概率論概統(tǒng)第章

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 分布函數(shù)能完整地描述分布函數(shù)能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計(jì)特的統(tǒng)計(jì)特性性, 但實(shí)際應(yīng)用中并不都需知道分布函但實(shí)際應(yīng)用中并不都需知道分布函數(shù)，只需知道數(shù)，只需知道 r.v.的某些特征的某些特征. 判斷棉花質(zhì)量時(shí)判斷棉花質(zhì)量時(shí), 既看纖維的既看纖維的平均長(zhǎng)度平均長(zhǎng)度 ，平均長(zhǎng)度越長(zhǎng),偏離程度越小, 質(zhì)量就越好; 又要看又要看 纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度例如例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小. 由上面例子看到，與 r.v. 有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地

2、描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.q r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望 q r.v.取值平均偏離均值的情況 方差q 描述兩 r.v.間的某種關(guān)系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本本章章內(nèi)內(nèi)容容隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字?jǐn)?shù)字來(lái)描寫4.14.1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例例4.1 甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下： 環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)8910次數(shù)次數(shù)301060環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)8910次數(shù)次數(shù)20503

3、0甲甲乙乙試問(wèn)如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？試問(wèn)如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？甲平均射中的環(huán)數(shù)為：甲平均射中的環(huán)數(shù)為： 乙平均射中的環(huán)數(shù)為：乙平均射中的環(huán)數(shù)為： (830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(環(huán)環(huán))(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(環(huán)環(huán))因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)算可表示為上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)算可表示為我們稱之為隨機(jī)變量我們稱之為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或均值。的數(shù)學(xué)期望，或均值。108kkkp 它是一個(gè)數(shù)，不再是它是一個(gè)數(shù)，不再是 r.v.定

4、義定義1 1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為是離散型隨機(jī)變量，其分布律為XP(X=xi)=pi, i=1,2,n，如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)1iiipx絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，并稱級(jí)數(shù)并稱級(jí)數(shù)1iiipx的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作則稱則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，的數(shù)學(xué)期望存在，E(X)，即即1)(iiipxXE 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。的數(shù)學(xué)期望不存在。 注意注意：若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1iiipx不絕對(duì)收斂，不絕對(duì)收斂，例例4.2 擲一顆均勻的骰子，以擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。2761)(61iiXE解解

5、 X的分布律為的分布律為X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例例4.3 從一個(gè)裝有從一個(gè)裝有m個(gè)白球和個(gè)白球和n個(gè)紅球的袋中取球，直個(gè)紅球的袋中取球，直到取到白球?yàn)橹?。若每次取出的球仍放回袋中，試求到取到白球?yàn)橹埂Ｈ裘看稳〕龅那蛉苑呕卮?，試求取出紅球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。取出紅球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解解 設(shè)取出的紅球數(shù)為設(shè)取出的紅球數(shù)為X ，則，則X的分布律為的分布律為)()()(nmmnmnkXPkk=0,1,2,qpknmnpnmmq其中其中0)(kkqkpXEqpppppqppqp1)1 ()1(2mn11kkkppq)(1kkpqp定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函

6、數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x),.)()(dxxxfXE二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若積分若積分dxxxf)(絕對(duì)收斂，則稱絕對(duì)收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，的數(shù)學(xué)期望存在，且稱積分且稱積分為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)dxxxf)(即即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。例例4.4 4.4 若若X X服從服從a,ba,b區(qū)間上的均勻分布區(qū)間上的均勻分布, ,求求EX.EX.其它0,1)(baxabxfX所以EX=dx)x(xfbadxab1x2ba 解解 三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定

7、理定理1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)，的函數(shù)，Y=g(X)(g()為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)) (1)設(shè)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為為離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xi)=pi,i=1,2,若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1)(iiipxg絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且1)()()(iiipxgXgEYE(2)設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，dxxfxg)()(若積分若積分絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且dxxfxgXgEYE)()()()( 此定理說(shuō)明，在求隨機(jī)變量此定理說(shuō)明，在求

