數(shù)學物理方法第四梁昆淼期末總結(jié)學習教案

1、會計學1數(shù)學數(shù)學(shxu)物理方法第四梁昆淼期末物理方法第四梁昆淼期末總結(jié)總結(jié)第一頁，共84頁。2、復數(shù)(fsh)的運算: 加、減、乘、除、乘方(chngfng)、開方 (1)、加法和減法 )()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法(chngf)和除法 )(221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211)(yxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz第2頁/共84頁第二頁，共84頁。(2)、乘法(chngf)和除法 兩復數(shù)相除就是把模數(shù)相除, 輻角相減。)sin(

2、)cos(21212121izz)(2121ie121111122222(cossin)(cossin)iiziezie1 2121212cos()sin()z zi )(2121ie兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加;第3頁/共84頁第三頁，共84頁。(3) 復數(shù)的乘方(chngfng)和開方ninez)(inne)sin(cosninn或( n為正整數(shù)的情況)12 2 cossinnnkkzinn)1,2, 1,0( nknkine2 復數(shù)的乘、除、乘方和開方(ki fng)運算，采用三角式或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便。 棣莫弗公式(gngsh)： nininsincos)sin(cos

3、第4頁/共84頁第四頁，共84頁。1. 冪函數(shù)nzw 2 .指數(shù)函數(shù) zew 周期為2i， 3. 三角函數(shù)cos,2izizeezsin,2izizeezi周期為2 第5頁/共84頁第五頁，共84頁。4、雙曲函數(shù)(hnsh) 2zzeeshz2zzeechz5、根式函數(shù) iez nkinew2)(,1210nk周期(zhuq)為2i6、對數(shù)函數(shù) zwlnln ziArgzkzArgz2arg, 10 k第6頁/共84頁第六頁，共84頁。222zzxy13例1：已知 ，則 。23zizz13例2：復數(shù)(fsh)ez 的模為 ，輻角為 . xe2,0, 1, 2,ykk zx iyeexiye e

4、第7頁/共84頁第七頁，共84頁。),(),()(yxivyxuzf1、柯西-黎曼方程 xvyuyvxu直角坐標系：極坐標系：vuvu112、解析(ji x)函數(shù)性質(zhì)： (1)、若 是解析函數(shù)，則 。 ),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函數(shù) 在區(qū)域 B上解析，則 u和v必為B上的相互共軛調(diào)和函數(shù)。 ivuzf)(第8頁/共84頁第八頁，共84頁。 給出一個二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實部或虛部，通過(tnggu)CR條件求出該解析函數(shù)的虛部或?qū)嵅?，從而寫出這個解析函數(shù)。 算偏導 u或v 的全微分(wi fn) 求積分 表成 ( )f z第9頁/共84頁第九頁，共84頁。例 3：已

5、知解析函數(shù)(hnsh) 的實部 ，求虛部和這個解析函數(shù)(hnsh)。 )(zf22( , ),(0)0u x yxyxy f2,2uuxyxyxy根據(jù)(gnj)C-R條件， 2,2vuvuyxxyxyyx 解：21( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 第10頁/共84頁第十頁，共84頁。21( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 2( )vxyy( )yy21( )2yyC2212()2vxyyxC 222222221( )2()21()()212f zuivxyxyixyyxiCxiyixiyiCziziC(0)0f0C221( )2f zziz

6、2,2vyxxvxyy第11頁/共84頁第十一頁，共84頁。 例4：已知解析函數(shù) f (z)的虛部 ，求實部 和這個解析函數(shù) f (z) 。22),(yxxyxv),(yxu解：提示：當給定(i dn)的 u 或 v 中含有因子x2+y2，這種情況下采用極坐標處理比較方便， 即令 。 222yx 2cosvcos)cos1 (2sin222sin2第12頁/共84頁第十二頁，共84頁。2sin2v21212sin2v2sin21212cos2v2cos2vuvu11vu12cos212cos21vu2sin212sin2第13頁/共84頁第十三頁，共84頁。sin22u 將上面(shng mi

