2022年高考數(shù)學(xué)熱身題及答案

1、2022年高考數(shù)學(xué)考前熱身題1.如圖，三棱柱4BC-4B1C1中，AAi=AB=3,BC=2,E,尸分別是B1C1和CC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱上，且8iF=2.(1)證明：4P平面E尸C；(2)若A4i_L底面ABC,ABLBC,求二面角尸-CF-E的余弦值.PD1分析(1)連結(jié)PBi,交CE于點(diǎn)D連結(jié)DF,EP,CBi,利用中位線定理可得到二7r=DBX2AC結(jié)合+=：?可證明尸OAiP,由線面平行的判定定理證明即可；FB12(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【解答】(1)證明：連結(jié)PB1,交CE于點(diǎn)D,連結(jié)

2、OF,EP,CB,1i因?yàn)镋,尸分別為86,CC1的中點(diǎn)，(.EP/-CBB.EP=|CBi,2"所以FD/AiP,又F£>u平面EFC,AiPC平面EFC,故AiP平面EFC；(2)解：由題意可知，AB,BC,BB兩兩垂直，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C(0,2,0),8式0,0,3),F(2,0,3),E(0,1,3),P(0,2,1)所以d=(2,-1,0),EC=(0,1,-3),PF=(2,-2,|),PC=(0,0,-|),設(shè)平面EFC的法向量為7=(x,y,z),>T即Wn-EC=0J令z=l,則y=3,x=|>故n=(3，

3、3,1),設(shè)平面PFC的法向量為蔡=(q,b,c),則有+今=°,即卜一2%+升=。，Vm-PC=01-2c=0令x=l,則y=l,z=0,故蔡=(1,1,0),所以IcosOn, n> =1+39>/2J(1)2+9+1x/I+114由圖可知，二面角尸-CF-E為銳二面角,96故二面角的余弦值為不.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用以及二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.2 .如圖，在棱長為1的正方體ABC。-481C1O1中，E為線段4出1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A8的中點(diǎn).(1

4、)求直線FC到平面AEC的距離；(2)求平面AEC與平面EFCC所成銳二面角的余弦值.【分析】（1）以。1為原點(diǎn)，DiAi,DiCi,CiC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出EG=（-1,O）,FC=（-1,0）,推出尸CECi,得到尸C平面AECi,點(diǎn)F到平面HE。的距離即為直線尸C到平面AECj的距離，求出平面AEG的法向量=（0,0）,然后利用空間向量的數(shù)量積求解點(diǎn)F到平面的距離.（2）求出平面EFCC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面AEC與平面EFCCi所成銳二面角的余弦值即可.【解答】解：（1）以£>1為原點(diǎn)，OlAi,DiCi,所

5、在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，11則A（1,0,1）,C（0,1,1）,Ci（0,1,0）,E（l,I，0）,F（l,I，1）.TT1T1：.AE=（0,I，-1）,EG=（-1,W，0）,FC=（-1,全0）,T1TAF=（0,尹0）,EF=（0,0,1）.,:FC=EC1=（-1,I，0）.FC/EC,；.FC/平面AEC,點(diǎn)F到平面AEC的距離即為直線FC到平面AEG的距離，Tt設(shè)平面AEC的法向量為盛=（x,y,z）,則?4日=°,n,ECi=0取z=l,則x=l,y=2,.*.n=(1/2,1),又AF=(0,i,0),點(diǎn)尸到平面AEC1的距離為

6、"當(dāng)=K°'?2"1升=漁|n|v66(2)設(shè)平面EFCCi的法向量為m=(%-y-zQ,則|丁絲一。,(mEC=0.廣°，.產(chǎn)=；,1一.+2丫1=0助=2%1取xi=l,則yi=2,：.m=(1,2,0),cos(m,n)=平面AEC與平面EFCCi所成銳二面角的余弦值回.6【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力.3 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8co是正方形，AB=2,PO_L平面ABC。，PB與底面ABC。所成的角為45°,過AO的平

7、面分別與PB,PC交于點(diǎn)E,F.(1)求證：EF1DC；一-22PE(II)若二面角P-A。-E所成角的余弦值為工，求號(hào)的值.3|EB|【分析】(I)推導(dǎo)出AOBC,A£)平面P8C,從而4OEF,推導(dǎo)出4OJ_QC,由此能證明EFLDC.(II)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出震.山即【解答】解：(I)證明：底面ABCQ是正方形，.AOaBC,平面P8C,AOC平面尸8C,；.AD平面尸BC,：A£>u平面ADFE,平面ADFECX平面PBC=EF,J.AD/EF,:底面ABC。是正方形，：.AD±DC,：.EFLDC.(II)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、OP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面AO尸的法向量藍(lán)=(0,1,0),A(2,0,0),D(0,0,0),P(0,0,2V2),B(2,2,0),令品=4而，：.E(2A,2X,-2V2A+2V2),AE=-2,2九-2V2A+2V2),DE=(21,24,-2仞+2夜)，設(shè)平面AOE的法向量為薪=(x,y,z),則(6m=0即(2義-2)x+2Xy+(-2V2A+2a)z=0-m=0l2Ax+2Ay+(2V2A+2V2)z=0取2=入，得益=(0,V2A-V2,入)，27