數(shù)列的極限99398學習教案

1、數(shù)列數(shù)列(shli)的極限的極限99398第一頁，共30頁。例例如如(lr)其中其中(qzhng)的每個數(shù)稱為數(shù)列的項的每個數(shù)稱為數(shù)列的項,nx為為通項通項(一般項一般項).nx數(shù)列數(shù)列(1)記為記為第1頁/共30頁第二頁，共30頁。注：注：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列. 可看作一動點在數(shù)軸上依次取可看作一動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)).(nfxn 第2頁/共30頁第三頁，共30頁。R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA引例引例(yn l)1 1

2、、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽第3頁/共30頁第四頁，共30頁。我國古代(gdi)魏末晉初的杰出數(shù)學家.他的 “ 割圓術 ” 求圓周率 “ 割之彌細割之彌細 , 所失彌小所失彌小,割之又割割之又割 , 以至于不可以至于不可(bk)割割 ,則與圓合體則與圓合體(h t)而無所失矣而無所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要極限思想 . 的方法 :第4頁/共30頁第五頁，共30頁。數(shù)列數(shù)列(shli)的極限的極限問題問題(wnt):當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某是否無限接近于某一確定的數(shù)值一確定的數(shù)值?nxn通過觀察通過觀察:問題問題

3、(wnt):“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它刻劃它.第5頁/共30頁第六頁，共30頁。第6頁/共30頁第七頁，共30頁。定義定義: 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小), 總存在總存在(cnzi), 使得使得(sh de)當當時，時， 均有均有 axn成立成立則稱則稱是是 的極限的極限(jxin),收斂于收斂于 ，或或記作記作 ).( naxn 或或如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.x1x2x1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: a aa第7頁/共30頁第八頁，共30頁。例如例如(lr

4、)：)(1 n趨勢趨勢(qsh)不定不定收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散第8頁/共30頁第九頁，共30頁。數(shù)列極限數(shù)列極限(jxin)的定義未給出求極限的定義未給出求極限(jxin)的方法的方法.例例1證證所以所以(suy),注：注：第9頁/共30頁第十頁，共30頁。例例2證證所以所以(suy),說明說明(shumng):常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).關鍵關鍵(gunjin):對應任意給定對應任意給定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 第10頁/共30頁第十一頁，共30頁。例例3證證, 0 任給任給,時時則當則當Nn 第11頁/共30頁第十二頁，共30頁。收斂收斂

5、(shulin)數(shù)列的性數(shù)列的性質質1.1.收斂數(shù)列收斂數(shù)列(shli)(shli)的極的極限唯一限唯一. .證證: : 用反證法用反證法.假設假設(jish)且且取取故存在故存在 N1 , 使當使當 n N1 時時, 從而從而故存在故存在 N2 , 使當使當 n N2 時時, 從而從而則當則當 n N 時時, 矛盾矛盾! 因此因此 數(shù)列數(shù)列是發(fā)散的是發(fā)散的. . 第12頁/共30頁第十三頁，共30頁。2. 2. 收斂收斂(shulin)(shulin)數(shù)數(shù)列一定有界列一定有界. .證證: 設設取取則則當當時時, 有有從而從而(cng r)有有取取 則有則有由此證明收斂由此證明收斂(shuli

6、n)數(shù)列必有界數(shù)列必有界. 反之不成立，反之不成立，即即 ：有界數(shù)列未必收斂。：有界數(shù)列未必收斂。注：注：無界數(shù)列必定發(fā)散。（逆否命題）無界數(shù)列必定發(fā)散。（逆否命題）第13頁/共30頁第十四頁，共30頁。數(shù)列數(shù)列(shli)有界有界例如例如(lr),有界有界無無界界x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何幾何(j h)解釋解釋: 2 a aa第14頁/共30頁第十五頁，共30頁。若若且且時時, , 有有證證:對對 a 0 ,取取ax2a2a推論推論(tuln):若數(shù)列若數(shù)列(shli)從某項起從某項起(用反證法證明用反證法證明)第15頁/共30頁第十六頁，共30頁。思考思考題題第16頁/共30頁第十

7、七頁，共30頁。思考題解答思考題解答(jid)(jid)不能保證不能保證(bozhng).(bozhng).例例xxf1)( 有有01)( xxf第17頁/共30頁第十八頁，共30頁。由此性質由此性質(xngzh)(xngzh)可知可知 , ,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂(shulin)(shulin)于于不同的極不同的極限限 或有一個子數(shù)列發(fā)散或有一個子數(shù)列發(fā)散, ,例如，例如， 發(fā)散發(fā)散 ! !則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 . .注注: : 第18頁/共30頁第十九頁，共30頁。*證證: 設數(shù)列設數(shù)列(shli)是數(shù)列是數(shù)列(shli)的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列 .若若則

8、則,N 當當 Nn 時時, 有有現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K , 使使于是當于是當時時, 有有從而有從而有由此證明由此證明 *機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第19頁/共30頁第二十頁，共30頁。收斂收斂(shulin)數(shù)列的數(shù)列的性質性質1.1.收斂收斂(shulin)(shulin)數(shù)列數(shù)列的極限唯一的極限唯一. .2.2.收斂收斂(shulin)(shulin)數(shù)列數(shù)列一定有界一定有界. .3.3.收斂數(shù)列具有收斂數(shù)列具有保號性保號性. .4.4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 . .第20頁/共30頁第二十一頁，共30頁。1

9、.夾逼準則夾逼準則(zhnz)第21頁/共30頁第二十二頁，共30頁。上兩式同時上兩式同時(tngsh)成成立立,證證第22頁/共30頁第二十三頁，共30頁。例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解由夾逼定理由夾逼定理(dngl)得得第23頁/共30頁第二十四頁，共30頁。x1x2x3x1 nxnx2.單調單調(dndio)有界準則有界準則幾何幾何(j h)解釋解釋:AM準則準則(zhnz) (zhnz) 單調有界數(shù)列必有極限單調有界數(shù)列必有極限. .第24頁/共30頁第二十五頁，共30頁。例例2 2證證(舍去舍去)不妨不妨(bfng)設為設為第25頁/共30頁第二十六頁，共30頁。數(shù)列數(shù)列(shli):(shli):研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律; ;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義極限思想、精確定義(dngy)(dngy)、幾何、幾何意義意義; ;收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質: :唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性.極限存在準則：極限存在準則：夾逼準則；單調有界準則夾逼準則；單調有界準則第26頁/共30頁第二十七頁，共30