8、隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X)的的期望時(shí)，不必知道期望時(shí)，不必知道Y的分布而只需知道的分布而只需知道X的分布即可。的分布即可。推廣：設(shè)推廣：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，g(,)是連是連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。(1)設(shè)設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，分布律為是離散型隨機(jī)變量，分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2, 則當(dāng)則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且11),(ijijjipyxg11),(),()(ijijjipyxgYXgEZE(2)設(shè)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x,y

9、)，則當(dāng)，則當(dāng) dxdyyxfyxg),(),(絕對(duì)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(例例4.5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XB(n,p)，XeY2求求E(Y)解解 XB(n,p)，分布律為，分布律為 nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)(nkknkknkXqpCeeEYE022)()(nkknkknqpeC02)(nqpe)(2其中其中p+q=1例例4.6 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度設(shè)設(shè)Z=XY，試求，試求Z的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。解解其它其它01015),(2yxy

10、xyxf dxdyyxfxyXYEZE),()()(2815151002 dyydxxxyyO 1 xy1y=x例例4.7 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量機(jī)變量X(單位噸單位噸)，它服從，它服從2000,4000上的均勻分布。若售上的均勻分布。若售出這種商品出這種商品1噸，可賺噸，可賺3萬(wàn)元，但若銷售不出去，則每噸需付萬(wàn)元，但若銷售不出去，則每噸需付倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)該商品應(yīng)出口多少噸才可使平均收益最大？萬(wàn)元，問(wèn)該商品應(yīng)出口多少噸才可使平均收益最大？解解 由題意可知由題意可知X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其它其它0400020

11、0020001)(xxf設(shè)每年出口該商品設(shè)每年出口該商品y噸，噸，(2000y4000)，則收益，則收益yXXyXyXyXgY)(33)(yXyXyXy43dxxfxgXgEYE)()()()(4000200020001)(dxxgyyydxdxyx200040003)4(20001)1047000(2000162yy可知可知y=3500時(shí)，時(shí)，E(Y)取到最大值，故出口取到最大值，故出口3500噸此商品才可噸此商品才可使平均收益最大。使平均收益最大。1、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C;證證 將將C看成是離散型隨機(jī)變量，分布律看成是離散型隨機(jī)變量，分布律P(X=C)=1，則，則E(C

12、)=C2、設(shè)設(shè)、設(shè)設(shè)C是常數(shù)，是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)變量，則E(CX)=CE(X);證證 設(shè)設(shè)X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x)，則，則四四. .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)dxxCxfCXE)()()()(XCEdxxxfC3、設(shè)、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y);證證 設(shè)設(shè)(X,Y)f(x,y)，邊緣密度函數(shù)為，邊緣密度函數(shù)為fX(x)，fY(y) dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxxf),( dxdyyxyf),(dxdyyxfx),(dydxyxfy),(dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE推

13、廣：推廣： Xi為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，Ci為常數(shù)，為常數(shù)，i=1,2,nE(C1X1+ C2X2+ CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ CnE(Xn)4、若、若X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。證證 設(shè)設(shè)(X,Y)f(x,y)，由于，由于X,Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)fY(y) dxdyyxxyfXYE),()( dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE推廣：推廣： X1,X2,Xn相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)例例4.9 對(duì)

14、某一目標(biāo)連續(xù)射擊，至命中對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，至命中n次為止。設(shè)每次次為止。設(shè)每次射擊的命中率為射擊的命中率為p，且相互獨(dú)立，求消耗的子彈數(shù)，且相互獨(dú)立，求消耗的子彈數(shù)X的的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望。 解解 設(shè)設(shè)Xi為第為第i- -1次命中后至第次命中后至第i次命中時(shí)所消耗的子彈次命中時(shí)所消耗的子彈數(shù)，則數(shù)，則 niiXX1且且Xi的分布律為的分布律為ppkXPki1)1 ()(, 2 , 1k1211)1 (1)1 ()(kkipppppkXEni, 2 , 1niipnXEXE1)()(4.2方差方差一、方差的概念一、方差的概念例例4.13 甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同

15、一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，公，公差為差為0.2mm，即直徑在，即直徑在9.8mm到到10.2mm的為合格品，超出范圍的為合格品，超出范圍的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取的均為廢品。現(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測(cè)件進(jìn)行測(cè)試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：(mm)甲甲9.89.910.010.010.110.2乙乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均顯然差異很大，甲組全為合格