7、n)第二式對 積分， 視作參數(shù)，有 ( )uudRsin( )22dRsin( )22dR 2cos( )2R其中 為 的任意函數(shù)。 ( )R將上式兩邊(lingbin)對 求導， 1cos( )22uR1cos221cos22u第14頁/共84頁第十四頁，共84頁。1cos( )22uR1cos22( )0R( )RCCu2cos22sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2122 (cossin )iC122 (cossin )iC2zC第15頁/共84頁第十五頁，共84頁。一、復變函數(shù)積分(jfn)的性質(zhì)： P23 二、計算(j sun)復變函數(shù)回路積分 1、單通區(qū)域柯西定

8、理：P242、復通區(qū)域柯西定理：P25)(2)(01包圍不包圍lildzzl第16頁/共84頁第十六頁，共84頁。( ) d2( )lf zzifz( )1( )2( )()!nnlf zidzfzn高階導數(shù)(do sh)的柯西公式第17頁/共84頁第十七頁，共84頁。 當被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點時的回路積分，可利用(lyng)柯西公式來計算, 1( )()nf zz(1)把被積函數(shù)寫成 的形式，f(z)在積分區(qū)域上解析, 為積分區(qū)域內(nèi)一點； (2) 利用柯西公式 來計算積分.lnnfnidzzzf)(!)()()(21第18頁/共84頁第十八頁，共84頁。222sin()4.,:(1)11

9、czdzcxyz例1其中2yxo1sin()411czdzzIz1sin421zziz22i第19頁/共84頁第十九頁，共84頁。例2下列(xili)積分不為零的是 ( )。 0.51.zAdzz20.51.zBdzz1.0.5zCdzz21.1zDdzzC21111()1211zzz21111()12111(22)20zzzdzdzdzzzzii0()12()lldzzil不包圍包圍第20頁/共84頁第二十頁，共84頁。一、收斂(shulin)半徑 方法1：比值(bzh)判別法1limkkkaaR方法2 ：根值判別法1limkkkRa收斂圓： 收斂域： Rzz00zzR00()kkkazz2

10、010200()()()kkaa zzazzazz第21頁/共84頁第二十一頁，共84頁。例1求冪級數(shù) 的收斂(shulin)圓.1limkkkaaR1lim1kkkkak解0()kkk zi收斂(shulin)圓:1zi第22頁/共84頁第二十二頁，共84頁。解:1!lim1(1)!kkk, 例2冪級數(shù) 的收斂(shulin)域。1limkkkaaRlim1kk收斂(shulin)域:z 0!kzkzek第23頁/共84頁第二十三頁，共84頁。 根據(jù)解析(ji x)函數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)展開的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展開式，通過變量變換，結(jié)合級數(shù)的四則運算、逐項求導和積分、分解成最簡分式

11、等方法去展開 。間接(jin ji)展開法：第24頁/共84頁第二十四頁，共84頁。01)!kzkzek012)1kkzz013)( 1)1kkkzz2104)sin( 1)(21)!kkkzzk)1( z)1( z)( z)( z205) cos( 1)(2 )!kkkzzk)( z常見函數(shù)(hnsh)的泰勒展開式:第25頁/共84頁第二十五頁，共84頁。0.( )0f zarctgzz例3 把在鄰域展成泰勒級數(shù).解： 211arctgzdzz2201( 1),11kkkzzz210( 1)21kkkarctgzck00 arctg0c1,12) 1(012zzkarctgzkkk01( 1

12、),11kkkttt第26頁/共84頁第二十六頁，共84頁。11( )dzi dz z 21.( )1()f zzizzi 例4 把在圓環(huán)展成冪級數(shù).解： 22111( )()f zzzizi z03101111()11( 1) ()( ) ()kkkkkkiziziziziiziziizi 31320011( )( ) ()( ) (1)()kkkkkkdf ziziikzizi dzzi 33(3)(2)() , (1)kkkkizizi 01( 1),11kkkttt第27頁/共84頁第二十七頁，共84頁。奇點名稱(mngchng)可去奇點極點(jdin)本性(bnxng)奇點不含負冪項

