公開課《2412垂徑定理》課件

1、問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾

2、次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？什么結論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸

3、直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。?，?。海箯蕉ɡ恚捍箯蕉ɡ恚捍怪庇谙掖怪庇谙业牡闹睆街睆狡椒窒移椒窒? ,且平分弦所對的兩條弧且平分弦所對的兩條弧. .OABCDECDAB, CD是直徑是直徑,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符號語言符號語言圖形語言圖形語言（1 1）如何證明？）如何證明？OABCDE已知：已知：如圖，如圖，CDCD是是O O的直徑，的直徑，ABAB為弦為弦，且，且AE=BE.AE=BE.證明：證明：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求證：求證：CDABC

4、DAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC垂徑定理推論垂徑定理推論 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直徑，是直徑， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（2 2）“不是直徑不是直徑”這個條件能去掉嗎？如這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。果不能，請舉出反例。 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于的直徑垂直于弦弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦

5、所對的兩條弧。OABCD1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓，圓心心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習練習解：解：OEAB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又

6、又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.課堂討論課堂討論根據(jù)已知條件進行推導：根據(jù)已知條件進行推導：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對優(yōu)弧平分弦所對優(yōu)弧 平分弦所對劣弧平分弦所對劣?。? 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對的兩條弧。對的兩條弧。（3 3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（2 2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦

7、所對的另一條弧。弦所對的另一條弧。只要具備上述五個條件中任兩個只要具備上述五個條件中任兩個,就可以推出其余三個就可以推出其余三個.試一試試一試1.判斷：判斷：( )(1)垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦, 并且平分并且平分 弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧.( )(2)平分弦所對的一條弧的直徑一定平分平分弦所對的一條弧的直徑一定平分 這條弦所對的另一條弧這條弦所對的另一條弧.( )(3)經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦.( )(4)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. 1.已知已知P為為 O內一點，且內一點，且OP2

8、cm，如果如果 O的半徑是的半徑是3cm,那么過那么過P點的點的最最短的弦短的弦等于等于.EDCBAPO2 5cm2.過過 O內一點內一點M的最長弦長為的最長弦長為4厘米，最短厘米，最短弦長為弦長為2厘米，則厘米，則OM的長是多少？的長是多少？OMA2 2、如圖，點、如圖，點P P是半徑為是半徑為5cm5cm的的O O內一點，且內一點，且OP=3cm, OP=3cm, 則過則過P P點的弦中，點的弦中，（1 1）最長的弦）最長的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的長度為整數(shù)的共有（）弦的長度為整數(shù)的共有（ ） A A、2 2條條 b b、3 3條條 C

9、C、4 4條條 D D、5 5條條 O PAOCD54P3B3 3、如圖，點、如圖，點A A、B B是是O O上兩點，上兩點，AB=8,AB=8,點點P P是是O O上的動點（上的動點（P P與與A A、B B不重合）不重合）, ,連接連接APAP、BP,BP,過點過點O O分別作分別作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。 O A B P E F4OABOAB 已知已知 O的半徑為的半徑為5厘米，弦厘米，弦AB的長為的長為8厘米，厘米，求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離。離。 EEDD練習練習1.1.過過o o內

10、一點內一點M M的最長的弦長為的最長的弦長為1010, ,最短弦長為最短弦長為8 8, ,那么那么o o的半徑是的半徑是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距離等于的距離等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點的中點C C的距離為的距離為1 1, ,那么那么O O的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,

11、0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm 歸納：歸納： 已知：直徑，弦長，弦心距，已知：直徑，弦長，弦心距，拱高四者知其二，即可根據(jù)勾股定拱高四者知其二，即可根據(jù)勾股定理求出另外的兩個量。理求出另外的兩個量。問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高(

12、(弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設表示主橋拱，設 所在圓的圓心為所在圓

13、的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點相交于點D，根據(jù)前面的結論，根據(jù)前面的結論，D 是是AB 的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD 就是拱高就是拱高某圓直徑是某圓直徑是10,內有兩條平行弦內有兩條平行弦,長度分別為長度分別為6和和8求這兩條平行弦間的距離求這兩條平行弦間的距離.船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎? ?例例3.3.如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱頂高出水面拱頂高出水面2.42.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、米、船艙頂部

14、為長方形并高出水面船艙頂部為長方形并高出水面2 2米的貨船要經(jīng)米的貨船要經(jīng)過這里過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑為半徑為Rm,Rm,經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交于點相交于點C.C.根根據(jù)垂徑定理據(jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點的中點,C,C是是 的中點的中點,CD,CD就是拱高就是拱高. .由題設得由題設得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4