16、品，乙組全為廢品。這里光看均值無(wú)差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程值無(wú)差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定。質(zhì)量不穩(wěn)定。 為衡量一個(gè)隨機(jī)變量為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的離散程度，可用關(guān)于均值的離散程度，可用|X- -EX|的均值來(lái)表示，稱為的均值來(lái)表示，稱為X的絕對(duì)離差，用的絕對(duì)離差，用E|X- -EX|記，這在實(shí)際統(tǒng)記，這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值得均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值得均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)變量與均

17、值差的平方的均值來(lái)描述離散程度。變量與均值差的平方的均值來(lái)描述離散程度。 定義定義 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若EX- -EX2存在，則稱存在，則稱EX- -EX2為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的方差，記為的方差，記為D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=EX- -EX2 在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量，具有相同量綱的量，稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。)()(XDX 方差方差是衡量隨機(jī)變量取值是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)波動(dòng) 程度程度的一個(gè)數(shù)字特征。的一個(gè)數(shù)字特征。由方差的定義可知，由方差的定義可知，D(X)0。當(dāng)當(dāng)X為離散型隨機(jī)

18、變量時(shí)，且分布律為為離散型隨機(jī)變量時(shí)，且分布律為P(X=xk)=pk，則則12)()(kkkpXExXD當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為f(x)，則，則dxxfXExXD)()()(2在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是即方差是“隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的平方平方”。例例4.10 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布律如下，求的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/1

19、62/163/162/168/16解解 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，25168216211630162) 1(161)2()(222222XE641116449160)87(25)()()(222EXXEXD例例4.11 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量101011)(xxxxxfX求求D(X)解解0)1 ()1 ()(0110dxxxdxxxXE61)1 ()1 ()(0110222dxxxdxxxXE61)()()(22EXXEXD二、方差的性質(zhì)二、方差的性質(zhì)1、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則D(C)=0，且，且D(X+C)=D(X);2、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)變量，則D(

20、CX)=C2D(X);證證 22222)()()()()(XCEXCECXECXECXD)()()(2222XDCXEXEC3、設(shè)、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX- -E(X)Y- -E(Y);證明證明 由方差定義可得由方差定義可得D(X+Y)=E(X+Y)- -E(X+Y)2 =E(X- -E(X)+(Y- -E(Y)2 =EX- -E(X)2+EY- -E(Y)2+2EX- -E(X)Y- -E(Y) = D(X)+D(Y)+2EX- -E(X)Y- -E(Y)特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E

21、(X)E(Y)由于由于EX- -E(X)Y- -E(Y)=EXY- -XE(Y)- -YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)- -E(X)E(Y)- -E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)- -E(X)E(Y)=0，所以所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)推論：若隨機(jī)變量推論：若隨機(jī)變量X1, X2,Xn相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)又又X,Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， C1，C2為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(C1X+C2Y)= C12 D(X)+C22D(Y)特別注意：特別注意： D(X- -Y)=D(X)+D(Y) 幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期

22、望和方差幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差一、一、01分布分布XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1- -p=qE(X)=1p+0(1- -p)=p，E(X2)=12p+02(1- -p)=pD(X)= E(X2)- -(E(X)2=p- -p2=pq=p(1- -p)二、二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布XB(n,p)分布律為分布律為P(X=k)=Cnkpkqn- -k，(p+q=1)，k=0,1,2,nnkkXpkXE0)()(nkknkknqpCk0nkknkqpknknk1)!( !nkknkqpknknpn11)!1() 1()!1()!1(nkknkknqpCnp1)1()1(111101

23、111nttntknktqpCpnnpqppnn1)(nkknkqpknknk0)!( !22)()()(EXXEXD2)()() 1(EXXEXXEnkknkknqpCkkXXE0) 1() 1(2)() 1(EXXXXE22)() 1(npnppnnnpqnpnp2其中其中nkknkqpknknkk0)!( !) 1(nkknkqpknknpnn2)2()2(22!)2()2()!2()!2() 1(2022!)2(!)!2() 1(nttntqptntnpnn20222) 1(nttnttnqpCpnn222) 1()() 1(pnnqppnnn隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望學(xué)期

24、望在計(jì)算時(shí)，若將在計(jì)算時(shí)，若將X表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的01分布分布變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。在在n重重Bernoulli試驗(yàn)中，試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概，不發(fā)生的概率為率為q=1- -p。設(shè)。設(shè)則則A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)niiXX1pXEi)(niiXEXE1)()(nppni1不發(fā)生不發(fā)生試驗(yàn)試驗(yàn)第第發(fā)生發(fā)生試驗(yàn)試驗(yàn)第第AiAiXi01ni, 2 , 1XB(n,p)niiXDXD1)()(pqXDi)(npqpqni1三、三、Poisson分布分布XP()，ekkXPk!)(,2, 1 ,0k0)()(kkXPkXE0

25、!kkekk1)!1(kkke11)!1(kkke0!ttteee22)()()(EXXEXD2)()1(EXEXXXE222)1(XXE0!) 1()1(kkekkkXXE222)!2(kkke02!ttteee22四、幾何分布四、幾何分布)(pGXpqkXPk1)(1, 3 , 2 , 1qpk1)()(kkXpkXE11kkpqk11kkkqp)(1kkqpqqp12)1 (1qppq1112)()()1()(EXXEXXEXDpqkkXXEkk11) 1() 1(22) 1(kkqkkpq)(2 kkqpqqqpq123)1 (2qpq2311)1 (2)(ppqpqXD2211)1

26、(2pppp21pp五、均勻分布五、均勻分布XUa, b其它其它01)(bxaabxfdxxxfXE)()(badxabx12ba22)()()(EXXEXD222)(badxxfxbabadxabx222112)(2ab2332)(3baabab六、正態(tài)分布六、正態(tài)分布),(2NX222)(21)(xexfRxdxexx222)(21dxxxfXE)()(tx令令dttett2221)(dtedttett22222121 02)()(EXXEXDdxxfx)()(2dxexx222)(221)(tx令令dtett2222212222ttdedtett222221dtetett222222)2

27、0(222N(,2)中兩個(gè)參數(shù)中兩個(gè)參數(shù)和和2 ，分別是正態(tài)分布中的數(shù)學(xué)，分別是正態(tài)分布中的數(shù)學(xué)期望和均方差。期望和均方差。 七、指數(shù)分布七、指數(shù)分布)1(EX0001)(xxexfxdxxxfXE)()(01dxexxdxexexx00 xe22)()()(EXXEXD0221dxexx2222思考：思考：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且且X，Y，Z獨(dú)立，獨(dú)立，求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量U=(2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望望答答:227) 14()32()(ZEYXEUE4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義定義 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維

28、隨機(jī)變量，如果是二維隨機(jī)變量，如果EX E(X)Y E(Y)存在存在, 則稱它是則稱它是X與與Y的協(xié)方差，記為的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)即即 Cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y)。并稱并稱一、概念一、概念)()(),(CovYDXDYXXY為為X與與Y的相關(guān)系數(shù)，或稱的相關(guān)系數(shù)，或稱X與與Y的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。XY是一個(gè)無(wú)量綱的量。是一個(gè)無(wú)量綱的量。當(dāng)當(dāng)X與與Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij11)()(),(CovijijjipYEyXExYX當(dāng)當(dāng)X與與Y是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)f(x,

29、y) dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y，有，有Cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y)= E(XY) E(X)E(Y)協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。又有又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X- -Y)=D(X)+D(Y)- -2Cov(X,Y)例例4.11 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)，求相關(guān)系數(shù)XY 。解解 由題意可得由題意可得X,Y的邊緣分布律為的邊緣分布律為

30、X01PqpY01Pqp均為均為01分布，分布， E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) =00q+010+100+11p pp =p p2=pq因此因此1)()(),(CovpqpqpqYDXDYXXY例例4.12 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其它其它0,)(1),(dycbxacdabyxf求求Cov(X,Y)解解dyyxfxfX),()(dcdycdab)(1ab1bxadxxxfXEX)()(badxabx12ab同理同理2)(dcYE dxdyyxxyfXYE),()(dxdyc

