天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件

1、第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 本章要處理的問題 為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？ 為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？ 為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的位置？ 大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的實(shí)際根底 是什么？大數(shù)大數(shù)定律定律中心極中心極限定理限定理設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量 X 的期望 E( X )存在，那么對(duì)于恣意實(shí)數(shù) 0,)()(XEXP證證 僅證延續(xù)型隨機(jī)變量的情形僅證延續(xù)型隨機(jī)變量的情形dxxfXP)()(dxxfx)(0)(1dxxxf)( XE 重要不等式 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量 X 的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩 E( |X |k)存在，那么對(duì)于恣意

2、實(shí)數(shù) 0,kkXEXP)|(|)|(|設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差 D ( X )存在，那么對(duì)于恣意實(shí)數(shù) 0,2)()| )(|XDXEXP切貝雪夫切貝雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式或2)(1)| )(|XDXEXP當(dāng) 2 D(X) 無實(shí)踐意義,馬爾可夫馬爾可夫 (Markov) (Markov) 不等式不等式知某種股票每股價(jià)錢知某種股票每股價(jià)錢X X的平均值為的平均值為1 1元，元，規(guī)范差為規(guī)范差為0.10.1元，求元，求a,a,使股價(jià)超越使股價(jià)超越1+a1+a元元或低于或低于1-a1-a元的概率小于元的概率小于10%10%。解解:由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式;0

3、1. 0| 1|2aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a例例1 1 設(shè)有一大批種子，其中良種占設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 1/6. 試試估計(jì)在任選的估計(jì)在任選的 6000 6000 粒種子中粒種子中, , 良種所占比良種所占比例與例與1/6 1/6 比較上下小于比較上下小于1%1%的概率的概率. .解解 設(shè)設(shè) X 表示表示 6000 粒種子中的良種數(shù)粒種子中的良種數(shù) ,X B (6000,1/6 )01. 0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685. 010883實(shí)踐準(zhǔn)確計(jì)算1060940XP01

4、. 0616000XP1059941600060006561kkkkC959036. 0用Poisson 分布近似計(jì)算1060940XP01. 0616000XP937934. 010599411000!1000kkke取 = 1000例例2 2 設(shè)每次實(shí)驗(yàn)中，事件設(shè)每次實(shí)驗(yàn)中，事件 A A 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 0.75, 試用試用 Chebyshev Chebyshev 不等式估計(jì)不等式估計(jì), n , n 多大多大時(shí)時(shí), , 才干在才干在 n n 次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, , 事件事件 A A 出出現(xiàn)的頻率在現(xiàn)的頻率在0.74 0.76 0.74 0.76 之間的

5、概率大于之間的概率大于 0.90? 0.90?解解 設(shè)設(shè) X 表示表示 n 次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) , 那么那么X B(n,0.75)nXDnXE1875. 0)(,75. 0)(90. 076. 074. 0nXP要使，求 n即90. 076. 074. 0nXnP即90. 001. 0|75. 0|nnXP由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故2)01. 0(1875. 0101. 0|75. 0|nnnnXP令90. 0)01. 0(1875. 012nn解得18750n大數(shù)定律大數(shù)定律貝努里Bernoulli 大數(shù)定律設(shè) nA

6、是 n 次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù), p 是每次實(shí)驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率, 那么0有0limpnnPAn或1limpnnPAn證證 引入隨機(jī)變量序列引入隨機(jī)變量序列Xk發(fā)生次試驗(yàn)第發(fā)生次試驗(yàn)第AkAkXk,0,1設(shè),) 1(pXPk那么pqXDpXEkk)(,)(nXXX,21相互獨(dú)立，nkkAXn1記,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由 Chebyshev 不等式pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP在概率的統(tǒng)計(jì)定義中, 事件 A 發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于事件 A 在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：nnA頻率與 p 有較大偏向pn

7、nA是小概率事件, 因此在 n 足夠大時(shí), 可以用頻率近似替代 p . 這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里貝努里(Bernoulli)(Bernoulli)大數(shù)定律的意義大數(shù)定律的意義nnA伯努里大數(shù)定律闡明：伯努里大數(shù)定律闡明： A發(fā)生的頻率 與概率p有較大偏向的能夠性愈來愈小，但這并不意味著較大偏向永遠(yuǎn)不能夠發(fā)生了，只是說小偏向發(fā)生的概率大，而大偏向發(fā)生的概率小，小到可以忽略不不計(jì)。mn定義定義a 是一常數(shù)，0limaYPnn(或)1limaYPnn那么稱 r.v. 序列,21nYYY依概率收斂于常數(shù) a , 記作aYnPn故pnnnPA,21nYYY是一系列 r.v.設(shè)0有假設(shè)aXPn如如意

8、思是意思是:當(dāng)當(dāng)aaanXaXn而而意思是意思是:0, 0n|aXnn時(shí)時(shí),Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率越來越大內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)當(dāng)00,nnn0nn 在 Bernoulli 定理的證明過程中，Y n 是相互獨(dú)立的服從 (0 , 1) 分布的隨機(jī)變量序列Xk 的算術(shù)平均值, Y n 依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望 p . 結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨(dú)立隨機(jī)變量 序列Chebyshev 大數(shù)定律,21nXXX相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量序列(指恣意給定 n 1, 相互獨(dú)立)且具有一樣的數(shù)學(xué)期望和方差nXXX,21, 2 , 1,)(,)(2kXDXEkk那么0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP 如稱量某一物體的分量，假設(shè)衡器不存在系統(tǒng)偏向，由于衡器的精度等各種要素的影響，對(duì)同一物體反復(fù)稱量多次，能夠得到多個(gè)不同的分量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值普通來說將隨稱量次數(shù)的添加而逐漸接近于物體的真實(shí)分量。定理的意義定理的意義當(dāng) n 足夠大時(shí), 算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).具有一樣數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)算術(shù)均值均值數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望近似替代可被,21nXXX相 設(shè) r.v.序列, 2 , 1,)(iXEkki那么0有01lim1knik