高等數(shù)學(xué)上5.2微積分的基本公式

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁baxxfd)(iniixf10)(lim 一般地一般地, , f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示介于積分表示介于x軸、曲軸、曲線線y f(x)及直線及直線x a、x b之間的各部分之間的各部分面積的代數(shù)面積的代數(shù)和和. . v2. 定積分的幾何意義定積分的幾何意義v1. 定積分的定義定積分的定義u復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)上頁下頁結(jié)束返回首頁3、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性質(zhì)性質(zhì)1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性質(zhì)性質(zhì)3 3 性質(zhì)性質(zhì)4 4 4 abdxdxbaba1. 3 bcc

2、abadxxfdxxfdxxf)()()(. badxxf0)(ab). 如果在區(qū)間如果在區(qū)間a, , b上上 f (x) 0, , 則則 性質(zhì)性質(zhì)5 5 性質(zhì)性質(zhì)6 6 baabMdxxfabm)()()(ab). 性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理定積分中值定理) ) baabfdxxf)()(. 上頁下頁結(jié)束返回首頁二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 第二節(jié)微積分的基本公式 第五五章 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、引例一、引例 在變速直線運(yùn)動(dòng)中在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù)已知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù)與速度函數(shù))(

3、tv之間有關(guān)系之間有關(guān)系:)()(tvts物體在時(shí)間間隔物體在時(shí)間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .)()(的原函數(shù)是這里tvts上頁下頁結(jié)束返回首頁)(xfy xbaoy)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), ,)(baCxf則變上限函數(shù)則變上限函數(shù)xattfxd)()(證證:, ,bahxx則有則有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim

4、0fh)(xf)(x定理定理1. 若若.,)(上的一個(gè)原函數(shù)在是baxf,)(baCxf上頁下頁結(jié)束返回首頁說明說明:1) 定理定理 1 證明了證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的的.2) 變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo):bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同時(shí)為同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx上頁下頁結(jié)束返回首頁 xxbabadxxfdxddxxfdcddxxfdadsin2)(. 3)(. 2)(. 1：求

5、求下下列列導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí))(af 0 xxfcos)(sin)(22xxf x06dttxfxF x05dtttfxF x07dttftxxF xxfdttfxFx06 x0 x0 x0/7dttfdtttfdttfxxF xxfxF5上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式原式0limx 00P240-8)sin(2cosxex0limxx2e2121cosdxtet 2x上頁下頁結(jié)束返回首頁例例2. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時(shí),0c. 0

6、 b00原式原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故故. 1a又由又由221cos1xx, 得得.21c上頁下頁結(jié)束返回首頁 ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(xP239-7上頁下頁結(jié)束返回

7、首頁證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 令令F( (x) )在在 0, ,1 上連續(xù)，且上連續(xù)，且, 0)(2)(xfxF又),1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù). 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個(gè)個(gè)解解. 上頁下頁結(jié)束返回首頁三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛頓牛頓 - 萊布尼茲公式萊布尼茲公式) 證證: 根據(jù)定理根據(jù)定理 1,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)是xf

8、xxfxa故故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba記作記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù)函數(shù) , 則則上頁下頁結(jié)束返回首頁例例5. 計(jì)算計(jì)算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例6. 計(jì)算正弦曲線計(jì)算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積的面積 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysinP238-4上頁下頁結(jié)束返回首頁例例7 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxx

9、f解解: 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12上頁下頁結(jié)束返回首頁例例8 求求 .,max222 dxxx解解:由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 上頁下頁結(jié)束返回首頁.)()(,00)(912 xxdttfxFxxxexf計(jì)計(jì)算算設(shè)設(shè)例例時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x xdttfxFx1)()(0時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) xdttfxF1)()( xtdte1;1 eex.31131

10、310301xetext 解解: xtdttdte0201上頁下頁結(jié)束返回首頁例例10. 汽車以每小時(shí) 36 km 的速度行駛 ,速停車,2sm5a解解: 設(shè)開始剎車時(shí)刻為,0t則此時(shí)刻汽車速度0v)(10sm)(sm3600100036剎車后汽車減速行駛 , 其速度為tavtv0)(t510當(dāng)汽車停住時(shí),0)(tv即,0510 t得(s)2t故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk剎車, 問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離? 上頁下頁結(jié)束返回首頁.2sin120 dxx計(jì)算計(jì)算練習(xí)練習(xí)1._cos

11、12cos1cos11lim nnnnnn 練習(xí)練習(xí)2上頁下頁結(jié)束返回首頁.2sin120 dxx計(jì)算計(jì)算解解 20220cossin2sin1 dxxxdxx 20cossin dxxx 20sincos xx . 0 ? ? 20cossin dxxx原式原式 2440cossinsincos dxxxdxxx 244sincoscossin0 xxxx .122 練習(xí)練習(xí)1上頁下頁結(jié)束返回首頁._cos12cos1cos11lim nnnnnn nnnnn cos12cos1cos11和和式式dxx 10cos1 原原式式.22 上上的的積積分分和和，在在可可看看成成函函數(shù)數(shù)1 , 0c

12、os1)(xxf nnini1cos11 1022cos2dxx 102cos2dxx 解解(2002)練習(xí)練習(xí)2上頁下頁結(jié)束返回首頁上上的的積積分分和和，在在可可看看成成函函數(shù)數(shù),0cos1)( xxf nnnnn cos12cos1cos11和和式式nnini1cos11 解二解二nnini 1cos11 22cos110 dxx原原式式上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié), )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有則有1. 微積分基本公式微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理)(abf牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式2. 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)積分求導(dǎo)公式積分求導(dǎo)公式 )()()(xfdttfdxdxxa 上頁下頁結(jié)束返回首頁作業(yè)作業(yè)P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12上頁下頁結(jié)束返回首頁3234)(2xxxf備用題備用題解解：1. 設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定積分為常數(shù)定積分為常數(shù) ,d)(10axxf設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 則10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab22