2020中考數(shù)學(xué)專題《幾何變式探究和類比變換綜合類問題》

1、2020 中考數(shù)學(xué)專題幾何變式探究和類比變換綜合類問題【方法指導(dǎo)】圖形的類比變換是近年來中考的?？键c(diǎn)， 常以三角形、 四邊形為背景， 與翻折、 旋轉(zhuǎn)相結(jié)合， 考查三角形全等或相似的性質(zhì)與判定， 難度較大 此類題目第一問相對簡單， 后面的問題需 要結(jié)合第一問的方法進(jìn)行類比解答 根據(jù)其特征大致可分為： 幾何變換類比探究問題、 旋轉(zhuǎn) 綜合問題、翻折類問題等解決此類問題要善于將復(fù)雜圖象分解為幾個基本圖形，通過添加副主席補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖 形，借助轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決幾何證明問題，計算則把幾何與 代數(shù)知識綜合起來，滲透數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題的能力、邏輯思維和推理能力 . 【

2、題型剖析】【類型 1】幾何類比變換綜合題【例 1】（2018 秋?鹽都區(qū)期中） 【閱讀理解】截長補(bǔ)短法， 是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法 截長就是在長邊上截取一條線段 與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問 題（1）如圖 1， ABC是等邊三角形， 點(diǎn) D是邊 BC下方一點(diǎn)， BDC 120 ，探索線段 DA、DB、 DC之間的數(shù)量關(guān)系解題思路：延長 DC 到點(diǎn) E ，使 CE BD ，連接 AE ，根據(jù) BAC BDC 180 ，可證ABD ACE 易證得 ABD ACE，得出 ADE是等邊三角形，所以 AD DE，從而 探尋線段 DA、 DB、

3、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系根據(jù)上述解題思路，請直接寫出 DA、 DB、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系是 ；【拓展延伸】（2）如圖 2，在 Rt ABC 中， BAC 90 ，AB AC 若點(diǎn) D是邊 BC 下方一點(diǎn)， BDC 90 ， 探索線段 DA、 DB、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖 3，兩塊斜邊長都為 14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直 角頂點(diǎn)之間的距離 PQ 的長分別為 cm 變式 1-1】（2019?亭湖區(qū)二模） 【閱讀材料】小明遇到這樣一個問題：如圖1，點(diǎn) P 在等邊三角形ABC內(nèi)，且 APC 150 ， PA 3，PC 4 ，求 PB的長小

4、明發(fā)現(xiàn)，以 AP 為邊作等邊三角形 APD ，連接BD，得到 ABD ；由等邊三角形的性質(zhì)，可證 ACP ABD，得 PC BD ；由已知 APC150 ，可知 PDB 的大小，進(jìn)而可求得 PB的長1）請回答：在圖 1 中， PDBPB問題解決】2）參考小明思考問題的方法，解決下面問題：如圖2， ABC 中， ACB90 ， AC BC ，點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)，且 PA1， PB 17 ，PC2 2，求 AB 的長靈活運(yùn)用】3）如圖 3，在 Rt ABC 中，ACB 90 ，BAC ，且 tan 4 ，點(diǎn)3P 在 ABC 外，PA 長的最大值且 PB 3， PC 1 ，直接寫出中，BAC D

5、AE 90 BD， CE的數(shù)量關(guān)系1）連接 BD， CE （如圖 ） ，請直接寫出線段2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長 BD交CE于點(diǎn) F，連接 AF（如圖 ） ，試探究線段 AF，BF，CF 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；3）連接 BE ，取BE的中點(diǎn) O，連接 AO（如圖 ） ，若AD 5，AO 2，tan DAO 3 ， 4求 AB 的長【類型 2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題【例 2】（2019?海州區(qū)一模）如圖 1，將兩個完全相同的三角形紙片 ABC和DEC 重合放置， 其中 C 90 ， B E 30 （1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖 2，固定 ABC，使 DEC 繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB邊上時，

6、填空： 線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 ；設(shè) BDC的面積為 S1， AEC的面積為 S2，則 S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 2）猜想論證： 當(dāng) DEC 繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時， 小明猜想（1）中 S1與 S2 的數(shù)量關(guān)系仍然成立， 并嘗試分別作出了 BDC 和 AEC 中 BC 、 CE 邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 ABC 60 ，點(diǎn) D是角平分線上一點(diǎn)， BD CD 6，DE / / AB交 BC于點(diǎn) E（如圖 4），若在射線 BA 上存在點(diǎn) F ，使S DCF S BDE ， 請求出相應(yīng)的 BF 的長【變式 2-1】（ 2019?遼陽模擬）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)

7、學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn) 變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題1 已知， ABC中， AB AC， BAC，點(diǎn) D、E在邊 BC上，且 DAE 2（1）如圖 1，當(dāng)60 時，將 AEC繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) 60 到 AFB的位置，連接 DF ，求 DAF 的度數(shù)；求證： ADE ADF ；（2）如圖 2，當(dāng)90 時，猜想 BD、 DE 、 CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；變式 2-2】（ 2019?宜興市二模） 【問題提出】如圖1，四邊形 ABCD中， AD CD ，ABC 120 ， ADC 60 ， AB 2 ， BC 1，求四邊形 ABCD的面積【嘗試解決】 旋轉(zhuǎn)是一種

8、重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題（1）如圖 2，連接 BD，由于 AD CD ，所以可將 DCB繞點(diǎn) D順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 DAB ，則 BDB 的形狀是 （2）在（ 1）的基礎(chǔ)上，求四邊形 ABCD 的面積 類比應(yīng)用 如圖 3 ，四邊形 ABCD 中， AD CD ， ABC 75 ， ADC 60 ， AB 2 ，BC 2 ，求四邊形 ABCD 的面積【類型 3】幾何翻折變換綜合題【例 3】（2019?江都區(qū)三模）如圖 1，有一張矩形紙片 ABCD ，已知 AB 5， AD 6，現(xiàn)將 紙片進(jìn)行如下操作：首先將紙片沿折痕 BF 進(jìn)行折疊，使點(diǎn) A

9、落在 BC邊上的點(diǎn) E 處，點(diǎn) F 在 AD 上（如圖 2） ；然后將紙片沿折痕 DH 進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn) C 落在第一次的折痕 BF 上的點(diǎn) G 處，點(diǎn) H 在 BC 上（如圖 3） 1）如圖 2，判斷四邊形 ABEF 的形狀，并說明理由；2）如圖 3，求 BG 的長變式 3-1】（2019?廣陵區(qū)校級二模） 如圖，將矩形 ABCD先過點(diǎn) A的直線 L1翻折，點(diǎn) DA的對應(yīng)點(diǎn) D剛好落在邊 BC上，直線 L1交DC于點(diǎn)F ；再將矩形 ABCD沿過點(diǎn) A的直線 L2 翻折，使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) G落在 AD 上， EG的延長線交 AD于點(diǎn) H 1）當(dāng)四邊形 AED H 是平行四邊形時，求AD H

10、 的度數(shù)2）當(dāng)點(diǎn) H 與點(diǎn) D 剛好重合時，試判斷AEF的形狀，并說明理由【變式 3-2】（2018?深圳模擬）已知矩形紙片 ABCD中， AB 2， BC 3 操作：將矩形紙片沿 EF 折疊，使點(diǎn) B 落在邊 CD 上探究：（1）如圖 1，若點(diǎn) B與點(diǎn) D重合，你認(rèn)為 EDA1和 FDC 全等嗎？如果全等，請給出 證明，如果不全等，請說明理由；（2）如圖 2，若點(diǎn) B與CD的中點(diǎn)重合，請你判斷FCB1 、 B1DG和 EA1G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請寫出結(jié)果和相應(yīng)的相似比；（3）如圖 2，請你探索，當(dāng)點(diǎn) B落在 CD邊上何處，即B1C的長度為多少時， FCB1與 B1

11、DG全等達(dá)標(biāo)檢測】1如圖 1，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜邊 BC 上兩動點(diǎn)，且 DAE45°，將 ABE 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 后，得到 AFC，連接 DF（ 1）試說明： AED AFD；（2）當(dāng)BE3，CE9時，求 BCF的度數(shù)和 DE的長；（3）如圖 2， ABC和 ADE 都是等腰直角三角形， BAC DAE 90°， D 是斜邊 BC 所在直線上一點(diǎn)， BD3，BC8，求 DE2 的長2如圖 ，在等腰 ABC 和 ADE 中， ABAC，ADAE，且 BAC DAE 120° （ 1）求證： ABD ACE；（2）把 ADE繞點(diǎn) A

12、逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖 的位置，連接 CD，點(diǎn) M、P、N分別為 DE、DC、BC 的中點(diǎn)，連接 MN、PN、PM，判斷 PMN 的形狀，并說明理由；（3）在（2）中，把 ADE繞點(diǎn) A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD4，AB6，請分別求出 PMN 周長的最小值與最大值3如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A（0，4 ），B（ 4 ，0），C（4 ，0），D（ 0，4 ），連接 AB，AC，BD，點(diǎn) P是線段 AB 上的一個動點(diǎn)，連接 PD，過點(diǎn) P作 PEPD，交線段 AC 于點(diǎn) E，將線段 EP 繞點(diǎn) E 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°至 EF1）過點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為，則 AE（2）當(dāng)點(diǎn) P在線段

13、 AB上運(yùn)動到何處時，線段 AE 最長？求出此時點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）連接 OF當(dāng)點(diǎn) P在線段 AB上運(yùn)動時，線段 OF 的長度隨之變化，求線段 OF長度 的最小值4如圖 1，Rt ABC中， C90°，AB15，BC9，點(diǎn) D，E 分別在 AC，BC上， CD 4x，CE 3x，其中 0<x< 31）求證： DE AB；D 落在 AB 邊上的 D 處在旋轉(zhuǎn)的過2）當(dāng) x1時，求點(diǎn) E到 AB 的距離；3）將 DCE 繞點(diǎn) E 逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)程中，若點(diǎn) D的位置有且只有一個，求 x 的取值范圍5在 ABC中， B45°， C 30°，作 APAB

14、，交 BC于 P點(diǎn)（1）如圖 1，若 AB3 ，求 BC 的長；（ 2）點(diǎn) D 是 BC 邊上一點(diǎn)， 連接 AD ，將線段 AD 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 AE 如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 落在 AC 邊上時，求證： CE 2BD； 如圖 3，當(dāng) ADBC 時，直接寫出的值6【操作發(fā)現(xiàn)】如圖 1， ABC為等邊三角形，點(diǎn) D 為AB邊上的一點(diǎn)， DCE 30°，將 線段 CD 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 CF ，連接 AF、EF，請直接寫出下列結(jié)果： EAF 的度數(shù)為 ； DE 與 EF 之間的數(shù)量關(guān)系為 ；【類比探究】 如圖 2， ABC為等腰直

15、角三角形， ACB90°，點(diǎn)D為 AB邊上的一點(diǎn)，DCE45°，將線段 CD 繞點(diǎn) C順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 CF，連接 AF、EF 則 EAF 的度數(shù)為 ； 線段 AE，ED ，DB 之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【實際應(yīng)用】如圖 3， ABC 是一個三角形的余料，小張同學(xué)量得ACB120°，ACBC，他在邊 BC 上取了 D、E 兩點(diǎn)，并量得 BCD 15°、 DCE 60°，這樣 CD、CE 將 ABC 分成三個小三角形，請求 BCD 、 DCE 、 ACE 這三個三角形的面積之比如圖 1，已知 ABC 為等邊三角形，點(diǎn)

16、D，E 分別在邊 AB、AC 上， ADAE，連接 DC， 點(diǎn) M，P，N分別為 DE ，DC ， BC 的中點(diǎn)1）觀察猜想在圖 1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ，MPN的度數(shù)是 （2）探究證明把 ADE繞點(diǎn) A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置， 判斷 PMN 的形狀，并說明理由； 求 MPN 的度數(shù)；（3）拓展延伸若 ABC 為直角三角形， BAC90°，AB AC10，點(diǎn) DE 分別在邊 AB，AC 上， ADAE4，連接 DC，點(diǎn) M，P，N 分別為 DE，DC，BC 的中點(diǎn)把 ADE 繞點(diǎn) A 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖 3，請直接寫出 PMN 面積的最大值8【問題提出】在 ABC

17、中， ABACBC，點(diǎn) D和點(diǎn) A在直線 BC的同側(cè)， BDBC，BAC ， DBC ，且+120°，連接 AD，求 ADB 的度數(shù)不必解答）30°時，利用軸對稱知識，以 AB 為對稱軸構(gòu)造 ABD 的軸對稱圖形 ABD，連接 CD （如圖 2），然后利用 90 °， 30°以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個問題請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路， 在這種特殊情況下填空： D BC 的形狀是 三角形； ADB 的度數(shù)為 【問題解決】在原問題中，當(dāng) DBC< ABC（如圖 1）時，請計算 ADB 的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】在原問題中，過點(diǎn) A 作直線 AE

18、BD，交直線 BD 于 E，其他條件不變?nèi)鬊C7，AD2請直接寫出線段 BE 的長為 9點(diǎn) D 為 ABC 外一點(diǎn)， ACB 90°， AC BC（1）如圖 1， DCE 90°， CD CE，求證： ADC BEC ；（2）如圖 2，若 CDB 45°， AEBD，CECD，求證： AEBD；（3）如圖 3，若 ADC 15°， CD，BDn，請直接用含 n的式子表示 AD 的長10如圖， ABC 是等邊三角形， D 是 BC 邊的中點(diǎn)，以 D 為頂點(diǎn)作一個 120°的角，角的兩邊分別交直線 AB、直線 AC于M、 N兩點(diǎn)以點(diǎn) D為中心旋轉(zhuǎn)

19、MDN （ MDN 的度數(shù)不變），當(dāng) DM 與 AB 垂直時（如圖 所示），易證 BM + CNBD （ 1）如圖 ，當(dāng) DM 與 AB 不垂直，點(diǎn) M 在邊 AB 上，點(diǎn) N 在邊 AC 上時， BM+CNBD 是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖 ，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊 AC的延長線上時，BM+CNBD 是否仍然成立？若不成立，請寫出BM ，CN，BD 之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明11在 ABC中， ACB90°， ACBC，點(diǎn) P在邊 AB上，點(diǎn) D、Q 分別為邊 BC上的 點(diǎn)，線段 AD 的延長線與線段 PQ 的延長線交于點(diǎn)

20、F，連接 CP 交 AF 于點(diǎn) E，若 BPF APC，F(xiàn)D FQ（ 1）如圖 1，求證： AFCP；（2）如圖 2，作 AFP 的平分線 FM 交 AB 于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn) N，若 FN MN ，求證：DQ BC ；3）在（2）的條件下，連接 DM、MQ，分別交 PC于點(diǎn) G、H，求的值12已知 ABC和 ADE都是等腰直角三角形， ACB ADE90°，點(diǎn) F 為BE 中點(diǎn)，連結(jié) DF ，CF（1）如圖 1，點(diǎn) D 在 AC 上，請你判斷此時線段 DF ，CF 的關(guān)系，并證明你的判斷；（2）如圖 2，在（ 1）的條件下將 ADE 繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) 45 時，若 AD DE

21、 2，AB 6，求此時線段 CF 的長13如圖 ，將一個矩形紙片 OABC 放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 坐標(biāo)是（ 3， 0），點(diǎn) C 坐標(biāo)是（ 0，2），點(diǎn) O的坐標(biāo)是（ 0，0），點(diǎn) E是 AB 的中點(diǎn)，在 OA上取一點(diǎn) D，將 BDA 沿 BD 翻折，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處（ 1）求點(diǎn) E、F 的坐標(biāo)；（2）如圖 2，若點(diǎn) P是線段 DA 上的一個動點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn) D，A重合），過 P作 PH14如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為 4 的正方形紙片 ABCD ，點(diǎn) P 為正方形 AD 邊上的一點(diǎn)（不 與點(diǎn) A，點(diǎn) D 重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在 P處，點(diǎn) C落在 G處

22、，PG 交DC于 H，折痕為 EF，連接 BP，BH （ 1）求證： BP 平分 APH ；（2）當(dāng)點(diǎn) P在邊 AD上移動時， PDH 的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論ABCD 中， AB4，15已知：矩形BC 3，點(diǎn) M、N 分別在邊 AB、CD 上，直線 MN 交矩形對角線 AC于點(diǎn)E，將 AME沿直線 MN翻折，點(diǎn) A落在點(diǎn)P處，且點(diǎn) P在射線 CB）如圖 ，當(dāng) EPBC時， 求證 CECN； 求CN的長； ）請寫出線段 CP 的長的取值范圍，及當(dāng) CP 的長最大時 MN 的長【題型剖析】【類型 1】幾何類比變換綜合題【例 1】（2018 秋?鹽都區(qū)期中） 【閱讀理解】截長補(bǔ)短法， 是

23、初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法 截長就是在長邊上截取一條線段 與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問 題（1）如圖 1， ABC是等邊三角形， 點(diǎn) D是邊 BC下方一點(diǎn)， BDC 120 ，探索線段 DA、 DB、 DC之間的數(shù)量關(guān)系解題思路：延長 DC 到點(diǎn) E ，使 CE BD ，連接 AE ，根據(jù) BAC BDC 180 ，可證 ABD ACE 易證得 ABD ACE，得出 ADE是等邊三角形，所以 AD DE，從而 探尋線段 DA、 DB、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系根據(jù)上述解題思路，請直接寫出 DA、 DB、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系是 ；拓展延伸】

24、2）如圖 2，在 Rt ABC 中， BAC 90 ，AB AC 若點(diǎn) D是邊 BC 下方一點(diǎn)， BDC 90 ， 探索線段 DA、 DB、 DC 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；知識應(yīng)用】3）如圖 3，兩塊斜邊長都為 14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離 PQ 的長分別為 cm 角 形 知 AB AC ，ABDBAC 60 ， 結(jié) 合BDC 120 知AD AE2）延長BADACD 180 ，由 ACE ACD 180知 ABDACE ，證ABD ACE 得， BADCAE ，再證 ADE 是等邊三角形得 DA DE DCDC到點(diǎn) E，使 CE BD， 連 接

25、 AECE，先 證 ABD ACE 得DC DB AD AE ，CAE ，據(jù)此可得DAEBAC90 ，由勾股定理知 DA2 AE22DE 2 ，繼而可得 2DA2 (DB DC)2 ；3）由直角三角形的性質(zhì)知QN 1 MN 7 ，2MQMN2 QN2 7 3 ，利用（ 2）中的結(jié)論知 2PQ QN QM據(jù)此可得答案【解析】(1)如圖 1，延長 DC到點(diǎn) E，使 CE BD ，連接 AE， Q ABC 是等邊三角形，AB AC ， BAC 60 ，Q BDC 120 ，ABD ACD 180 ，又Q ACE ACD 180 ，ABD ACE ，ABD ACE(SAS) ，AD AE， BAD C

26、AE ，Q ABC 60 ，即 BAD DAC 60 ，DAC CAE 60 ，即 DAE 60 ，ADE 是等邊三角形，DB ，DA DE DC CE DC DB，即 DA DC 故答案為： DA DC DB ；（2） 2DA DB DC ，如圖 2，延長 DC 到點(diǎn) E ，使 CE BD ，連接 AEQBAC90 ，BDC 90ABDACD180 ，QACEACD180 ，ABDACE ，Q AB AC， CEBD，ABDACE，AD AE， BAD CAE ，DAE BAC 90 ，DA2AE2DE2，2DA2(DBDC)2，2DADBDC ；3）如圖 3，連接 PQ ，QMN 14 ，

27、 QMN 30 ，1QN MN 7 ，2MQ MN2 QN2142 72 7 3 ，由（ 2）知 2PQ QN QM 7 7 3 ，PQ故答案為： 7 2 7 6 【點(diǎn)評】 此題是三角形的綜合題， 主要考查了考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、 直角三角 形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵【變式 1-1】（2019?亭湖區(qū)二模） 【閱讀材料】小明遇到這樣一個問題：如圖1，點(diǎn) P在等邊三角形 ABC內(nèi)，且 APC 150 ， PA 3，PC 4 ，求 PB的長小明發(fā)現(xiàn)，以 AP 為邊作等邊三角形 APD ，連接 BD，得到 ABD ；由等邊三角形的性質(zhì)， 可證

28、 ACP ABD，得 PC BD ；由已知 APC 150 ，可知 PDB的大小，進(jìn)而可求得 PB 的長（1）請回答：在圖 1 中， PDB ， PB 【問題解決】 （2）參考小明思考問題的方法，解決下面問題： 如圖 2， ABC中， ACB 90 ， AC BC，點(diǎn) P在 ABC內(nèi)，且 PA 1， PB 17，PC 2 2，求 AB 的長【靈活運(yùn)用】（3）如圖 3，在Rt ABC中， ACB 90 ， BAC ，且tan 4，點(diǎn) P在 ABC外，且 PB 3， PC 1，直接寫出 PA 長的最大值A(chǔ)P3，因為 ADP 為等邊三角形， 所以ADP 60 ，DP AD 3 ，可得BDP 90 ，

29、在 RtBDP中，用勾股定理可求得 PB 的長；2）如圖 2 中，把 ACP繞點(diǎn) C 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到 BCD 首先證明 PDB 90 ，再證明 A ， P ， D 共線，利用勾股定理即可解決問題3）如圖 3中，作 CD CP，使得 CD3PC43 ，則 PD PC 2 CD2455 ，利用相似三4角形的性質(zhì)求出 AD ，即可解決問題解析】（ 1）如圖 1 中，Q ACP ABD ，PDB APC 150 ， PC BD 4 ，ADAP 3 ，ADP60 ，DPAD 3 ，BDP1506090 ，PB32425故答案為：90 ，5；（2）如圖2 中，把ACP繞點(diǎn) C 逆時針旋轉(zhuǎn)Q ADP

30、為等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知；90 得到 BCD BD PA 1 ，CD CP 2 2 ，PCD 90 ，PCD 是等腰直角三角形，PD 2PC 2 2 2 4 ， CDP 45Q PD 2 BD2 42 12 17 ， PB2 ( 17)2 17 ，PD2 BD2 PB2 ，PDB90 ，BDC135 ，APCCDB135 ， Q CPD 45 ，APCCPD180 ，A， P， D共線，AD AP PD 5，在 RtADB中， ABAD2 BD252 1226 3）如圖 3 中，作 CD CP ，使得 CD43PC 43，則 PDPC2 CD2 45，BC4，Q tan BACAC3BC

31、PCAC CDQ ACBPCD90 ，ACDBCP，ACDBCP，ADCD3，PBPC4AD9，4Q933 剟PA954444373剟PA 7 ，22 PA 的最大值為 7 2變式 1-2】（2018?亭湖區(qū)二模）如圖，在等腰RtABC與等腰Rt ADE 中，BAC DAE 90 1）連接 BD， CE （如圖 ） ，請直接寫出線段 BD， CE的數(shù)量關(guān)系2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長 BD交CE于點(diǎn) F，連接 AF（如圖 ） ，試探究線段AF ，BF ，CF 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；3）連接 BE，取 BE的中點(diǎn) O，連接 AO（如圖 ），若 AD 5，AO 2，tanDAO3，4求 AB

32、的長分析】（ 1）結(jié)論： BDFC 如圖 中，作 AM2）結(jié)論： BF2FAAF 交BF 于M 想辦法證明 BMFC ，MAF 是等腰直角三角形即可解決問題；3）如圖 中，作DM AO交 AO 的延長線于M ，作 EN OA 交 OA 的延長線于，作AH EO于H 想辦法求出 AH ， BH即可解決問題；解析】（1）結(jié)論：BDCE理由：如圖 中，Q AB AC ， AD AE ， BAC DAE 90 ，BAD CAE ，BD EC 故答案為 BD EC 2）結(jié)論： BF2FA FC 理由：如圖 中，作 AMAF 交 BF 于 M QBADCAE，ABMACF，QBACMAF 90 ，BAMC

33、AF，Q AB AC ，BAM CAF ，BM CF ， AM AF ，AMF 是等腰直角三角形，F(xiàn)M 2FA ，F(xiàn)B FM BM CF 2AF ，BF 2AF FC 3）如圖中，作 DM AO交AO的延長線于 M，作 EN OA交OA的延長線于 N，作AH EO于H 在 Rt ADM 中， tan DAMDMAM3，設(shè) DM 3k， AM 4k，4則有 (3k)2 (4k)2 52 ，解得 k 1，Qk 0，k 1 ，DM 3， AM 4 ，QOA 2 ，OM 2 ，由 ADM EAN ，可得 NEAM 4， AN DM 3，在 Rt ENO 中，EO425241，設(shè) OH x，22Q AH

34、 2 OA2OH 2AE2EH2，22222 x2 52( 41x)2，解得 xOH10 ，41，10 ，41，AH8，41，在 Rt ABH 中，ABAH 2 BH類型 2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題【例 2】（2019?海州區(qū)一模）如圖 1，將兩個完全相同的三角形紙片 ABC和DEC 重合放置， 其中 C 90 ， B E 30 （1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖 2，固定 ABC，使 DEC 繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB邊上時，填空： 線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 ；設(shè) BDC的面積為 S1， AEC的面積為 S2，則 S1與S2的數(shù)量關(guān)系是（2）猜想論證： 當(dāng) DEC 繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到如圖 3

35、 所示的位置時， 小明猜想（1）中 S1與 S2 的數(shù)量關(guān)系仍然成立， 并嘗試分別作出了 BDC 和 AEC中 BC 、 CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 ABC 60 ，點(diǎn) D是角平分線上一點(diǎn)， BD CD 6，DE / / AB交 BC于點(diǎn) E（如圖 4）， 若在射線 BA 上存在點(diǎn) F ，使 SDCF S BDE ， 請求出相應(yīng)的 BF 的長【分析】（ 1） 證明 EDC DCA 60 即可判斷首先證明 AD BD，推出 ADC 與 BDC 的面積相等，再證明 ADC 與 ACE的面積相 等即可（2）作 AN EC交 EC的延長線于 N，DM BC于M ，證明 ACN

36、DCM （ AAS）即可 解決問題（3）分兩種情形分別求解即可解決問題【解析】（1）如圖 1 中， 由旋轉(zhuǎn)可知： CA CD ，Q ACB 90 ， B 30 ，CAD 60 ，ADC 是等邊三角形，DCA 60 ，Q ECD 90 ， DEC 30 ，CDE 60 ，EDCDCA ，DE / /AC ，Q AB 2AC， AD AC，AD BD ，S BDC S ADC ，QDE / /AC ，S ADC S ACE ，S1 S2 故答案為： DE/AC， S1 S2（2）如圖 3 中，Q DEC 是由 ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)得到，BC CE， AC CD，Q ACNBCN 90 ， DCM

37、BCN 180 90 90 ，ACNDCM ，在 ACN 和DCM 中，ACNDCMANCDMC 90 ，AC CDACN DCM (AAS) ，AN DM ，S BDC S AEC 3)如圖 4中，作 DF / /BC交AB于F 延長 CD交AB于H QDF /BE，DE /BF，四邊形DEBF 是平行四邊形，S BDFS BDE ， S BDF S DFC ，S DFC S BDE ，Q ABC 60 ， BD平分 ABC ，ABD DBE 30 ，QDF / /BE ，F(xiàn)DB 30 ，F(xiàn)BD FDB 30 ，F(xiàn)B FD ，四邊形 DEBF 是菱形，Q BD CD6，DBCDCB30Q D

38、ECABC60CDE90 ，DE CD gtan30 6 3 2 3 ，BF DE 2 3 ，QDE / /AB，BHC EDC 90 ，CH AB，作點(diǎn) F 關(guān)于 CH 的對稱點(diǎn) F ，連接 DF ，易知 SDFC SVDF C，在 Rt DFH 中， FH HF DF gsin30 3 ，BF 4 3 ，綜上所述，滿足條件的 BF 的值為 2 3或 4 3菱形的判構(gòu)造特殊點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題， 考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)， 定和性質(zhì)， 等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識， 解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線， 四邊形解決問題，屬于中考壓軸變式 2-1】（ 2019?遼陽模擬）旋轉(zhuǎn)

39、變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn) 變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題1 已知， ABC中， AB AC， BAC，點(diǎn) D、E在邊 BC上，且 DAE21）如圖 1，當(dāng)60時，將 AEC 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn) 60 到 AFB 的位置，連接 DF ，求 DAF 的度數(shù)；求證： ADEADF2）如圖 2，當(dāng)時，猜想 BD、 DE 、 CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；90分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出再用角的和即可得出結(jié)論；FABCAE ，利用 SAS判斷出 ADEADF ，即可得出結(jié)論；2）先判斷出 BF CE ，ABFACB ，再判斷出DBF 90 ，即可得出結(jié)論；3）

40、同（2）的方法判斷出DBF60 ，再用含 30度角的直角三角形求出 BM，F(xiàn)M ，最【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，F(xiàn)ABCAE，Q BADCAEBACDAE60 3030 ，DAFBADBAFBADCAE30 ；由旋轉(zhuǎn)知，AFAE，BAFCAE，BAFBADCAEBADBACDAEAFAE在 ADE 和ADF中， DAFDAE ，ADAD后用勾股定理即可得出結(jié)論DAE，ADE ADF （SAS） ；（2） BD2 CE2 DE2 ，理由：如圖 2，將 AEC 繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) 90 到 AFB 的位置，連接 DF ，BFCE，ABFACB ，由（ 1）知，ADEADF ，DEDF ，Q ABAC，

41、BAC90 ，ABC ACB 45 ，DBF ABC ABF ABC ACB 90 ， 根據(jù)勾股定理得， BD2 BF2 DF 2， 即： BD2 CE2 DE 2；（3）如圖 3，將 AEC繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) 120 到 AFB的位置，連接 DF ，BFCE，ABFACB ，由（ 1）知，ADEADF ，DEDF ，BF CE5，Q ABAC，BAC120 ，ABC ACB 30 ，DBF ABC ABF ABC ACB 60 ， 過點(diǎn) F 作 FM BC 于 M ， 在 Rt BMF 中， BFM 90 DBF 30 ，BF 5 ，55BM ， FM3 ，22QBD 4 ，3DM BD B

42、M ，2根據(jù)勾股定理得， DF FM 2 DM 2 21 ，DE DF 21 ， 故答案為 21 變式 2-2】（ 2019?宜興市二模） 【問題提出】如圖1，四邊形 ABCD中， AD CD ，ABC 120 ， ADC 60 ， AB 2 ， BC 1，求四邊形 ABCD的面積嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題（1）如圖 2，連接 BD，由于 AD CD ，所以可將 DCB繞點(diǎn) D順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 DAB ，則 BDB 的形狀是 （2）在（ 1）的基礎(chǔ)上，求四邊形 ABCD 的面積 類比應(yīng)用 如圖 3 ，四邊形 ABCD 中，

43、 AD CD ， ABC 75 ， ADC 60 ， AB 2 ， BC 2 ，求四邊形 ABCD 的面積【分析】（ 1）易證 DEB DAB ，則 BD DB ， BDB 60 ，所以 BDB 是等邊三角形； （2）知等邊三角形的邊長為 3，求出 S BDB 即可；【類比應(yīng)用】類比（ 1），連接 BD ，由于 AD CD ，所以可將 BCD繞點(diǎn) D 逆時針方向旋轉(zhuǎn)60 ，得到 DAB ，連接 BB，延長 BA，作BE BE；易證 AFB 是等腰直角三角形， AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理計算 AE B E 1， BB 10 ，求 ABB 和 BDB 的面 積和即可【解析】（1）如圖

44、2，連接 BD，由于 AD CD ，所以可將 DCB繞點(diǎn) D 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 ， 得到 DAB ，QBD B D ， BDB 60BDB 是等邊三角形；2）由（ 1）知， BCD B AD ，四邊形 ABCD 的面積等邊三角形 BDB 的面積，QBC ABBB ABAB 2 13，S四邊形 ABCDS BDB 1 BDB23 33 9 3；324類比應(yīng)用】如圖 3，連接 BD ，由于 ADCD ，所以可將 BCD繞點(diǎn) D 逆時針方向旋轉(zhuǎn)60 ，得到 DAB連接 BB ，延長 BA ，作 B EBE；AD CD Q CDBBD B DADB ，BCD B ADS四邊形 ABCDS四邊形BD

45、B A ，Q ABC75 ， ADC60BAB135Q B ABC2，BEAE1，BEABAE 213，BB10S ABB1gABgB E122 1 1S BDB110305 3 ，222S四邊形ABCDS四邊形BDB AS BDBB AE45 ，S ABB5 3 12類型 3】幾何翻折變換綜合題例 3】（ 2019?江都區(qū)三模）如圖 1，紙片進(jìn)行如下操作：首先將紙片沿折痕有一張矩形紙片 ABCD ，已知 AB 5， AD 6，現(xiàn)將BF 進(jìn)行折疊，使點(diǎn) A 落在 BC邊上的點(diǎn) E 處，點(diǎn) F在 AD 上（如圖 2） ；然后將紙片沿折痕 DH 進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn) C 落在第一次的折痕 BF上的

46、點(diǎn) G 處，點(diǎn) H 在 BC 上（如圖 3） 1）如圖 2，判斷四邊形 ABEF 的形狀，并說明理由；2）如圖 3，求 BG 的長分析】（1）由折疊可得： AB BE ，且 AABE BEF 90 ，即可得出結(jié)論； '2）過G點(diǎn)作 MN / /AB ，交AD 、BC于點(diǎn) M、N ，由四邊形 ABEF 為正方形， 可求得 AF的長，得出 BNG 和 FMG 為等腰直角三角形，設(shè) BNx，則可表示出 GN 、 MG 、 MD ，利用折疊的性質(zhì)可得到 CD DG ，在 Rt MDG 中，利用勾股定理可求得 x ，即可得出結(jié)果解析】（1）四邊形 ABEF 是正方形，理由如下：Q 四邊形 ABC

47、D 為矩形，AB CD 5， BC AD 6，由折疊可得： AB BE ，且 A ABEBEF 90 ，四邊形 ABEF 為正方形；2）過點(diǎn) G作MN /AB，分別交 AD、BC于點(diǎn) M 、 N，如圖 3所示：Q 四邊形 ABEF 是正方形，AF AB 5 ，QMN /AB ，BNG 和 FMG 為等腰直角三角形，且 MN AB 5，設(shè) BN x，則 GN AM x， MG MN GN 5 x ， MD AD AM 6 x ，又由折疊的性質(zhì)可知： DG DC 5 ，在 Rt MDG 中，由勾股定理可得 MD 2 MG 2 GD2 ，即 （6 x）2 （5 x）2 52 ，解得： x 2，GN

48、BN 2 ，BG 2BN 2 2 【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、 等腰直角三角形 的性質(zhì)、 勾股定理等知識； 熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)， 由勾股定理得出方程是解題的關(guān) 鍵【變式 3-1】（2019?廣陵區(qū)校級二模） 如圖，將矩形 ABCD先過點(diǎn) A的直線 L1翻折，點(diǎn) DA的 對應(yīng)點(diǎn) D剛好落在邊 BC上，直線 L1交DC于點(diǎn)F ；再將矩形 ABCD沿過點(diǎn) A的直線 L2 翻折，使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) G落在 AD 上， EG的延長線交 AD于點(diǎn) H （1）當(dāng)四邊形 AED H 是平行四邊形時，求AD H 的度數(shù)（2）當(dāng)點(diǎn) H 與點(diǎn) D 剛好重合時，試判斷AEF

49、的形狀，并說明理由AEDHGED 、【分析】（1）如圖 1中，在RT ABC中，由 AD 2AB推出 ADB 30 ，再證明四邊形 是菱形即可解決問題（2）如圖 2中，先證明 DD G DD C得出 DG DC AB AG，發(fā)現(xiàn) AGD、 DEC都是等腰直角三角形，再證明 ABE ECF 即可解決問題【解析】（1）如圖 1中，Q 四邊形 AEDH 是平行四邊形，AG GD ，QEH AD ， 四邊形 AED H 是菱形，AD H AD B ，Q AEG是由 AEB 翻折得到，AB AG D G ，Q 四邊形 ABCD 是矩形，B 90 ，AD B 30 ，AD H 30 （2）結(jié)論： AEF

50、是等腰直角三角形 理由：如圖 2 中，連接 DD Q 四邊形 ABCD 是矩形，AD/BC， ADDDD C， AB DC， B C 90 ，Q AD AD ，ADD AD D ，DD A DD C ，在 DD G 和 DD C 中，DGD DCDDD G DD C ，DD DD DD G DD C ，DG DC AB AG ，Q AGD 90 ，GAD GDA AD EDED 45 ，EG GDBECD ，Q AD BFD C90 ，F(xiàn)D CD FC45 ，CD CFBE，Q CEDCDE45 ，EC CDAB，在 ABE 和ECF 中，AB ECBC90 ，BE CFABEECF ，AE EF， BAE CEF ，Q BAEAEB90 ，AEBCEF90 ，AEF90 ，AEF是等腰直角三角形【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、 等腰直角三角形的判定等知識，第一問的關(guān)鍵是菱形性質(zhì)的應(yīng)用，第二個問題的關(guān)鍵是 正確尋找全等三角形，利用特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型【變式 3-2】（2018?深圳模擬）已知矩形紙片 ABCD中， AB 2， BC 3 操作：將矩形紙片沿 EF 折疊，使點(diǎn) B 落在邊 CD 上探究：（1）如圖 1，若點(diǎn) B與點(diǎn)