第十四章現(xiàn)代數(shù)學(xué)概觀-二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)

1、第十四章：現(xiàn)代數(shù)學(xué)概觀二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)第一節(jié) 五大新興學(xué)科的建立 一、數(shù)理邏輯 1符號(hào)邏輯數(shù)理邏輯作為一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討，它最早可追溯到萊布尼茨，他關(guān)于邏輯演算的觀念預(yù)示著布爾代數(shù)，而英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾(GBoole 18151864)在1847年出版邏輯的數(shù)學(xué)分析一書(shū)，正式推出所謂布爾代數(shù)，在邏輯上相當(dāng)于命題演算其后由英國(guó)數(shù)學(xué)家杰方斯(WSJevons，18351882)和小皮爾斯(CSPeirce，18391914)在1874年加入次序關(guān)系，德國(guó)數(shù)學(xué)卷中加以公理化第一個(gè)完全形式化的語(yǔ)言是德國(guó)數(shù)學(xué)家弗瑞格(GFrege，18481925)在1879年出版的概念文字中引進(jìn)的他

2、首先定義了全稱(chēng)量詞及存在量詞并引進(jìn)一般的謂詞邏輯不過(guò)相應(yīng)的邏輯代數(shù)一直到1950年才由波蘭數(shù)學(xué)家塔斯基(ATarski，19021983)所發(fā)展，他引進(jìn)所謂“圓柱代數(shù)”1955年美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(PHalmos，1916)又引進(jìn)多進(jìn)代數(shù)，形成一般的邏輯代數(shù)理論1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(GPeano，18581932)提出自然數(shù)的公理系統(tǒng)，即后來(lái)所謂皮亞諾算術(shù)公理而戴德金在前一年也提出類(lèi)似的公理系統(tǒng)弗雷格在1884年出版的算術(shù)基礎(chǔ)中開(kāi)始提到算術(shù)無(wú)非是擴(kuò)展的邏輯戴德金也提出類(lèi)似的觀點(diǎn)弗雷格在1893年出版的算術(shù)的基本規(guī)律第一卷中，用五條邏輯公理來(lái)推導(dǎo)算術(shù)命題1902年6月羅素給弗雷格一封信，

3、提出著名的羅素悖論，并指出弗雷格的矛盾弗雷格在1903年出版的算術(shù)的基本規(guī)律第二卷附錄中承認(rèn)這是對(duì)他的巨大打擊，正是這個(gè)悖論，揭開(kāi)了數(shù)理邏輯新的一章2羅素悖論羅素的悖論是關(guān)于集合論的，康托爾已經(jīng)意識(shí)到不加限制地談?wù)摗凹系募稀睍?huì)導(dǎo)致矛盾其他人也發(fā)現(xiàn)集合論中存在矛盾而羅素在1903年出版的數(shù)學(xué)的原理(Principles of Mathematics)中，則十分清楚地表現(xiàn)出集合論的矛盾，從而動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)羅素的悖論是說(shuō)：可以把集合分成兩類(lèi)：凡不以自身為元素的集合稱(chēng)為第一類(lèi)集合，凡以自身做為元素的集合稱(chēng)為第二類(lèi)的集合，每個(gè)集合或?yàn)榈谝活?lèi)集合或?yàn)榈诙?lèi)集合設(shè)M表示第一類(lèi)集合全體所成的集合如果

4、M是第一類(lèi)集現(xiàn)了這個(gè)矛盾之后，導(dǎo)致第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，在數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了各種意見(jiàn)，從拋棄集合論到盡可能保持集合論在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位的都有由于20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展主流是建立在集合論基礎(chǔ)之上，這里只考慮數(shù)學(xué)家如何消除悖論在20世紀(jì)初，大致有兩種辦法，一個(gè)辦法是羅素的分支類(lèi)型論，它在1908年發(fā)表，在這個(gè)基礎(chǔ)上羅素與懷特海(ANWhitehead，18611947)寫(xiě)出三大卷數(shù)學(xué)原理(principia Mathematica，19101913)，成為數(shù)理邏輯最早一部經(jīng)典著作還有一個(gè)辦法是公理方法限制集合，由此產(chǎn)生公理集合論3集合論的公理化康托爾本人沒(méi)有對(duì)集合論進(jìn)行公理化集合論公理化是策梅羅(EZermelo

5、，18711953)在1908年發(fā)表的富蘭克爾(AFraenkel，18911965)等人曾加以改進(jìn)，形成著名的ZF系統(tǒng)，這是最常用的一個(gè)系統(tǒng)，因此大家都希望從中推出常用的選擇公理(1904年策梅羅引進(jìn)它來(lái)設(shè)與ZF系統(tǒng)是相容的1963年，柯亨(PCohen，1934)發(fā)明“力迫法”證明這兩條“公理”的否定也不能在ZF系統(tǒng)中證明，從而推出其獨(dú)立性4希爾伯特綱領(lǐng)為了使數(shù)學(xué)奠定在嚴(yán)格公理化基礎(chǔ)上，1922年希爾伯特提出希爾伯特綱領(lǐng)，首先將數(shù)學(xué)形式化，構(gòu)成形式系統(tǒng)，然后通過(guò)有限主義方法證明其無(wú)矛盾性1928年希爾伯特提出四個(gè)問(wèn)題作為實(shí)現(xiàn)其綱領(lǐng)的具體步驟：(1)分析的無(wú)矛盾性1924年阿克曼(WAcke

6、rmann，8961962)和1927年馮·諾伊曼(JVon Neumann，19031957)的工作使希爾伯特相信只要一些純算術(shù)的初等引理即可證明分析的無(wú)矛盾性1930年夏天，哥德?tīng)栭_(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，他不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無(wú)矛盾性哥德?tīng)栒J(rèn)為應(yīng)該把困難分解：用有限主義的算術(shù)證明算術(shù)的無(wú)矛盾性，再用算術(shù)的無(wú)矛盾性證明分析的無(wú)矛盾性哥德?tīng)栍纱顺霭l(fā)去證明算術(shù)的無(wú)矛盾性而得出不完全性定理(2)更高級(jí)數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性特別是選擇公理的無(wú)矛盾性這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被哥德?tīng)栐?938年以相對(duì)的方式解決(3)算術(shù)及分析形式系統(tǒng)的完全性這個(gè)問(wèn)題在1930年秋天哥尼斯堡的會(huì)議上，哥德?tīng)栆呀?jīng)提出了一個(gè)

7、否定的解決這個(gè)問(wèn)題的否定成為數(shù)理邏輯發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(4)一階謂詞邏輯的完全性，這個(gè)問(wèn)題已被哥德?tīng)栐?930年完全解決這樣一來(lái)哥德?tīng)柊严柌氐姆较蚺まD(zhuǎn)，使數(shù)理邏輯走上全新的發(fā)展道路5哥德?tīng)柕娜?xiàng)重大貢獻(xiàn)除了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的無(wú)矛盾性之外，哥德?tīng)栐?9291930年證明下面兩大定理：(1)完全性定理：哥德?tīng)柕膶W(xué)位論文邏輯函數(shù)演算的公理的完全性解決了一階謂詞演算的完全性問(wèn)題羅素與懷特海建立了邏輯演算的公理系統(tǒng)及推演規(guī)則之后，數(shù)學(xué)家最關(guān)心的事就是公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性及完全性所謂完全性就是，每一個(gè)真的邏輯數(shù)學(xué)命題都可以由這個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出，也就是可證明命題演算的完全性已由美國(guó)數(shù)學(xué)家波斯特(EPost，189719

