有限元與數(shù)值方法講稿有限元的基本概念

1、1有限元與數(shù)值方法有限元與數(shù)值方法第五講第五講有限元法的一般原理與基本格式有限元法的一般原理與基本格式- 有限元的基本概念有限元的基本概念授課教師：劉書(shū)田授課教師：劉書(shū)田Tel：84706149； Email：教室：綜合教學(xué)樓教室：綜合教學(xué)樓 351 時(shí)間：時(shí)間：2013年年4月月12日：日：8：0010：202彈性力學(xué)問(wèn)題的有限元法彈性力學(xué)問(wèn)題的有限元法有限元法的基本思想有限元法的基本思想桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法靜定桁架的內(nèi)力可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡方靜定桁架的內(nèi)力可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡方程求得，由內(nèi)力和桿件斷面積可求得桿程求得，由內(nèi)力和桿件斷面積可求得桿件應(yīng)力、應(yīng)變，再求得節(jié)點(diǎn)位移件

2、應(yīng)力、應(yīng)變，再求得節(jié)點(diǎn)位移PP靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡方程靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件應(yīng)力，桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力，桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿(mǎn)足的平衡方程。平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿(mǎn)足的平衡方程。3有限元法的基本思想有限元法的基本思想桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)

3、節(jié)點(diǎn)平衡方程靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件應(yīng)力直至桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力直至桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿(mǎn)足的平衡方程。的平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿(mǎn)足的平衡方程。由節(jié)點(diǎn)的平衡方程就可求得節(jié)點(diǎn)位移；由節(jié)點(diǎn)的平衡方程就可求得節(jié)點(diǎn)位移；這一平衡方程的系數(shù)矩陣就是結(jié)構(gòu)剛度矩陣；結(jié)構(gòu)剛度矩陣是由每個(gè)桿件的這一平衡方程的系數(shù)矩陣就是

4、結(jié)構(gòu)剛度矩陣；結(jié)構(gòu)剛度矩陣是由每個(gè)桿件的單元?jiǎng)偠染仃囘m當(dāng)?shù)亟M裝得到。單元?jiǎng)偠染仃囘m當(dāng)?shù)亟M裝得到。2211221122222222cos ,sin , xxyyxxyyFuccsccsFucsscssEFFuLccsccsFucsscsscsFkUk或稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃嘑2x,u2xF2y,u2yF1x,u1xF1y,u1y12P4桿系有限元方法桿系有限元方法o以桁架結(jié)構(gòu)為例，介紹有限元的基本思想5桿單元的有限元分析桿單元的有限元分析一維線(xiàn)性桿單元一維線(xiàn)性桿單元基本假定：基本假定：只能承受拉壓內(nèi)力（各桿兩端的約束條只能承受拉壓內(nèi)力（各桿兩端的約束條件使得彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪切不能傳遞）件使得彎曲、扭轉(zhuǎn)、

5、剪切不能傳遞）軸線(xiàn)為直線(xiàn)軸線(xiàn)為直線(xiàn)1. 材料滿(mǎn)足胡克定律材料滿(mǎn)足胡克定律自由轉(zhuǎn)動(dòng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)121F2F21FF6位移插值位移插值)(xu)(2Luu )0(1uu 建立軸線(xiàn)方向的坐標(biāo)系建立軸線(xiàn)方向的坐標(biāo)系記任一點(diǎn)軸向位移為記任一點(diǎn)軸向位移為并將節(jié)點(diǎn)位移表示為并將節(jié)點(diǎn)位移表示為2211)()()(uxNuxNxu建立桿件位移與節(jié)點(diǎn)位移的插值關(guān)系建立桿件位移與節(jié)點(diǎn)位移的插值關(guān)系其中，形函數(shù)必須滿(mǎn)足其中，形函數(shù)必須滿(mǎn)足1)(, 0)0(, 0)(, 1)0(2211LNNLNN1N1122N1217xaaxN101)(xbbxN102)(可簡(jiǎn)單地將形函數(shù)取為一次多項(xiàng)式的形式：可簡(jiǎn)單地將形函數(shù)取為一次多

