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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上利用算子半群理論看熱傳導方程初邊值問題解的存在性蔡園青 PB在偏微分發(fā)展的歷史上,人們?yōu)榱饲蠼飧黝惙匠贪l(fā)展了不同的方法,比如Fourier變換法,Laplace變換法等等。而作為數(shù)學發(fā)展的趨勢,后出現(xiàn)的理論往往是從一個更高的層面上去看前面的理論。比如說代數(shù)中用模的理論去看待Jordan標準型,從而引伸出更加深刻的結(jié)果。在偏微分發(fā)展的理論中,算子半群理論就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性的一個工具。算子半群方法是求解偏微分方程中的發(fā)展方程(包括熱傳導方程、波動方程、拋物型方程、雙曲型方程、Schrodinger方程等)。它可以用來求解線形與非線性發(fā)展方程的定解問題。

2、接下來,本人將利用自己這學期所學的泛函分析的知識,利用算子半群理論來考慮熱傳導方程的初邊值問題的求解。一、算子半群的定義及原型設(shè)是一個Banach空間。一族到它自身的有界線性算子稱為一個強連續(xù)算子半群(簡稱強連續(xù)半群)是指:(1);(2),;(3)在模下連續(xù)。(2)稱為半群條件,(3)稱為連續(xù)條件。另外,聯(lián)合(1)、(2)可以推出(3)等價于下面的條件:(4),當。(4)成為在點處的連續(xù)條件。 算子半群在微分方程、概率論(馬氏過程)、系統(tǒng)理論、逼近輪和量子理論是經(jīng)常出現(xiàn)的。下面給出兩個例子說明其原型。來自常微分方程的例子。設(shè)是一個實矩陣,方程組在空間中解存在唯一。設(shè),考察映射。那么由解的存在性

3、,有定義。它們顯然是線性算子,并且由解對初值的連續(xù)依賴性,他們是有界的。容易驗證滿足強連續(xù)半群的條件。實際上,條件(1)為初值定義所蘊含,條件(2)由方程平移不變性和唯一性保證,條件(3)由解的連續(xù)性推出。另一方面,在常微分理論中,我們可以將具體寫出來:。由上式可以看出算子半群與矩陣的關(guān)系:可以通過的指數(shù)表達出來。再看熱傳導方程。在中考察熱傳導方程:利用分離變量法,其解為,其中,。若,方程的解將會在時絕對收斂。而且關(guān)于或逐項求導所得級數(shù)均內(nèi)閉一致收斂。同樣的考慮,固定,將方程的解看作從到的一個映射,記為,則。于是對,為到的一個線性映射,而且容易看出這是有界的。又對于是,而顯然又有。又由積分的絕

4、對收斂性及極限函數(shù)與賦值的可交換性,當時, 由此知算子族構(gòu)成單參數(shù)連續(xù)半群。在第一個例子中我們看到,可以通過的指數(shù)表達出來,那么對于第二個例子甚至是其他的例子,是否也有類似的關(guān)系。這個問題的回答依賴于無窮小生成元的定義及著名的Hille-Yosida- Philips定理。二、無窮小生成元及Hille-Yosida- Philips定理設(shè)是一個Banach空間。是上一個強連續(xù)算子半群,令并按下列方式定義上算子:算子成為上的無窮小生成元。無窮小生成元有以下比較好的性質(zhì):(1)稠定性,線性性(2)將映入到內(nèi),并且當時,容易看出對于上面的第一個例子,矩陣是算子半群的無窮小生成元。在第二個例子中,這個

5、問題變得不明顯。實際上,對于一般的問題,Hille-Yosida-Philips定理給了一個很好的回答。(Hille-Yosida-Philips)為了一個線性稠定閉算子成為一個強連續(xù)算子半群的無窮小生成元,必須且僅須:(1),使得;(2),使得當時,我們利用Hille-Yosida-Philips定理再來考慮熱傳導方程。記,令,則可以擴張成一個的閉算子,記為,此時定義域為。由Garding不等式,存在常數(shù),使得,其中是模。于是當時,從而,其中。所以。因此。于是由Hille-Yosida-Philips定理知是一個強連續(xù)算子半群的生成元。當時,初邊值問題有解事實上,即為原方程的解。于是這就從算子半群的角度證明了熱傳導方程初邊值問題解的存在性。 從這個例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。實際上,這也只是泛函分析方法在偏微分方程中的應(yīng)用的冰山一角。相信隨著數(shù)學的發(fā)展,會由越來越多的泛函分析工具為偏微分方程注入更強大的活力。參考文獻:1泛函分析講義(下冊).張恭慶 郭懋

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