可以交換與積分運算可以交換: :00lim( ,)d(,)dccxxf x yyf xyy0lim( ,)d .(14)cxxf x yy定理定理19.10 (含參量反常積分的可微性含參量反常積分的可微性) ( ,)( ,)xf x yfx y與與 ,)Jc 設(shè)設(shè)在區(qū)域在區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù). 若若 ( )( ,)dcI xf x yyJ( ,)dxcfx yyJ在在 上收斂上收斂, , 在在上一致收斂

20、上一致收斂, 則則I(x)在在 J上可微上可微, 且且( )( ,)d(15)xcI xfx yy 1() ,nAAc 證證 對任一遞增且趨于對任一遞增且趨于 的數(shù)列的數(shù)列令令1( )( ,)d .nnAnAuxf x yy由定理由定理19.3推得推得 1( )( ,)d .nnAnxAuxfx yy( , )dcf x yy由由在在J上一致收斂及定理上一致收斂及定理19.8, 可得函數(shù)可得函數(shù) 項級數(shù)項級數(shù)111( )( ,)dnnAnxAnnuxfx yy在在 J上一致收斂上一致收斂, 因此因此根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo) 定理定理, , 即得即得111( )( )(

21、,)d( ,)d ,nnAnxxAcnnI xuxfx yyfx yy或?qū)懽骰驅(qū)懽鱠( ,)d( ,)d ,dccf x yyf x yyxx最后結(jié)果表明在定理條件下最后結(jié)果表明在定理條件下, 求導(dǎo)運算和積分運算求導(dǎo)運算和積分運算可以交換可以交換. , ,)a bc ( )( ,)dcI xf x yy , a b上連續(xù)上連續(xù), ,若若 在在 上一致收斂上一致收斂, 則則I(x)在在 , a b上可積上可積, 且且d( ,)dd( ,)d ,(16)bbaccaxf x yyyf x yx , a b 上可積上可積.又由定理又由定理19.9的證明中可以看到的證明中可以看到, 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級

22、數(shù)(13)在在 , a b( ) , nuxa b在在上一致收斂上一致收斂, 且各項且各項 上連續(xù)上連續(xù), 因此因此證證 由定理由定理19.9知道知道 在在 , a b上連續(xù)上連續(xù), 從而從而I(x)在在 ( )I x定理定理19.11 (含參量反常積分的可積性含參量反常積分的可積性) 設(shè)設(shè) 在在( ,)f x y111( )d( )dd( ,)dnnbbbAnaaaAnnI xxuxxxf x yy11d( ,)d ,(17)nnAbAanyf x yx這里最后一步是根據(jù)定理這里最后一步是根據(jù)定理19.6關(guān)于積分順序的可交關(guān)于積分順序的可交 換性換性. (17)式又可寫作式又可寫作 ( )d

23、d( ,)d .bbacaI xxyf x yx這就是這就是(16)式式. .根據(jù)函數(shù)項級數(shù)逐項求積定理根據(jù)函數(shù)項級數(shù)逐項求積定理, , 有有( ,)daf x yxy 關(guān)關(guān)于于 ,c d(i) 在任何在任何上一致收斂上一致收斂, ( ,)dcf x yy , a b關(guān)于關(guān)于x在任何在任何 上一致收斂上一致收斂;(ii)積分積分 d( ,)dd( ,) d(18)accaxf x yyyf x yx與與中有一個收斂中有一個收斂, 則則d( ,)dd( ,)d(19)accaxf x yyyf x yx . .( ,)f x y ,) ,)ac 定理定理19.12 設(shè)設(shè)在在上連續(xù)上連續(xù), 若若d

