《高等數學》北大版27不定積分

1、2-7 不定積分不定積分 我們知道，在微分學中，求導數的問題，就是已 知一個函數，求出這個函數的導數，那末與之相反的 問 題是：已知一個函數的導數，求出這個函數.例如： ,cos)(xxF?F(x) 求sinx)F(x)( ?G(x) ,x11(x)G2求arctanx)G(x)(?F(x) f(x),(x)F ,求已知一般地 已知定義定義若函數若函數 F x的導函數的導函數 ,Fxf xxa b ,F xf xa b則稱是在一個一個原函數原函數. ,F xfxa b若是在上的一個原函數上的一個原函數,則對任意常數則對任意常數C, F xCf x也是的一個原函數的一個原函數. f x反之: 的

2、任意一個原函數都可表成的任意一個原函數都可表成 .F xC可見原函數有無窮多個可見原函數有無窮多個.事實上事實上, :),()()上的一個原函數在是（若baxfxG),()xfxG（)()() )()(xFxGxFxG（, 0)()(xfxf則,)()CxFxG（.)()CxFxG（ 已知在區(qū)間已知在區(qū)間(a,b)上上F(x) 是是f(x)的一個原函數，則的一個原函數，則f(x)所有原函數剛好組成函數族所有原函數剛好組成函數族F(x)+C(C為任意常數為任意常數)的形的形式式.則將則將F(x)+C稱為稱為f(x)的不定積分的不定積分.3函數函數f(x) 的全體原函數形成的函數族稱為的全體原函數

3、形成的函數族稱為f(x)的的記作記作定義定義不定積分不定積分.dxxf)( 積分號積分號;)(xf 被積函數被積函數;xxfd)( 被積表達式被積表達式.x 積分變量積分變量;若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)( C 為任意常數 )C 稱為積分常數積分常數不可丟不可丟 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos4xdd) 1 (xxfd)()(xf從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf(2)( )Cf x dx ( ) .C f x dx dx

4、xfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1容易驗證容易驗證:（ C是常數，是常數，)0 C 5例如例如xx11.11Cxdxx) 1( 基本積分表基本積分表 求不定積分，要熟記一些初等函數的不定積分，積求不定積分，要熟記一些初等函數的不定積分，積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式出積分公式.(2)cosxdx ;sinCx sin xdx ;cosCx 1(1)(1);1aaxx dxCaa kdxkxC特別地特別地6211dxxarctan xC21(3)1dxxarcsin xC2sindxx xdx2csc;

5、cotCx arccos.xC或 -arccot.xC或 xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 5ln.dxxcx 2cosdxx xdx2sec;tanCx 7xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 以上公式是求不定積分以上公式是求不定積分的基礎，稱為基本積分的基礎，稱為基本積分表，必須熟練掌握。表，必須熟練掌握。 5ln.dxxcx 8例例1 求求.d3xxx解解 原式 =xxd34134Cx313例例2 求.dcossin22xxx解解 原式=xxdsin21Cx cos21134xC9例例 3 求求.dtan2xx解解 原式 =xxd) 1

6、(sec2xxxddsec2Cxx tan補例補例 求.d)1 (122xxxxx解解 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln10例例 4,22gdtsd滿足下列方程設)(tss .)(,)0(,)0(0000的表達式為已知常數，求及為常數，且其中tssvhvshsg解解os)0(0sh )(tss 設時刻t位置函數為, )(tss )(ddtvts(運動速度)tvtsdddd22g(加速度) 先由此求)(tv 再由此求)(ts則則11先求).( )(dtdstv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vs由,01vC 得0)(vtt

7、vg再求. )(tstvttsd)()(0g20221Ctvtg,)0(0hs由,02hC 得于是有.)(00221htvttsg由)(ddtvts,0vt g知故os)0(0sh )(tss 12解解 根據題意, 有)0()(ddktmktm00mmt(初始條件)成中,鈾含量 m(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 例例 5 含量 m 成正比,0m求在衰變過已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變率與當時未衰變原子的).(ln)(tmty令于是，于是，dtdy)()(tmtm. kdtkty)()(,1Ckt)()(tyetm1CktektCee100mmt將初始值 代入上式，得.)

8、(0ktemtm,ktCe13內容小結內容小結1. 不定積分的概念 原函數與不定積分的定義 不定積分的性質 基本積分表2. 直接積分法:利用恒等變形恒等變形, 及 基本積分公式基本積分公式進行積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數公式 ,積分性質積分性質143. 若)(xf是xe的原函數 , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10154. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導函數為,sin x則)(xf的一個原函數是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數為xxfd)(21sinCxCx165. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (