23等腰三角形

1、等腰三角形等腰三角形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3 我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？探究探究 任意畫一個(gè)等腰三角形任意畫一個(gè)等腰三角形ABC，其中，其中AB=AC，如圖如圖. 作作ABC 關(guān)于頂角平分線關(guān)于頂角平分線AD所在直線的軸所在直線的軸反射，反射， 由于由于1=2，AB=AC，因此：因此：D1 2射線射線AB的像是射線的像是射線AC，射線射線AC的像是射線的像是射線 ；線段線段AB的像是線段的像是線段AC，線段線段AC的像是線

2、段的像是線段 ；點(diǎn)點(diǎn)B的像是點(diǎn)的像是點(diǎn)C，點(diǎn)點(diǎn)C的像是點(diǎn)的像是點(diǎn) ；線段線段BC的像是線段的像是線段CB.從而等腰三角形從而等腰三角形ABC關(guān)于直線關(guān)于直線 對稱對稱.ABABBAD由于點(diǎn)由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)的像是點(diǎn)D，因此線段因此線段DB的像是線段的像是線段 ，從而從而AD是底邊是底邊BC上的上的 .由于射線由于射線DB的像是射線的像是射線DC，射線射線DA的像是射線的像是射線 ，因此因此BDA CDA= ， 從而從而AD是底邊是底邊BC上的上的 .由于射線由于射線BA的像是射線的像是射線CA，射線射線BC的像是射線的像是射線 ，因此因此B C.DC中線中線DA=90高高CB=結(jié)論結(jié)論由此得到等

3、腰三角形的性質(zhì)定理：由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理： 等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線平分線所在的直線. 等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等( ( 簡稱簡稱“等邊對等邊對等角等角”) ). 結(jié)論結(jié)論 等腰三角形底邊上的高等腰三角形底邊上的高、中線中線及頂角平分及頂角平分線重合線重合( (簡稱為簡稱為“三線合一三線合一”).).動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋因?yàn)橐驗(yàn)锳BC是等邊三角形，是等邊三角形，所以所以AB=BC=AC，從而從而C=A=B.由三角形內(nèi)角和定理可得：由三角形內(nèi)角和定理可得：A=B=C=60. 如圖，如圖，ABC是等邊三角形，那么是等

4、邊三角形，那么A，B，C 的大小之間有什么關(guān)系呢的大小之間有什么關(guān)系呢？由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60.結(jié)論結(jié)論 由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.例例1 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D，E 在邊在邊BC上，且上，且AD=AE. 求證：求證：BD=CE.舉舉例例證明證明 作作A

5、FBC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)F，則則AF是等腰三角形是等腰三角形ABC和等腰三角形和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線底邊上的高，也是底邊上的中線. BF=CF， BF- -DF=CF- -EF，DF=EF，即即 BD=CE.F 如圖的三角測平架中如圖的三角測平架中，AB=AC，在在BC的中的中點(diǎn)點(diǎn)D掛一個(gè)重錘掛一個(gè)重錘，自然下垂自然下垂，調(diào)整架身調(diào)整架身，使點(diǎn)使點(diǎn)A恰好在恰好在鉛鉛錘錘線上線上.（1）AD與與BC是否垂直是否垂直，試說明理由試說明理由.（2）這時(shí)這時(shí)BC處于水平位置處于水平位置，為什么為什么？議一議議一議練習(xí)練習(xí)1. 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC，AD為為

6、BC邊上邊上 的高，的高，BAC=49，BC= 4，求，求BAD的度的度 數(shù)及數(shù)及DC的長的長.答：答：BAD=24.5， DC=2.2. 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)P為等邊三角形為等邊三角形ABC的邊的邊BC上一上一 點(diǎn)，且點(diǎn)，且APD= 80，AD=AP，求，求DPC 的度數(shù)的度數(shù).答：答：DPC =20. 我們知道我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩兩個(gè)角相等的個(gè)角相等的三三角角形是等腰三角形嗎形是等腰三角形嗎？探究探究 如圖，在如圖，在ABC中，如果中，如果B=C，那么，那么AB與與AC之間有什么關(guān)系嗎之間有什么關(guān)系嗎？我測量后發(fā)現(xiàn)我測量后發(fā)現(xiàn)AB與與AC相

7、等相等.3cm3cm事實(shí)上，如圖，在事實(shí)上，如圖，在ABC中，中，B=C. 沿過點(diǎn)沿過點(diǎn)A的直線把的直線把BAC對折，對折，得得BAC的平分線的平分線AD交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D，則則1=2.又又B=C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得ADB=ADC.D12沿沿AD所在直線折疊，所在直線折疊，由于由于ADB=ADC，1=2，所以射線所以射線DB與射線與射線DC重合，重合，射線射線AB與射線與射線AC重合重合.從而點(diǎn)從而點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)C重合，重合，于是于是AB=AC.結(jié)論結(jié)論有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形( (簡稱簡稱“等角對等邊等角對等邊”) ). .結(jié)論

8、結(jié)論三個(gè)角都是三個(gè)角都是60的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形. 由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：以得到等邊三角形的判定定理：例例2 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D，E 分別是分別是AB，AC上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且DEBC. 求證：求證：ADE為等腰三角形為等腰三角形.舉舉例例證明證明 AB=AC， B=C.又又 DEBC， ADE=B，AED=C. ADE=AED.于是于是ADE為等腰三角形為等腰三角形. 有一個(gè)角是有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊的等腰三角形是等邊三角形嗎三角形嗎？為什么為什

9、么？動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得由三角形內(nèi)角和定理得 A+B+C= 180.如果頂角如果頂角A=60，則則B+C= 180- -60=120.又又 AB=AC， B=C. B=C=A=60. ABC是等邊三角形是等邊三角形.由此得到另一條等邊三角形的判定定理：由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結(jié)論結(jié)論有一個(gè)角是有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形例例3 已知：如圖，已知：如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)是等邊三角形，點(diǎn)D，E 分別在分別在BA，CA的延長線上，且的延長線上，且AD=AE. 求證：求證：AD

10、E是等邊三角形是等邊三角形.舉舉例例證明證明 ABC是等邊三角形，是等邊三角形，BAC=B=C= 60.EAD=BAC= 60，又又 AD =AE，ADE是等邊三角形是等邊三角形（有一個(gè)角是有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形）練習(xí)練習(xí)1. 已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC的底角的底角ABC和和 ACB的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)O. 求證：求證：OBC為等腰三角形為等腰三角形.ABCDEO證明證明ABC和和ACB的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)O， ABD =DBC= ， ACE =ECB= ，12ABC12ACB DBC =ECB， OBC是等腰三角形是

11、等腰三角形.又又 ABC是等腰三角形，是等腰三角形， ABC =ACB，ABCDEO2. 已知：如圖，已知：如圖，CD平分平分ACB，AEDC，AE 交交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)E，且，且ACE= 60. 求證：求證：ACE是等邊三角形是等邊三角形.證明證明CD平分平分ACB， 在在ACE中，中，CAE= 180- - E - -ACE =60 又又ACE=60， BCD=E=60， ACD =DCB， ACD=DCB=60，又又 AEDC， CAE = ACE=E=60 ACE是等邊三角形是等邊三角形.3. 已知：如圖已知：如圖，AB=BC ，CDE= 120， DFBA，且，且DF平分平分CDE. 求證：求證：ABC是等邊三角形是等邊三角形.證明證明 AB=BC，ABC是等邊三角形是等邊三角形.又又CDE=120，DF平分平分CDE. FDC=ABC=60， ABC是等腰三角形，是等腰三角形， EDF=FDC=60，又又DFBA，中考中考 試題試題例例1 等腰三角形兩邊長分別是等腰三角形兩邊長分別是2cm和和5cm，則這個(gè)，則這個(gè)三角形周長為（三角形周長為（ ） A.9cm B.12cm C.9cm或或12cm D.14cmB解析解析 另一邊長為另一邊長為2cm或或5cm，2，2，5不符合不符合三角形三邊關(guān)系定理，故選三角形三邊關(guān)系定理