《線性系統(tǒng)》全冊(cè)配套完整教學(xué)課件

1、現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理全冊(cè)配套完整教學(xué)課件全冊(cè)配套完整教學(xué)課件現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理第二章 維納濾波 nx ns nv真實(shí)信號(hào) 觀察/測(cè)量數(shù)據(jù)加性噪聲/干擾 is nx nh nh i x n i nsnsne線性估計(jì)線性估計(jì)問題最小均方誤差(MMSE)估計(jì)(minimum mean-square error)估計(jì)誤差 2minnE e nh n2.1 維納濾波問題描述維納濾波-對(duì)真實(shí)信號(hào)的最小均方誤差估計(jì)問題. 121003210012000100001210NxxxxhNhNhNhhhhhhhNssss 1, 1, 0,0Nninxihnsni問題在于估計(jì)濾波器的參數(shù)/單位沖激響應(yīng)序列

2、正交正交方程方程 : jjnxneEjjnxneEjhneneEjhn,0, 1, 0,022標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 (Wiener-Hopf equations): autocorrelation sequence of cross-correlation sequence of and xxsxRmiE x ni x nmx nRmE s n x nms nx n 維納-霍夫（Wiener-Hopf）/標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程 ,sxxxiRmh i Rmim is nx nh nh i x n i nsnsne 2minnE e nh n任何時(shí)刻的估計(jì)誤差都與用于估計(jì)的所有數(shù)據(jù)（即濾波器的輸入）正交注意:

3、 A data-dependant linear least square error estimation Wiener-Hopf equation - solutions Orthogonal equation - decorrelationWiener Filters下標(biāo)i的取值范圍決定了FIR,非因果IIR，因果IIR is nx nh nh i x n i TTNnxnxnxnNhhh11110 xhFIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter2.2 求解求解 Wiener-Hopf Equations -FIR濾波器濾波器 s nnTh x

4、 1210032130122101121012101, 1, 0,10NhhhhRNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRNRRRRNmimRihmRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxsxsxsxsxNixxsx nnsENRRRRsxsxsxsxxP 1210 nnERNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR 0321301221011210維納維納-霍夫方程霍夫方程 展開為矩陣形式展開為矩陣形式Solution: nnnEnnsEnnnsxxxxxRPxhPRhTT1TT1opt1FI

5、R維納濾波器結(jié)構(gòu)Wiener Filters( )s m( )x m(1)x m(2)x m(1)x m p ( )s m1xx xsw R P標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 : dzzzHjnhzSzSzHzSzHzSnoptoptxxsxoptxxoptsx121 mimRihmRixxsx,2.3 求解求解 Wiener-Hopf Equations -非因果非因果 IIR濾波器濾波器Solution :2.4 求解求解 Wiener-Hopf Equations -因果因果 IIR濾波器濾波器標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 : 0,0mimRihmRixxsxWhitening filterOptimum cau

6、sal filter for white input將IIR濾波器分解為兩部分1( )( )( )H zG zB z第一部分為白化濾波器（將輸入信號(hào)變?yōu)榘自肼暎┑诙糠譃橐园自肼暈榧?lì)的最優(yōu)因果濾波器。 polynomils phase minimum areboth and ,12zDzNzDzNzBzBzBzSxx功率譜分解定理is causal and optimal zG zSzGs21 iinxifn zGzBzHc12.5 .因果維納因果維納IIR濾波器濾波器 -具有有理功率譜的輸入信號(hào)具有有理功率譜的輸入信號(hào) 121zBzSzBzHsxc 12111 zBzSzGzBzSzSzF

7、zSmRmfimRifinxifmnsEnmnsEmRsxsxsxssxisxis計(jì)算步驟計(jì)算步驟(1) 因式分解（譜分解定理）因式分解（譜分解定理）(2) 分解為因果部分和非因果部分分解為因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù) 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 計(jì)算沖激響應(yīng)（逆計(jì)算沖激響應(yīng)（逆Z變換變換） 12zBzBzSxx(5) 計(jì)算最小均方誤差計(jì)算最小均方誤差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21第三章 卡爾曼濾波（The Kalman filtering） 第一節(jié)卡爾曼濾波信號(hào)模型

8、第二節(jié) 卡爾曼濾波方法第三節(jié) 卡爾曼濾波的應(yīng)用1、信號(hào)模型信號(hào)模型狀態(tài)方程和量測(cè)方程狀態(tài)方程和量測(cè)方程 維納濾波的模型：信號(hào)可以認(rèn)為是維納濾波的模型：信號(hào)可以認(rèn)為是由白噪聲激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的由白噪聲激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的響應(yīng)，假設(shè)響應(yīng)和激勵(lì)的時(shí)域關(guān)系可以響應(yīng)，假設(shè)響應(yīng)和激勵(lì)的時(shí)域關(guān)系可以用下式表示：用下式表示： (6-52)上式也就是一階上式也就是一階AR模型。模型。 )(ns)(1nw)(zA) 1() 1()(1nwnasns 在卡爾曼濾波中信號(hào)被稱為是狀態(tài)變量，用矢量的形式表示為，激勵(lì)信號(hào)也用矢量表示為，激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系用傳遞矩陣來表示， 得出狀態(tài)方程： (6-53) 上式表示的含義就是

9、在k時(shí)刻的狀態(tài)可以由它的前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)來求得，即認(rèn)為k1時(shí)刻以前的各狀態(tài)都已記憶在狀態(tài)中了 )(nsS(k)(1nw(k)w1A(k)1)(kw1)A(k)S(kS(k)1S(k)1)S(k 1)S(k卡爾曼濾波是根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)數(shù)據(jù)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)的，所以除了狀態(tài)方程之外，還需要量測(cè)方程。 在卡爾曼濾波中，用表示量測(cè)到的信號(hào)矢量序列，表示量測(cè)時(shí)引入的誤差矢量，則量測(cè)矢量與狀態(tài)矢量之間的關(guān)系可以寫成 (6-54)w(k)S(k)X(k)上式和維納濾波的概念上是一致的，也就是說卡爾曼濾波的一維信號(hào)模型和維納濾波的信號(hào)模型是一致的。把式(6-55)推廣就得到更普遍的多維量測(cè)方程

10、(6-55)上式中的稱為量測(cè)矩陣，它的引入原因是，量測(cè)矢量的維數(shù)不一定與狀態(tài)矢量的維數(shù)相同，因?yàn)槲覀儾灰欢苡^測(cè)到所有需要的狀態(tài)參數(shù)。 w(k)S(k)X(k)w(k)C(k)S(k)X(k)信號(hào)模型信號(hào)模型根據(jù)狀態(tài)方程和量測(cè)方程，卡爾曼濾波的信號(hào)模型，如圖6.12所示。圖6.12 卡爾曼濾波的信號(hào)模型1)(kw1)A(k)S(kS(k)1w(k)C(k)S(k)X(k)S(k)C(k)1)A(k 1zw(k)(k)w1X(k)1)S(k 2、卡爾曼濾波方法卡爾曼濾波方法（The method of Kalman filtering）卡爾曼濾波的一步遞推法模型卡爾曼濾波的一步遞推法模型把狀態(tài)方

11、程和量測(cè)方程重新給出：把狀態(tài)方程和量測(cè)方程重新給出： (6-56) (6-57)假設(shè)信號(hào)的上一個(gè)估計(jì)值已知，現(xiàn)在的問題就是如何來求當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。 1)(kw1)A(k)S(kS(k)1w(k)C(k)S(k)X(k)1)(kS(k)S 用上兩式得到的和分別用和表示，得： (6-58) (6-59) 必然，觀測(cè)值和估計(jì)值之間有誤差，它們之間的差稱為新息（innovation）： (6-60)顯然，新息的產(chǎn)生是由于我們前面忽略了與所引起的 1)(kSA(k)(k)S1)(kSC(k)A(k)(k)SC(k)(k)XX(k)(k)X(k)X(k)XX(k)(k)X(k)w1w(k) 用新息乘以一

12、個(gè)修正矩陣，用它來代替式（656）的來對(duì)進(jìn)行估計(jì)： (6-61)由（656）（661）可以畫出卡爾曼濾波對(duì)進(jìn)行估計(jì)的遞推模型，如圖6.13所示 (k)XH(k)(k)w1S(k)(k)XH(k)1)(kSA(k)(k)S1)(kSC(k)A(k)H(K)X(k)1)(kSA(k)S(k) 輸入為觀測(cè)值，輸出為信號(hào)估計(jì)值。圖1 卡爾曼濾波的一步遞推法模型X(k)(k)S(k)SC(k)A(k)1zX(k)1)(kSH(k)(k)X(k)X卡爾曼濾波的遞推公式卡爾曼濾波的遞推公式從圖1容易看出，要估計(jì)出就必須要先找到最小均方誤差下的修正矩陣，結(jié)合式（661）、（656）、（657）得：(6-62)

13、根據(jù)上式來求最小均方誤差下的，然后把求到的代入（661）則可以得到估計(jì)值。(k)SH(k)1)(kSC(k)A(k)w(k)(k)H(K)C(k)S1)(kSA(k)(k)S1)(kSC(k)A(k)w(k)1)(kw1)(kSA(k)H(K)C(k)1)(kSA(k)1H(k)w(k)1)(kw1)(kS(k)H(K)C(k)AH(k)C(k)1)I(kSA(k)1H(k)H(k)(k)S 設(shè)真值和估計(jì)值之間的誤差為：誤差是個(gè)矢量，因而均方誤差是一個(gè)矩陣，用表示。把式（662）代入得 (6-63)均方誤差矩陣： (6-64)表示對(duì)向量取共軛轉(zhuǎn)置。 (k)SS(k)(k)S(k)(k)SS(k

14、)(k)SH(k)w(k)1)(kw1)(kS1)A(k)S(kH(K)C(k)I1(k)S(k)SE(k)為了計(jì)算方便，令 (6-65)找到和均方誤差矩陣的關(guān)系： (6-66)把式（663）代入式（664），最后化簡(jiǎn)得： (k)S(k)(S(k)SE(S(k)(k)1)(kSA(k)1)(kw1)k1)(A(k)S(kSA(k)1)(kw1)E(A(k)S(k(k)111)(k1)w(kEwA(k)1)(kS1)1)(S(k(kS1)A(k)ES(k111)Q(k1)A(k)A(k)(k(k)S(k)SE(k)k)H(k)R(k)H(H(k)C(k)1)IQ(k1)A(k)A(k)(kH(K

15、)C(k)I 把式（666）代入（667）得令，代入上式化簡(jiǎn)： (6-68)要使得均方誤差最小，則必須 (k)k)H(k)R(k)H(H(k)C(k)(k)IH(K)C(k)IR(k)H(k)(k)C(k)H(k)C(k)H(k)(k)C(k)(k)H(K)C(k)(k)SSR(k)(k)C(k)C(k)(k)C(k)U(k)H(k)H(k)SSUH(k)H(K)U(k)111)U(SH(k)S)U(SH(k)SU)U(SS(k)01)U(SH(k)S求得最小均方誤差下的修正矩陣為： (6-69)把上式代入(6-61)即可得均方誤差最小條件下的遞推公式。最小均方誤差為： (6-70)1R(k)

16、(k)C(k)C(k)(k)C(k)H(k)(k)S(k)1U)U(SS(k)(k)H(k)C(k)I 綜上所述，得到卡爾曼濾波的一步遞推公式： (6-71) (6-72) (6-73) (6-74)(k)1)Q(k1)A(k)A(k)(k1R(k)(k)C(k)C(k)(k)C(k)H(k)(k)(k)H(k)C(k)I(k)S1)(kSC(k)A(k)H(K)X(k)1)(kSA(k)【例】設(shè)卡爾曼濾波中量測(cè)方程為 已知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的z變換為，噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，已知在k0時(shí)刻開始觀測(cè)信號(hào)。試用卡爾曼濾波的公式求和，k0,1,2,3,4,5,6,7；以及穩(wěn)態(tài)時(shí)的和。

