第八系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析學習教案

1、會計學1第八第八(d b)系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析第一頁，共47頁。第1頁/共47頁第二頁，共47頁。描述系統(tǒng)的方法可分為輸入輸出法和狀態(tài)變量法。前面幾章所討論的時域分析和變換域分析都屬于只將系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量聯(lián)系起來的輸入輸出法，它不便于研究與系統(tǒng)內部情況有關的各種問題。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，人們不僅關心系統(tǒng)輸出量的變化情況，而且對系統(tǒng)內部的一些變量也要進行研究，以便設計和控制這些變量達到最優(yōu)控制目的。這就需要以內部變量為基礎的狀態(tài)變量分析法。第2頁/共47頁第三頁，共47頁。狀態(tài)變量狀態(tài)變量 : 用來描述網(wǎng)絡用來描述網(wǎng)絡(wnglu)中一狀態(tài)隨時間變化的中一狀態(tài)隨時間變

2、化的變量變量 稱之為狀態(tài)變量。稱之為狀態(tài)變量。狀態(tài)方程狀態(tài)方程 ：描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量和：描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量和激勵激勵(jl)關系的一階微分方程，稱為狀態(tài)方程。關系的一階微分方程，稱為狀態(tài)方程。輸出方程輸出方程 ：由狀態(tài)變量和激勵來表示：由狀態(tài)變量和激勵來表示(biosh)各個輸出的方各個輸出的方程組，它是代數(shù)方程。程組，它是代數(shù)方程。動態(tài)方程動態(tài)方程 ：狀態(tài)方程和輸出方程的總稱稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。幾個名詞定義幾個名詞定義第3頁/共47頁第四頁，共47頁。 2220022CCcddutututf tdtdt012RLLCLRC- f t cut解： 列

3、微分方程(wi fn fn chn)（輸入輸出描述法）：求所示電路的狀態(tài)方程和輸出(shch)方程。其中第4頁/共47頁第五頁，共47頁。 ,11111CLLLCtCLCLLLCCLtitdRitLitutftdtutitdtCdutitdtCdRititute tdtLLLdutitdtC- -以 u為 變 量 列 方 程 ：第5頁/共47頁第六頁，共47頁。 Lci tu t、 ft d11d1d00dLLCCRitittLLf tLvtvtCt-( )( )01( )LCi tr tvt第6頁/共47頁第七頁，共47頁。. . 1y t 2yt nyt nft 2ft 1ft 0ix t

4、11111221111122122112222211222211221122.nnppnnppnnnnnnnnnppxa xaxaxbfbfbfxaxaxaxbfbfbfxaxaxaxbfbfbf.第7頁/共47頁第八頁，共47頁。 x tAx tBf t 121221nnnxtxtxtxtxtxtxtxtftftftft . . . . . . . . . 111213212223313233.aaaAaaaaaa 111213212223313233.bbbBbbbbbb (狀態(tài)方程)第8頁/共47頁第九頁，共47頁。 ytC xtD ft(輸出(shch)方程) 1x kAx kBfky

5、kC xkD fk對于離散系統(tǒng)也可以用狀態(tài)變量分析。設有階多輸入多輸出離散系統(tǒng)如圖：. 1yk 2yk nyk nfk 2fk 1fk0ix k其狀態(tài)方程和輸出方程為第9頁/共47頁第十頁，共47頁。su一一.電路電路(dinl)狀態(tài)方程的列狀態(tài)方程的列寫寫（1）選所有的獨立電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）對每一個獨立電容，寫出獨立結點電流方程；對每 一個獨立電感，寫出獨立回路電壓方程；（3）按上述步驟所列的方程中，若含有(hn yu)除激勵以外的非狀態(tài)變量，則應利用適當?shù)慕Y點電流方程或回路電壓方程將它們消去，然后整理成標準形式。例題1xca2L3LcbdeR3xsiu第10頁/共47頁

6、第十一頁，共47頁。ci寫出所示電路的狀態(tài)方程，若以電流(dinli) 和電壓 為輸出，列出輸出方程。u解：選 和 為狀態(tài)變量，并令cu23LLii、12233cLLxuxixi，又由KCL、KVL定理得，.123.212133()csssixxxuxLxuxLxRix3第11頁/共47頁第十二頁，共47頁。112222333333110 00CC-1-1 0 0 0 LL-1-R-1-R 0 LLLLssxxuxxixx 整理(zhngl)得到狀態(tài)方程則寫成矩陣形式的輸出(shch)方程為112230 1 100 0 0 R scsxuyixyiux 0 R第12頁/共47頁第十三頁，共47

7、頁。 11( )11011110 nnnnnnnytayta yta y tb ftbftb ftb f t-二二. 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立 一般而言，如有一般而言，如有n階微分方程階微分方程則其系統(tǒng)(xtng)函數(shù)可寫為 111011101111011110 1nnnnnnnnnnnnnnb sbsb sbH ssasa sabbsb sb sasa sa s-第13頁/共47頁第十四頁，共47頁。 xtA xtB ft則其狀態(tài)方程(fngchng)和輸出方程(fngchng)為（標準形式） ytC xtD ft其中(qzhng)各矢量為 1211111Tn

8、nxtxxxftftytyt第14頁/共47頁第十五頁，共47頁。0121010000100001nnnAaaaa-10001TnB1001111nnnnnnCba bbabbab-11nDb第15頁/共47頁第十六頁，共47頁。 2(3 )12101yta yta ytft例題1. 一LTI連續(xù)系統(tǒng)，描述它的微分方程為列出它的狀態(tài)方程和輸出方程。 33212321021011sH ssa sa saa sa sa s- -解：按式寫出其系統(tǒng)函數(shù)按系統(tǒng)函數(shù)可畫出其框圖和信號流圖第16頁/共47頁第十七頁，共47頁。f3x 2x 1x 1x2x3x1a2a0a1y選各積分器的輸出端信號為狀態(tài)變量

9、，則其輸入端信號就是相應狀態(tài)變量的一階導數(shù)，如圖中所示。可列出狀態(tài)方程和輸出方程為（矩陣(j zhn)形式）f1y13x 2x 1x 1x2x3x0a-1a-2a-1s-1s-1s-1-第17頁/共47頁第十八頁，共47頁。 1122012330 1 000 0 1 0 xxxxfaaaxx - 0 11231 0 0 xyxx例題 2. 一LTI連續(xù)(linx)系統(tǒng)，描述它的微分方程為 2121(3)2221 202210yta yta ya y tb ftb ftb f t第18頁/共47頁第十九頁，共47頁。 2123210210321232102101b sbsbb sbsb sH s

10、sa sa saa sa sa s- - 列出它的狀態(tài)方程和輸出方程。解：按式寫出其系統(tǒng)(xtng)函數(shù)按系統(tǒng)(xtng)函數(shù)可畫出其框圖和信號流圖f3x 2x 1x 1x2x3x1a2a0a-2b1b0b2y第19頁/共47頁第二十頁，共47頁。2bf1y13x 2x 1x 1x2x3x0a-1a-2a-1s-1s-1s-11b其狀態(tài)方程同例1，其輸出(shch)方程為 1201323 xybbbxx第20頁/共47頁第二十一頁，共47頁。三.三. 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立離散系統(tǒng)是用差分方程描述的，選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量把差分方程化為關于狀態(tài)變量的一階差分方程組，這個差分方

11、程組就是該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 1112111112112122222122223123 1 1 1pnpnnnnnbbbx kaaax kbbbx kaaax kx kaaabx k 12123 nnnpf kfkbbf k如果有p個輸入，q個輸出的n階離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程的一般(ybn)形式是第21頁/共47頁第二十二頁，共47頁。 1112111112112122222122223123 d d1 c c d d 1 c c c c 1pnpnnnnndy kcx kdy kcx kx kcdy k 12123 d d nnnpf kf kf k輸出(shch)方程為列寫離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的方

12、法與連續(xù)系統(tǒng)類似，也可利用框圖或信號流圖列出。由于(yuy)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程是 那么其輸入端信號就是 ，這樣，就可根據(jù)系統(tǒng)信號流圖或框圖列出該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。1 ix k ix k第22頁/共47頁第二十三頁，共47頁。 x tAx tBf t 8.3 8.3 連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)系統(tǒng)狀態(tài)方系統(tǒng)狀態(tài)方程的解程的解 一狀態(tài)方程的時域解 在常系數(shù)線性矢量微分方程 兩邊(lingbin)左乘 ，移項有Ate- AtAtAtex teAx teBf t- AtAtdex teBftdt- 化解為兩邊取積分，并考慮初始狀態(tài)t0=0-，得 00( )tAtAex txeBfd-狀態(tài)方

13、程的求解有時(yush)域法和變換法第23頁/共47頁第二十四頁，共47頁。Ate對上式兩邊(lingbin)左乘 ，并考慮到，可得狀態(tài)方程的解： AtAte eI- 000 tA tAtAtAtx te xeBfde xe B f t- 0 0 0 = 0tA tAtAtAty tCx tDf tCe xeBfdDf tCe xCe Bf tDf tCt xCt Bf tDf t- 零輸入解零狀態(tài)解則得到輸出矢量(shling)，設（狀態(tài)轉移矩陣） Atte第24頁/共47頁第二十五頁，共47頁。 fytCt Bf tDf t若用 表示(biosh)輸出矢量的零狀態(tài)響應，則有pp現(xiàn)在定義一個

