實變函數(shù)期末考試題庫

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實變函數(shù)期末考試試題匯編目錄實變函數(shù)期末考試模擬試題（一）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是開集，則（ B ）（A） （B）的內(nèi)部 （C） （D）3、設(shè)是康托集，則（ C ）（A）是可數(shù)集 （B）是開集 （C） （D）4、設(shè)是中的可測集，是上的簡單函數(shù)，則（ D ）（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的單調(diào)函數(shù)（C）在上一定不可積 （D）是上的可測函數(shù)5、設(shè)是中的可測集，為上的可測函數(shù)，若，則（ A ）（A）在上，不一定恒為零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩

2、個以上的正確答案）1、設(shè)是中的無理點全體，則（C、D）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每一點都是聚點 （D）2、若至少有一個內(nèi)點，則（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）是不可數(shù)集3、設(shè)是可測集，則的特征函數(shù)是 （A、B、C ）（A）上的簡單函數(shù) （B）上的可測函數(shù) （C）上的連續(xù)函數(shù) （D）上的連續(xù)函數(shù)4、設(shè)在可測集上可積，則（ B、D ）（A）和有且僅有一個在上可積 （B）和都在上可積（C）在上不一定可積 （D）在上一定可積5、設(shè)是的單調(diào)函數(shù)，則（ A、C、D）（A）是的有界變差函數(shù) （B）是的絕對連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處連續(xù) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)三

3、、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、設(shè)為全集，為的兩個子集，則 。2、設(shè)，如果滿足，則是 閉 集。3、若開區(qū)間是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間，則滿足、。4、設(shè)是無限集，則的基數(shù) （其中表示可數(shù)基數(shù)）。5、設(shè)，為可測集，則。6、設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有是 可測集 ，則稱是可測集上的可測函數(shù)。7、設(shè)是的內(nèi)點，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，且，則由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、設(shè)是上的可測函數(shù)，則在上的積分不一定存在，且在上 不一定 可積。10、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則一定 是 上的有界變差函數(shù)。四、判斷題（正確的打“”，錯誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個

4、閉集的并集仍為閉集。 （ × ）2、任何無限集均含有一個可數(shù)子集。 （ ）3、設(shè)是可測集，則一定存在型集，使得，且。（ ）4、設(shè)是零測集，是上的實函數(shù)，則不一定是上的可測函數(shù)。（ × ）5、設(shè)是可測集上的非負可測函數(shù)，則必在上可積。 （ × ）五、簡答題1、簡述無窮多個開集的交集是否必為開集？答：不一定為開集。例如 取上一列開集為，而是閉集，不是開集。2、可測集上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有何關(guān)系？答：簡單函數(shù)是可測函數(shù)；可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù)；可測函數(shù)一定可以表示成一列簡單函數(shù)的極限。3、上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系？答：單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)；有界變差函數(shù)不

5、一定是單調(diào)函數(shù)，但一定可以表示成單調(diào)函數(shù)的和或差。六、計算題1、設(shè)，其中是有理數(shù)集，求。解： 因為，所以于，于是2、求。解： 因為而 所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明： （方法1）對任意，有且，即或且所以 或，即。反之，對任意，有或，即或且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)是中的有理點全體，則是可測集且。證明： 因為是可數(shù)集，則對任意，取開區(qū)間，顯然它們把覆蓋住。于是 。讓得，從而是可測集且。3、證明：上的實值連續(xù)函數(shù)必為上的可測函數(shù)。證明：因為對于任意實數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性易知，是開集，從而是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。4、設(shè)是可測集上的可積函數(shù)，為的一

6、列可測子集，如果，則。證明：因為且，所以從而由題設(shè) 又在上的可積，且 所以由積分的絕對連續(xù)性得即。5、設(shè)是可測集上的可積函數(shù)，為中的一列遞增可測子集，。證明：記，其中顯然在上，且于是由勒貝格控制收斂定理即可的結(jié)論。實變函數(shù)期末考試模擬試題（二）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是閉集，則（ B ）（A）的內(nèi)部 （B） （C） （D）3、設(shè)是有理數(shù)集，則（ C ）（A） （B）是閉集 （C） （D）是不可數(shù)集4、設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，為任意實數(shù)，則（ D ）（A）是開集 （B）是開集（C）是閉集 （D）是開集5、 設(shè)是中的可測集，都是

7、上的可測函數(shù)，若，則（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上， （D）在上，二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）1、設(shè)是中的有理點全體，則（C、D）（A）是閉集 （B）中的每一點都是內(nèi)點 （C）是可數(shù)集 （D）2、若的外測度為零，則（ B、D ）（A）一定是可數(shù)集 （B）一定是可測集 （C）不一定是可數(shù)集 （D） 3、設(shè)，函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若，則下列哪些結(jié)論不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可積 （C） （D） 4、若在可測集上有積分值，則（A、C ）（A）和中至少有一個在上可積 （B）和都在上可積（C）在上也有

8、積分值 （D）在上一定可積5、設(shè)是的絕對連續(xù)函數(shù)，則（ A、B、C ）（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的一致連續(xù)函數(shù)（C）是上的有界變差函數(shù) （D）在上處處可導(dǎo)三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、 設(shè)，是兩個集合，則 2、設(shè)，如果滿足，則是 開 集。3、設(shè)為直線上的開集，若開區(qū)間滿足和 ，則 必為的 構(gòu)成 區(qū)間。4、設(shè)是偶數(shù)集，則則的基數(shù) （其中表示可數(shù)基數(shù)）。5、設(shè)，為可數(shù)集，且，則。6、設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù)，（），都有是 可測集 。7、若是可數(shù)集，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，是上的可測函數(shù)，如果，則 不一定成立 。9、設(shè)是上的非負可測函數(shù)，則在上的積分的值

9、一定存在 。10、若是上的有界變差函數(shù)，則必可表示成兩個 遞增函數(shù)的差（或遞減函數(shù)的差） 。四、判斷題（正確的打“”，錯誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個開集的交集仍為開集。 （ × ）2、任何無限集均都是可數(shù)集。 （ × ）3、設(shè)是可測集，則一定存在型集，使得，且。（ ）4、設(shè)是可測集，則是上的可測函數(shù)對任意實數(shù)，都有是可測集。 （ ）5、設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則一定存在。 （ × ）五、簡答題1、簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？答：不一定為閉集。例如 取上一列閉集為，而是開集，不是閉集。2、可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？答：連續(xù)函數(shù)是可測函

10、數(shù)；可測函數(shù)不一定連續(xù)；可測函數(shù)在上是“基本上”連續(xù)的。3、上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系？答：絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)；有界變差函數(shù)不一定是絕對連續(xù)函數(shù)。六、計算題1、設(shè)，其中是康托集，求。解：因為，所以于，于是再由積分與積分的關(guān)系得。2、設(shè)，求。解：因為，而所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明：（方法1）對任意，有且，即且，所以 且，即。反之，對任意，有且，即且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)，且，則是可測集。證明： 對任意，顯然又（因為），從而所以（因為）所以，即是可測集。3、證明：上的單調(diào)函數(shù)必為上的可測函數(shù)。證明：不妨設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意實

11、數(shù)，記，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，顯然是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。4、設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則在上可積在上可積。證明：必要性：因為在上可積，則和而，所以，即在上可積。充分性：因為，且，則 ，。所以在上可積。5、設(shè)可測集上的非負可測函數(shù)列，且（）， 存在使得，記，則在上勒貝格可積，且。證明：不妨設(shè)，由題設(shè)注意到單調(diào)遞減可得，且在上恒有，于是，由勒貝格控制收斂定理得，在上勒貝格可積，且。6、 設(shè)，為上幾乎處處有界的可測函數(shù)列，證明：在上的充要條件是。證明：先證。事實上，由對任意，再結(jié)合依測度收斂的定義即可得上面的結(jié)論。下面證明本題的結(jié)論。必要性：因可得，于是，當時，有因此，當時，并注意到和可得所以

12、。充分性：對任意，由可得 ，從而。實變函數(shù)期末考試模擬試題（三）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ） （A） （B）（C） （D）2、若是孤立點集，則（ B ）（A） （B） （C）的內(nèi)部 （D）3、設(shè)是上的無理數(shù)集，則（ C ）（A）是可數(shù)集 （B）是開集 （C）是不可數(shù)集 （D）4、設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則（ D ）（A）在上連續(xù) （B）在中的不連續(xù)點有不可數(shù)個（C）在上一定不可積 （D）是上的可測函數(shù)5、設(shè)是中的可測集，為上的可測函數(shù)，若，則（ A ）（A），在上幾乎處處為零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）

13、1、設(shè)是上康托集，則（B、C）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每一點都是聚點 （D）2、若至少有一個聚點，則（C、D ）（A） （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）可能是不可數(shù)集3、設(shè)是不可測集，則的特征函數(shù)是 （C、D ）（A）上的簡單函數(shù) （B）上的可測函數(shù) （C）上的連續(xù)函數(shù) （D）上的不可測函數(shù)4、設(shè)在可測集上不可積，則（ B、D ）（A）和都在上不可積 （B）和至少有一個在上不可積（C）在上可能可積 （D）在上一定不可積5、設(shè)是的有界變差函數(shù)，則（ A、D）（A）在上幾乎處處連續(xù) （B）是的連續(xù)函數(shù)（C）在上不可導(dǎo) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、

14、設(shè)為全集，為的兩個子集，則 2、設(shè)，如果滿足，則是 完全 集。3、若開區(qū)間和是直線上開集的兩個不同的構(gòu)成區(qū)間，則。4、設(shè)是無限集，是至多可數(shù)集，則的基數(shù) 。5、設(shè)，為可測集，則。6、設(shè)是定義在可測集上的有限實函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有是可測集，則是可測集上的 可測函數(shù) 。7、設(shè)是孤立點集，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，且，則 不一定成立 。9、設(shè)是上的可測函數(shù)，則在上的可積的充要條件是在上 勒貝格可積 。10、若是上的有界變差函數(shù)或絕對連續(xù)函數(shù)，則上的導(dǎo)數(shù) 幾乎處處存在 。四、判斷題（正確的打“”，錯誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個型集的并集仍為型集。 （ ）2、無限集中一定存

15、在具有最大基數(shù)的無限集。 （ × ）3、設(shè)是可測集，則一定存在開集，使得，且。（ × ）4、設(shè)和都是可測集，是和上的可測函數(shù)，則不一定是上的可測函數(shù)。 （ × ）5、設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，且存在（可為），則和至少有在上可積。 （ ）五、簡答題1、簡述無窮多個零測集的并集是否必為零測集？答：不一定為零測集。例如 ，顯然為單元素集，為零測集，不是零測集。2、上的可測集與Borel集的關(guān)系？答：Borel集是可測集；可測集不一定是Borel集；可測集一定可以表示成一個Borel集與零測集的差或并。3、可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？答：可測集上的連續(xù)函數(shù)一定是可

16、測函數(shù)；可測集上的可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；對上的一個可測函數(shù)，任取，在可測集中去掉一個測度小于的可測子集后，可使此可測函數(shù)成為連續(xù)函數(shù)。六、計算題1、設(shè)，其中是有理數(shù)集，求。解： 因為，所以于，于是2、設(shè)，求。解：因為，而所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明： （方法1）對任意，有且，即，且所以 或，即。反之，對任意，有且，即，且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)是中的無理點全體，則是可測集且。證明： 記是中的有理點全體，由于是可數(shù)集，從而可測，且。又，所以，是可測集且。3、設(shè)，證明：是上的可測函數(shù)的充要條件是為可測集。證明：充分性：因為是上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù)

17、，是可測集，特別取，注意到，可得為可測集。必要性：若為可測集，則是上的簡單函數(shù)，從而為上的可測函數(shù)。4、設(shè)為可測集上的可測函數(shù)列，若，則在上。證明：對任意，由于所以，即在上。5、設(shè)，若是上一列幾乎處處收斂于零的可積函數(shù)，且滿足對任意，存在，只要，就有，證明：。證明：由題設(shè)及Egoroff定理得，對題設(shè)中的，存在可測集，在上一致收斂于，從而對題設(shè)中的，存在，當時于是，當時，并注意到題設(shè)的條件，有。即 。實變函數(shù)期末考試模擬試題（四）（含解答）一、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）1、設(shè)是中的有理點全體，則（C、D）考核對典型集合掌握的情況（A）是閉集 （B）中的每一點都是內(nèi)點 （C

18、）是可數(shù)集 （D）2、設(shè)是中的無理點全體，則（C、D）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每一點都是聚點 （D）3、若的外測度為零，則（ B、D ）考核零測集的特點（A）一定是可數(shù)集 （B）一定是可測集 （C）不一定是可數(shù)集 （D） 4、若至少有一個內(nèi)點，則（ B、D ）考核典型集的外測度可數(shù)性的特點（A）可以等于零 （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）是不可數(shù)集5、設(shè)，函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若，則下列哪些結(jié)論不一定成立（A、B、C、D）考核可測函數(shù)與勒貝格積分的簡單綜合（A）存在 （B）在上可積 （C） （D） 6、設(shè)是可測集，則的特征函數(shù)是 （A

19、、B、C ）考核特征函數(shù)的特點（A）上的簡單函數(shù)（B）上的可測函數(shù) （C）上的連續(xù)函數(shù)（D）上的連續(xù)函數(shù)7、若在可測集上有積分值，則（A、C ）考核勒貝格積分的定義（A）和中至少有一個在上可積 （B）和都在上可積（C）在上也有積分值 （D）在上一定可積8、設(shè)在可測集上可積，則（ B、D ）考核勒貝格積分的定義（A）和有且僅有一個在上可積 （B）和都在上可積（C）在上不一定可積 （D）在上一定可積9、設(shè)是的絕對連續(xù)函數(shù)，則（ A、B、C ）考核絕對連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的一致連續(xù)函數(shù)（C）是上的有界變差函數(shù) （D）在上處處可導(dǎo)10、設(shè)是的單調(diào)函數(shù)，則（

20、A、C、D）考核絕對連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)（A）是的有界變差函數(shù) （B）是的絕對連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處連續(xù) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)二、單項選擇題（每題僅有一個正確答案）1設(shè)是中的無理點全體，則是（）.考核對典型集合掌握的情況（）可數(shù)集 （）有限集 （）不可數(shù)集 （）零測集2下面集合關(guān)系成立的是（）. 考核對集合的基本運算掌握的情況（） （） （） （）3若至少有一個內(nèi)點，則有（）. 考核對典型集合外測度掌握的情況（） （） （）（） 4設(shè)是開集，則（ ）.考核開集閉集的基本特征（） （） （） （）5設(shè)是可測集，則的特征函數(shù)是上的（）. 考核對集合的特征函數(shù)的認識（）簡單函數(shù) （

21、）常函數(shù) （）連續(xù)函數(shù)（）單調(diào)函數(shù)6設(shè)是有理數(shù)集，,則是上的（）.考核目標同上題（）連續(xù)函數(shù)（）單調(diào)函數(shù)（）簡單函數(shù)（）定積分存在的函數(shù)7設(shè)在可測集上勒貝格可積，則（）. 考核勒貝格積分的定義（）和有且僅有一個在上勒貝格可積；（）和都在上勒貝格可積（）和都在上不勒貝格可積；（）在上不勒貝格可積8設(shè)是上的無理數(shù)集，表示連續(xù)基數(shù)，則（）. 考核對典型集合基數(shù)和測度掌握的情況（） （） （） （）9設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的（）. 考核基本的有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)（）連續(xù)函數(shù) （）絕對連續(xù)函數(shù) （）可導(dǎo)函數(shù) （）有界變差函數(shù)10設(shè)在上絕對連續(xù)，則在上（）.考核絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系的基本性質(zhì)（）有界

22、變差 （）可導(dǎo) （）單調(diào) （）連續(xù)可微三、填空題1設(shè)，為的兩個子集，則等于 考核集合之間的基本關(guān)系2設(shè)，為兩個集合，則 等于 考核目標同上3設(shè)，如果滿足，則是 閉 集考核開集、閉集的定義4設(shè)，如果中的每一點都是內(nèi)點，則是 開 集考核開集、閉集的定義5若開區(qū)間是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間，則滿足且 考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點6設(shè)是上的開集,若開區(qū)間滿足且,則稱是開集的 構(gòu)成 區(qū)間考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點7設(shè)是無限集，則的基數(shù) 大于或等于 （其中表示可數(shù)基數(shù)）考核可數(shù)集的性質(zhì)8設(shè)是偶數(shù)集，則的基數(shù) 等于 （其中表示可數(shù)基數(shù)）考核可數(shù)集的性質(zhì)9設(shè)，為可測集，則 大于或等于 考核測度的性質(zhì)，單

23、調(diào)性和次可加性10設(shè)，為可測集，則 小于或等于 考核測度的性質(zhì)，次可加性11設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有是 可測集 ，則稱是可測集上的可測函數(shù). 考核可測函數(shù)的定義12設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù)，()，有是 可測 集. 考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)13設(shè)是可數(shù)集，則 等于 .考核典型集合的測度和外測度14設(shè)是康托集，則 等于 .考核典型集合的測度和外測度15設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，且在上依測度收斂于，則存在的子列，使得在上 幾乎處處收斂于 . 考核函數(shù)列收斂與依測度收斂的關(guān)系的記憶，本題是其中的黎斯定理16設(shè),是上的可測函數(shù)列，是上的實函數(shù),若在上幾乎處處收斂于，

24、則在上 依測度 收斂于.考核函數(shù)列收斂與依測度收斂的關(guān)系的記憶，本題是其中的勒貝格定理 17設(shè)在上黎曼可積，則在上勒貝格可積，且它們的積分值 相等 考核黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系18設(shè),都在上勒貝格可積，且?guī)缀跆幪幭嗟?則它們在上勒貝格積分值 相等 考核勒貝格積分的基本性質(zhì)19若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則 是 上的有界變差函數(shù)考核有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系20若是上的有界變差函數(shù)，則可以表示成兩個單調(diào)函數(shù)的 和或差 考核有界變差函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的關(guān)系，即約當分解定理四、判斷說明題（注意這類題不僅要求判斷對還是不對，而且還要簡單的說明理由）1無限個閉集的并集仍為閉集考核開集、閉集的性質(zhì)答：不對，

25、因為閉集只對有限的并集運算封閉。2無限個開集的交集仍為開集考核開集、閉集的性質(zhì)答：不對，因為開集只對有限的交集運算封閉。3無限集均含有一個可數(shù)子集考核可數(shù)集的性質(zhì)答：對，因為這是可數(shù)集與無限集的關(guān)系。4無限集都是可數(shù)集考核無限集的分類答：不對，因為無限集還包括不可數(shù)集。5設(shè)是可測集，則一定存在型集，使得，且考核可測集與型集或型集的關(guān)系答：對，因為這是可測集與型集的關(guān)系。6設(shè)是可測集，則一定存在型集，使得，且考核可測集與型集或型集的關(guān)系答：對，因為這是可數(shù)集與型集的關(guān)系。7設(shè)是測度為零的集，是上的實函數(shù)，則不一定是上的可測函數(shù)考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)答：不對，因為零測集上的任何實函數(shù)都是可測函數(shù)。

26、8設(shè)是可測集，是上幾乎處處為零的實函數(shù)，則在上可測考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)答：對，因為常函數(shù)0是可測函數(shù)，由可測函數(shù)的性質(zhì)可得在上可測。9設(shè)是可測集上的非負可測函數(shù)，則必在上勒貝格可積考核勒貝格積分的定義答：不對，因為可測集上的非負可測函數(shù)只能保證有勒貝格積分，不一定能保證勒貝格可積。10設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則一定存在考核勒貝格積分的定義答：不對，因為可測集上的可測函數(shù)，不一定能定義勒貝格積分，因此不一定能保證存在。五、簡答題（此類題關(guān)鍵是要把要點答出來）1簡述無窮多個開集的交集是否必為開集？考核開集、閉集的運算性質(zhì)要點：首先，回答結(jié)論：不一定為開集其次，舉出交集為開集的例子和交集不是開集的

27、例子。2簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？考核開集、閉集的運算性質(zhì)要點：首先，回答結(jié)論：不一定為閉集其次，舉出并集為閉集的例子和并集不是閉集的例子。3可測集上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有何關(guān)系？考核可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系要點：1、簡單函數(shù)是可測函數(shù)；2、可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù)；3、可測函數(shù)一定可表示成一列簡單函數(shù)的極限。4可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？考核可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系要點：1、連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)；2、可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；3、對任意，在中去掉一個測度小于的可測集后，可測函數(shù)能成為連續(xù)函數(shù)（魯津定理）。5上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系？考核單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系

28、要點：1、單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)；2、有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)；3、有界變差函數(shù)能分解成兩個單調(diào)函數(shù)的和或差。6上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系？考核有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系要點：1、絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)；2、有界變差函數(shù)不一定是絕對連續(xù)函數(shù)。六、計算題（注意這類題要寫出主要步驟）1設(shè)，其中是有理數(shù)集，求考核簡單的勒貝格積分的計算解：因是至多可數(shù)集，得在上幾乎處處成立。所以由勒貝格積分的惟一性，。2設(shè)，其中是康托集，求考核簡單的勒貝格積分的計算解：由康托集為零測集，即，得在上幾乎處處成立。所以。注意：上面兩題是簡單積分的計算，注意利用積分的惟一性。3求考核勒貝格控制收斂

29、定理的簡單應(yīng)用解：因為，且而在勒貝格可積，所以，由勒貝格控制收斂定理。4設(shè),求考核勒貝格控制收斂定理的簡單應(yīng)用解：因為，且而顯然在 勒貝格可積，所以，由勒貝格控制收斂定理。注意：上面的兩題在計算時，要注意驗證勒貝格控制收斂定理的條件。七、證明題1證明：證明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定義證明。2證明：證明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定義證明。3設(shè)是中的有理點全體，則是可測集且提示：用外測度的定義證明證明： 因為是可數(shù)集，則對任意，取開區(qū)間，顯然它們把覆蓋住。于是 。讓得，從而是可測集且。4設(shè)，且，則是可測集提示：用可測集的定義證明。證明： 對任意，顯然又（因為），從而所以（

