向量法求空間角(高二數(shù)學(xué)-立體幾何)-精選.

1、向量法求空間角1（本小題滿(mǎn)分 10 分）在如圖所示的多面體中， 四邊形 ABCDADDP ，CD平面 ADPQ ，AB AQ 12DP（1）求證：PQ 平面 DCQ ；為正方形，四邊形 ADPQ 是直角梯形，Pword.2）求平面 BCQ與平面 ADPQ 所成的銳二面角的大小2（滿(mǎn)分 13 分）如圖所示，正四棱錐 P中， O為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為COB1）求側(cè)面與底面所成的二面角的大??；（2）若 E 是的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的正切值；（ 3）問(wèn)在棱上是否存在一點(diǎn) F，使側(cè)面，若存在，試確定 點(diǎn) F 的位置；若不存在，說(shuō)明理由3 （本小題只理科做，滿(mǎn)分14 分）如圖

2、 , 已知 AB 平面ACD , DE/AB , ACD 是正三角形 , AD=DE=2AB , 且 F是 CD的中 點(diǎn).（1）求證 : AF/平面 BCE;（2）求證 :平面 BCE 平面 CDE;（ 3）求平面 BCE與平面 ACD 所成銳二面 角的大小 .P ABCD 中, PD 底面PD 2,E,F,G 分 別 為4（本小題滿(mǎn)分 12 分）如圖，在四棱錐 ABCD , 且 底 面 ABCD 為 正 方 形 , AD PC, PD ,CB 的中點(diǎn)（1）求證 : AP/平面 EFG;（ 2）求平面 GEF和平面 DEF 的夾角.5如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 A1BC 側(cè)

3、面 A1ABB1 且AA1 AB 2.（）求證： AB BC ；（）若直線(xiàn)與平面 A1BC所成的角為 , 求16 銳二面角 A A1C B 的大小 .6如圖，四邊形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD， EA P PD， AD PD 2EA， F ，G， H 分別為 PB， EB， PC的中點(diǎn)（ 1）求證： FG P平面 PED ；（ 2）求平面 FGH 與平面 PBC 所成銳二面角的大小 .C參考答案1(1)詳見(jiàn)解析；(2)4【解析】 試題分析：(1)根據(jù)題中所給圖形的特征，不難想到建立空間直 角坐標(biāo)，由已知， DA，DP，DC 兩兩垂直，可以 D為原點(diǎn)， DA、 DP 、DC所在直線(xiàn)

4、分別為 x軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 表 示出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)： 設(shè) AB a，則 D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0 , 2a , 0) ，則可表示出 DC (0,0,a)，DQ (a,a,0) ，PQ (a , a,0)， 根據(jù)數(shù)量積為零與垂直的充要條件進(jìn)行證明，由 DC PQ 0 ，DQ PQ 0，故 DC PQ，DQ PQ ，即可證明；( 2)首先求出兩個(gè) 平面的法向量， 其中由于 DC 平面 ADPQ ，所以可取平面 ADPQ 的個(gè)法向量為n1 (0, 0,1) ；設(shè) 平 面 BCQ 的 一 個(gè) 法 向 量 為n2 (x, y,z) ， 則n2 QB

5、0 ，n2 QC 0， 故 ay az 0, 即 ax ay az 0,y z 0, 取 yx y z 0,z 1 ，則 x0，故 n2(0,1,1)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量的夾角，設(shè) n1與 n2的夾角為，則 cosn1 n2| n1 |n2 |12 22 即可求出平面 BCQ與平面 ADPQ 所成的銳二面角的大小 試題解析：( 1)由已知， DA ， DP ， DC兩兩垂直， 可以 D為原點(diǎn)， DA 、DP 、 DC所在直線(xiàn)分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo) 系設(shè) AB a，則 D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)， P(0,2a,0)，故 DC (0,0,a)， DQ

6、 (a,a,0) ， PQ (a, a,0)，PQ，因?yàn)?DC PQ 0， DQ PQ 0，故 DC PQ ，DQ 即 DC PQ ， DQ PQ ， 又 DC I DQ D 所以， PQ 平面 DCQ （ 2）因?yàn)?DC 平面 ADPQ ，所以可取平面 ADPQ 的一個(gè)法向量 為 n1 （0,0,1） ，點(diǎn) B的坐標(biāo)為 （a,0,a），則 QB(0, a ,a)，QC ( a, a,a) ，設(shè)平面 BCQ 的一個(gè)法向量為 n2(x,y, z)，則 n2 QB 0 ， n2 QC 0 ，故 ay az 0, 即 y z 0, 取 y z1，則 x 0 ，ax ay az 0, x y z0,故

