第5節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件

1、1 在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法（直接法）（直接法）來求它所確定的隱函數(shù)來求它所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的方法的導(dǎo)數(shù)的方法.F(x,y)=0方程方程 兩邊對兩邊對x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得0esin xyyx0eecossin xxyyyyxy所以所以, 得得.ecosesinxxyxyyy 解解(直接法直接法)例例 求由方程求由方程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)0esin xyyx.)(yxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒?/p>

2、則建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式, 給出用偏導(dǎo)數(shù)來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的隱式求導(dǎo)法。（公式法）（公式法）一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法 0;)y,(1)F(x 00 );(),( ),(),()( 0 00 00 00 01 1xfyxfyPUyxF 且且連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)唯唯一一確確定定了了單單值值在在則則注意注意: (1) 證明從略證明從略, 求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:, 0)(, xfxF一一. .定理定理（隱函數(shù)存在定理（隱函數(shù)存在定理I I）（一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式）（一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式）將函數(shù)將函數(shù) 代入方程代入方程 得得0),( yxF)(xfy

3、Fxy),(yxFF )(xfy )(,(xfxFF 上式兩端對上式兩端對x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t，得求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t，得, 0 dxdyFFyx即即滿滿足足：若若二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxF;),()( 0 03 30 00 0 yxFy ;),(),()(內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在2 20 0PUyxF.)(yxFFdxdy 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)2 2, 0 dxdyFFyx即即,F),P(U,)(y0 03 30 0 使使得得可可知知由由.yxFFdxdy .,),( )(則則可可求求二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)若若yxF2 2Fxy, 0)(,

4、xfxF一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法 yxFFdxddxyd22 yxFFdxddxyd22yxFF xy yxFFx2yyxxyxxFFFFF 2 2yyyxyxyFFFFF .2322yxyyxyyxyxxFFFFFFFF 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法dxdyFFyyx yxFF.yxFFdxdy 例例1 設(shè)設(shè).dd0esinxyyyxx，求求 解解1(公式法公式法),esin),(xyyxyxF 令令 ,esinxxyyF 由求導(dǎo)公式由求導(dǎo)公式, 得得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy .ecos

5、 xyyxF 所以所以, .ecosesinddxxyxyyxy 則有則有解解2(直接法直接法)解解3(微分法微分法)0eecossin dydxyydyxydxxx等式兩端求微分，得等式兩端求微分，得一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法注注1、用公式法時(shí)，、用公式法時(shí)，F(xiàn)(x,y)中的變量中的變量x，y.,yFxF 2、用直接法時(shí)，、用直接法時(shí)，應(yīng)視為彼此無關(guān)的變量，應(yīng)視為彼此無關(guān)的變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。),(xfy 計(jì)算出計(jì)算出應(yīng)記住應(yīng)記住y是是x的函數(shù)的函數(shù)一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微

6、分法解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ),(yxFx,),(22yxxyyxFy ddxyFyxF .xyyx 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法,2 22 2yxyx 解解.2sin),(xyeyyxFx 令令 .cosxyyeydxdyx2 22 2 ,2cosxyyFy 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法 ;),(),()(內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在1 10 0PUzyxF);,(),( ),(),()( 0 00 00 00 00 01 1yxfzyxfzPUzyxF 且且連連續(xù)續(xù)函函數(shù)

7、數(shù)內(nèi)內(nèi)唯唯一一確確定定了了單單值值在在則則注意注意: (1) 證明從略證明從略, 求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:二二. .定理定理 （隱函數(shù)存在定理（隱函數(shù)存在定理IIII）滿滿足足：若若三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxF;),()( ;),()( 0 03 30 02 20 00 00 00 00 00 0 zyxFzyxFz一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法.,)( zyzxFFyzFFxz 有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)2 2 設(shè)方程 確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù) 0),( zyxF),(yxfz 將將z= f(x , y) 代入方程代入方程F(x, y, z