30、因為）所以，即是可測集。5證明：上的實值連續(xù)函數(shù)必為上的可測函數(shù)證明：因為對于任意實數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性易知，是開集，從而是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。6證明：上的單調(diào)函數(shù)必為上的可測函數(shù)證明：不妨設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意實數(shù)，記，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，顯然是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。7設(shè)是可測集上的勒貝格可積函數(shù)，為的一列可測子集，如果，則證明：因為且，所以從而由題設(shè) 又在上的可積，且 所以由積分的絕對連續(xù)性得即。8設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，則在上勒貝格可積在上勒貝格可積證明：必要性：因為在上可積，則和而，所以，即在上可積。充分性：因為，且，則 ，。所以在上可積。9設(shè)是可測集上的勒

31、貝格可積函數(shù)，為中的一列遞增可測子集，證明:證明：記，其中 顯然在上，且 于是由勒貝格控制收斂定理即可的結(jié)論10設(shè)是可測集，且，若是上一列幾乎處處收斂于零的可積函數(shù)，且滿足對任意，存在，只要，就有，證明：證明：由題設(shè)及葉果洛夫定理得，對題設(shè)中的，存在可測集，使得, 在上一致收斂于， 從而對題設(shè)中的，存在，當時于是，當時，并注意到題設(shè)的條件，有即 . 實變函數(shù)期末考試模擬試題（五）（含解答）一、判斷題（每題2分，共20分）1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。F2、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)。F 3設(shè)在可測集上可積分，若，則 F 4、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.T 5、若，則

32、F 6、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)F7設(shè)在可測集上可積分，若，則 F8、任意多個開集之交集仍為開集 F 9、由于，故不存在使之間對應(yīng)的映射。F10、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。T二、選擇題（每題2分，共12分）1、下列各式正確的是（ C ）（A）; （B）（C）; （D）以上都不對;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 3、設(shè)是一列可測集，則有（B ）。（A） (B) （C）;（D）以上都不對4、設(shè)是一列可測集，且，則有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對5、設(shè)f(x)是上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（ B ）(A)

33、 在上的一致連續(xù)函數(shù) (B) 在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積 (D) 是有界變差函數(shù)6、設(shè)是兩集合，則 =（ C ） (A) (B) (C) (D) 三、解答題（每題6分，共18分）1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集因為是有界可測函數(shù)，所以在上是可積的因為與相等, 進一步，2、求極限 .解：設(shè)，則易知當時，又，但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的故有3、設(shè)求出集列的上限集和下限集解：設(shè)，則存在N，使，因此時，即，所以屬于下標比N大的一切偶指標集，從而屬于無限多，得，又顯然若有，則存在N，使任意，有，因此若時，此不可能，所

34、以四、證明題（每題10分，共50分）1、試證證明：記中有理數(shù)全體,令顯然 所以 2、設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。P513、設(shè)為E上可積函數(shù)列，.于E，且，k為常數(shù)，則在E上可積. P133 4、設(shè)在上積分確定，且于，則在上也積分確定，且 P1085、設(shè)在上,而成立,則有 P95 實變函數(shù)期末考試模擬試題（六）（含解答）1、若N是自然數(shù)集，為正偶數(shù)集，則N與對等。（對）2、由直線上互不相交的開間隔所成之集是至多可列集。（對）3、若是上的有限個集，則下式成立。 （對）4、任意多個開集的交集一定是開集。（錯）5、有限點集和可列點集都可測。（對）6、可列個零測集之并不是零測集。（對）7

35、、若開集是開集的真子集，則一定有。（錯）8、對于有界集，必有。（對）9、任何點集E上的常數(shù)函數(shù)=C，是可測函數(shù)。（錯）10、由在上可測可以推出在上可測。（對）二、填空1、區(qū)間（0,1）和全體實數(shù)R對等，只需對每個，令 2、任何無限集合都至少包含一個 可數(shù)子集 3、設(shè)都可測，則也可測，并且當為空集時，對于任意集合T總有 4、設(shè)E是任一可測集，則一定存在型集F，使，且 5、可測集上的 連續(xù)函數(shù) 是可測函數(shù)。6、設(shè)E是一個有界的無限集合，則E 至少有一 個聚點。7、設(shè)是一個與集合E的點x有關(guān)的命題，如果存在E的子集M，適合mM=0，使得在EM上恒成立，也就是說，EE成立= 零測度集 ，則我們稱在E上