7、 n2 (0,1,1) 設(shè) n1與 n2 的夾角為 ，則 cosn1 n212|n1 |n2 | 22所以，平面 BCQ與平面 ADPQ 所成的銳二面角的大小為4 考點(diǎn)：1. 空間向量的應(yīng)用； 2. 二面角的計(jì)算； 3.直線(xiàn)與平面的位 置關(guān)系2（1） 60 ; （2） 2 10; （3）F是的 4 等分點(diǎn)，靠近 A點(diǎn)的位5置.【解析】 試題分析：（ 1）取中點(diǎn) M，連接，由正四棱錐的性質(zhì)知為所6 求二面角 P O的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角 2 ，2 31a設(shè) a，則 2 a， 2 a， 2 , 3 , 60 ; （2）依題 意連結(jié)，則 ，故為異面直線(xiàn)與所成的角，由正四棱錐的性1 1 5 質(zhì)

8、易證平面 , 故 AOE為直角三角形， 2 2 PO2 DO2 4 aAO 2 10 EO 5 ；（ 3）延長(zhǎng)交于 N，取中點(diǎn) G，連，易得平 面，故平面平面，而為正三角形，易證平面，取的中點(diǎn)F,連,則四邊形為平行四邊形，從而平面 , F 是的 4 等分點(diǎn)， 靠近 A 點(diǎn)的位置 .D M A試題解析：（ 1）取中點(diǎn) M，連接，依條件可知，則為 所求二面角 P O的平面角 （2 分）面，為側(cè)棱與底面所成的角6 22設(shè) a， 2 a，3 2 a ，PO MO 3 60（4 分）B2）連接， ，為異面直線(xiàn)與所成的角（6 分），平面 又 平面， 1 122PO2 DO2 5 a，4AO 2 10EO

9、58 分）3）延長(zhǎng)交于 N，取中點(diǎn) G，連，D M F A，平面平面平面（10 分）又， 60，為正三角形 又平面 平面，平面12 分）13 分）F 是的 4 等分點(diǎn)，靠近 A 點(diǎn)的位置考點(diǎn)：立體幾何的綜合問(wèn)題3（ 1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3） 45 .【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn) P，連接、，根據(jù)中位線(xiàn)定理可知， 且且 1 DE.，2 而，且 12DE.則為平行四邊形，則， 平面， ? 平面，滿(mǎn)足線(xiàn)面平 行的判定定理，從而證得結(jié)論；（ 2）根據(jù) 平面，則 平面，又 ? 平面，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì) 可知 DE AF 又AF CD，CDI DE D ，滿(mǎn)足線(xiàn)面垂直的判定定理， 證得 平面，又

10、，則 平面， 平面，根據(jù)面面垂直的判定定理 可證得結(jié)論；（3）由（ 2），以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 F設(shè) 2，根據(jù)線(xiàn)面垂直求出平面的法 向量 n，而（ 0，0， 1）為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳 二面角為 ，根據(jù) cos |m n| 可求出所求|m| |n|試題解析：（1）解: 取中點(diǎn) P,連結(jié)、 F為的中點(diǎn) ,且 1DE.2又, 且 1DE., 且,2為平行四邊形 , 又 AF 平面 平面 ,平面（ 2）為正三角形 , AF CD . 平面 , 平面 , 又 平面 , . 又 , 平面又, 平面.又 平面, 平面平面（3）法一、由（ 2）,

11、以 F為坐標(biāo)原點(diǎn) 所在的直線(xiàn)分別為軸（如圖） ,建立空間直角坐標(biāo)系 F. 設(shè) 2,則 C(0, 1,0 ), B( 3,0,1),E,(0,1,2). 設(shè) vn (x,y,z) 為平面的法向量，v uuuv v uuuv n CB 0,n CE 0,3x y z 0 ，令 1, 則 vn (0, 1,1)2y 2z 0顯然 , m （0,0,1） 為平面的法向量設(shè)面與面所成銳二面角為 ,則 cos|m n| 1 2|m| |n| 2 245 .即平面與平面所成銳二面角為 45 法二、延長(zhǎng)、 , 設(shè)、交于一點(diǎn) O,連結(jié) . 則面 EBCI 面DAC CO .由是 EDO的中位線(xiàn) , 則 DO 2