17、解：由例6-6的結(jié)果知， w(k)S(k)X(k)25. 18 . 0 ,)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(1zzzzRss)()(mmRww1)0(, 0) 1(S(k)S(k)(k)S(k)8 . 0A(k)1C(k)36. 021wQ(k)1)(var(kwR(k) 把上式代入式(6-71) (6-74)得 （1） （2） （3） （4）求逆把（1）代入（2）、（3）式，消去，再把（2）和（3）聯(lián)立，得到 （5） (k)36. 064. 01)(k1(k)(k)H(k)1(k)(k)H(k) 1(k)S1)(kSH(K)X(k)1)(kS8 . 08 . 01(k)(k)H

18、(k)1(k) (k)1/(k)H(k)1.361)(k0.361)(k(k)64. 064. 0初始條件為，k0開始觀測(cè)，利用等式（4），（5）進(jìn)行遞推得： k0，1.0000，1.0000， k1，0.5000，0.5000， k2，0.4048，0.4048， k3，0.3824，0.3824， k4，0.3768，0.3768， k5，0.3755，0.3755， k6，0.3751，0.3751， k7，0.3750，0.3750， 上面是遞推過程，還沒有達(dá)到穩(wěn)態(tài)的情況。 1)0(, 0) 1(S)0()0(H)0(0X)(S) 1 (）（ 1H) 1 (5 . 0) 0 (4 .

19、01XS)( S)2()2(H) 2(4048. 0) 1 (4762. 02XS)(S)3()3(H) 3 (3824. 0) 2(4941. 03XS)(S)4()4(H) 4 (3768. 0) 3 (4985. 04XS)( S)5()5(H) 5 (3755. 0) 4 (4996. 05XS)( S)6()6(H) 6(3751. 0) 5 (4999. 06XS)(S)7()7(H) 7 (3750. 0) 6 (5000. 07XS)( S 假設(shè)到了某一時(shí)刻k1，前后時(shí)刻的均方誤差相等，也就是誤差不再隨著遞推增加而下降，達(dá)到最小的均方誤差了，即穩(wěn)態(tài)情況，式（5）中的誤差代入（5

20、）式可以計(jì)算到穩(wěn)態(tài)時(shí)的均方誤差為：即穩(wěn)態(tài)時(shí)的修正矩陣，代入式4得穩(wěn)態(tài)時(shí)的信號(hào)估計(jì)：化到z域有：。) 1()(kk375. 0) 1()(kk375. 0)(kHX(k)1)(kS375. 05 . 0(k)S)(zH15 . 01375. 0z卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波器的應(yīng)用(Application Kalman filter) 【例】已知條件和例62一樣，狀態(tài)方程和測(cè)量方程為： 其中 ， 信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求卡爾曼濾波器的穩(wěn)態(tài) 和 。1)(kw1)A(k)S(kS(k)1w(k)C(k)S(k)X(k)8 . 0A1C36. 021wQ(k)1)(var(kwR(k)H(k)(k) 解

21、：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sysss（A，B，C，D，1），得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。A，C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計(jì)了兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)的，我們這里只有一個(gè)觀測(cè)信號(hào)，所以B取0 1，后一個(gè)1表示噪聲 的系數(shù)。D取0。實(shí)際的語句如下： sys=ss(A,B,C,D,1) 然后調(diào)用函數(shù)S，L，H，kalman（sys，Q，R），設(shè)計(jì)離散卡爾曼濾波器。實(shí)際語句和計(jì)算結(jié)果如下： s，l，h，=kalman(sys,0.36,1) l =0.3000 =0.6000 h =0.3750 =0.3750 這里省略了輸出的S，它表示的信息是達(dá)到穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)狀態(tài)模型，H和 表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的最終值 ) 1(1kw

22、 有了修正矩陣和均方誤差，代入式（674）就可以根據(jù)觀測(cè)信號(hào)得到卡爾曼濾波的估計(jì)值了。 從上面例題知道，只要確定了狀態(tài)模型，就可以調(diào)用函數(shù)很快設(shè)計(jì)出卡爾曼濾波器，下面來看看卡爾曼濾波器在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)中的應(yīng)用。 在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中腦電圖的肌電偽跡和其它噪聲的消除，以及誘發(fā)電位的提取都有研究者嘗試用卡爾曼濾波器來處理。本節(jié)介紹卡爾曼濾波器在誘發(fā)電位提取中的應(yīng)用，方法如下：1.自發(fā)電位模型（EEG）和誘發(fā)電位（EP）模型的建立。如圖6.14所示，EEG信號(hào)通過用AR模型建立，激勵(lì)是白噪聲，EP信號(hào)的激勵(lì)是單位脈沖序列，用等式表示如下： 階AR模型d表示從該時(shí)刻開始有單位脈沖刺激。 pnwinean

23、eEEGpii),()()(:1qiimiiidndinscnsEP01)()()(: 圖2 EEG和EP模型 從圖2知道，觀測(cè)信號(hào)是EEG和EP的線性相加，用 表示第i次刺激后測(cè)量的信號(hào)，對(duì)M次測(cè)量平均得： 疊加平均后的信號(hào)長度為N。利用先驗(yàn)知識(shí)建立好圖6.14的模型。假設(shè)單次誘發(fā)信號(hào)和平均誘發(fā)信號(hào)的關(guān)系是延時(shí)和幅度變化但波形一致的情況，即)(nyi1, 1, )(1)(1NdddnnyMnyMii)()(jjjnnsAns2.卡爾曼狀態(tài)方程和量測(cè)方程的建立。 其中X X表示狀態(tài)變量，包括誘發(fā)信號(hào)、單位脈 沖信號(hào)、自發(fā)信號(hào)，長mpq1 A 是系統(tǒng)矩陣， 為輸入矩陣 是噪聲矩陣 是測(cè)量噪聲 是