8、54)在1921年給出證明而一階謂詞演算的完全性一直到1929年才由哥德?tīng)柦o出證明(2)不完全性定理：這是數(shù)理邏輯最重大的成就之一，是數(shù)理邏輯發(fā)展的一個(gè)里程碑和轉(zhuǎn)折點(diǎn)哥德?tīng)栕C明不完全性定理是從考慮數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題開(kāi)始的1930年秋在哥尼斯堡會(huì)議上他宣布了第一不完全性定理：一個(gè)包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是無(wú)矛盾的，那就是不完全的不久之后他又宣布：如果初等算術(shù)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，則無(wú)矛盾性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)不可證明哥德?tīng)柕牟煌耆ɡ碓斓氖且粋€(gè)不自然的數(shù)論問(wèn)題，數(shù)學(xué)家一直希望在一階皮亞諾算術(shù)中找到一個(gè)數(shù)學(xué)表述既簡(jiǎn)單又有趣的數(shù)論問(wèn)題，就像哥德巴赫猜想或費(fèi)馬大定理來(lái)說(shuō)明算術(shù)的不完全性這一直到1977年才由

9、巴黎斯(JParis)等人造出，這更加證明希爾伯特綱領(lǐng)是不可能實(shí)現(xiàn)的6哥德?tīng)栆院蟮臄?shù)理邏輯哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ韽母旧蟿?dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它指出絕對(duì)的無(wú)矛盾性的證明是不可能實(shí)現(xiàn)的，數(shù)學(xué)家只能限制自己的領(lǐng)域及要求數(shù)理邏輯也成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，它分成四大分支：證明論、遞歸論、公理集合論及模型論，它們都在30年代發(fā)展起來(lái)證明論仍然繼續(xù)希爾伯特綱領(lǐng)，但不得不放寬有限主義的條件其中最主要的成就是根岑(GGentzen，19091945)在1934年用超窮歸納法證明自然數(shù)算術(shù)的無(wú)矛盾性遞歸論也奠定基礎(chǔ)，1935年克林尼(S.Kleene，19091994)定義一般遞歸函數(shù)，1936年圖林(ATuring，1

10、912)提出圖林機(jī)概念同年車(chē)爾赤(AChurch1903)提出車(chē)爾赤論點(diǎn)：任何有效可計(jì)算函數(shù)均等價(jià)于一般遞歸函數(shù)遞歸論與數(shù)學(xué)關(guān)系至為密切，它不僅為計(jì)算機(jī)科學(xué)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)一系列判定問(wèn)題則直接涉及數(shù)學(xué)基本問(wèn)題：如群的基本問(wèn)題是問(wèn)什么時(shí)侯兩個(gè)群同構(gòu)，對(duì)于有限表出群是1908年提出的，到50年后，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿其揚(yáng)(CA，)在1957年及以色列數(shù)學(xué)家拉賓(MORabin，)在1958年獨(dú)立證明這問(wèn)題是不可解的在這個(gè)基礎(chǔ)上，小馬爾科夫(AAMapkoB，19031979)證明拓?fù)鋵W(xué)的基本問(wèn)題同胚問(wèn)題也是不可解的，1970年最終證明希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的模型論首先是處理真假問(wèn)題，它指出一系列命題在某些

11、模型下為真，而在另外模型下非真其次它構(gòu)造一批非標(biāo)準(zhǔn)模型1934年斯科侖(TSkolem，18871968)給出整數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)模型，1961年魯賓遜(ARobinson，19181974)提出非標(biāo)準(zhǔn)分析，使萊布尼茨的無(wú)窮小合法化，創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué) 二、抽象代數(shù)學(xué) 代數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大部門(mén)它們構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心沒(méi)有代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)(除了那些較為孤立的、相對(duì)地講不太重要的學(xué)科)可以說(shuō)寸步難行抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)是在20世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)的19301931年范·德·瓦爾登(BLvander Waerden，1903)的近世代數(shù)學(xué)(Moderne Algebra)

12、一書(shū)問(wèn)世，在數(shù)學(xué)界引起轟動(dòng)，由此之后，抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)成為代數(shù)學(xué)的主流，不久之后也就理所當(dāng)然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂爾皇之成為代數(shù)的正統(tǒng)范·德·瓦爾登的書(shū)至今仍然是代數(shù)學(xué)的模式它是根據(jù)德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家E諾特(ENoether，18821935)和德國(guó)數(shù)學(xué)家阿廷(EArtin，18981962)的講義編寫(xiě)而成，在精神上基本來(lái)源于他們兩位，特別是諾特，被公認(rèn)為“近世代數(shù)學(xué)之母”在諾特之前，不少大數(shù)學(xué)家都對(duì)近世代數(shù)學(xué)有過(guò)這樣或那樣的貢獻(xiàn)，但是這種與經(jīng)典代數(shù)學(xué)迥然不同的思想主要來(lái)源于戴德金和希爾伯特，戴德金不僅引進(jìn)大多數(shù)抽象代數(shù)觀念如理想、模、環(huán)、格等，而且初步研究它

13、們的結(jié)構(gòu)及分類(lèi)，而希爾伯特的抽象思維方式及公理方法則對(duì)現(xiàn)代整個(gè)數(shù)學(xué)都有舉足輕重的影響抽象代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象與研究目標(biāo)與經(jīng)典代數(shù)學(xué)有著根本的不同：經(jīng)典代數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是求解代數(shù)方程和代數(shù)方程組，而抽象代數(shù)學(xué)的目標(biāo)則是研究具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合的性質(zhì)，刻劃它們并加以分類(lèi)，這些對(duì)象是用公理定義的1域論從古代起，人們就已經(jīng)熟悉有理數(shù)和它們的運(yùn)算加法和乘法這些運(yùn)算滿足加法交換律和加法結(jié)合律，乘法交換律和乘法結(jié)合律，以及分配律，而且對(duì)于加法存在零元素(0)及逆元素(倒數(shù))所有有理數(shù)的集合是人們最早認(rèn)識(shí)的具體的域，后來(lái)也知道實(shí)數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合同樣滿足上述公理，它們也是城除了這些最熟悉的域之以，在19世紀(jì)研究得最多

14、的域是代數(shù)數(shù)域，這些都是含有無(wú)窮多元素的數(shù)域有沒(méi)有有限多個(gè)元素的域呢？1830年伽羅瓦已知有有限多個(gè)元素的域(后來(lái)被稱(chēng)為伽羅瓦域)，其元素被稱(chēng)為伽羅瓦虛數(shù)，它們滿足pa0，其中p是一個(gè)素?cái)?shù)，p稱(chēng)為域的特征伽羅瓦曾具體證明，在一個(gè)特征為p的伽羅瓦域中，元素個(gè)數(shù)是p的一個(gè)冪如在當(dāng)時(shí)的情況一樣，伽羅瓦所作的一切都是有具體表示的到19世紀(jì)末，人們知道其他域的例子還有有理函數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域從整體結(jié)構(gòu)上對(duì)域進(jìn)行考察始自戴德金及克羅內(nèi)克對(duì)代數(shù)數(shù)域的研究(從1855年起)但抽象域的觀念則來(lái)自德國(guó)數(shù)學(xué)家韋伯(HWeber，18421913)，他的思想來(lái)自抽象群的觀念后來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家狄克遜(LEDickson，18

15、741954)及亨廷頓(EVHuntington，18741952)給出域的獨(dú)立的公理系統(tǒng)在韋伯的影響下，德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰尼茨(ESteinitz，18711928)在1910年發(fā)表域的代數(shù)理論一文，為抽象域論奠定了基礎(chǔ)他把域分為兩種類(lèi)型：一種是特征為p的域，也即對(duì)所有元素a滿足pa0的域，它們一定包含最小的城(稱(chēng)為素域)，最小的域一定是只含p個(gè)元素的伽羅瓦域另一種是不存在這種p的域，稱(chēng)為特征0，其素域一定是有理數(shù)域不管域?qū)儆谀囊环N類(lèi)型，任何域均可由素域添加一些新元素“擴(kuò)張”而成所以域的根本問(wèn)題是研究域的擴(kuò)張他對(duì)擴(kuò)張進(jìn)行了分類(lèi)，其中主要的一類(lèi)是添加系數(shù)在原域中的多項(xiàng)式的根后所得的擴(kuò)張(代數(shù)擴(kuò)張)

16、當(dāng)一個(gè)域通過(guò)代數(shù)擴(kuò)張不能再擴(kuò)大時(shí)稱(chēng)為代數(shù)封閉域施泰尼茨證明，每個(gè)域均有唯一的代數(shù)封閉域特別他還對(duì)特征p一般域脅許多特殊性質(zhì)如不可分性、不完全性進(jìn)行研究關(guān)于抽象有限域，已經(jīng)有了相當(dāng)完整的結(jié)果：1893年美國(guó)數(shù)學(xué)家莫爾(EHMoore，18621932)證明，任何一有限域必定與某一個(gè)伽羅瓦域同構(gòu)反過(guò)來(lái)，對(duì)于任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)a，必定存在唯一一個(gè)伽羅瓦域，具有pa個(gè)元素有限域理論在數(shù)論、編碼理論、組合理論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面有著許多應(yīng)用在域論中引進(jìn)p進(jìn)域是一個(gè)重大成就德國(guó)數(shù)學(xué)家亨澤爾(KHensel，18611941)在1908年出版的代數(shù)數(shù)論(Theorie der algebraischen Zah

17、len)中系統(tǒng)闡述了p進(jìn)數(shù)，他對(duì)這種數(shù)規(guī)定了加、減、乘、除四種基本運(yùn)算，構(gòu)成一個(gè)域稱(chēng)p進(jìn)域，而它是有理數(shù)域的一個(gè)完備化，如同實(shí)數(shù)域一樣但是與實(shí)數(shù)域性質(zhì)的一個(gè)很大的不同是實(shí)數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，也就是對(duì)任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b總存在一個(gè)正整數(shù)n，使nabp進(jìn)域雖然也有一個(gè)自然的順序，但卻沒(méi)有阿基米德性質(zhì)p進(jìn)數(shù)域是一種“局部”域，在它里面也可定義整數(shù)及代數(shù)數(shù)，它的建立大大有助于數(shù)論的發(fā)展亨澤爾之后，抽象賦值論得到發(fā)展，在代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)上有著重要應(yīng)用抽象理論的建立不僅使已有的零散知識(shí)系統(tǒng)化，而且有助于許多問(wèn)題的解決，1927年阿廷解決希爾伯特第17問(wèn)題就是靠他引進(jìn)抽象的實(shí)域(他稱(chēng)為形式實(shí)域)實(shí)域k是

18、把實(shí)數(shù)域的一個(gè)特性抽象化：即-1不能表示為k中元素的平方和通過(guò)這個(gè)概念，他證明“任何正定有理函數(shù)都可表示為有理函數(shù)平方和”2環(huán)論環(huán)的概念原始雛型是整數(shù)集合它與域不同之處在于對(duì)于乘法不一定有逆元素抽象環(huán)論的概念來(lái)源一方面是數(shù)論，整數(shù)的推廣代數(shù)整數(shù)具有整數(shù)的許多性質(zhì)，也有許多不足之處，比如唯一素因子分解定理不一定成立，這導(dǎo)致理想數(shù)概念的產(chǎn)生戴德金在1871年將理想數(shù)抽象化成“理想”概念，它是代數(shù)整數(shù)環(huán)中的一些特殊的子環(huán)這開(kāi)始了理想理論的研究，在諾特把環(huán)公理化之后，理想理論被納入環(huán)論中去環(huán)的概念的另一來(lái)源是19世紀(jì)對(duì)數(shù)系的各種推廣這最初可追溯到1843年哈密頓關(guān)于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)他的目的是為了擴(kuò)張用處很

19、大的復(fù)數(shù)它是第一個(gè)“超復(fù)數(shù)系”也是第一個(gè)乘法不交換的線性結(jié)合代數(shù)它可以看成是實(shí)數(shù)域上的四元代數(shù)不久之后凱萊得到八元數(shù)，它的乘法不僅不交換，而且連結(jié)合律也不滿足，它可以看成是第一個(gè)線性非結(jié)合代數(shù)其后各種“超復(fù)數(shù)”相繼出現(xiàn)1861年，魏爾斯特拉斯證明，有限維的實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的可除代數(shù)，如滿足乘法交換律，則只有實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)的代數(shù)(1884年發(fā)表)1870年戴德金也得出同樣結(jié)果(1888年發(fā)表)1878年弗洛賓尼烏斯(FGFrobenius，18491917)證明實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)只有實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)及實(shí)四元數(shù)的代數(shù)1881年小皮爾斯也獨(dú)立得到證明1958年用代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方法證明，實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)，

20、連非結(jié)合可除代數(shù)也算在內(nèi)，只有1，2，4，8這四種已知維數(shù)可見(jiàn)實(shí)數(shù)域及復(fù)數(shù)域具有獨(dú)特的性質(zhì)關(guān)于域上線性結(jié)合代數(shù)的研究在19世紀(jì)末處于枚舉階段，1870年老皮爾斯(BPeirce，18091880)發(fā)表線性結(jié)合代數(shù)，列舉6維以下的線性結(jié)合代數(shù)162個(gè)他還引進(jìn)冪零元與冪等元等重要概念為后來(lái)的結(jié)構(gòu)理論奠定基礎(chǔ)1898年、嘉當(dāng)(ECartan)在研究李代數(shù)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，對(duì)于結(jié)合代數(shù)進(jìn)行類(lèi)似的研究，1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家摩林(TMolien，18611941)征明，復(fù)數(shù)域上維數(shù)2的單結(jié)合代數(shù)都與復(fù)數(shù)域上適當(dāng)階數(shù)的矩陣代數(shù)同構(gòu)線性結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理是1907年由美國(guó)數(shù)學(xué)家魏德本(JHMWedderburn

21、，18821948)得出的：線性結(jié)合代數(shù)可以分解為冪零代數(shù)及半單代數(shù)，而半單代數(shù)又可以表示為單代數(shù)的直和單代數(shù)可表為域上可除代數(shù)的矩陣代數(shù)這樣結(jié)合代數(shù)就歸結(jié)為可除代數(shù)的研究可除代數(shù)有著以下的結(jié)果1905年魏德本證明：有限除環(huán)都是(交換)域，也即伽羅瓦域當(dāng)時(shí)除了伽羅瓦域及四元數(shù)之外，不知道有別的除環(huán)20世紀(jì)雖然發(fā)現(xiàn)了一些新的除環(huán)，但除環(huán)的整個(gè)理論至今仍不完善從線性結(jié)合代數(shù)到結(jié)合環(huán)的過(guò)渡是阿廷完成的1928年，阿廷首先引進(jìn)極小條件環(huán)(即左、右理想滿足降鍵條件的環(huán)，后稱(chēng)阿廷環(huán))，證明相應(yīng)的結(jié)構(gòu)定理對(duì)于半單環(huán)的分類(lèi)，雅可布孫(N.Jacobson，1910)創(chuàng)立了他的結(jié)構(gòu)理論他認(rèn)為對(duì)任意環(huán)均可引進(jìn)根基

22、的概念，而對(duì)阿廷環(huán)來(lái)說(shuō)，根基就是一組真冪零元對(duì)于非半單的阿廷環(huán)(主要出現(xiàn)于有限群的模表示中)，如福洛賓尼烏斯代數(shù)及其推廣也有許多獨(dú)立的研究而與阿廷環(huán)對(duì)應(yīng)的是諾特環(huán)，對(duì)于有么無(wú)的環(huán)，秋月康夫(19021984)及霍普金斯(CH opkins)證明阿廷環(huán)都是諾特環(huán)對(duì)于諾特環(huán)，卻長(zhǎng)期沒(méi)有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)理論一直到1958年英國(guó)數(shù)學(xué)家戈?duì)柕?AWGoldie)才取得突破，他證明任何諾特半素環(huán)都有一個(gè)阿廷半單的分式環(huán)，這才促進(jìn)了新研究與諾特環(huán)平行發(fā)展的是滿足多項(xiàng)式等式的環(huán)近來(lái)環(huán)表示論及同調(diào)方法的應(yīng)用對(duì)結(jié)合環(huán)理論有極大促進(jìn)環(huán)論的另一來(lái)源是代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)及它們導(dǎo)致的交換環(huán)理論1871年戴德金引進(jìn)理想概念，開(kāi)

23、創(chuàng)了理想理論環(huán)這個(gè)詞首先見(jiàn)于希爾伯特的數(shù)論報(bào)告代數(shù)幾何學(xué)的研究促使希爾伯特證明多項(xiàng)式環(huán)的基定理在本世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家臘斯克(ELasker，18681941)及麥考萊(FSMacaulay，18621937)對(duì)于多項(xiàng)式環(huán)得出分解定理對(duì)于交換環(huán)的一般研究來(lái)源于E諾特她對(duì)一般諾特環(huán)進(jìn)行公理化，證明準(zhǔn)素分解定理從而奠定交換環(huán)論乃至抽象代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其后克魯爾(WKrull，18991971)給出系統(tǒng)的研究，他還引進(jìn)了最值得注意的局部環(huán)四十年代，薛華荔、柯恩(ISCohen，19171955)及查瑞斯基(OZariski，18991986)對(duì)局部環(huán)論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究3群論19世紀(jì)末抽象群開(kāi)始成為獨(dú)立研究的

24、對(duì)象，當(dāng)時(shí)主要問(wèn)題仍是以置換群為模式的有限群，問(wèn)題涉及列舉給定階數(shù)的所有群以及群的可解性的判據(jù)當(dāng)時(shí)主要的定理是由挪威數(shù)學(xué)家西洛(LSylow，18321918)在的而19世紀(jì)90年代群論最主要成就是群表示論的出現(xiàn)，它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家福洛賓尼烏斯奠定的后由他的學(xué)生舒爾(ISchur，18751941)所發(fā)展，成為研究群論不可缺少的工具所謂群表示即是把群具體實(shí)現(xiàn)為某種結(jié)構(gòu)的自同構(gòu)群，例如域F上的有限維線性空間的線性變換群，通常是把群的元素與F上的n×n可逆矩陣相對(duì)應(yīng)在英國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩塞德(WBurnside，18521927)的經(jīng)典著作有限階群論(Theory of Groups of Fi

25、nite Order)第二版(1911)已經(jīng)進(jìn)行綜述并給出應(yīng)用20世紀(jì)有限群論的中心問(wèn)題是有限單群的分類(lèi)很久以來(lái)，就已經(jīng)知道一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的有限單群的表，除了素?cái)?shù)階循環(huán)群之外，對(duì)于每一個(gè)整數(shù)n5存在一個(gè)n！/2階單群，它由n個(gè)事物的所有偶置換構(gòu)成，這就是所謂交錯(cuò)群當(dāng)n=5時(shí)，它就是二十面體群另外還知道許多射影特殊線性變換群PSL(n，q)，它們通過(guò)行列式為1的n×n矩陣群(元素取在有限域GL(q)中)的商群構(gòu)造出來(lái)另外對(duì)于正交矩陣、辛矩陣、酉矩陣也可以造出一批單群來(lái)這些“典型群”，從若爾當(dāng)時(shí)候起就已知道，后來(lái)經(jīng)過(guò)美國(guó)數(shù)學(xué)家狄克遜、荷蘭數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾登、法國(guó)數(shù)學(xué)家丟

26、東涅(JDieudonné，19061992)進(jìn)行系統(tǒng)研究真正重大的突破是1955年薛華荔在日本東北數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表的“論某些單群”的論文，這篇論文的重要性不僅展示一些新單群，而且更重要的是對(duì)于以前知道的絕大部分通過(guò)李代數(shù)換基的辦法進(jìn)行統(tǒng)一的處理，從而得出九個(gè)系列的薛華荔群其后，這些薛華荔群經(jīng)過(guò)美國(guó)數(shù)學(xué)家斯坦伯格(RSteinberg，1922)、韓國(guó)數(shù)學(xué)家李林學(xué)、比利時(shí)數(shù)學(xué)家梯茨(JTits，1930)、日本數(shù)學(xué)家鈴木通夫(1926)等人加以擴(kuò)充，得出全部李型單群的16系列除了上述這18個(gè)序列中的有限單群之外，還有幾個(gè)不屬于它們的所謂“散在單群”，其中頭一個(gè)是7920階的群M11是法

27、國(guó)數(shù)學(xué)家馬丟(ELMathieu，18351890)在1861年發(fā)現(xiàn)的，他不久又發(fā)現(xiàn)另外4個(gè)單群M12，M22，M23，M24一直到1965年之前再?zèng)]有發(fā)現(xiàn)新的散在單群了突然1965年南斯拉夫數(shù)學(xué)家嚴(yán)科(ZJanko，1932)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)175560階的新單群，其后10年間，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)另外20個(gè)敬在單群，其中最大的稱(chēng)為費(fèi)舍爾(BFischer，1936)“魔群”，其階大約為8.1053，到這時(shí)候是否所有單群均已找到，也就是有限單群的分類(lèi)已經(jīng)完成了呢？在這條漫長(zhǎng)的路上，首先的突破是一系列群論性質(zhì)及表示論的成果，其中包括1955年布勞爾(RBrauer 19011977)的工作第二個(gè)突破是1963年

28、美國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)特(WFeit，1930)和湯姆遜(JGThompson，1932)證明除循環(huán)群之外，奇階群都是可解群，這個(gè)長(zhǎng)達(dá)250頁(yè)的論文包括了極其豐富的信息70年代，在群的結(jié)構(gòu)研究上有了新的突破，最終導(dǎo)致1981年，有限單群的分類(lèi)徹底完成，不過(guò)全文需要1萬(wàn)頁(yè)以上，這是各國(guó)上百位群論專(zhuān)家通力合作的結(jié)果對(duì)于無(wú)窮階的離散群，也有一些重要的研究，其中重要的是與數(shù)理邏輯有關(guān)的“字的問(wèn)題”，即兩個(gè)符號(hào)序列何時(shí)相等，對(duì)于有限生成的具有有限個(gè)關(guān)系式的群，1955年左右蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家諾維科夫(·C·H，19011975)、美國(guó)數(shù)學(xué)家布里頓(JLBritton)和布恩(WBoone，192019

29、83)證明一般的字的問(wèn)題是不可解的，也就是不存在一個(gè)普遍的算法來(lái)判定兩個(gè)字是否相等，但是另一方面德國(guó)數(shù)學(xué)家馬格努斯(WMagnus，1907)在1932年解決一個(gè)關(guān)系式的有限生成群的字的問(wèn)題另一個(gè)重要的問(wèn)題是伯恩賽德問(wèn)題，他問(wèn)一個(gè)有限生成的群如果其所有元素都是有限階的，該群是否有限，這個(gè)問(wèn)題一直到1964年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家考斯特利金(，1929)舉出例子而得出否定的回答另外還有一個(gè)狹義的伯恩賽德猜想，即有限生成群當(dāng)所有元素x滿足xn0是有限群，現(xiàn)在知道當(dāng)n2，3，4，6時(shí)，狹義伯恩賽德猜想成立，但如果n相當(dāng)大，諾維科夫和布里頓等人也舉出反例 三、測(cè)度與積分理論 測(cè)度是長(zhǎng)度、面積和體積概念的精密化

30、及推廣各民族數(shù)學(xué)發(fā)展一開(kāi)始均致力于測(cè)量長(zhǎng)度和面積，得出相應(yīng)的公式及方法，而統(tǒng)一的求積方法一直到牛頓和萊布尼茨建立微積分之后才得到這時(shí)求積問(wèn)題變成一個(gè)特殊的積分問(wèn)題但積分是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的概念，19世紀(jì)由于分析的嚴(yán)格化才導(dǎo)致由柯西、黎曼及達(dá)布相繼改進(jìn)的黎曼積分的概念，最后確定下來(lái)隨著康托爾點(diǎn)集論的建立，要求對(duì)更一般的點(diǎn)集的“大小”進(jìn)行比較及量度，這要求定義測(cè)度先是對(duì)黎曼可積性條件中函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集的“測(cè)度”給出定義最早是哈那克(AHarnack，18511888)、杜布瓦瑞芒(Pdu Bois Reymond，18311889)、史托爾茨(OStolz，18421905)及康托爾在1881到188

31、5試著做出定義，他們均采用覆蓋區(qū)間長(zhǎng)度的下確界，但是這樣定義有毛病例如，兩個(gè)無(wú)公共點(diǎn)集的并集的“測(cè)度”有時(shí)能夠小于兩集的“測(cè)度”之和，除了上述定義的“外”測(cè)度之外，最先定義“內(nèi)”測(cè)度的是皮亞諾，他在1887年定義“可測(cè)”集為內(nèi)、外測(cè)度相等，這樣雖然克服上述困難，但有界開(kāi)集并不一定可測(cè)若爾當(dāng)在他的分析教程第一卷第二版(1893)中也做了類(lèi)似的定義，同樣也有類(lèi)似的毛病對(duì)這些毛病的補(bǔ)救來(lái)自波萊爾(EBorel，18711956)，他在函數(shù)論教程中大大改進(jìn)了以前的測(cè)度觀念，利用可數(shù)可加性對(duì)任一有界開(kāi)集構(gòu)造地定義測(cè)度他還考慮零測(cè)度集(實(shí)際上這個(gè)觀念可以追溯到黎曼)而真正把波萊爾的方法同皮亞諾若爾當(dāng)?shù)霓k法

32、結(jié)合而形成系統(tǒng)測(cè)度論的則是波萊爾的學(xué)生勒貝格，這些發(fā)表在他的博士論文積分、長(zhǎng)度、面積當(dāng)中勒貝格的功績(jī)不僅在于建立系統(tǒng)的測(cè)度理論，更主要的是建立系統(tǒng)的積分理論在勒貝格之前，除了黎曼積分之外，還有斯蒂爾吉斯(TJStieltjes，18561894)積分斯蒂爾吉斯在1894年發(fā)表的“連分式的研究”中證明：如連分式數(shù)F(Z)，F(xiàn)(Z)可表為曼積分對(duì)于一般的數(shù)學(xué)分析已經(jīng)足夠，但是還有一系列不理想的地方微積分的基本定理是微分和積分互為逆運(yùn)算，也就是說(shuō)如果則導(dǎo)數(shù)F(x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的點(diǎn)是如此但是1881年沃爾泰拉(VVolterra，18601940)還在比薩大學(xué)做學(xué)生時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)

33、例子：一個(gè)函數(shù)F在(0，1)區(qū)間上定義有界，其導(dǎo)數(shù)fF處處存在，但是在當(dāng)時(shí)流行的積分黎曼可積的意義是不可積的因此，需要定義一種積分，它可以在更廣的一類(lèi)函數(shù)上定義，而且使微分和積分成為互逆的運(yùn)算另外對(duì)這種積分還希望收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分勒貝格在他的1902年學(xué)位論文中邁出新的一步，他定義勒貝格積分與以前定義積分的方式不同，以前是先定義積分，然后由積分得到“測(cè)度”，勒貝格與此相反，他先定義測(cè)度，然后定義積分他定義積分時(shí)，不去把自變量的區(qū)間加以區(qū)分，而把因變量y的區(qū)間(對(duì)于實(shí)函數(shù)來(lái)說(shuō)是R的子集)加以重分(成有限個(gè)區(qū)間)，再仿照通常的辦法定義積分，這樣就可以使一些很壞的函數(shù)也成為勒貝格可積的，最明顯的例

34、子就是狄利克雷函數(shù)這樣，大大擴(kuò)充了可積函數(shù)的范圍另外如果勒貝格可積函數(shù)同時(shí)也黎曼可積，則兩個(gè)積分相等并且與一些極限運(yùn)算可以交換，而且可以推廣到高維勒貝格積分雖然能解決沃爾泰拉原來(lái)的問(wèn)題，但并不足夠一般以致能夠使所有具有有限導(dǎo)數(shù)f(x)F(x)的函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=F(x)都可積為此，法國(guó)數(shù)學(xué)家當(dāng)日瓦(ADenjoy，18841974)在1912年和德國(guó)數(shù)學(xué)家佩隆(OPerron，18801975)在1914年分別設(shè)計(jì)了以他們各自的姓定義的積分其后魯金(HH，18831950)給出描述性定義，這三者是等價(jià)的1915年法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇把積分?jǐn)U張到抽象集合的泛函上他的模式取自1913年奧地利

35、數(shù)學(xué)家拉東(JRadon，18871956)的工作，其中引進(jìn)集函數(shù)他實(shí)際上綜合了斯蒂爾吉斯積分與勒貝格在1910年把勒貝格測(cè)度論推廣到高維(三維及三維以上)歐氏空間的研究勒貝格通過(guò)可測(cè)函數(shù)的積分定義一個(gè)集函數(shù)，證明它是完全可加的而且絕對(duì)連續(xù)的不過(guò)他只有點(diǎn)函數(shù)觀念，而拉東則利用集函數(shù)定義拉東測(cè)度1930年波蘭數(shù)學(xué)家尼古丁(ONikodyn，18871974)對(duì)抽象測(cè)度論完成了1910年勒貝格定理在抽象測(cè)度論的推廣，最終完成抽象測(cè)度論的建立它不僅構(gòu)成概率論的基礎(chǔ)，同時(shí)也是抽象調(diào)和分析、譜理論等分支不可少的前提 四、泛函分析 泛函分析是一門(mén)新興學(xué)科，1932年才被正式列入德國(guó)數(shù)學(xué)文摘“泛函分析”這個(gè)

36、詞首先出現(xiàn)于列維(PLévy，18861971)的1922年出版的泛函分析教程中它是一門(mén)分析學(xué)科，但與傳統(tǒng)的分析學(xué)科不太一樣，后者強(qiáng)調(diào)演算，而前者強(qiáng)調(diào)概念它們的對(duì)象也有所不同，后者主要討論個(gè)別函數(shù)(類(lèi))的性質(zhì)，而前者主要討論函數(shù)空間及其上算子的集合，特別是其上的拓?fù)洹⒋鷶?shù)及序結(jié)構(gòu)不過(guò)很難說(shuō)它有一個(gè)統(tǒng)一的對(duì)象及目標(biāo)泛函分析大致可分為四大塊：一是函數(shù)空間理論，從希爾伯特空間、巴拿赫空間到一般拓?fù)渚€性空間的理論二是函數(shù)空間上的分析，這是最先發(fā)展的一部分，即所謂泛函演算三是函數(shù)空間之間的映射及算子理論，發(fā)展最成熟的是希爾伯特空間中的線性算子理論四是算子(或函數(shù))集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如巴拿赫代數(shù)、

37、馮·諾伊曼代數(shù)、C*代數(shù)以及算子半群等理論泛函分析的來(lái)源可以追溯到18世紀(jì)變分法的產(chǎn)生正如微積分研究函數(shù)的極值一樣，變分法研究函數(shù)集(空間)上的函數(shù)泛函的極值而泛函分析的直接推動(dòng)力則是19世紀(jì)末興起的積分方程的研究它導(dǎo)致線性泛函分析的誕生泛函分析的發(fā)展可分三個(gè)時(shí)期：第一階段是創(chuàng)始時(shí)期，大約從19世紀(jì)80年代到20世紀(jì)20年代開(kāi)始是意大利一些數(shù)學(xué)家引進(jìn)泛函演算，特別是他們引進(jìn)原始泛函以及線性算子的概念后來(lái)法國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)展了泛函演算，這反映在阿達(dá)馬(JHadamard)在1897年第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告中他為了研究偏微分方程而考慮了閉區(qū)間0，1上全體連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的族，發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)構(gòu)

38、成一個(gè)無(wú)窮維的線性空間，并于1903年定義了這個(gè)空間上的函數(shù)，即泛函這些還只是具體的結(jié)果法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇利用當(dāng)時(shí)的集合論觀念把前人的結(jié)果統(tǒng)一成為一個(gè)抽象的理論，他把他們的共同點(diǎn)歸納起來(lái)而且加以推廣：(1)把函數(shù)或曲線看成一個(gè)集合或空間中的點(diǎn)不妨把它們看成一個(gè)抽象集合(2)點(diǎn)列的極限概念也可以推廣，這樣有極限概念的集合他稱(chēng)為L(zhǎng)空間，這是后來(lái)拓?fù)淇臻g的萌芽(3)集合上可以定義取值在實(shí)數(shù)里的實(shí)函數(shù)，即泛函由于有了極限概念，就可以定義泛函的連續(xù)性(4)泛函可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，也可以進(jìn)行分析演算，比如微分這樣就成為名符其實(shí)的泛函分析了1906年他還在抽象的空間中引進(jìn)“距離”的觀念，具有歐幾里得空間距離的性

39、質(zhì)，這種空間就有更豐富的結(jié)構(gòu)大約在弗雷歇同時(shí)，希爾伯特對(duì)于積分方程進(jìn)行系統(tǒng)的研究他在前人基礎(chǔ)上，深刻認(rèn)識(shí)積分方程與無(wú)窮多變無(wú)線性方程組之間的相似性，積分方程的有解性與無(wú)窮多變?cè)氖諗啃詶l件有關(guān)這樣他實(shí)際上得到了具體的希爾伯特空間的理論抽象的希爾伯特空間理論是他的學(xué)生施密特(ESchmidt，18761959)得到的他引進(jìn)實(shí)和復(fù)的希爾伯特空間的幾何觀念，把函數(shù)看成是平方可積序列的空間(l2空間)的點(diǎn)1907年，匈牙利數(shù)學(xué)家黎斯(FRiesz，18801956)等人引進(jìn)勒貝格平方可積空間(L2空間)，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和l2空間相同，兩個(gè)月之后，德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾(EFischer，18751959)與黎斯

40、(MRiesz，18861969)證明l2空間和L2空間同構(gòu)，只不過(guò)是同一種抽象希爾伯特空間的兩種具體表現(xiàn)而已這也反映出研究抽象空間的重要意義黎斯費(fèi)歇爾定理也更清楚表明積分理論和抽象空間的泛函之間的緊密聯(lián)系1910年黎斯仿照L2空間研究了Lp空間(1p)就是p次方可積函數(shù)全體構(gòu)成的空間，后又研究lp空間，它們不是希爾伯特空間，而是巴拿赫(SBanach，18921945)空間他發(fā)現(xiàn)lp上連續(xù)線性泛函全體方面是不可少的工具第二階段泛函分析正式發(fā)展成為一門(mén)學(xué)科， 1920年到1922年間奧地利數(shù)學(xué)家哈恩(HHahn，18791934)，海萊(EHelly，18841943)，維納(NWiener，

41、18941964)和巴拿赫都對(duì)賦范空間進(jìn)行定義并加以研究，海萊還得到所謂哈恩巴拿赫定理但對(duì)泛函分析貢獻(xiàn)最杰出的是巴拿赫他進(jìn)一步把希爾伯特空間推廣成巴拿赫空間，用公理加以刻劃，形成了系統(tǒng)的理論他在1932年出版的線性算子論一書(shū)統(tǒng)一了當(dāng)時(shí)泛函分析眾多成果，成為泛函分析第一本經(jīng)典著作這時(shí)泛函分析不僅理論上比較完備，而且在古典分析的應(yīng)用上起著舉足輕重的作用，其中特別是波蘭數(shù)學(xué)家肖德?tīng)?JSchauder，18991940)和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒瑞(JLeray，1906)的不動(dòng)點(diǎn)理論是現(xiàn)代偏微分方程理論的重要工具他們把微分方程的解看成巴拿赫空間到自身映射的不動(dòng)點(diǎn)，得出了基本定理，這是現(xiàn)代非線性泛函分析的出發(fā)點(diǎn)

42、1926年馮·諾伊曼來(lái)到哥丁根大學(xué)，當(dāng)時(shí)正是哥丁根物理學(xué)與數(shù)學(xué)的全盛時(shí)代量子力學(xué)的產(chǎn)生和抽象代數(shù)、泛函分析的發(fā)展使人們思想空前活躍馮·諾伊曼把希爾伯特空間公理化，并把量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立在泛函分析之上雖然馮·諾伊曼的公理的來(lái)源可以從維納、外爾和巴拿赫的工作中看到，但馮·諾伊曼的工作更為系統(tǒng)，特別是他關(guān)于厄米算子的譜理論三十年代末，波蘭數(shù)學(xué)家馬祖爾(SMazur，19051981)與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾范德(.，1913)發(fā)展巴拿赫代數(shù)(賦范環(huán))理論，而且通過(guò)抽象方法輕而易舉證明古典分析中的大定理這顯示了泛函分析方法的威力，也論證了泛函分析的獨(dú)立存在的價(jià)值第三

43、階段是泛函分析的成熟階段從40年代起泛函分析在各方面取得突飛猛進(jìn)的發(fā)展頭等重要的事是施瓦茲(LSchwartz 1915)系統(tǒng)地發(fā)展了廣義函數(shù)論，它現(xiàn)在已成為數(shù)學(xué)中不可缺少的重要工具它的前身就是狄拉克(PDirac，19021984)在量子力學(xué)中引進(jìn)的函數(shù)第二次世界大戰(zhàn)以后，泛函分析取得突飛猛進(jìn)的發(fā)展：1920年到1940年間所發(fā)展的局部凸向量空間理論的技術(shù)在1945年后主要通過(guò)沙頓(RSchatten，1911)及格羅登迪克(AGrothendieck，1927)引入拓?fù)鋸埩糠e的理論而完成在這個(gè)理論的發(fā)展過(guò)程中，格羅登迪克引進(jìn)一種新型的拓?fù)渫箍臻g一核空間，它在許多方面比巴拿赫空間還接近于有限

44、維空間，并且具有許多卓越的性質(zhì)，使它在泛函分析及概率論的許多分支中證明是非常有用的巴拿赫時(shí)代就提出來(lái)的兩個(gè)老問(wèn)題直到1973年才被恩福樓(PEnflo)否定解決掉：他造出一個(gè)可分巴拿赫空間，其中不存在(巴拿赫意義下的)基；他還造出一個(gè)可分巴拿赫空間的緊算子的例子，它不是有限秩算子(關(guān)于緊集上的一致收斂拓?fù)?的極限1900年到 1930年間由希爾伯特、卡勒曼(TCarleman，18921949)及馮·諾伊曼所發(fā)展的希爾伯特空間的算子譜理論由于蓋爾范德及其學(xué)派于1941年所創(chuàng)始的巴拿赫代數(shù)理論而大大簡(jiǎn)化及推廣但是，這個(gè)理論中最有趣的部分仍然是馮·諾伊曼代數(shù)的研究馮·

45、諾伊曼代數(shù)的研究開(kāi)始得稍早一些，它和希爾伯特空間中局部緊群的酉表示理論有著非常緊密的聯(lián)系在馮·諾伊曼的先驅(qū)性文章之后，這些代數(shù)的分類(lèi)并沒(méi)有取得多少進(jìn)步，特別是相當(dāng)神秘的“”型因子到1967年，不同構(gòu)的型因子只知道三個(gè)其后，事情開(kāi)始發(fā)展很快，幾年之內(nèi)許多數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了新的型因子，一直到1972年到達(dá)頂點(diǎn)，發(fā)展成一般的分類(lèi)理論，這個(gè)分類(lèi)理論是建立在富田稔(1924)的思想及康耐(AConnes，1947)定義的新的不變量的基礎(chǔ)上的，康耐的不變量使他解決了馮·諾伊曼代數(shù)理論中許多未解決的問(wèn)題 五、拓?fù)鋵W(xué) 拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，研究拓?fù)淇臻g及其間的連續(xù)映射在20世紀(jì)初期，分為一般拓

46、撲學(xué)(也稱(chēng)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué))及組合拓?fù)鋵W(xué)一般拓?fù)鋵W(xué)討論點(diǎn)集的一般的拓?fù)湫再|(zhì)，如開(kāi)、閉性、緊性、可分性、連通性等等它們的具體體現(xiàn)可追溯到很久以前，但抽象化的定義則是20世紀(jì)的事情最早的拓?fù)涓拍钤诳低袪?、拜?Baire1874193z)及若爾當(dāng)?shù)热酥髦幸呀?jīng)出現(xiàn)，1906年弗雷歇正式提出非度量的抽象空間，同時(shí)黎斯也提出“聚點(diǎn)”的公理化定義，然后用它定義鄰域，但真正從鄰域出發(fā)定義拓?fù)涞氖呛浪沟婪?FHausdorff，18681942)，他在1914年的集論大綱中通過(guò)鄰域定義所謂豪斯道夫空間以及開(kāi)集、閉集、邊界、極限等概念，從而正式形成了一般拓?fù)鋵W(xué)的分支另一種不通過(guò)度量定義拓?fù)涞姆椒ㄊ菐?kù)拉托夫斯基(CK

47、uratowski，18951980)在1922年提出來(lái)的，他用閉包概念定義拓?fù)?923年，蒂茨(HTietze，18801964)以開(kāi)集做為定義拓?fù)涞闹行母拍?，現(xiàn)在通用的公理首先是亞歷山大洛夫(，18961982)在1925年提出來(lái)的豪斯道夫在他的書(shū)的第二版集論中加以總結(jié)，使般拓?fù)鋵W(xué)的表述得以確立下來(lái)使組合拓?fù)鋵W(xué)成為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支的是龐加萊他在1881年到1886年在微分方程定性理論以及后來(lái)天體力學(xué)的研究中，都有意識(shí)地發(fā)展拓?fù)涞乃枷胨麖?892年起對(duì)拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)始進(jìn)行系統(tǒng)地研究在1895年到1904年發(fā)表的關(guān)于“位置分析”的六篇論文中，他創(chuàng)造了組合拓?fù)鋵W(xué)的基本方法并引進(jìn)重要的不變量，同調(diào)及貝

48、蒂數(shù)(1895)、基本群(1895)、撓系數(shù)(1899)，并進(jìn)行具體計(jì)算他還證明了龐加萊對(duì)偶定理的最初形式1904年他提出了著名的龐加萊猜想；單連通、閉(定向)三維流形同胚于球面他有意識(shí)地研究?jī)蓚€(gè)閉流形(首先是三維流形)同胚的條件在他的第二篇補(bǔ)充(1900)中，曾猜想如果兩個(gè)閉流形的貝蒂數(shù)及撓系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則它們同胚但不久(1904)他自己就舉出反例，因而他進(jìn)一步把基本群考慮進(jìn)去1919年美國(guó)數(shù)學(xué)家亞力山大(J.w.Alexander，18881971)舉出兩種透鏡空間，證明它們貝蒂數(shù)、撓系數(shù)和基本群對(duì)應(yīng)相等，但仍不同胚至今三維流形的同胚問(wèn)題尚未解決布勞威爾繼龐加萊之后對(duì)拓?fù)鋵W(xué)做出突出貢獻(xiàn)，創(chuàng)

49、造單純逼進(jìn)方法，使拓?fù)鋵W(xué)的證明有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)1915年亞歷山大證明貝蒂數(shù)及撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃詫?duì)偶定理是拓?fù)洳蛔兞恐g關(guān)系的重要方面，1922年亞力山大證明亞歷山大對(duì)偶定理，是對(duì)龐加萊對(duì)偶定理的重要補(bǔ)充及發(fā)展1930年，列夫希茲(SLefschetz，18841972)證明列夫希茲對(duì)偶定理，以上述兩定理為其特殊情形對(duì)基本的拓?fù)洳蛔兞考右愿脑?，早?908年蒂茨的文章中已經(jīng)開(kāi)始，他和其他人開(kāi)始考慮整數(shù)以外的系數(shù)，如模p系數(shù)及有理數(shù)1926年亞歷山大引進(jìn)Zn系數(shù)1925年底到1926年初，諾特同亞歷山大洛夫等拓?fù)鋵W(xué)家接觸時(shí)，曾建議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論基礎(chǔ)上，在她的影響下，浩普夫(HHopf，189

50、41971)于1928年定義同調(diào)群，但諾特的思想直到以后才逐步為大家了解和接受1935年切赫(ECech，18931960)考慮系數(shù)取在任何交換群中二十年代起，數(shù)學(xué)家曾試圖把同調(diào)論從流形逐步推廣到更一般的拓?fù)淇臻g先是維埃陶瑞斯(L.Vietoris，1891)(1927)、亞歷山大洛夫(1928)等人推廣到緊度量空間，繼而切赫推廣到一般拓?fù)淇臻g(1932)，即所謂切赫同調(diào)論同時(shí)列夫希茲發(fā)展了奇異同調(diào)論這是兩個(gè)最重要的同調(diào)理論在代數(shù)與幾何的對(duì)偶觀念的影響下，許多數(shù)學(xué)家在三十年代初提出同調(diào)群的對(duì)偶觀念上同調(diào)群除了同調(diào)群和上同調(diào)的加法結(jié)構(gòu)外，許多人從各個(gè)角度尋找其中的乘法結(jié)構(gòu)，列夫希茲和浩普夫在19

51、30年左右研究流形的交口環(huán)1935年到1938年亞力山大、切赫、惠特尼(HWhitney，19071989)、柯?tīng)柲缏宸?，19031987)等人獨(dú)立引進(jìn)復(fù)形的上積后來(lái)才證明(1952)一般同調(diào)不一定有上同調(diào)那種自然的乘法上同調(diào)具有環(huán)的結(jié)構(gòu)，帶來(lái)更多的應(yīng)用1947年，斯廷洛德(NSteenrod，19101971)定義了平方運(yùn)算，后來(lái)發(fā)展成上同調(diào)運(yùn)算的理論同樣在三十年代，另一個(gè)更廣泛的概念同倫產(chǎn)生了同倫觀念的重點(diǎn)由拓?fù)淇臻g的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到空間與空間的映射的性質(zhì)上1895年龐加萊定義的基本群是第一個(gè)同倫群其后布勞威爾、浩普夫等人對(duì)于球面到球面的映射進(jìn)行過(guò)初步的研究，得出拓?fù)涠鹊母拍钣绕涫?931年

52、浩普夫映射的發(fā)現(xiàn)促使人們注意連續(xù)映射的研究1932年，切赫在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上定義了高維同倫群，但未引起注意1933年波蘭數(shù)學(xué)家虎爾維茲(WHure- wicz，19041956)對(duì)連續(xù)映射進(jìn)行研究，在19351936年發(fā)表四篇論文，定義了高維同倫群并研究了其基本性質(zhì)虎爾維茲還定義了倫型的概念，由于當(dāng)時(shí)所知的大多數(shù)拓?fù)洳蛔兞烤鶠閭愋筒蛔兞?，使同倫論的研究有了巨大的推?dòng)力1942年列夫希茲的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)世，標(biāo)志著組合拓?fù)鋵W(xué)正式轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)拓?fù)鋵W(xué)第二節(jié) 老學(xué)科的新進(jìn)展 一、復(fù)變函數(shù)論 19世紀(jì)數(shù)學(xué)上最主要的成就之一是復(fù)變函數(shù)論的產(chǎn)生與發(fā)展有人說(shuō)“19世紀(jì)是函數(shù)論的世紀(jì)”實(shí)際上，19世紀(jì)研究的主要是特殊

53、函數(shù)，特別是橢圓函數(shù)及其推廣，以及特殊的應(yīng)用，尤其是用殘數(shù)演算計(jì)算定積分和為繪制地圖而進(jìn)行的保形變換的研究復(fù)變函數(shù)論三個(gè)奠基人是柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯，他們各有一套方法和課題，各有自己的追隨者到19世紀(jì)末，出現(xiàn)了這三條途徑的融合，形成了統(tǒng)一的復(fù)變函數(shù)論，另外，把一般函數(shù)論作為函數(shù)論的主要方向大大擴(kuò)充了函數(shù)論的研究領(lǐng)域整函數(shù)及亞純函數(shù)理論比多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)是超越整函數(shù)，n次多項(xiàng)式有n個(gè)根，它可以表示為各因子的乘積如果復(fù)變?cè)獄的復(fù)值函數(shù)在所有不等于的點(diǎn)z處全純，則稱(chēng)f(z)為整函數(shù)當(dāng)是f(z)的極點(diǎn)，f(z)就是多項(xiàng)式，而不是多項(xiàng)式的整函數(shù)，就是超越整函數(shù)，例如ez，sinz，cosz等魏爾斯特

54、拉斯最先研究一般(超越)整函數(shù)，他在1876年把整函數(shù)表示成典范乘積他還證明，所有復(fù)值都是f(z)可以趨于任何復(fù)數(shù)值C1879年法國(guó)數(shù)學(xué)家皮卡(EPicard，18951941)證明了皮卡大定理：每一個(gè)超越整函數(shù)f(z)對(duì)每一有限值w，最多除了一個(gè)之外，都取無(wú)窮多次這個(gè)定理成為后來(lái)值分布理論的出發(fā)點(diǎn)這個(gè)可能不取的值稱(chēng)為例外值，如果我們把也算一個(gè)值，則例外值可以有兩個(gè)儒利雅(GJulia，18931978)在1919年把皮卡定理加以精密化，他證明，對(duì)于超越整函數(shù)，至少存在一個(gè)方向，在這個(gè)方向的狹窄角域中，皮卡定理也成立，這個(gè)方向稱(chēng)為儒利雅方向比整函數(shù)再稍微復(fù)雜一些的函數(shù)是亞純函數(shù)(半純函數(shù))，它

55、在復(fù)平面上可以有極點(diǎn)同樣，魏爾斯特拉斯也給出了表示1877年瑞典數(shù)學(xué)家米塔格萊夫勒(GMittagLeffler，18461927)給出部分分式的表示：對(duì)于亞純函數(shù)，皮卡大定理也成立在經(jīng)過(guò)許多人研究之后，芬蘭數(shù)學(xué)家耐凡林那(RNevanlinna，18951980)對(duì)于亞純函數(shù)的值分布理論進(jìn)行了統(tǒng)一的論述他引進(jìn)了特征函數(shù)T(r)及虧數(shù)等概念，證明了第一、第二定理，使值分布理論成為精致的定量理論 1935年芬蘭數(shù)學(xué)家阿爾福斯(LVAhlfors，1907)用拓?fù)涞姆椒ń⒘烁采w面理論，由它不僅可推出耐凡林那理論，而且還得出亞純函數(shù)許多其他結(jié)果，由它還明確了例外值個(gè)數(shù)2的拓?fù)湟饬x，它與球面的歐拉示

56、性數(shù)有關(guān)其后的值分布理論是本著耐凡林那理論的模式向一般區(qū)域或黎曼面上推廣冪級(jí)數(shù)及狄利克雷級(jí)數(shù)是應(yīng)用最多的復(fù)變函數(shù)，從19世紀(jì)末有著多方面的研究特別是一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂圓周成為自然邊界的條件，有各種各樣的缺項(xiàng)定理應(yīng)用上最常用的是陶伯爾型定理陶伯爾型定理是奧地利數(shù)學(xué)家陶伯爾(ATauber，18661943)給出逆定理成立的條李特爾伍德的陶伯爾型定理推廣到可測(cè)函數(shù)，進(jìn)而證明素?cái)?shù)定理在數(shù)的研究，另外也有相應(yīng)的陶伯爾型定理，在數(shù)論上有許多應(yīng)用函數(shù)論一個(gè)重要方面是保角映射，其基本定理是黎曼映射定理(1851)它指出單連通區(qū)域之間可通過(guò)解析函數(shù)進(jìn)行保角映射在區(qū)域D內(nèi)定義的單值解析函數(shù)f(z)，如D內(nèi)不同兩點(diǎn)映到不同點(diǎn)，稱(chēng)為單葉函數(shù)單葉函數(shù)理論是保角映射的重要組成部分，在單位圓內(nèi)單葉函數(shù)族的理論開(kāi)始于科貝(PKoebe，18821945)單值化問(wèn)題的研究他于1909年得出畸變定理，畸變定理反映函數(shù)值的某種限界德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃巴赫(LBieberbach，18861982)在1916年推導(dǎo)定量結(jié)果時(shí)，得出單葉函數(shù)系統(tǒng)理論，同時(shí)證明單葉函數(shù)a22，他猜想ann幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)所猜想發(fā)表了上千篇論文