14、 的對角矩陣 t 000000tttt則 0 AtAtfytCe xCe BDtf th tf t- Ath tCe BDt fyt第25頁/共47頁第二十六頁，共47頁。 x tAx t例題(lt) ： 一個二階系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為 1201001xxx-當時 12ttx tex txte-當 0tex t- 100 x 時求該系統(tǒng)的狀態(tài)(zhungti)轉移矩陣解： 知狀態(tài)矢量的零輸入響應 由已知條件可得 則解得 0 x tt x 11ttete- 100tet- 和 0tttteeete-第26頁/共47頁第二十七頁，共47頁。 iix tXs 12Tnx tx txtxt二、狀態(tài)方程的變

15、換二、狀態(tài)方程的變換(binhun)解解狀態(tài)(zhungti)矢量x（t）的拉普拉斯變換為 簡記作同樣由拉普拉斯變換性質得 X sx t F sf t Y sy t 0 x tsX sx-單邊拉普拉斯變換是求解線性微分方程的有力工具，現(xiàn)在用它來求解狀態(tài)方程式和輸出方程式。設第27頁/共47頁第二十八頁，共47頁。 0sX sxAX sBF s- 110X ssIAxsIABF s-對狀態(tài)方程取拉普拉斯變換，得上式兩端前乘以 ，得1sIA-上式是狀態(tài)矢量 的拉普拉斯變換。由式可見，其第一項的逆變換將是狀態(tài)矢量的零輸入解，第二項的逆變換是狀態(tài)矢量的零狀態(tài)解。 x t 第28頁/共47頁第二十九頁，

16、共47頁。Re0iA穩(wěn)定系統(tǒng)： 的特征值0a -IA轉移(zhuny)函數(shù)分母的特征多項式 s- 此方程的根在s平面上的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定(wndng)情況，當根落在s平面的左半平面，可確定系統(tǒng)為穩(wěn)定(wndng)的。 這需要解方程 第29頁/共47頁第三十頁，共47頁。 8.4 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的求解(qi ji)有時域法和變換法一狀態(tài)方程的時域解一狀態(tài)方程的時域解求解矢量差分方程的方法(fngf)之一是迭代法或遞推法。但用遞推法一般難以得到閉合形式的解，所以，一般而言可用迭代法解狀態(tài)方程式。例題(lt) 某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 112210112111044x kx kf k

17、xkxk 第30頁/共47頁第三十一頁，共47頁。 120000 xx 設初始狀態(tài)和輸入(shr)為 1 k=00f kk， k0 求方程(fngchng)的解。解：若已知 時的狀態(tài) 和 時的輸入 ，則將它們代入式 并逐次迭代，得 1x kAx kBf k0001 x kAx kBfk0002000211 1x kAx kBf kA x kABf kBf k0kk0()x k0kk fk第31頁/共47頁第三十二頁，共47頁。 00000320000110322 12 11 = kk kkii kx kAx kBf kA x kA Bf kABf kBf kx kAx kBf kAx kABf

18、 i- -如果(rgu) ,則 011= 0kkkiikx kA xABfi- -00k第32頁/共47頁第三十三頁，共47頁。0k kA-第一項是輸入(shr) 的解,即零輸入(shr)解,第二項是 初始狀態(tài) 的解,即零狀態(tài)解。0kk-矩陣 稱為狀態(tài)轉移矩陣，用 表示，即000k kkkAkk-，當00k 時，有 0kkAk，由矩陣卷積定義和性質得 0f k 0()0 x k第33頁/共47頁第三十四頁，共47頁。 00111= 0 =k01 =k01kkkii kki kx kA xABf ixki Bf ixkBf i- - -將上式代入 y kCx kDfk得到(d do)系統(tǒng)的輸出

19、y k =Ck01xCkB f iDf k-式中第一項是零輸入響應，第二項是零狀態(tài)響應?？梢?，如果已知 時的初始狀態(tài) 和 的輸入 ，就能完全地確定 的任意時刻的狀態(tài)和輸出。0k (0)x0k 0k ( )f k第34頁/共47頁第三十五頁，共47頁。 ZiiXzx k二、二、 狀態(tài)方程的變換狀態(tài)方程的變換(binhun)解解 設狀態(tài)矢量 的分量(fn ling) 的變換為 ， 即則 12Z xZ xZ xZ xTinkkkk簡記(jin j)作 Z xX zk同樣 Z ZF zf kY zy kn維矢量p維矢量q維矢量對標準式取 變換Z x k x k iX z第35頁/共47頁第三十六頁，共

