初三數(shù)學(xué)一元二次方程典型應(yīng)用題

1、一元二次方程典型應(yīng)用一元二次方程典型應(yīng)用二、目標(biāo)分析n知識(shí)與技能：能根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程。提高數(shù)學(xué)建模能力，觀察歸納能力，問題意識(shí)能力。n過程與方法：經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。n情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過用一元二次解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的作用。體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。重難點(diǎn)分析重點(diǎn)重點(diǎn)：列一元二次方程解實(shí)際問題難點(diǎn)：難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系復(fù)習(xí)問題，提出新知1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟怎樣？n（1）審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以及它

2、們之間的關(guān)系。 n（2）設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)必須寫明單位，語言敘述要完整。 n（3）列代數(shù)式和方程：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個(gè)數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同。 n（4）解方程或方程組應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解。 n（5）檢驗(yàn)答案：解應(yīng)用題要檢驗(yàn)有無增根，又要檢驗(yàn)是否符合題意，最后做出符合題目要求的答案。.注：（1）在這些步驟中，審題是解題的基礎(chǔ)，列方程是解題的關(guān)鍵。 (2)在列方程時(shí)，要注意列出的方程必須滿足以下三個(gè)條件： a,方程兩邊表示同類量 b,方程兩邊的同類

3、量的單位一樣 c,方程兩邊的數(shù)值相等 2.解一元二次方程有哪些方法？直接開平方法配方法公式法因式分解法3.一元二次方程常見應(yīng)用題有哪些類型？（1）增長(zhǎng)率問題 （2）商品定價(jià)（3）儲(chǔ)蓄問題 （4）趣味問題（5）古詩(shī)問題（年齡問題）（6）情景對(duì)話 (7)等積變形 (8)動(dòng)態(tài)幾何問題增長(zhǎng)率問題n例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率.n考點(diǎn)：考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用n專題：專題：增長(zhǎng)率問題n分析：分析：本題設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x，十月份的銷售額為200（

4、1-20%）萬元，十一月份的銷售額為200（1-20%）（1+x）萬元，十二月份在十一月份的基礎(chǔ)上增加x，變?yōu)?00（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（1+x）2萬元，進(jìn)而可列出方程，求出答案n解答：解答：解：設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x，十一月份的銷售額達(dá)到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的銷售額達(dá)到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+

5、x=1.1，所以x=-11.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）答：這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%n點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此類題目旨在考查增長(zhǎng)率，要注意增長(zhǎng)的基礎(chǔ)，另外還要注意解的合理性，從而確定取舍商品定價(jià)n例2某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)一元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？n考點(diǎn)：考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用n專題：定價(jià)專題：定價(jià)問題n分析：分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此時(shí)

6、商場(chǎng)平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根據(jù)商場(chǎng)平均每天要盈利=1200元，為等量關(guān)系列出方程求解即可n解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由題意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，所以x的值應(yīng)為20，所以，若商場(chǎng)平均每天要盈利12O0元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元 n點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意找出等量關(guān)系列出方程求解 儲(chǔ)蓄問題n例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金

7、和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）n解 設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x. 則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.n整理，得90 x2+145x30. n解這個(gè)方程，得x10.02042.04%，x21.63.n由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x21.63舍去. n答 第一次存款的年利率約是2.04%. 趣味問題n例4一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你

8、沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？n解：設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為X，那么X=(X-4)+(X-2)=X-8X+16+X-4X+4=2X-12X+20,n平移過來，X-12X+20=0n(X-10)x（X-2）=0nX取10或2，由于2不符合標(biāo)準(zhǔn)，故舍去，得X=10米n答：竹竿長(zhǎng)10米。古詩(shī)問題（年齡問題）n例5讀詩(shī)詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）. 大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物； 而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)； 十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符； 哪位學(xué)子

9、算得快，多少年華屬周瑜？n解：設(shè)十位是X ，則個(gè)位數(shù)是(X+3) 兩位數(shù)就表示成10X+(X+3)=11X+3 n所以用“各位平方與壽符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0 n(X-2)(X-3)=0 nX1=2或X2=3 nX1+3=5 X2+3=6n 可得兩組解，25或36，因?yàn)橐阎岸⒅甓綎|吳”（而立之年為30歲）， 所以一定比30大. ，25就要舍去。n可得周瑜去世的年齡為36歲。 情景對(duì)話n例6春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn). 某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問該單位這次

10、共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？圖1如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元.如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費(fèi)用為1000元.n考點(diǎn)：考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用n分析：分析：設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游依題意列方程求解n解答：解答：解：設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游因?yàn)?00025=2500027000，所以員工人數(shù)一定超過25人可得方程1000-20（x-25）x=27000整理得x2-75x+1350=0，解得x1=45，x2=30當(dāng)x1=45時(shí)，1000-20（x-25）=600700，故舍去x1；當(dāng)x2=30時(shí)，10

11、00-20（x-25）=900700，符合題意答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游n點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，難度不大等積變形n例7將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）n（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.n（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.n以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說明理由.圖3圖2n考點(diǎn)：考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用n專題：專題：應(yīng)用題n分析：分析：（1）設(shè)出小路的寬度為

12、x米，表示出兩條小路的面積，而小路的面積為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可；（2）設(shè)出扇形的半徑為y米，則四個(gè)扇形的面積和恰好等于一個(gè)圓的面積，而四個(gè)扇形的面積和為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可n解答：解答：解：（1）設(shè)小路的寬度為x米，根據(jù)題意列方程得，18x+15x-x2=181513，解得x1=3，x2=30（不合題意，舍去）；答：圖中小路的寬為3米（2）設(shè)扇形的半徑為y米，根據(jù)題意列方程得，y2=181513，解得y15.4，y2-5.4（不合題意，舍去）；答：扇形的半徑約為5.4米n點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查長(zhǎng)方形和扇形面積的計(jì)算方法，解答時(shí)注意題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系動(dòng)

13、態(tài)幾何問題n例8如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).n（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？n（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由.?Q?P?C?B?A圖4n考點(diǎn)：考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用n專題：專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題n分析：分析：（1）設(shè)果P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時(shí)PCQ的面積為： 122x（6-x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；（2）ABC的面積的一半等于 12 12ACBC=12cm2，令 122x（6-x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在n解答：解答：解：（1）設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2由題意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=