6、項(xiàng)式的形式：10a00b)/1(1LaLxb/11)0(1N0)0(2N0)(1LN1)(2LN考慮到邊界條件，考慮到邊界條件，可得到可得到LxxN/1)(1LxxN/)(2因此因此位移插值位移插值8位移及應(yīng)變位移及應(yīng)變21)/()/1 ()(uLxuLxxuNu2121)()()(uuxNxNxu小位移假設(shè)下，應(yīng)變?yōu)樾∥灰萍僭O(shè)下，應(yīng)變?yōu)槲灰颇Ｊ綖槲灰颇Ｊ綖長(zhǎng)uuuuxNdxdxNdxddxddxdux122121)()(Nu1 1,xBL L Bu9單元?jiǎng)偠汝噯卧獎(jiǎng)偠汝嘗uuEExx12利用胡克定律，得到桿件應(yīng)力和內(nèi)力分別為利用胡克定律，得到桿件應(yīng)力和內(nèi)力分別為)(12uuLAEAPx則節(jié)點(diǎn)

7、力為則節(jié)點(diǎn)力為)(121uuLAEF)(122uuLAEF11221111uFAEuFLr其矩陣形式表示為其矩陣形式表示為1111eLAEK 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?xE ESL L SuS 應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣10XYxy X Y x yi 坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣設(shè)設(shè)OXY為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，oxy為單元坐標(biāo)。為單元坐標(biāo)。 為任意單元為任意單元 i 端的任一矢量。它在端的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為 X、 Y；在單；在單元坐標(biāo)系中的分量為元坐標(biāo)系中的分量為 x、 y。 X、 Y 在單元坐標(biāo)在單元坐標(biāo)x軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 x 。同理，。同理，

8、 X、 Y 在單元坐標(biāo)在單元坐標(biāo) y 軸上軸上投影的代數(shù)和給出投影的代數(shù)和給出 y cossin)cossin()(sincos)sincos()(2121221211YXYXyYXYXxeeeeeeeeee11即即jjiivuvu,jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣YXyxcossinsincos令令 表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在單元局部坐表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在單元局部坐標(biāo)系的分量，標(biāo)系的分量， 表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在全局坐表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在全局坐標(biāo)系的分量，則標(biāo)系的分量，則jjiivuvu,12上

9、式可寫(xiě)成上式可寫(xiě)成eeRdd 坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣R的具體內(nèi)容為：的具體內(nèi)容為：用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方向余弦：用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方向余弦：cossin00sincos0000cossin00sincosRLYYLXXijijsin,cos坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣（Xi，Yi）和和（Xj，Yj）分別為節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn) i 和節(jié)和節(jié)點(diǎn)點(diǎn) j 在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值13平面內(nèi)任意方向的桿單元平面內(nèi)任意方向的桿單元dTd111222cossin0000cossinuuvuuv xyx122u12uu d1uxyx122v1122uvuvd2u2v2u記為記為T(mén)rT r而節(jié)點(diǎn)力列陣滿(mǎn)足而節(jié)

10、點(diǎn)力列陣滿(mǎn)足 (或或 ) rTre K dr由單元局部坐標(biāo)系下的關(guān)系由單元局部坐標(biāo)系下的關(guān)系可得到可得到eTT K Tdr或?qū)懗苫驅(qū)懗蒭K drTKTKeeT其中其中1111221222,(,;,)FFFFFF rr141. 整體節(jié)點(diǎn)位移整體節(jié)點(diǎn)位移11( ,)nnu vu vd 單元節(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移：總體控制方程：總體控制方程：?jiǎn)卧煞治鰡卧煞治鰁xpexp;eedT ddTd擴(kuò)充矩陣擴(kuò)充矩陣expT2. 整體節(jié)點(diǎn)力整體節(jié)點(diǎn)力111212(,)nnFFFFFexpeeFTFeexpeexpexpexpeexp();eeeeeeK dFTKT dTFFKdFKTK T15邊界條件邊