13、含無限個負冪項含有限個負冪項的洛朗級數(shù)00zzR極限性質(zhì)0lim( )zzf z 有限值0lim( )zzf z 0lim( )zzf z無定值第28頁/共84頁第二十八頁，共84頁。極限判定(pndng)法來判定(pndng)可去奇點，極點，本性奇點。幾個名詞的定義：孤立奇點，非孤立奇點，可去奇點， m階極點(jdin)，本性奇點532( ):_.4zif zzz的極點為0,2i1/2( ):_;:_.9zef zz的極點為本性奇點為3 , 3ii0第29頁/共84頁第二十九頁，共84頁。 設函數(shù) f(z)在回路 l 所圍區(qū)域 B上除有限個孤立奇點b1，b2，bn外解析，在閉區(qū)域 上除b1，

14、b2，bn外連續(xù)，則f(z)沿l正向積分 之值等于f(z)在l所圍區(qū)域內(nèi)各奇點的留數(shù)和的2 i倍. Bldzzf)( )lf z dz12Re()njjisf b左邊的積分是沿l 的正向(zhn xin)進行的； 注意(zh y):右邊(yu bian)的奇點是指l 所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是f(z)所有的奇點。 一、留數(shù)定理：P52第30頁/共84頁第三十頁，共84頁。二、計算(j sun)留數(shù) 各孤立(gl)奇點留數(shù)的計算公式奇點類型(lixng)0Re()sf z可去奇點0m階極點01011lim()( )(1)!mmmzzdzzf zmdz一階極點普遍公式00lim() ( )zzzzf z

15、本性奇點0010( )Re()zzRf zsf za在展開得00()()P zQ z( )( )( )P zf zQ z000()0,()0()0P zQ zQ z第31頁/共84頁第三十一頁，共84頁。極點(jdin)階數(shù)判定 非零的有限值mmzzazfzz)()(lim00法一0ma00lim()( )nzzzzf z把極點(jdin)階數(shù)估計得過高n就是(jish)極點的階數(shù)把極點階數(shù)估計得過低(nm)(n=m)(nm)法二零點和極點的關系 若z = z0是 f(z)的m階零點，則z = z0必是 的m階極點。1( )f z第32頁/共84頁第三十二頁，共84頁。三、留數(shù)定理(dngl)

16、的應用 1、計算閉合回路(hul)積分； 例133sin(4) (1)(2)zzdzzzz計算積分解： 3sin( )(4) (1)(2)zf zzzz，其奇點為：z1=4, z2=2, z3=1 只有單極點z2=2, z3=1 在積分(jfn)回路內(nèi)。 31sinsin1Re(1)lim(4) (2)27zzsfzz2Re(1)Re(2)Iisfsfsin1sin22()278i32sinsin2Re(2)lim(4) (1)8zzsfzz 第33頁/共84頁第三十三頁，共84頁。11201(cos ,sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz類型(lixng)一：類型(lixn

17、g)二：( )2 ( )f x dxi f z在上半平面所有奇點的留數(shù)和 ( )f zi在實軸上所有單極點的留數(shù)和2、計算(j sun)三種類型實變函數(shù)定積分； 類型三：01( )cos( )2imxF xmxdxF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi(2)imzF z ei在實軸上所有單極點的留數(shù)之和( )imzF z ei在上半平面所有奇點的留數(shù)之和)(2留數(shù)之和在實軸上所有單極點的imzezG( )imzG z e在上半平面所有奇點的留數(shù)之和第34頁/共84頁第三十四頁，共84頁。201254cosIdxx例計算 =解： 21011154cos542z

18、dzdxzzxiz111542zdzzziz2111522zdzizz111( 21)(2)zdzizz第35頁/共84頁第三十五頁，共84頁。111( 21)(2)zIdzizz且其留數(shù)為 只有單極點 在圓 內(nèi)， 21z1z1( )( 21)(2)f zzz1211lim()2 ( 21)(2)zzzz1Re( )2sf1323111( 21)(2)zIdzizz112Re( )2isfi 第36頁/共84頁第三十六頁，共84頁。44,0.dxaxa例3 計算其中解： 441)(azzf 設設，解方程解方程044 az3, 2, 1, 0,:04)12(44 kaezazikk 有四個根有四