20、47頁。 0zX ZzxAX zBF zY zCX zDF z-得 1 2(1)式可寫為 0zIA X zzxBF z-得 11x 0X zzIAzzIABF z-上式第一項是狀態(tài)矢量零輸入(shr)解的象函數(shù),第二項是 零狀態(tài)解的象函數(shù)。再求得狀態(tài)(zhungti)轉移矩陣 11ZkkAzIAz-為了(wi le)方便,定義 Zzk第36頁/共47頁第三十七頁，共47頁。 1x 0X zzzz BF z-則，(1)式可寫為同樣(tngyng)(2)式可寫為 10Y zC z xCzz B D F z-上式第一項是零輸入響應象函數(shù)矩陣(j zhn),第二項是零狀態(tài)響應象函數(shù)矩陣(j zhn)。

21、離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷(pndun)對于離散系統(tǒng)要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求A矩陣的特征值1ia 即系統(tǒng)的特征根位于單位圓內，和連續(xù)系統(tǒng)相似，A矩陣的特征值和離散系統(tǒng)轉移函數(shù)特征多項式的根位置相同，所以他們的判定準則也相同。第37頁/共47頁第三十八頁，共47頁。 8.5 系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的可控制性和可觀的可控制性和可觀測性測性一、狀態(tài)矢量的線性變換一、狀態(tài)矢量的線性變換一般而言,對于動態(tài)方程有非奇異矩陣P，使狀態(tài)矢量 經線性變換成為新狀態(tài)矢量 x t 1gtPxt- g t x tAx tBf ty tCx tDf t第38頁/共47頁第三十九頁，共47頁。 -1-1-1g t

22、P xP AxP Bfttt則求導得方程(fngchng)代入，可得用狀態(tài)矢量 描述的狀態(tài)方程(fngchng)為 g t -1-1ggg tP APgP BfA g tB fttt ggyCCPgD =Dfgfttttt在新的狀態(tài)變量下，其系數(shù)(xsh)矩陣 分別為-1g-1gggAPA PB=PBCC PD=D第39頁/共47頁第四十頁，共47頁。二、二、 系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的可控制性的可控制性對于一個復雜的系統(tǒng)，特別是多輸入(shr)多輸出系統(tǒng)，利用狀態(tài)變量法分析系統(tǒng)時，用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，這就揭示了系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況。狀態(tài)方程描述了輸入(shr)作用引起系統(tǒng)狀態(tài)變化的情況

23、，這就存在一個問題，輸入(shr)對系統(tǒng)的全部狀態(tài)是否都能控制，即系統(tǒng)能否在輸入(shr)的作用下從某一狀態(tài)轉移到另一指定狀態(tài)，這就是可控制性問題。可控性：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定可控性：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定(i dn)系統(tǒng)系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到容許的輸入量（即控制矢量），的任意初始狀態(tài)，可以找到容許的輸入量（即控制矢量），在有限的時間之內把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)空間的原點在有限的時間之內把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)空間的原點（即零狀態(tài)）。則系統(tǒng)是完全可控制的。（即零狀態(tài)）。則系統(tǒng)是完全可控制的。第40頁/共47頁第四十一頁，共47頁。 x tx tf tAB 如果只有(zhyu

24、)對部分狀態(tài)變量可以做到這一點，則系統(tǒng)不完全可控制。1.根據(jù)狀態(tài)方程的參數(shù)矩陣根據(jù)狀態(tài)方程的參數(shù)矩陣(j zhn)判別判別設系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)方程即:當為對角陣形式時,中的0元素對應不可控因素。AB2.2.可控陣滿秩判別法可控陣滿秩判別法若有n -21MBABA BAB,則連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是M矩陣滿秩。M稱為系統(tǒng)的可控陣。第41頁/共47頁第四十二頁，共47頁。 當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述，給定控制后，能在有限的時間間隔內 根據(jù)系統(tǒng)輸出惟一地確定系統(tǒng)的所有起始狀態(tài)，則系統(tǒng)是完全可觀。如果只能確定部分起始狀態(tài)，則系統(tǒng)不完全可觀。可觀性可觀性 10tt 三系統(tǒng)的可觀測性三系統(tǒng)的可觀測性 對于單一輸出系統(tǒng)，當狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣為對角陣時，僅當輸出