24、輸出矩陣 1)Dw(k1)d(kB1)AX(kX(k)V(k)CX(k)Y(k)p)e(k1),e(kq),d(kd),(km),S(k1),S(k1)(kXkia, 0000100 BkidD,00100001 C)(kV 有了上述方程后就可以利用卡爾曼濾波公式對(duì) 進(jìn)行估計(jì)，由于它包含多種狀態(tài)，誘發(fā)信號(hào)和它的關(guān)系為： 自發(fā)信號(hào)和估計(jì)值的關(guān)系為： 其中kmin（m，p）。)(kX1)k(nx(n)sk 1)k(nx(n)e1qmk3.設(shè)計(jì)好了卡爾曼濾波器后對(duì)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果如圖6.15所示。現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理第四章：自適應(yīng)濾波器內(nèi)容 1. 自適應(yīng)濾波器原理 2. 自適應(yīng)線性組合器 3. 均方誤差性

25、能曲面 4. 最陡下降算法 5. LMS算法 6. RLS算法 7. 典型應(yīng)用：噪聲消除自適應(yīng)算法理論分析1。 自適應(yīng)濾波原理自適應(yīng)濾波原理1.學(xué)習(xí)和跟蹤（時(shí)變信號(hào)）2.帶有可調(diào)參數(shù)的最優(yōu)線性濾波器兩輸入兩輸出Two inputs and two outputs; FIR,IIR, and 格形（Lattice） 最小均方誤差和最小平方誤差準(zhǔn)則線性濾波器性能評(píng)價(jià)自適應(yīng)方法輸入信號(hào)輸出信號(hào)期望響應(yīng)誤差濾波器參數(shù)3. 自適應(yīng)濾波器的性能(1)失調(diào)量（Misadjustment）(2)計(jì)算復(fù)雜度（Computational complexity）(3)對(duì)時(shí)變統(tǒng)計(jì)量的跟蹤能力(4)結(jié)構(gòu)上：高模塊性，并

26、行性等（是否適合硬件實(shí)現(xiàn)）(5)收斂速度(6)數(shù)值特性：數(shù)值穩(wěn)定性（對(duì)字長效應(yīng)不敏感），數(shù)值精確性 (7)魯棒性：對(duì)噪聲干擾不敏感，小能量干擾只能造成小估計(jì)誤差本章主要討論自適應(yīng)線性組合器（其分析和實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，在大多數(shù)自適應(yīng)濾波系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用）。多輸入多輸入自適應(yīng)線性組合器 Lkkknxnwny02。 自適應(yīng)線性組合器自適應(yīng)線性組合器一類具有自適應(yīng)參數(shù)的FIR數(shù)字濾波器。單輸入單輸入自適應(yīng)線性組合器 Lkkknxnwny0 Lkkknxnwny0 Lkkknxnwny0 TLnwnwnwn10w min2neEnnyndnennnnnywxxwTT TLnxnxnxn1x TLnxnxnxn10

27、 x多輸入單輸入 nnnndEnwPRwwTT2 LmmnxndEnxndEmPLPPPnndELmmnxnxEnxnxEmRRLRLRLRRRLRRRnnEmTmiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxx, 1, 0,10, 1, 0,0110110 xPxxRT輸入信號(hào)輸入信號(hào)x的自相關(guān)矩陣的自相關(guān)矩陣R，期望信號(hào)，期望信號(hào)d和輸入信號(hào)和輸入信號(hào)x的互相關(guān)矩陣的互相關(guān)矩陣P3. 均方誤差性能曲面均方誤差性能曲面單權(quán)重情況單權(quán)重情況: 拋物線拋物線性能曲面 nwPnwRndEnPRnwn020200200 , 0PRw兩個(gè)權(quán)系數(shù)兩個(gè)權(quán)系數(shù): 拋物面拋物面 nwPnwPnwnwRnwnwRn

28、dEnwnwPPnwnwRRRRnwnwndEnPPRRRRnwnwnT1010212021010102101202120102011010 , 0110 PRw權(quán)系數(shù)數(shù)目大于兩個(gè)情況：超拋物面權(quán)系數(shù)數(shù)目大于兩個(gè)情況：超拋物面 個(gè)權(quán)系數(shù): 一個(gè) 維空間內(nèi)的超拋物面 “碗底”點(diǎn)對(duì)應(yīng)于均方誤差最小點(diǎn)，也就是最優(yōu)權(quán)系數(shù)矢量 所在的點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)二對(duì)于一個(gè)二次性能方程，存在唯一全局最優(yōu)權(quán)矢量，沒次性能方程，存在唯一全局最優(yōu)權(quán)矢量，沒有局部最優(yōu)點(diǎn)存在有局部最優(yōu)點(diǎn)存在.1L2Lw梯度，最優(yōu)權(quán)矢量和最小均方誤差梯度，最優(yōu)權(quán)矢量和最小均方誤差 很多自適應(yīng)方法使用基于梯度的方法尋找可以達(dá)到最小均方誤差的權(quán)矢量。均

29、方誤差性能曲面均方誤差性能曲面的梯度梯度定義為： PRww22 10nnwnnwnnwnnnnTL最優(yōu)權(quán)重矢量最優(yōu)權(quán)重矢量處梯度為零： PRwPRw1 022nn最小均方誤差：最小均方誤差： wPPRPPR2PPRRPRw2PRwwT1T1T1TTTndEndEndEndE22122min 與維納濾波器的最小均方誤差比較:1T1RR 2min2 E s nE s nT1ToptP R PP hThe same equations背離矢量（背離最優(yōu)權(quán)重）背離矢量（背離最優(yōu)權(quán)重）均方誤差性能方程可寫為另一種形式： wPRwwTTndEn2權(quán)重背離矢量權(quán)重背離矢量:wwv在 坐標(biāo)系統(tǒng)中的性能曲面方程