19、個根，即即ikeaaz )12(444 所以(suy)47345243140iiiiaezaezaezaez ，即：即：10, zz 明顯，只有 在上半平面，且為 f (z) 的一階極點，因此01442Re()Re( )dxisf zsf zxa第37頁/共84頁第三十七頁，共84頁。Re()lim() ( )kkkzzsf zzzf z44limkkzzzzza44()lim()kkzzzzza31lim4kzzz34031Re()4isf zea3122()422ia94131Re()4isf zea3122()422ia4314iea331221222()()422422iiiaa322

20、a01442Re()Re( )dxisf zsf zxa341izae40izae第38頁/共84頁第三十八頁，共84頁。2220sin4,0()xmxdx axa例計算解： 222( )( )()imzimzzf zG z eeza有兩個二階極點 ， ai其中 在上半平面， ai22221Re()lim()1!()imzzaidzesf aizaidzza2lim()imzzaidzedzzai4mamea2222220sin1()2()imxxmxxedxdxxaixa12Re()2Iisf aiiRe()sf ai4mameaRe()Isf ai4mameaP61 例7第39頁/共84頁

21、第三十九頁，共84頁。一、傅里葉級數(shù)(j sh)1、周期函數(shù)(zhu q hn sh)(T=2l)的傅里葉展開 一般周期函數(shù)： 、；P88 奇函數(shù)： 、； P90 偶函數(shù)： 、；P90 傅里葉正弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)傅里葉級數(shù)第40頁/共84頁第四十頁，共84頁。2、定義(dngy)在有限區(qū)間(0,l)上的函數(shù)的傅里葉展開 對函數(shù)f(x)的邊界（區(qū)間的端點(dun din)x=0, x=l）上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。 (1)、邊界條件為f(0)=0,f(l)=0 應延拓成以2l為周期(zhuq)的奇函數(shù)(奇延拓) 1( )sinkkkf xbxl02( )s

22、inlkkbfdll(2)、邊界條件為應延拓成以2l為周期的偶函數(shù)(偶延拓) (0)0,( )0ffl01( )coskkkf xaaxl02( )coslkkkafdll第41頁/共84頁第四十一頁，共84頁。(3)、邊界條件為(0)0,( )0ffl01()2( )sinkkkxf xbllkdlkflb0)21(sin)(2根據(jù)邊界條件f(0)=0應將函數(shù)f(x)對區(qū)間(0,l)的端點x=0作奇延拓。 又根據(jù)邊界條件 ，應將函數(shù) f(x)對區(qū)間(0,l)的端點x=l作偶延拓， ( )0f l 然后以4l為周期向整個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的奇函數(shù)。 第42頁/共84頁第四十

23、二頁，共84頁。(4)、邊界條件為(0)0,( )0ff l01()2( )coskkkxf xallkdlkfla0)21(cos)(2 又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應將函數(shù)(hnsh)f(x)對區(qū)間(0,l)的端點x=l作奇延拓， 然后(rnhu)以4l為周期向整個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的偶函數(shù)。 根據(jù)邊界條件 應將函數(shù)f(x)對區(qū)間(0,l)的端點x=0作偶延拓。 (0)0f 第43頁/共84頁第四十三頁，共84頁。實數(shù)形式的傅里葉積分和傅里葉變換: 00 xdBxdAxfsin)(cos)()(其中 dfAcos)()(1dfBsin)()(1復數(shù)形式的傅里葉積分:

24、*1( )( )2i xFf x edxdeFxfxi)()(二、傅里葉積分(jfn) f(x)非周期函數(shù)(zhu q hn sh) x(-,)可以寫成對稱(duchn)的形式: deFxfxi)(21)(*1( )( )2i xFf x edx第44頁/共84頁第四十四頁，共84頁。三、函數(shù)(hnsh)1、 函數(shù)(hnsh)定義2、 函數(shù)(hnsh)性質(zhì)挑選性： 00( ) ()()f xxx dxf xdexxi21)(3、 函數(shù)的傅里葉積分滿足下面兩個條件: 的函數(shù)( x- x0)稱為函數(shù)。 0000()()()xxxxxx(1)(2)1)(0dxxx第45頁/共84頁第四十五頁，共84

25、頁。定解問題(wnt)泛定方程(fngchng)定解條件(tiojin)初始條件:說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件 邊界條件:說明邊界上的約束情況的條件 波動方程輸運方程穩(wěn)定場方程2( , )ttxxua uf x t2( , )txxua uf x t( )uf r 第七章 數(shù)學物理定解問題 銜接條件第46頁/共84頁第四十六頁，共84頁。0( , , , )( , , )tu x y z tx y z桿或弦的振動：0( , , , )( , , )ttu x y z tx y z表示初始的位移表示初始的速度初始條件： 給出某一初始(ch sh)時刻整個系統(tǒng)的已知狀態(tài)。 在熱傳導現(xiàn)象中，初始條件就

26、是給出初始時刻系統(tǒng)中每點的溫度u之值。 0( )tuT r其中T(r)是已知函數(shù)。 第47頁/共84頁第四十七頁，共84頁。如： 2ttxxua uf 00( )( )tttuxux2txxua uf 0( )tux( , , )ug x y z 不需要(xyo)初始條件 一般地說，初始條件的個數(shù)等于數(shù)理方程(fngchng)所含有的對時間最高階偏導數(shù)的階數(shù)。 第48頁/共84頁第四十八頁，共84頁。(1)、桿或弦兩端(lin dun)固定 0),(0 xtxu0),(lxtxu常見(chn jin)的邊界條件：邊界條件： 給出系統(tǒng)(xtng)的邊界在各個時刻的已知狀態(tài)。 三類線性邊界條件：P

27、123(1)、第一類邊界條件： )(tfu(2)、第二類邊界條件： )(tfnu(3)、第三類邊界條件： )()(tfnuHu第49頁/共84頁第四十九頁，共84頁。00 xxu0 xx lu(2)、桿兩端(lin dun)自由 (3)、桿的兩端保持(boch)恒溫T 0( , )xu x tT( , )x lu x tT(4)、兩端(lin dun)絕熱 00 xxuuqkix 0lxxu0 x第50頁/共84頁第五十頁，共84頁。(5)、兩端(lin dun)有熱流強度為f(t)的熱流流出 0 xl f(t) f(t)在x=0端:ktfuxx)(0ktfulxx)(0( )xukf tx

28、( )x lukf tx在x=l端:uqkix 同理得，兩端有熱流(rli)強度為f(t)的熱流(rli)流入，則 0( )( ),xxxx lf tf tuukk 第51頁/共84頁第五十一頁，共84頁。數(shù)學物理(wl)定解問題的適定性: (1) 解的存在(cnzi)性 看所歸結(jié)出來(ch li)的定解問題是否有解； (2) 解的唯一性 看是否只有一個解 (3) 解的穩(wěn)定性 當定解問題的自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應地只有微小的變化量 定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性. 第52頁/共84頁第五十二頁，共84頁。解：弦僅在x0處受策動力作用(zuyng)，故其

29、定解問題為： 200sin()ttxxFtxxua u 00 xx luu000tttuu例1：長為l的均勻弦，兩端(lin dun)x=0和x=l固定，在點x0(0 x0l)受諧變力F0sint的作用而作微小振動，試寫出其定解問題。 第53頁/共84頁第五十三頁，共84頁。解定解問題(wnt)三步曲： （1）寫出正確(zhngqu)的定解問題； （2）邊界條件齊次化； （3）求解傅氏級數(shù)法或分離(fnl)變數(shù)法. 第八章 分離變數(shù)法 第54頁/共84頁第五十四頁，共84頁。分離(fnl)變數(shù)法 齊次的振動(zhndng)方程和輸運方程 齊次的邊界條件 傅里葉級數(shù)(j sh)法 齊次或非齊次的