36、幾乎處處成立。8、E為閉集的充要條件是 。9、設(shè)A、B是兩個非空集合，若，則有 。三、證明1、證明：若，且，則有。證明：由條件易得， （1） （2）由于,而 ,已知,所以.而 ,由（1）（2）得。2、設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，則對任意的，、為閉集 證： 先證是閉集。設(shè)是的一個極限點，則中有點列，使. 由知.又由的連續(xù)性及極限不等性可得 . .即 .故 為閉集.4、設(shè)是E上的可測函數(shù)列，則其收斂點集與發(fā)散點集都是可測的。證： 顯然，的收斂點集可表示為 =.由可測及都可測，所以在上可測。從而，對任一自然數(shù)，可測。故 可測。既然收斂點集可測，那么發(fā)散點集也可測。實變函數(shù)期末考試模擬試題（七）（含解答）一、判

37、斷題（判斷正確、錯誤，請在括號中填“對”或“錯”。共10小題，每題1.5分，共10×1.5=15分）1、 中全體子集構(gòu)成一個代數(shù)。 （ ）2、存在閉集使其余集仍為閉集。 （ ）3、 若是可測集，是的可測子集，則 。 ( × ) 4、 無限集中存在基數(shù)最大的集合，也存在基數(shù)最小的集合。 ( × ) 5、 可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)集。 （ ）6、 、可數(shù)個集的交集不一定是集。 （ × ）7、 若是可測集，是上的實函數(shù)，則在上可測的充要條件是：存在實數(shù)，使是可測集。 （ × ）8、 若是可測集，是的可測子集，則 。 ( × ) 9、若是可測

38、集，是上的非負可測函數(shù)，則在上一定可積。 ( × ) 10、若是可測集，是上的非負簡單函數(shù)，則一定存在。 ( ) 2、 選擇題。（每道題只有一個答案正確，多選或者不選均為零分，每道題1.5分，共15分）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是開集，則（ B ）（A） （B）的內(nèi)部 （C） （D）3、設(shè)是有理數(shù)，則下列正確的是（ B ）A ； ； ； 以上都不正確。4.、設(shè)是中的可測集，為上的可測函數(shù)，若，則（ A ）（A）在上，不一定恒為零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 5、設(shè)是中的可測集，是上的簡單函數(shù)，則（ D ）（A）是上的連續(xù)函數(shù)

39、 （B）是上的單調(diào)函數(shù)（C）在上一定不可積 （D）是上的可測函數(shù)6、設(shè)是的單調(diào)函數(shù)，則（ C ）（A）不是的有界變差函數(shù) （B）不是的絕對連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處連續(xù) （D）不在上幾乎處處可導(dǎo)7、若至少有一個內(nèi)點，則（ D ）（A）可以等于零 （B）是可數(shù)集 （C）可能是可數(shù)集 （D）8、設(shè)是中的無理點全體，則（C ）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每一點都是聚點 （D）9、設(shè)在可測集上可積，則（ D ）（A）和有且僅有一個在上可積 （B）和不都在上可積（C）在上不一定可積 （D）在上一定可積10、設(shè)是可測集，則的特征函數(shù)是 （ B）（A）在上不是簡單函數(shù) （B）在上的可測函數(shù) （C

40、）在上不是連續(xù)函數(shù) （D）上的連續(xù)函數(shù)三、填空題（將正確的答案填在橫線上，每道題1分，共10分）1、設(shè)為全集，為的兩個子集，則 。2、設(shè)，如果滿足，則是 閉 集。3、若開區(qū)間是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間，則滿足、。4、設(shè)是無限集，則的基數(shù) （其中表示可數(shù)基數(shù)）。5、設(shè)，為可測集，則。6、設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有是 可測集 ，則稱是可測集上的可測函數(shù)。7、設(shè)是的內(nèi)點，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，且，則由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、設(shè)是上的可測函數(shù)，則在上的積分不一定存在，且在上 不一定 可積。10、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則一定 是 上的有界變差函數(shù)。四、證

41、明題。1、上的全體無理數(shù)作成的集合其基數(shù)為c證明：設(shè)A為中的有理數(shù)集，B為上的無理數(shù)集，則,即又因為c所以=c2、 開集減閉集后的差集仍是開集；閉集減開集后的差集仍是閉集。證明：設(shè)A為開集，B為閉集，則 因為B為閉集，所以為開集因此A-B為開集；同上所設(shè)有又因為A為開集所以為閉集。因此B-A為閉集。3、 設(shè)A,B且，若A是可測集，證明證明：因為A是可測集，所以由卡拉泰奧多里條件得 (I)于是 (II)將(II)代入(I)得4、 設(shè)，存在兩側(cè)兩列可測集，,使得 且（-）0，（n）則可測.證明：對于任意， ，所以 又因為 ，所以對于任意，令 ，由0 得所以是可測的又由于可測，有也是可測的所以是可測