8、)=0，得恒等式，得恒等式.0),(, yxfyxF將上式兩端分別對將上式兩端分別對x和和y求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得 , 0 0 xzFFzx所以，所以， ,zyzxFFyzFFxz （二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式）（二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式）Fxyzxy0),( zyxFz且且, 0 0 yzFFzy),(zyxFF ),(yxfz ),(,(yxfyxFF 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法例例3 設(shè)由方程設(shè)由方程 確定確定 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).解解1公式法）公式法）由求導(dǎo)公式得由求導(dǎo)公式得解解2直接法）直接法）所以所以0 xyzez),(yxzz ,),(xyzezyxFz

9、,yzFx ,xzFy xyeFzz zxFFxz 方程方程 兩邊對兩邊對x 求偏導(dǎo)得求偏導(dǎo)得0 xyzez0 xzxyyzxzez. xyeyzxzz 類似可得類似可得. xyexzyzz 則有則有令令 zyFFyz , xyeyzz . xyexzz 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法解解3 （全微分法）（全微分法）方程方程 兩邊求全微分，得兩邊求全微分，得0 xyzez0)( xydzxzdyyzdxdzezdyxyexzdxxyeyzdzzz 即即所以所以, xyeyzxzz . xyexzyzz 利用一階全微分形式的不變性來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，甚至不用

10、分清哪個(gè)是自變量，那個(gè)是因變量，因而十分方便。一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法解解1公式法）公式法）由求導(dǎo)公式得由求導(dǎo)公式得,ln),(yzzxzyxF ,zFx1 1 )(2 2yzzyFy yzyzxFz1 12 2 zxFFxz 則有則有令令 zyFFyz ,y1 1 ,zzx1 12 2 ,xzz ,)(xzyz 2 2dz一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法22yzdyydzzyzxdzzdx 即即 )(dyyzdxzxzdz 整整理理得得 Method3.也可先求偏導(dǎo)再代入全微分公式得所求也可先求偏導(dǎo)再代入全微分公

11、式得所求.)(2dyyzxzdxzxz 解解2 （全微分法）（全微分法）一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法思路：思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對對y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對對x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對對x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得xz )

12、1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對對y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)對對z求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法 例5 設(shè)F(xaz, ybz)=0 (a,b為常數(shù)), F(u,v)可微, 證明由

13、方程所確定的z=f(x,y)滿足方程.1 yzbxza令令u=xaz，v=ybz，uvuFFF 01vvuFFF 10vubFaF 所以所以zxFFxz 證證 設(shè)設(shè)F(x,y,z) = F(xaz, ybz)，xvFxuFFvux yvFyuFFvuy zvFzuFFvuz ,vuuvuubFaFFbFaFF uvFxyz,vuvvuvzybFaFFbFaFFFFyz 從而有從而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 例5 設(shè)F(xaz, ybz)=0 (a,b為常數(shù)), F(u,v)可微, 證明由方程所確定的z=f(x,y)滿足方程.1 yzbxza令令u=xaz，

14、v=ybz，所以所以xz 證二全微分法）證二全微分法）,vuubFaFF ,vuvbFaFFyz 從而有從而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 0 0 vFuvddFuuFaz)-d(xvF bz)-d(y0 0 uFadz)-(dxvF bdz)-(dy0 0 vuvvbFaFFdxbF uuaFFdz.,0422222xzzzyx 求求設(shè)設(shè)練習(xí)：練習(xí)：解公式法）解公式法）則有則有令令 ,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz由求導(dǎo)公式得由求導(dǎo)公式得zxFFxz , 2zx 22xz )2()2(2zxzxz )2(2)2(2zzxxz . )2()2(322zxz 一一. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法.,),(),(,),(.yzxzyxzzxzzyyxfwvufex 求求確確定定了了函函數(shù)數(shù)，方方程程具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)0 03 3解解.zxffxz 1 11 10 01 10 01 13 32 21 13 32 21 1