12、AD.在 OCD 中QOD 2AD 2AC, ODC 600. OC CD , 又 OC DE.OC 面 ECD,而 面,OC CE, ECD為所求二面角的平面角在 Rt EDC 中， Q ED CD， ECD 450 即平面與平面所成銳二 面角為 45 . 考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題； 直線(xiàn)與平面平行的判定； 平面與平面垂直的判定4證明見(jiàn)解析. 同時(shí)注意兩點(diǎn)：【解析】 試題分析：（1）利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系， 準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算 . 其中 靈活建系是解題的關(guān)鍵 . （2）證明線(xiàn)面平行，需證線(xiàn)線(xiàn)平行，只 需要證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法

13、向量垂直； （ 3）把向量夾角 的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值 ; （ 4）空間向量將空 間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特 征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中 判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備 .試題解析：(1)如圖，以 D為原點(diǎn),以u(píng)DuAur,uDuCur,uDuPur 為方向向量 建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz,則 P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1), A( 2,0,0) .AP ( 2,0,2),EF (0, 1,0), EG (1,1 1).設(shè)

14、平面 EFG 的法向量為 n (x,y,z)r uuurnr uEuFur 0,即 y 0, x z, 令 x 1n EG 0, x y z 0. y 0.則 rn (1,0,1).r uuur r uuurQ n AP 1 ( 2) 0 0 1 2 0, n AP.又 AP 平面 EFG, AP/ 平面 EFG.(2) 底面 ABCD 是正方形 , AD DC,又 PD 平面 ABCDAD PD.又 PD CD D, AD 平面 PCD向量 DA是平面 PCD的一個(gè)法向量 , DA (2,0,0)又由( 1)知平面EFG 的法向量 rn (1,0,1) .uuur r cos DA,n|DA

15、| |n|uuur rDA n uur r二面角 G EF D 的平面角為 450.考點(diǎn)：（ 1）證明直線(xiàn)與平面平行； （2）利用空間向量解決二面角 問(wèn)題.5（）詳見(jiàn)解析 ; （） .解析】3word.試題分析：（）取 A1B 的中點(diǎn) D，連接，由已知條件推導(dǎo)出平 面 A1BC ，從而 AD BC ，由線(xiàn)面垂直得 AA1 BC 由此能證明 AB BC（）方法一：連接，由已知條件得 ACD 即為直線(xiàn) AC與平面 A1BC所成的角， AED 即為二面角 A A1C B的一個(gè)平面角， 由此能求出二面角 A A1C B 的大小解法二（向量法） ：由（ 1） 知 AB BC 且 BB1 底面 ABC ，

16、所以以點(diǎn) B 為原點(diǎn)，以 BC、BA、BB1 所在直線(xiàn)分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系 B xyz，設(shè) BC a，則 uuur uuurA(0, 2,0) ， B(0,0,0) ，C(a,0,0) ， A1(0,2, 2)， BC (a,0,0) ， BA1 (0,2,2) ，uAuuCr (a, 2,0) ，uAuAur1 (0,0,2) ， 求 出 平 面 A1BC 的 一 個(gè) 法 向 量n1 (x,y,z) ，設(shè)直線(xiàn) AC 與平面 A1BC 所成的角為 ，則 6 得 uuur urACgn1uuur ursin62 1 ，解得 a 2，即 uAuCur （2, 2,0） ，求出

17、平面AC n1 4 a2 2uurA1AC 的一個(gè)法向量為 n2 (1,1,0)，設(shè)銳二面角 A A1C B 的大小為 ， ur uurunr1gnuur2 12 ，且(0,2) ， 即可求出銳二面角ur uur則 cos cos n1,n2n1 n2A A1C B 的大小 .試題解析：解（ 1）證明：如圖，取 A1B的中點(diǎn) D，連接 AD，因 AA1 AB，則 AD A1Bword.由平面 A1BC 側(cè)面 A1 ABB1 ，且平面 A1BC I 側(cè)面 A1ABB1 A1B ， 得 AD 平面 A1BC ，又 BC 平面 A1BC， 所以 AD BC .因 為 三棱 柱 ABC A1B1C1