11、界條件全局平衡方程全局平衡方程654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如不考慮約束條件，如不考慮約束條件，總剛度陣是奇異的總剛度陣是奇異的04321UUUU零位移約束條件零位移約束條件16邊界條件處理邊界條件處理6543216566656463626156555453525146454443424136353433323126252423222116151413121100

12、00FFFFFFUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk零位移約束條件代人平衡方程，得到零位移約束條件代人平衡方程，得到約束反力約束反力外載荷外載荷未知位移未知位移17對(duì)于一般的指定位移約束，可將方程分塊為對(duì)于一般的指定位移約束，可將方程分塊為acacaaaccaccFFUUKKKK其中，其中， 是指定位移，是指定位移， 是主動(dòng)位移是主動(dòng)位移cU654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkk

13、kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk邊界條件邊界條件即即aU18在單元局部坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移分量為在單元局部坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移分量為sincossincos)(4)(3)(2)(2)(1)(1eeeeeeUUuUUu根據(jù)位移插值關(guān)系根據(jù)位移插值關(guān)系2211)()()(uxNuxNxu單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力可給出單元軸向應(yīng)變?yōu)榭山o出單元軸向應(yīng)變?yōu)?()(1)(2)(2)(1)()()(2)(121)()()(11)()(ddd)(deeeeeeeeeeeeLuuuuLLuuxNxNxxxu )()(eeE由胡克定律可進(jìn)一步給出單元軸向應(yīng)力為由胡克定律可進(jìn)一步給出單元軸向

14、應(yīng)力為19)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(2)(1sincos0000sincoseeeeeeeeeeUUUUUUUUuuT單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力而由而由)(4)(3)(2)(121)()()()()(ddd)(deeeeeeeUUUUxNxNxxxuT)(4)(3)(2)(121)()()()()()(ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET可得到由總體坐標(biāo)系位移分量表示的單元應(yīng)變和單元應(yīng)力可得到由總體坐標(biāo)系位移分量表示的單元應(yīng)變和單元應(yīng)力2021有限元法有限元法(FEM)是求解是求解偏微分方程邊值問(wèn)題偏微分方程邊值問(wèn)題近似解的數(shù)值方法近似解的數(shù)

15、值方法uuv邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題未知量未知量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場(chǎng)變量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場(chǎng)變量（如位移、溫度、流體速度等）（如位移、溫度、流體速度等）邊界條件邊界條件是給定的是給定的場(chǎng)變量值場(chǎng)變量值或者其或者其偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)有限元法的基本概念有限元法的基本概念22有限元法的基本概念有限元法的基本概念o有限元分析的基本思想是將求解域場(chǎng)分成小的子區(qū)域，有限元分析的基本思想是將求解域場(chǎng)分成小的子區(qū)域，通常稱(chēng)為通常稱(chēng)為“單元單元”或或“有限元有限元”。 對(duì)每一單元假定一個(gè)對(duì)每一單元假定一個(gè)分片近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿(mǎn)足條件分片近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿(mǎn)

16、足條件(如結(jié)構(gòu)如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。o有限元法方程的系數(shù)矩陣通常是有限元法方程的系數(shù)矩陣通常是稀疏稀疏的，便于求解。的，便于求解。o有限元法不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)有限元法不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，各種復(fù)雜形狀，不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程的工程結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題。結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題。o有限元法有限元法應(yīng)用于場(chǎng)（力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流體應(yīng)用于場(chǎng)（力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流體場(chǎng)等）分析、熱傳導(dǎo)、非線(xiàn)形材料的彈塑性蠕變分析等場(chǎng)等）分析、熱傳導(dǎo)、非線(xiàn)形材料的彈塑性蠕變分析等23(

17、a) 二維問(wèn)題的幾何域二維問(wèn)題的幾何域(b) 三角形單元三角形單元(c) 有限元網(wǎng)格的一部分有限元網(wǎng)格的一部分單元單元有限元網(wǎng)格有限元網(wǎng)格有限元法中的離散有限元法中的離散各種幾何形狀各種幾何形狀的有限元單元的有限元單元24三角形的頂點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)（三角形的頂點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)（node） 節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解node熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元1T3T2Tnode有限元法中的場(chǎng)變量表示有限元法中的場(chǎng)變量表示以平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元為例以平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元為例25除了節(jié)點(diǎn)外的其他各位置的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)變量