31、dabxydxdcba)(14)(dcbaCov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0二、協(xié)方差的性質(zhì)二、協(xié)方差的性質(zhì)(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2) Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0；(3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中其中a,b為常數(shù)；為常數(shù)；(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)；(5) 稱稱)()(,)()(CovYDYEYXDXEXXY)()(XDXEX 為為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即“隨機(jī)變量與期望之差除以均方隨機(jī)變量與期望之差除以均方差差”若記若記)()(*XDXEXX則則E(X*)=0

32、， D(X*)=1),(Cov*YXXY三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、|XY|1，即即“相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于1”。證明證明),cov(2)()()(*YXYDXDYXD)1 (2XY0)1 (2XY方差的方差的非負(fù)性非負(fù)性|XY|12、 |XY|=1的充分必要條件是的充分必要條件是X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)存在線性關(guān)系，即系，即P(Y=aX+b)=1，a0，a,b為常數(shù)。為常數(shù)。證明（充分性）證明（充分性）設(shè)設(shè)Y=aX+b，則，則E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y) = EX E(X)aX+b

33、 aE(X) b =aEX E(X)2= aD(X)0101)(),(CovaaaaDXaDXXDaDYDXYXXY即即 |XY|=1（必要性）設(shè)（必要性）設(shè)XY=1，則，則性質(zhì)性質(zhì)10)()(DYYEYDXXEXD1)()(CDYYEYDXXEXP方差性質(zhì)方差性質(zhì)DYYEYDXXEXEC)()(0)(*YXE其中其中1)()(DYYEYDXXEXP1)()(XEDXDYYEXDXDYYP即即X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y正相關(guān)。正相關(guān)。當(dāng)當(dāng)XY=- -1時(shí)時(shí)0)()(DYYEYDXXEXD1)()(CDXYEYDXXEXP其中其中DYYEYDXXEXEC

34、)()(0)()(*YEXE1)()(DYYEYDXXEXP1)()(YEXEDXDYXDXDYYP即即X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y負(fù)相關(guān)。負(fù)相關(guān)。定義定義 若若XY=0，則稱，則稱X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。3、若、若X與與Y相互獨(dú)立，則必有相互獨(dú)立，則必有X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。證明證明 X與與Y相互獨(dú)立，有相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0所以所以 XY=0即即X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。注意：注意：X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)， X與與Y未必相互獨(dú)立。未必相互獨(dú)立。所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立

35、是就所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的。一般關(guān)系而言的。例例4.13 設(shè)設(shè)(X, Y)在在D=(x,y)|x2+y2 r2上服從均勻分布，上服從均勻分布，(1)求求XY；(2)討論討論X與與Y的獨(dú)立性。的獨(dú)立性。解解 (1) dxdyyxxfXE),()(0122222dyrxdxxrxrrr dxdyyxyfYE),()(0122222dxrydyyryrrrCov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0， dxdyyxxyfXYE),()(0122222dxrxydyyryrrr所以所以XY=0，X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。(2)其它其它02),()(222rxrr

36、xrdyyxfxfX其它其它02),()(222ryrryrdxyxfyfY顯然顯然)()(),(yfxfyxfYXX與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y) ，X與與Y獨(dú)立獨(dú)立例例4.14 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量);,;,(),(222211NYX則協(xié)方差則協(xié)方差Cov(X,Y)=1 2相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)XY =二維正態(tài)變量二維正態(tài)變量(X,Y)，X與與Y相互獨(dú)立的充分必要條相互獨(dú)立的充分必要條件是件是=0；而而XY =0表示表示X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，可見(jiàn)，可見(jiàn)， X與與Y獨(dú)立的充分必要條件是獨(dú)立的充分必要條件是X與與Y不相關(guān)不相關(guān)。 X與與Y不相關(guān)不相關(guān)等價(jià)于

37、等價(jià)于 五、五、 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣1、若、若E(Xk)存在，則稱存在，則稱Ak=E(Xk)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的k階原階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩階矩(k=1,2,)，而，而E(|X|k)稱為稱為X的的K階絕階絕對(duì)原點(diǎn)矩；對(duì)原點(diǎn)矩；2、若、若EX-E(X)k存在，則稱存在，則稱Bk=EX-E(X)k為隨機(jī)為隨機(jī)變量變量X的的k階中心矩階中心矩(k=1,2,)，而，而E|X-E(X)|k稱為稱為X的的K階絕對(duì)中心矩；階絕對(duì)中心矩；3、若、若E(XkYl)存在，則稱存在，則稱E(XkYl)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X、Y的的K+l階階混合混合原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩(k,l=1,2,)；4、若、若

