Hermite插值公式

1、1 5.5 Hermite插值公式插值公式Newton插值和Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡單，但都存在插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)，不光滑，插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn).為了保證插值多項(xiàng)式 能更好地逼近 ，對 增加一些約束條件，例如要求 在某些結(jié)點(diǎn)處與 相切，即具有相同的導(dǎo)數(shù)值.)(xPn)(xf)(xPn)(xPn)(xf一、Hermite插值問題求一個次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式 ，滿足：)(xHnixfxHii, 2 , 1 , 0),()()(, 2 , 1 , 0),()(nrrixfxHii-(1)2稱以上的插值問題為Hermite插值問題.注意：式(1)包含n+r+2個條件，

2、所以能夠確定次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式 .)(xH二、Hermite插值公式推導(dǎo)令rkkknkkkxfxhxfxhxH00)()()()()(-(2)其中， 都是n+r+1次待定多項(xiàng)式，并且它們滿足以下條件：.), 1 , 0()(), 1 , 0()(rkxhnkxhkk和3rinkxhnkikikixhikik, 1 , 0;, 1 , 0, 0)(, 1 , 0,01)(nirkxhrkikikixhikik, 1 , 0;, 1 , 0, 0)(, 1 , 0,01)(-(3)-(4)顯然滿足條件(3),(4)的多項(xiàng)式(2)的次數(shù)不大于n+r+1次，且滿足插值條件(1).1.求解

3、 ), 1 , 0()(nkxhk由條件(3)知 是 的二重零點(diǎn) . );, 1 , 0(kirixi)(xhk4且由條件(3)知 是 的零點(diǎn) . );, 2, 1(kinrrixi)(xhk具有如下形式：時當(dāng))(,0) 1 (xhrkknriirkiiinrrkkkxxxxBAxxxxxxxxxxxxxBAxxh10212212120)()()()()()()()()()(其中，A,B是待定系數(shù)0)(, 1)()3(kkkkxhxh知由條件即 -(5)51)()()(102nriikrkiiikkxxxxBAx0)()()()()()()(2)()(11021020102nrjnjiriik

4、rkiiikknriikrkijiiikrjjkknriikrkiiikxxxxBAxxxxxxxBAxxxxxA由上述兩式解得：6nriikrkiiiknrjjkrjjkxxxxxxxxA10210)()(112nriikrkiiikkxxxxAxB102)()(1將A,B代入式(5)，得rkxlxlxlxlxxxhkrknkkrkknkk, 1 , 0)()()()()(1)(-(6)7其中，nkiiikiknxxxxxl0)(rkiiikikrxxxxxl0)(nkiiikkknxxxl01)(rkiiikkkrxxxl01)(8具有如下形式：時當(dāng))(,1)2(xhnkrknkiriir

5、iikxxxxCxh102)()()(-(7)1)()3(kkxh知由條件nkiriikriikxxxxC102)()(1將C代入式(7)，得nrrkxlxwxwxhknkrrk, 2, 1),()()()(-(8)9riirxxxw0)()(riikkrxxxw0)()(nkiiikiknxxxxxl0)(其中，2.求解 綜合(1)(2)得到 即式(6),(8), 1 , 0()(nkxhk), 1 , 0()(nkxhk由條件(4)知 是 的二重零點(diǎn) . );, 1 , 0(kirixi)(xhk10且由條件(4)知 是 的零點(diǎn) . ), 2, 1,(nrrkixi)(xhk具有如下形式：

6、時當(dāng))(,0 xhrkkrkiiiniikxxxxDxh00)()()(1)()4(kkxh知由條件rkjjrjikiiikniiknjrkiiiknjiiikxxxxxxxxD000000)()()()(1-(9)將D代入式(9)，得rkxlxlxxxhkrknkk, 1 , 0),()()()(-(10)11nkiiikiknxxxxxl0)(其中，rkiiikikrxxxxxl0)(由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式其中由式(6)(8)(10)所表示的多項(xiàng)式稱為Hermite插值基函數(shù)存在而且唯一的解插值問題式定理)() 1 (1xHHermite證

7、明：12存在性已由上面推導(dǎo)，下證唯一性.反證法，設(shè)插值問題式(1)有兩個不同的解 令)(),(21xHxH)()()(21xHxHxG且滿足的多項(xiàng)式并且其為次數(shù)不大于,1rnrixGnixGii, 1 , 0, 0)(, 1 , 0, 0)(), 2, 1)(), 1 , 0()()(2nrrixxrixxxGii和必含有因式于是證畢矛盾的次數(shù)至少為故., 2)(rnxG13.),()()()!2()()()()(2)2(內(nèi)的某一點(diǎn)是插值區(qū)間其中，插值公式的余項(xiàng)為插值余項(xiàng)定理定理baxwxwrnfxHxfHermiteHermiternrn證明：)()()()()()()()()(xHxfxw

8、xwtwtwtHtftFrnrn引進(jìn)輔助函數(shù)知由條件 ) 1 (0)()()()(10nxFxFxFxF0)()()(10rxFxFxF14.,1,10)(1021rnrrxxxrxxxxrntF個二重根和個單根有即：個零點(diǎn)，依此類推可知至少有個零點(diǎn)內(nèi)至少有在定理知，由1)(2),()( rntFrnbatFRolle0)()()()()!2()()2(xHxfxwxwrnfrnrn，因此內(nèi)至少有一個零點(diǎn)在),()()2(batFrn)()()!2()()()()2(xwxwrnfxHxfrnrn即得15插值多項(xiàng)式為則相應(yīng)的若Hermitenr,nkkknkkkxfxhxfxhxH00)()(

9、)()()(nkxlxxxhnkxlxlxxxhknkkknkknkk, 1 , 0),()()(, 1 , 0),()()(21 )(22其中),(),()!22()()()(2)22(baxwnfxHxfnn余項(xiàng)公式為：時，插值條件為：特別當(dāng)1 nr-(11)161 , 0),()(),()(ixfxHxfxHiiii插值多項(xiàng)式：由此得三次Hermite)()()()()()()()()(11001100 xfxhxfxhxfxhxfxhxH21010100)(21 ()(xxxxxxxxxh20101011)(21 ()(xxxxxxxxxh210100)()(xxxxxxxh201011)()(xxxxxxxh-(12).)12(插值稱為分段三次常用作分段低次插值，多項(xiàng)式Hermite17例1.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf處的導(dǎo)數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(處的函數(shù)值在及的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式求xxfxf解:2, 110 xx3,210yy1,010yy)()()()()(110011003xhyxhyxhyxhyxH101121xxxxy2010 xxxx00 xxy2101xxxx2010 xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx18)2(2