18、如何確定？除了節(jié)點(diǎn)外的其他各位置的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)變量如何確定？ 單元內(nèi)部點(diǎn)的場(chǎng)變量值由單元節(jié)點(diǎn)的單元內(nèi)部點(diǎn)的場(chǎng)變量值由單元節(jié)點(diǎn)的插值插值(interpolation )給出給出:iTkTjTT = ?有限元法中的場(chǎng)變量表示有限元法中的場(chǎng)變量表示kkjjiiTyxNTyxNTyxNyxT),(),(),(),( , , 和和 是插值函數(shù)，稱(chēng)為是插值函數(shù)，稱(chēng)為位移函數(shù)位移函數(shù)或或形函數(shù)。形函數(shù)。插值函數(shù)插值函數(shù)所包括的多項(xiàng)式階數(shù)越高，越能精確表示位移分布。所包括的多項(xiàng)式階數(shù)越高，越能精確表示位移分布。iNjNkN26常見(jiàn)平面單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)常見(jiàn)平面單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元CST

19、(CST(常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元) )六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元二次插值二次插值八節(jié)點(diǎn)四邊形單元八節(jié)點(diǎn)四邊形單元二次插值二次插值CSTCST三角形單元網(wǎng)格劃分簡(jiǎn)單，但對(duì)于彎曲過(guò)剛；線(xiàn)性應(yīng)變?nèi)切卧枞切螁卧W(wǎng)格劃分簡(jiǎn)單，但對(duì)于彎曲過(guò)剛；線(xiàn)性應(yīng)變?nèi)切卧鑼?xiě)彎曲性能遠(yuǎn)優(yōu)于寫(xiě)彎曲性能遠(yuǎn)優(yōu)于CSTCST單元單元四邊形單元剖分有時(shí)比較困難，但性能較好四邊形單元剖分有時(shí)比較困難，但性能較好四節(jié)點(diǎn)四邊形單元四節(jié)點(diǎn)四邊形單元雙線(xiàn)性插值雙線(xiàn)性插值xyayaxaavxyayaxaau8765432127四節(jié)點(diǎn)四面體單元四節(jié)點(diǎn)四面體單元線(xiàn)性插值（常應(yīng)變）線(xiàn)性插值（常應(yīng)變）十節(jié)點(diǎn)四面體單元十節(jié)點(diǎn)四面體單元二次

20、插值（線(xiàn)性應(yīng)變）二次插值（線(xiàn)性應(yīng)變）八節(jié)點(diǎn)四面體單元八節(jié)點(diǎn)四面體單元LagrangeLagrange單元單元非完全三次插值非完全三次插值二十節(jié)點(diǎn)二十節(jié)點(diǎn)SerendipitySerendipity單元單元四面體單元網(wǎng)格剖分簡(jiǎn)單，但四節(jié)點(diǎn)四面體精度較差四面體單元網(wǎng)格剖分簡(jiǎn)單，但四節(jié)點(diǎn)四面體精度較差八面體單元精度較好，但網(wǎng)格剖分比較困難八面體單元精度較好，但網(wǎng)格剖分比較困難常見(jiàn)三維單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)常見(jiàn)三維單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)28一維單元一維單元(x)(x)(x)不同形式的單元插值不同形式的單元插值29二維單元二維單元不同形式的單元插值不同形式的單元插值30三維單元三維單元不同形式的單元插值不同形式的單元插值(x,y,z)(x,y,z)31有限元法總體思路有限元法總體思路有限元法通過(guò)加權(quán)余量法（或變分法、最小勢(shì)能原理、虛有限元法通過(guò)加權(quán)余量法（或變分法、最小勢(shì)能原理、虛功原理等）將偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程，便于計(jì)算機(jī)處功原理等）將偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程，便于