30、振動方程和輸運方程 齊次的邊界條件 第55頁/共84頁第五十五頁，共84頁。一、分離變數(shù)(binsh)法解題步驟 (1) 對齊次方程(fngchng)和齊次邊界條件分離變量；(2) 解關于空間因子的常微分方程(wi fn fn chn)的本征值問題；(3)求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得 到本征解。(4) 迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。第56頁/共84頁第五十六頁，共84頁。例1：用分離變數(shù)(binsh)法求定解問題200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u先以分離變數(shù)(binsh)形式的試探解

31、解： 代入泛定方程(fngchng)(1)和邊界條件(2)，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(1)(2)(3)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l第57頁/共84頁第五十七頁，共84頁。222lnn(1,2,3,)n 1( )sinnn xXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題(wnt) 本征值：本征函數(shù)：0)()(2222 tTlantTnn02 TaT其通解(tngji)為 相應(xingyng)的本征解 tlanBtlanAtTnsincos)(1,2,3,)n )()(),(t

32、TxXtxunnn(cossin)sinnnn an anAtBtxlll(1,2,3,)n 一般解是所有本征解的線性迭加， 1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)第58頁/共84頁第五十八頁，共84頁。一般(ybn)解是所有本征解的線性迭加， 代入初始條件，00,0tntuB01sinnnnAxul1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)lnxdxlnluA00sin2021 ( 1) nun 00,24,21(21)nkunkk00)

33、 12(sin) 12(cos) 12(4),(kxlktlakkutxu第59頁/共84頁第五十九頁，共84頁。例2：用分離變數(shù)(binsh)法求定解問題2000,(0)0,0( )txxxxx ltua uxluuux(1)(2)(3)先以分離(fnl)變數(shù)形式的試探解 解： 代入泛定方程(fngchng)(1)和邊界條件(2)，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l第60頁/共84頁第六十頁，共84頁。2221()2nnl(0,1,2,3,)n 21()2( )c

34、osnnxXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題(wnt) 本征值：本征函數(shù)：22221()2( )( )0nnnaTtT tl其通解(tngji)為 )()(),(tTxXtxunnn相應(xingyng)的本征解 20Ta T22221()2( )natlnT tCe22221()21()2cosnatlnnxC el(0,1,2,)n 一般解是所有本征解的線性迭加， 0( , )( )( )nnnu x tXx T t22221()201()2cosnatlnnnxC el第61頁/共84頁第六十一頁，共84頁。代入初始條件，0( )tux01()2cos( )nnnxCx

35、l01()22( )coslnnCdll 所求的定解問題(wnt)的解為： 22221()201()2( , )cosnatlnnnxu x tC el22221()20011()()222( , )( )coscosnaltlnnnxu x tdelll 第62頁/共84頁第六十二頁，共84頁。0(1)0,0;xx luu1( , )( )sinnnn xu x tT tl0(2)0,0;xxxx luu0( , )( )cosnnn xu x tT tl0(3)0,0;xxx luu01()2( , )( )sinnnnxu x tT tl0(4)0,0;xxx luu01()2( , )

36、( )cosnnnxu x tT tl 運用傅氏級數(shù)(j sh)法求定解問題，要注意在不同齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形式的傅里葉級數(shù)(j sh)，二、傅里葉級數(shù)(j sh)法第63頁/共84頁第六十三頁，共84頁。(1)、若是第一類非齊次邊界條件 可設 )()(),(tBxtAtxv可將w(x,t)的邊界條件齊次化。 120( ),( )xx luf tuf t引入輔助(fzh)函數(shù)v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次邊界條件的定解問題變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次邊界條件的定解問題。 第

37、64頁/共84頁第六十四頁，共84頁。120( ),( )xxxx luf tuf t可設 2( , )( )( )v x tA t xB t x可將w(x,t)的邊界條件是齊次的， (3)、若是第一(dy)、二類非齊次邊界條件 120( ),( )xxx luf tuf t120( ),( )xxx luf tuf t或可設 )()(),(tBxtAtxv可將w(x,t)的邊界條件齊次化。 (2)、若是第二類非齊次邊界條件 第65頁/共84頁第六十五頁，共84頁。例3、求定解問題(wnt) 解：設,uwv000,xx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式000( ),( )(