30、 wwRwwTminn RvvTminnv為了使 對(duì)于所有可能的 值為非負(fù)，有必要使所有 滿足 。 也就是說 必須是正定或者半正定。在實(shí)際的系統(tǒng)中，矩陣 總是正定的，有時(shí)半正定情況也會(huì)出現(xiàn)。Rvv2 梯度: 矢量 是權(quán)重矢量 對(duì)維納最優(yōu)權(quán)矢量 的背離。 任何背離都會(huì)導(dǎo)致均方誤差的一個(gè)增加量vwwRvvTRvvTminv0RvvTvRR4. 最陡下降法 基本思想：搜索性能曲面理想情況下（梯度可知）: 使用基于梯度的方法（最陡下降法）實(shí)際情況（梯度多數(shù)不可知）: LMS方法（the Least-Mean-Square algorithm ） RLSRLS方法（方法（Recursive Least-

31、Square AlgorithmRecursive Least-Square Algorithm）演示1: 基于梯度搜索均方誤差曲面的最小點(diǎn) nnnww1 為一個(gè)控制收斂速度和穩(wěn)定性的常數(shù)稱為自適應(yīng)步長步長。演示2:方程兩邊同減最優(yōu)權(quán)矢量幾個(gè)不同形式的權(quán)重更新方程 nnnnnnnnnnnnnnnnvIvvQvvQIvQvQIQvvQQIvvRIvwwvwRwwRIww1111121 21212121 22 1 1 22 2 122nnnnnnnnn 1wwRwPwRwPwR PwIR wRw nvnvnvnvnvnvLLL211211211111000 1 20 ,1,2,nkkkv nvkL

32、 20nnvIv 12nnvIvlim20; lim 1 20 0, 1,nnknnkLImax10 2max00trLLkkkkE x nR 10trR穩(wěn)定和收斂條件：穩(wěn)定和收斂條件：可證明：自適應(yīng)過程的穩(wěn)定性max10 最優(yōu)點(diǎn):時(shí)間迭代:穩(wěn)定條件:The deepest-descend method實(shí)際應(yīng)用中選取: 2110111( )LLkikiTr RE xn收斂速率 濾波器參數(shù)的收斂速度決定于自濾波器參數(shù)的收斂速度決定于自適應(yīng)步長的選擇適應(yīng)步長的選擇 在在主軸系統(tǒng)主軸系統(tǒng)中參數(shù)沿著各個(gè)參數(shù)中參數(shù)沿著各個(gè)參數(shù)坐標(biāo)軸獨(dú)立收斂。各個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)軸獨(dú)立收斂。各個(gè)坐標(biāo)軸的收斂速度被各自的幾何比

33、收斂速度被各自的幾何比 r 控制?？刂?。 需要注意的是，需要注意的是，在自然坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中各個(gè)參數(shù)各個(gè)參數(shù)w w并不是獨(dú)立收斂的并不是獨(dú)立收斂的。這是我們?yōu)槭裁匆儞Q坐標(biāo)系到這是我們?yōu)槭裁匆儞Q坐標(biāo)系到主軸系統(tǒng)進(jìn)行收斂分析的原因。主軸系統(tǒng)進(jìn)行收斂分析的原因。kkLLrrrr212121211100kkr21幾何比 r 和自適應(yīng)步長對(duì)收斂的影響：穩(wěn)定(收斂)過阻尼臨界阻尼欠阻尼不穩(wěn)定 (不收斂)10210211210 , 11r01r10 r0r1r幾何比和自適應(yīng)步長對(duì)收斂的影響： 1112001, 101112nnv nvr vv nrerevr (1)權(quán)系數(shù)衰減時(shí)間常數(shù)權(quán)系數(shù)衰減到初

34、始值的 需要花費(fèi)的時(shí)間。收斂速度：幾個(gè)時(shí)間常數(shù)收斂速度：幾個(gè)時(shí)間常數(shù)1e 2222minmin2min1222min11min01 20001, 10211 ()2 124msemsemsennmsemsenvvrvnrererer 通常為迭代次數(shù)(2) 學(xué)習(xí)曲線時(shí)間常數(shù)學(xué)習(xí)曲線時(shí)間常數(shù)即均方誤差與最小均方誤即均方誤差與最小均方誤差的差值下降到初始差值差的差值下降到初始差值的的 時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間。時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間。1emse(3) 自適應(yīng)時(shí)間常數(shù)（用時(shí)間衡量學(xué)習(xí)曲線常數(shù)）frequency) sample( iteration)each for samples data( numberiterat

35、ion wheresec , 1 smsesmsemsefNfNT注意 最陡下降法具有更多的理論分析意義，實(shí)際操作時(shí)我們必須對(duì)其做很多近似。Least-Mean-Square Algorithm 最陡下降法在每次迭代時(shí)要求得到性能曲面梯度的估計(jì)值。 LMS 方法使用一個(gè)特別方法估計(jì)這個(gè)梯度（這個(gè)梯度對(duì)于自適應(yīng)的線性組合器是有效的） LMS 方法的優(yōu)勢(shì)在于: (1) 計(jì)算簡(jiǎn)單方便 (2) 不需要離線的梯度估計(jì)或者數(shù)據(jù)副本 如果自適應(yīng)系統(tǒng)是一個(gè)自適應(yīng)線性組合器，并且輸入矢量和期望響應(yīng)在每次迭代時(shí)都可以得到，那么LMS方法通常是一個(gè)最好選擇。5. LMS 方法方法 nnennnnnnmethodde

36、scentsteepestThennenenennnnnnnnenneEnxwwwwxwww2 1: 2222 ( )e nd ny nd nnnTxwLMS 方法推導(dǎo)方法推導(dǎo)使用單次計(jì)算的估計(jì)誤差平方代替平方誤差的期望。 LMS使用單次誤差代替誤差平均，造成梯度和權(quán)矢量成為圍繞真值的隨機(jī)變量。 nnennnnnyndnennnyxwwwwwxT2 ,1LMS 自 適 應(yīng) 濾 波 器 nxnxnenwnwnwnwnwnwnT10101010211w2輸入線性組合器舉例 22 2 2 0EnE e nnEnd ny nEnnnd nnnBnEn TxxxxwRwPLMS方法對(duì)方法對(duì)梯度梯度的估計(jì)

37、的均值為真實(shí)梯度的估計(jì)的均值為真實(shí)梯度估計(jì)量的期望值與真實(shí)梯度的偏差為0。所以為無偏估計(jì) RwwRIRwPPwRIwxxPwwxxxwxwwTT22 22 22 22 21nEnEnEnnEnEnnnEnndEnEnneEnEnE RwwRIw221nn RwwRIw22 1nEnE nnennxww21 nnndnewxT最陡下降法LMS權(quán)矢量的均值權(quán)矢量的均值等于最陡下降法得到的權(quán)矢量等于最陡下降法得到的權(quán)矢量020406080100120140160180200-0.500.511.5020406080100120140160180200-0.500.511.5最陡下降LMS 單次020

38、406080100120140160180200-0.500.511.5020406080100120140160180200-0.500.511.5最陡下降LMS 多次平均 RwwRIw22 1nEnE RwwRIw221nn wwRIww02nn121kkrmax10 wwRIww02nnE LkknxE02 tr,tr10RR收斂條件收斂條件(1) 在最小均方誤差點(diǎn)在最小均方誤差點(diǎn) 附近的附近的梯度估計(jì)誤差梯度估計(jì)誤差min nNnn nnennNnx2 , 0(around )min(梯度估計(jì)噪聲 ) nN minminmin2244 cov cov44 4covQRQQQQQQQRx

39、xxx11111TTnNnNnNEnNnNEnNnnEneEnnneEnNnNEnNTTT權(quán)矢量噪聲權(quán)矢量噪聲 1, 2nnnne nn wwwwx(2)在最小均方誤差點(diǎn)在最小均方誤差點(diǎn) 附近的權(quán)矢量估計(jì)誤差附近的權(quán)矢量估計(jì)誤差min 012lim12022121 11010knNnknNnnNnnnNnnnNnnnNnnnnnnkknnkknIvIvIvvIvvRIvwwww(3)在最小均方誤差點(diǎn)在最小均方誤差點(diǎn) 附近的附近的權(quán)矢量噪聲方差權(quán)矢量噪聲方差 min 112nNnnvIv IQvQvIvvIvvIvvIIvvIvvIvIvIvvvwwww22min1min1min12222222

40、2covcovcov4covcovcov2 11112 11112 211112 11112 112 112 E cov1nnnNnnNnnNnNEnnEnNnNnnEnnNnNnnNnNnnEnNnnNnnnEnnNnnnNnnnnnTTTTTTTTTTT梯度估計(jì)噪聲的存在，使得收斂后的權(quán)矢量在最佳權(quán)矢量的附近隨機(jī)起伏。這意味著穩(wěn)態(tài)的均方誤差值在 附近隨機(jī)的改變。這個(gè)偏移量的期望值偏移量的期望值稱為超量EMSmin LkkknvEnnEnnEEexcessMSE02min vvRvvTT失失 調(diào)調(diào) 量量 (1) 超量EMS（Mean-Square Error） RIvvvTtr covmin

41、0min02min22120min211011210101020LkkLkkkLLLLLLnvEexcessMSEnvEnvEnvEnvEnvnvEnvnvEnvnvEnvEnvnvEnvnvEnvnvEnvEnnEn Rtrmin0minLkkexcessMSE RtrminexcessMSEMavavmseLkkmseavmseLkkavLL41 ,11 ,1100 avLkkL1tr0RavmseLM41(2) 失調(diào)量 M實(shí)際應(yīng)用中，失調(diào)量，收斂速度和權(quán)系數(shù)的個(gè)數(shù)往往需要作一個(gè)折中，因此這個(gè)方程很有用。 通常自適應(yīng)過程在大概4倍學(xué)習(xí)曲線時(shí)間常數(shù)內(nèi)基本結(jié)束。 因此，失調(diào)量可認(rèn)為等于權(quán)重?cái)?shù)目

42、比上過渡時(shí)間權(quán)重?cái)?shù)目比上過渡時(shí)間（4倍時(shí)間常數(shù)）。特殊情況下所有特征值都相等：特殊情況下所有特征值都相等：mseavmseLLM4141msemseLmsemse10設(shè)計(jì)濾波器時(shí)的考慮設(shè)計(jì)濾波器時(shí)的考慮 trMR14 trmseLR假設(shè)要求失調(diào)量小于10，則過渡時(shí)間應(yīng)當(dāng)比權(quán)重?cái)?shù)目大10倍。6. 自適應(yīng)的遞歸最小二乘方自適應(yīng)的遞歸最小二乘方(RLS)算法算法 維納濾波器的一種時(shí)間遞歸時(shí)間遞歸形式(收斂速度快)n維納濾波器nRLS 自適應(yīng)濾波器遺忘因子 新數(shù)據(jù)比舊數(shù)據(jù)更加重要 T01,pnw n w nwnw P0iiy kw k x kikkkkTTwxxw e kd ky k自相關(guān)矩陣：互相關(guān)

43、矢量:自相關(guān)矩陣逆的迭代形式：相關(guān)的遞歸遞歸形式形式0( )( )( )nn kTknkkRXXA 和 B 是兩個(gè)正定矩陣關(guān)于矩陣逆的一個(gè)定理濾波器增益矢量:誤差信號(hào)方程:濾波器系數(shù)更新濾波器增益矢量:誤差信號(hào)方程:輸入信號(hào):初始值:濾波器參數(shù)更新:相關(guān)矩陣逆更新:RLS 自適應(yīng)方法small positive constant7. 典型應(yīng)用：噪聲消除Adaptive FilterAdaptive algorithm參考信號(hào)輸出輸入信號(hào)（信號(hào)噪聲）誤差信號(hào)W沒有回聲控制的遠(yuǎn)程電視會(huì)議系統(tǒng)Applications使用自適應(yīng)回聲抵消器抵消回波ApplicationsRef.: B.Widrow a