24、( ,)dacxf x yy也收斂也收斂. dc 當(dāng)當(dāng)時時, ,d( ,)dd( ,)dddcaacIyf x yxxf x yyd( , )dd( , )dddcaacyf x yxxf x yyd( , )dadxf x yy證證 不妨設(shè)不妨設(shè)d( ,)dacxf x yy收斂收斂, 由此推得由此推得 根據(jù)條件根據(jù)條件(i)及定理及定理19.11, , 有有d( , )ddadIxf x yyd( , )dd( , ) d .AadAdxf x yyxf x yy由條件由條件(ii), 對于任給的對于任給的 0 ,GaAG 有有使使當(dāng)當(dāng)時時, ,d( ,)d.2Adxf x yy 有有(

25、,)d.2()df x yyAa 把這兩個結(jié)果應(yīng)用到把這兩個結(jié)果應(yīng)用到(20)式式, 得到得到,22dI 使得當(dāng)使得當(dāng) 時有時有dM選定選定A 后后, 由由 ( ,)dcf x yy的一致收斂性的一致收斂性, 存在存在Mc, 即即lim0 ,ddI 這就證明了這就證明了(19)式式.例例6 計算計算0sinsined(0,).pxbxaxIxpbax解解 因為因為sinsincosd ,babxaxxy yx所以所以0sinsinedpxbxaxIxx0ecosd dbpxaxy yx0decosd .(21)bpxaxxy yecosepxpxxy 0edpxx由于由于及反常積分及反常積分

26、收斂收斂, 根根據(jù)據(jù)M判定法判定法, 含參量反常積分含參量反常積分 0ecosdpxxy x , a becospxxy 在區(qū)間在區(qū)間 上一致收斂上一致收斂. .由于由于 在在 0,) , a b 上連續(xù)上連續(xù), 根據(jù)定理根據(jù)定理19.11交換積分交換積分(21) 的的順序順序, 積分積分I 的值不變的值不變. 于是于是 220decosddbbpxaapIyxy xypyarctanarctan.bapp例例7 計算計算0sind .axxx解解 在上例中在上例中, 令令 b = 0, 則有則有0sin( )edarctan(0).(22)pxaxaF pxpxp由阿貝耳判別發(fā)可得上述含參量

27、反常積分在由阿貝耳判別發(fā)可得上述含參量反常積分在 0p 上上 一致收斂一致收斂. 于是由定理于是由定理19.9,( )0F pp 在在上連續(xù)上連續(xù), 且且0sin(0)d .axFxx又由又由(22)式式00(0)lim( )limarctansgn.2ppaFF pap 例例8 計算計算 20( )ecosd .(23)xrrx x 22ecosexxrx解解 由于由于 對任一實數(shù)對任一實數(shù)r成立及反常積成立及反常積20edxx (,)r分分收斂收斂, 所以積分所以積分(23)在在 上上收斂收斂. . 2200recosdesind .(24)xxrxxxrx x由于由于 22esine0

28、,xxxrxxxr對一切對一切成成立及反常積分立及反常積分20edxxx收斂收斂, 根據(jù)根據(jù)M判判定法定法, 含含參量參量反常積分反常積分(24)在在 (,)上一致收斂上一致收斂.考察含參量反常積分考察含參量反常積分綜合上述結(jié)果由定理綜合上述結(jié)果由定理19.10即得即得2200( )esindlimesindAxxArxrx xxrx x 220011limesinecosd22AAxxArxrrx x 20ecosd( ).22xrrrx xr 于是有于是有2ln ( )ln ,4rrc 24( )e.rrc (0),c 20(0)ed,2xx 從而從而 又由又由(23)式式,24( )e.2rr ,2c 因此得到因此得到所以所以四、含參量x的無界函數(shù)反常積分設(shè)設(shè)( ,) ,)f x yRJc d在在區(qū)區(qū)域域上有定義上有定義. 若對若對x的某的某些些值值, y = d 為函數(shù)為函數(shù)( ,)f x y的瑕點的瑕點, 則稱則稱( ,)d (25)dcf x yy為含參量為含參量x的無界函數(shù)反常積分的無界函數(shù)反常積分, 或簡稱為含參量反或簡稱為含參量反常常積分積分. 若對每一個若對每一個 ,xJ積分積分(25)都收斂都收斂, 則其積則其積xJ在在上取值的函數(shù)上取值的函