38、 )0B tuA t luuA t0vu 200000000000,(0),(),(0)ttxxxx ltttua uxluu uuuuuxxxluu200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu第66頁/共84頁第六十六頁，共84頁。由于(yuy)邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設1( )sinnnnwT txl代入泛定方程(fngchng)，得02222 nnTlanTcossinnnnn atn atTABll1( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll22221sin0nnnnanTTxll200000000,0(),t

39、txxxx ltttwa wwwwuxxwu第67頁/共84頁第六十七頁，共84頁。1( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll代入初始條件，0001sin()ntnn xwAxuxxl所求的定解問題(wnt)的解為： 001sintntnn anuBx ull0000022()sinsinlnn xnAuxxxdxullll00000()22sin1 ( 1) 4()lnnnunBuxdxun aln ann a 為偶數(shù)為奇數(shù)000000241(2)(21)sincossinsinsin(21)nkun xun atnnatnxuuxllllanll第68

40、頁/共84頁第六十八頁，共84頁。例4、求定解問題(wnt) 2010000,(0),txxxxx ltua uxluu uuuu解：設uwv010,xxx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式01( ), ( )B tuA tu10vu xu 201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 第69頁/共84頁第六十九頁，共84頁。201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 由于(yuy)邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設01()2sinnnnxwTl代入泛定方程(fngchng)，得22221()20nnnaTTl22221()2( )natlnnT

41、 tC e22221()201()2( , )sinnatlnnnxw x tC el代入初始條件，101()2sinnnnCxu xl 101()22sinlnnxuCxdxll 11222( 1)1()2nu ln定解問題(wnt)的解為 22221()121012201()2( 1)2( , )sin1()2nantlnnu lu x tuu xexln第70頁/共84頁第七十頁，共84頁。(1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構成(guchng)本征值問題 1( )xy x 當時有限0) 1(2)1 (2 yllyxyx(自然(zrn)邊界條件)本征值問題本征值是l (l+1) 本征函數(shù)

42、則是l階勒讓德多項式Pl(x)。 (0,1,2)l 第十章 球函數(shù) 第71頁/共84頁第七十一頁，共84頁。(2)勒讓德多項式的性質(zhì)(xngzh) 1)、正交性 不同(b tn)階的勒讓德多項式在區(qū)間(-1, 1)上正交， 11( ) ( )0()klP x P x dxkl221lNl(0,1,2,)l 第72頁/共84頁第七十二頁，共84頁。如何將一個定義在x的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)f(x)展開(zhn ki)成廣義傅里葉級數(shù)： 一般(ybn)公式： 0)()(lllxPfxf展開系數(shù) 11)()(212dxxPxflfll待定系數(shù)法 僅適用于f(x)是關于x的次冪的多項式 第73頁/共8

43、4頁第七十三頁，共84頁。(3)勒讓德多項式的母函數(shù)(hnsh) 母函數(shù)(hnsh) 2cos211),(rrrw211 2 cosrr101(cos )lllPr0(cos )lllr P) 1( r(1)r 10(cos )llllrPR2212cosRrRr10(cos )llllRPr()rR()rR以半徑為R的球代替(dit)單位球，則 第74頁/共84頁第七十四頁，共84頁。3、掌握關于(guny)極軸對稱拉氏方程在球坐標系下的解： 關于軸對稱的拉氏方程的定解問題(wnt)的通解為 01)(cos)(),(llllllPrBrAru對球內(nèi)軸對稱問題(wnt)自然邊界條件： 有限值0ru取Bl=0， 應排除 , 11lr0)(cos),(llllPrAru第75頁/共84頁第七十五頁，共84頁。例1、 解： 2cos00rruu)0 ,20 ,(0 rr邊界條件與無關(wgu