38、EX E(X)kY E(Y)l存在，則稱存在，則稱EX E(X)kY E(Y)l維隨機(jī)變量的維隨機(jī)變量的K+l階階混合混合中心矩中心矩(k,l=1,2,)。由矩的概念由矩的概念數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)即為即為X的一階原點(diǎn)矩；的一階原點(diǎn)矩；方差方差D(X)即為即為X的二階中心矩。的二階中心矩。 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為為n個(gè)隨機(jī)變量，記個(gè)隨機(jī)變量，記cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,n。則稱由。則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量組成的矩陣為隨機(jī)變量X1,X2,Xn的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣C。即。即nnnnnnnnijccccccccccC.)(2122221112114.4 大數(shù)定律和中

39、心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn，若存在隨機(jī)變量，若存在隨機(jī)變量Y，使得對(duì)于任意正數(shù)使得對(duì)于任意正數(shù) ，均有，均有0)|(|limYXPnn則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂依概率收斂于隨機(jī)變量于隨機(jī)變量Y，并記，并記為為XXPn一、依概率收斂一、依概率收斂若存在常數(shù)若存在常數(shù)a，任意的，任意的正數(shù)正數(shù) ，使得，使得0limaXPnn則稱則稱隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂于常數(shù)依概率收斂于常數(shù)a，并記為，并記為aXPn意思是：當(dāng)意思是：當(dāng)aaanXaXn而而意思是：意思是：N, 0|aXnn時(shí)，時(shí)，Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率

40、越來(lái)越大。內(nèi)的概率越來(lái)越大。, ,當(dāng)當(dāng)NnN ,Nn aXPnaXPnaXn與與的區(qū)別的區(qū)別二、幾個(gè)常用的大數(shù)定律二、幾個(gè)常用的大數(shù)定律1、切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，每一個(gè)相互獨(dú)立，每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望E(X1),E(X2),E(Xn),和有限和有限的方差的方差D(X1),D(X2),D(Xn),，并且，并且D(Xn)C (i=1,2,)，則任意正數(shù)，則任意正數(shù) ，0)(11lim11nkknkknXEnXnP即即nkkPnkkXEnXn11)(112、切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況

41、 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，且具有相相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望同的數(shù)學(xué)期望和相同的方差和相同的方差2，記前，記前n個(gè)隨機(jī)變量的算個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均為術(shù)平均為Yn，niinXnY11則隨機(jī)變量序列則隨機(jī)變量序列Y1,Y2,Yn,依概率收斂于依概率收斂于，即，即PnY00limnnYP3、貝努里貝努里大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)進(jìn)行設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為p，記，記nA為為n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則00limpnnPAn即即pnnPA4、 辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律 若若X

42、k，k=1,2,.為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, EXk= 0)(i=1,2,)，記前，記前n個(gè)變量的和個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為的標(biāo)準(zhǔn)化變量為一、獨(dú)立同分布的中心極限定理一、獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lindeberg- Levy林德貝格林德貝格-列維列維)nnXYniin1則則Yn的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的對(duì)任意的x(- -,+)都有都有 xnnXPxYPxFniinnnnn1lim)(lim)(limdtetx2221 該定理說(shuō)明，當(dāng)該定理說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， Yn近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，態(tài)分布，YnN(0,1)，)(n隨機(jī)變量隨機(jī)

43、變量近似地服從于正態(tài)分布近似地服從于正態(tài)分布nYnXnnii1),(2nnN 中心極限定理可以解釋如下：中心極限定理可以解釋如下： 假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的。布的。 在實(shí)際工作中，只要在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分布足夠大，便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。 例例4.19 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)Xk為第為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù)，次擲出的點(diǎn)數(shù)，k=1,2,100，則，則X1,X2,X100獨(dú)立同分布，而且獨(dú)立同分布，而且27)(iXE由中心極限定理由中心極限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1123544961)(612iikXD二、德莫佛二、德莫佛-