42、的。實變函數(shù)期末考試模擬試題（八）（含解答）一、證明題：1、設(shè)在上，而成立，則有2、 證明：開集減閉集后的差集仍是開集；閉集減開集后的差集仍然是閉集。3. 設(shè)是空間中以有理點(即坐標都是有理數(shù))為中心, 有理數(shù)為半徑的球的全體, 證明為可數(shù)集. 4. 設(shè),且為可測集, .根據(jù)題意, 若有 , 證明是可測集.二、選擇題：1. A為可數(shù)集，B為有限或可數(shù)集，則為（A）A 可數(shù)集 B不可數(shù)集 C無法確定2、有C個（C表示連續(xù)基數(shù)）集的并集，若每個集的基數(shù)都是（C）A B C C 2C3、E為開集的充要條件是（A）A B C 4、A為開集。B為閉集，A-B為（）開集閉集可開可閉、設(shè)S1、S2都是可測，

43、（B）A不可測 B可測 C 不確定6.下列命題錯誤的是（ ） A. 開集、閉集都是可測集 B可測集都是Borel集 C外測度為零的集是可測集 D型集、型集都是可測集7.設(shè)是一列遞降的可測集合，且，則有（ ） A. B C D以上都不對8.下列命題錯誤的是（ ） A. 若在上可測，則在上也可測 B可測集上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)C在上可積的充要條件是在上可積 D上任意一有界變差函數(shù)都可表示為兩個增函數(shù)之差9.下列表達正確的是（ ） A. B C D三、填空題：2、 設(shè), , 則.3、 ,因為存在兩個集合之間的一一映射為.4、 設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點所組成的 集合，則，.5、 若集合滿足, 則為集.6

44、、 若是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間, 則滿足:, .7、 設(shè)使閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集, 則.8、 若, 則說在上.9、 設(shè), ,若,則稱是的聚點.10、 設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列, 是上 幾乎處處有限的可測函數(shù), 若, 有11、 , 則稱在上依測度收斂于.12、 設(shè), 則的子列, 使得.四、判斷題1. 若可測, 且,則.（）2. 設(shè)為點集, , 則是的外點. （）3. 點集的閉集. （）4. 任意多個閉集的并集是閉集. （）5. 若,滿足, 則為無限集合.（）6. 任意無限集合都至少包含一個可數(shù)子集。（）7. 設(shè)是一列相交的集合，它們的基數(shù)都是，則的基數(shù)是。（）8. 為閉集的充要條件是。（

45、）9. 集合的交或并滿足交換率、結(jié)合率、分配率。（）10. 任意無限集合都至少包含一個可數(shù)子集。（）答案一證明答案：、證明：設(shè)，則。， 所以因為，所以即 2、證：設(shè)A為 開集，B為閉集則A-B=B為閉集的補集為開集故為開集由A為開集 則為閉集B-A為閉集3、中任何一個元素可以由球心, 半徑為唯一確定, , 跑遍所有的正有理數(shù), 跑遍所有的有理數(shù). 因為有理數(shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集, 故為可數(shù)集. 4、 令, 則且為可測集, 于是對于, 都有, 故,令, 得到, 故可測. 從而可測.二、選擇題答案：1、A 2、C 3、A 4、A 5 、B 6. B  &#

46、160; 7. C   8. A    9. D  10、三、填空題答案：1、.2、 3、 ; .4、 閉集.5、 6、 .7、 幾乎處處收斂于 或 收斂于.8、 對有.9、 10、 于四、判斷題答案：1. 錯 例如, , , 則且,但.2. 錯 例如, , 但0不是的外點.3. 錯 由于.4. 錯 例如, 在 中, , 是一系列的閉集, 但是不是閉集. 5. 對 因為若為有界集合, 則存在有限區(qū)間, , 使得, 則于.6.對 見教材7.錯 見教材8.對 見教材9.對 見教材10.對 見教材實變函數(shù)期末考試模擬試題（九）（含解答）一，填空題13、 設(shè), , 則.14、 ,因為存在兩個集合之間的一一映射為.15、 設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點所組成的 集合，則，.16、