18、是 直三 棱 柱 ， 則 AA1 底面ABC ， 所 以 AA1 BC .又 AA1I AD=A ，從而 BC 側(cè)面 A1ABB1 ，又 AB 側(cè)面 A1ABB1 ，故AB BC. 6 分解法一：連接 CD ，由（1）可知 AD 平面A1BC ，則CD是 AC在平面A1BC 內(nèi)的射影 ACD 即為直線(xiàn) AC 與 平面 A1BC 所成的角，則 ACD= 在等6 腰直角 A1AB中，AA1 AB 2，且點(diǎn) D是 A1B中點(diǎn)， AD 1 A1B 2，且 ADC= ， ACD=26 AC 2 2過(guò)點(diǎn) A 作 AE A1C 于點(diǎn) E，連 DE ，由（ 1）知 AD 平面A1BC ，則AD A1C ，且

19、AEI AD AAED 即為二面角A A1C B 的一個(gè)平面角且直角A1AC 中：A1A ACAE 12 2 22 6 ， 又 AD= 2 ，ADE=23A1C32ADsin AED=23，AE262，3且二面角 A A1C B為銳二面角 AED= ，即二面角 A A1C B3的大小為 12 分3底面ABC ，所以以解法二（向量法） ：由（ 1）知 AB BC且 BB1點(diǎn) B 為原點(diǎn)，以 BC、 BA、 BB1所在直線(xiàn)分別為 x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系 B xyz ， 如圖所示，且設(shè) BC a ，則 A(0,2,0) ，B(0,0,0) ，C(a,0,0) ， uuur uuur uuur

20、A1(0, 2, 2) ， BC (a,0,0) ，BA1 (0,2,2) ， AC (a, 2,0)，uuur ur uuur urAA1 (0,0,2) 設(shè)平面 A1BC 的一個(gè)法向量 n1 (x, y, z) ，由BC n1 ， uuur ur（1,1,0），設(shè)銳二面角 A A1C B 的大小為，則cosur uur cos n1,n22，且(0, 2)，得BA1 n1 得：得 sin6uuur urAC n12 1 uuuruuur ur 2 ，解得 a 2 ，即 AC (2, 2,0) AC n14 a2 2 2x2ay 20z 0 令 y 1 ，得 x 0,z 1，則 n1 (0,

21、1, 1)設(shè)直線(xiàn) AC與平面A1BC 所成的角為 ，則 6又設(shè)平面 A1AC 的一個(gè)法向量為 unur2 ，同理可得 銳二面角 A A1C B的大小為 3 .考點(diǎn)：1. 用空間向量求平面間的夾角； 2.空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系6（1）證明見(jiàn)解析；（2） 450【解析】 試題分析：（1）利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系， 準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算. 其中靈活建系是解題的關(guān)鍵 . （2）證明證線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需要證明直線(xiàn) 的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量 夾角的余弦值 ; （ 4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算， 應(yīng)用的核心是要充

22、分認(rèn)識(shí)形體特征， 建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化 . 同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)， 準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完 備.試題解析：（1）證明： QF, G分別為 PB， BE的中點(diǎn)，F(xiàn)G P PE.又QFG 平面 PED ， PE 平面 PED，F(xiàn)G P平面 PED.（2）解: Q EA 平面 ABCD， EA P PD， PD 平面 ABCD.Q AD,CD 平面 ABCD, PD AD， PD CD.Q 四邊形 ABCD是正方形， AD CD .以 D為原點(diǎn) , 分別以直線(xiàn) DA,DC,DP 為 x軸, y 軸, z軸 建立如圖所示的空間直角坐

23、標(biāo)系，設(shè) EA 1.Q AD PD 2EA,D 0,0,0 ，P 0,0,2 ， A 2,0,0 ， C 0,2,0 ，B 2,2,0 ，E(2,0,1) ,uuurPBuuur(2,2, 2), PC(0,2, 2).Q F，G， H 分別為 PB ， EB ， PC的中點(diǎn)，uuur 1 uuur 1 H (0,1,1), GF ( 1,0, ), GH ( 2,0, ).22解法一)設(shè) n1 (x1, y1, z1)為平面 FGH 的一個(gè)法向量，n1n1uuur GF uuur GHx12x112z112z10，令 y1 1 ，得 n1 (0,1,0) .0n2 (x2,y2,z2)為平面 PBC的一個(gè)法向量 , 則n2n2uuurPBuuurPC2x2 2y2 2z2 02y2 2z2 0 ，令 z2 1，得 n2 (0,1,1) .n1n2n1n222所以 cos n1,n2或 45 )uuuur uu