44、nd S.D. Stearns: Adaptive Signal ProcessingB說話聲音B聲音回聲功率譜估計(jì)功率譜-信號(hào)功率在頻域的分布規(guī)律內(nèi)容 5.1 確定信號(hào)的譜估計(jì) 5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì) 5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì) 5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)（高分辨譜估計(jì)）5.1 確定信號(hào)的譜分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)首先通過一個(gè)低通（抗混疊）濾波器，然后采樣得到離散時(shí)間信號(hào)，選擇楨長為N交疊為N0的采樣數(shù)據(jù)，然后加窗，最后用加窗數(shù)據(jù)的一個(gè)合適長度的DFT作為譜估計(jì)(1)時(shí)域采樣和抗混疊濾波2( )( )()( )jftjj mmX fx t edtX ex meFTDTFT：(

45、2) 頻域采樣和時(shí)域添零操作頻域采樣:DTFT-DFT補(bǔ)零操作 通過對(duì)采樣信號(hào)后面補(bǔ)零來得到更高密度的頻譜。低密度離散頻譜，在使用線性內(nèi)插重建連續(xù)頻譜時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差。提高頻譜密度可以減少這個(gè)誤差。 (3) 能量泄漏，分辨率損失和加窗操作NR( )( )( )x nx n w n可用數(shù)據(jù)=完整數(shù)據(jù)矩形窗()R1()()()()()d2jjjjjNXeX eW eX e W e 傅利葉變換：-(1)/2()( )jjNRW eAe矩形窗幅頻特性分辨率損失 1(2 / )0( ) cos0.35cos0.40.25cos0.8( )( ) ( )NjN mkmx mmmmX kx mwme可以看出頻率

46、分辨率決定于數(shù)據(jù)窗的持續(xù)時(shí)間（采樣點(diǎn)數(shù)-1）窗口函數(shù)對(duì)分辨率和泄漏的影響v頻率分辨率：窗口函數(shù)頻譜的主瓣寬度。v泄漏：旁瓣譜峰的水平（導(dǎo)致虛假譜峰出現(xiàn)） 因此要根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的窗口。矩形窗具有最窄的主瓣寬度。旁瓣振幅的減小只能以降低分辨率為代價(jià)。利用矩形窗口分辨兩個(gè)頻率，應(yīng)當(dāng)使兩個(gè)頻率的絕對(duì)差值大于矩形窗頻譜的主瓣寬度：|w1-w2|mainWin各種不同窗口的屬性比較和實(shí)域頻域特性窗口旁瓣峰值（db）近似主瓣寬度精確主瓣寬度矩形窗-134pi/(N-1)1.81pi/(N-1)漢寧窗-328pi/(N-1)5.01pi/(N-1)漢明窗-438pi/(N-1)6.27pi/(N-1)凱

47、撒窗-A(A-8)pi/(2.285N-1)多爾夫-切比雪夫窗-A5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜估計(jì) 功率譜為自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換 Wiener-Khintchine 定理 自相關(guān)的估計(jì)值 估計(jì)值的均值與方差mfmjxxxxemrfP2)()(1)Wiener-Khintchine 定理1936年222)()(*)()()(mfmjxxemxfXfXfXfPnxxmnxnxmnxnxEmr)()()()()(2222()*( )( ) ()( )()( )( )( )jfmjfmxxmmnjfnjf n mxxnnrm ex n x nm ex n ex nm eXf X fPf (2)

48、自相關(guān)估計(jì)1, 2 , 1 , 0, )()(|1)(1|0NmkmxkxmNmrmNkxxN | | 101 ( )( ) ()mxxkrmx k x kmNunbiasedBiasedNonnegative definiteSmaller variance- 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜估計(jì)估計(jì)1：估計(jì)2：估計(jì)量的均值和方差)(|1)()(1)(1|0mrNmmkxkxENmrExxmNkxxkxxxxxxxxmkrmkrkrNmrVar)()()(1)( 2Mean:Variance:是一個(gè)漸進(jìn)無偏5.2.2 非參數(shù)功率譜密度估計(jì)方法 周期圖法 Bartlett法（平均多個(gè)周期圖, 采用不同數(shù)據(jù)塊）

49、 Welch 法 (平均多個(gè)周期圖, 采用重疊的數(shù)據(jù)塊) Blackman-Tukey 法 (周期圖平滑)(1) 周期圖法 Periodogram Sir Arthur Schuster in 1899 Mean Variance22102| )(|1)(1)(fXNemxNfPNmfmjxxefmjNNmxxxxmrNmfXENfPE21)1(2)(|1)(1)(efmjmxxxxNmrfPE2)()(lim222sin2sin1)()(fNfNfPfPVarxxxx一個(gè)無偏但不一致的估計(jì)An unbiased but not a consistent estimate12(1)( )( )

50、NjfmxxxxmNPfr me(2) Bartlett 法平均多個(gè)不同數(shù)據(jù)塊的周期圖估計(jì)結(jié)果KiiXXBxxfKfPP1)()(1)(Mean:dvvfNvfvNfEfEPPPXXiXXBXX2/12/12)()(sin)(sin)(1)()(An asymptotically unbiasedVariance:222sin2sin1)(1)(fNfNfPKfPVarXXBXX1/k of the variance of the periodogram(3) Welch 法 采用有重疊的數(shù)據(jù)塊Mean:dvvfNvfvNfEfEPPPXXiXXBXX2/12/12)()(sin)(sin)(

51、1)()(An asymptotically unbiasedVariance:222sin2sin1)(1)(fNfNfKfVarPPXXBXX1/k of the variance of the periodogramWelch-Bartlett 方法(4) Blackman-Tukey 法 加窗的譜估計(jì)Mean:Variance:Uw/k of the variance of the periodogramUw相關(guān)窗口的能量fmjNNmxxBTXXemrmwfP21)1()( )()(1)1(2)()()(NNmfmjcxxBTXXemwmrfPdvvfWvPfPcXXBTXX2121)

52、()()(2w( )( )BTXXXXUVar PfPfN相關(guān)窗譜為單位面積時(shí)，為漸進(jìn)無偏估計(jì)Blackman-Tukey 法方法理論和實(shí)踐的比較 對(duì)功率譜加窗平滑等價(jià)于對(duì)估計(jì)的自相關(guān)序列進(jìn)行加窗。對(duì)窗口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不適用于漢明，漢寧或凱瑟窗。5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì) Autoregressive (AR) Model（自回歸） Moving-Averatge (MA) Model（移動(dòng)平均） Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回歸移動(dòng)平均）估計(jì)步驟： (1) 信號(hào)建模 (2) 估計(jì)模型參

53、數(shù) (3) 計(jì)算功率譜本節(jié)內(nèi)容 5.3.1 信號(hào)模型及其功率譜 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型與 他們的功率譜 5.3.3 AR 模型的功率譜估計(jì) Yule-Walker 方程 AR 模型特性 參數(shù)估計(jì)方法 5.3.4 MA模型的功率譜估計(jì) 5.3.5 ARMA模型的功率譜估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)白噪聲線性移不變系統(tǒng)有理函數(shù)模型:5.3.1 信號(hào)模型及其功率譜2222jjjxxjB eSeH eA e(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型 000, 1qkkkpkkkb zB zH zaA za z 10pqkkkkx na x nkb u nk

54、 22111xxB z BzSzH z HzA z Az輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:零-極點(diǎn)模型 111111 11 real is 1 : 1 then , real is If zHerHerHzHerznhrezerzrezzHzHnhjjjjjj 2122xxjjxxSzB z B zSeB e(2) Moving Average 模型 0qkMAkkHzB zb z 0qkkx nb u nk輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:全零點(diǎn)模型全極點(diǎn)模型 212211xxjxxjSzA z A zSeA e(3) Autoregressive 模型 011ARpkkkHzA za

55、z 1pkkx na x n ku n輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:模型:模型:模型: pAR qMAqpARMA,21,paa21,qbb,1paa21,qbb模型參數(shù)模型參數(shù) k 1100 xxpkpkxxnllRmEx n x nmEx na x nmku nma RmkEx n u nmEx n u nmEh l u nlu nmh l E u nl u nm 220 lh lmlhm 5.3.2 AR 模型參數(shù)估計(jì)模型參數(shù)估計(jì) 222212000 ,00,0 causal 0 ( 0 ): 0lim1,00,0,00,0,0 (1)0,0zpxxkxxkpkxxkhmE x n

56、 u nmhmmhmmhH zmE x n u nmmmRma Rmkmma Rmkam 初值定理 1)( , 1, 0 0,1)( 0, 00,0 ,0,020020121apmmkmRaammkmRamkmRamkmRamRpkxxkpkxxkpkxxkpkxxkxx（1）Yule-Walker 方程 001011011021pxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRRpRRR 00011011pxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRR20 0pkxxka Rmkm求解上面方程式，即得到AR模型參數(shù)5.3.3 MA和ARMA模型的功率譜估計(jì)ARMA 模型的 Yule-

57、Walker 方程 2101,0, 1, pq mkxxk mkkxxpkxxkaR m kb h kmqR maR m km q MA 模型的 Yule-Walker 方程 , 0, 1, 0,02qmqmbbmRmqkkmkxx（*1） , qmxxxxmqSzRm zmqMA 模型的功率譜估計(jì) 不需要估計(jì)模型參數(shù)bk, 只需根據(jù)已知數(shù)據(jù)估計(jì)出|m|q的自相關(guān)函數(shù)，代入上式計(jì)算即可。 （*2）( )x n()/ ()Bz Az( )e n( )A z( )v n( )B z(1) 首先計(jì)算AR模型參數(shù)。（*1）式(2) 利用AR模型對(duì)x(n)濾波得到v(n)(3) 利用v(n)計(jì)算MA模型

58、功率譜。（*2）式211vvxxpjkkkSSa eARMA模型的功率譜估計(jì)5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)目標(biāo)信號(hào)： 已知在白噪聲中的M個(gè)負(fù)指數(shù)序列和的N 個(gè)采樣值 11, 0,1iMMjniciiix ns nv nA ev nnN, 1,ijciiAA eiM 和 需要估計(jì). where are uncorrelated random variables that uniformly distributed over the intervali2 , 0 nvi例例1: 白噪聲中單個(gè)復(fù)指數(shù)序列白噪聲中單個(gè)復(fù)指數(shù)序列Signal autocorrelation matrixNois

59、e autocorrelation matrix 111111111 12c11121 111 112, 0, 1,1;011,1011, EE jnjcccTTj NjTcHHHHvHvx nA ev nnNAAenxxx Nneenvvv NnAnnnnAnnnnPnnPnnXSVSVxevxevRxxeevveeIRRReeRI TNjjeen11111e nnPH111eeRS11111111121211NjNjNjjNjjeeeeeePSR信號(hào)矢量：信號(hào)的自相關(guān)矩陣：因?yàn)榫仃?的秩為1，所以僅有一個(gè)非零特征值SR 的非零特征值:SR111111111111111: e0eIReeee

60、eeeeRSSNPNPNPPPHHNvvv,32-對(duì)應(yīng)的特征向量- 的非零特征值SR 是厄米共軛矩陣，所以其他的特征向量與e1 正交。 SRNiiH, 3, 2 , 01veIRV2v噪聲自相關(guān)矩陣222222 000000vvvvvvdiagVR是個(gè)滿秩矩陣VR設(shè) 為信號(hào)自相關(guān)矩陣 的特征值，則iSR221max22222 vvviiviiviiiviiviNPvvvvvRvIRvRSSX 的特征值 :XR- 的特征值XR- 的最大特征值XR- 的其他特征值 XR的特征向量與 的相同，為XRSRiv從 的特征值和特征向量中提取信號(hào) 參數(shù)的計(jì)算步驟:1. 對(duì)自相關(guān)矩陣 進(jìn)行特征值分解。其最大特