池沸騰傳熱的數(shù)學分析

1、池沸騰傳熱的數(shù)學分析*肖波齊1 ­王宗篪1蔣國平2陳玲霞1魏茂金1饒連周11 (三明學院物理與機電工程系 , 三明 365004 2 (廣州大學工程抗震中心 , 廣州 510405 (2008年 5月 11日收到 ; 2008年 8月 11日收到修改稿 在統(tǒng)計方 法的基礎上 , 對于 池沸騰 換熱 的傳熱 機理 提出了 一個 數(shù)學 模型 . 在沒 有增 加新的 經(jīng)驗 常數(shù)的 條件 下 , 從該模型中可得到池沸騰熱流密度是壁面過熱度、 活化穴最小與最大尺寸、 流體的接觸角 與流體物理 特性的函 數(shù) . 該模型可以較好地解釋潤濕性如何影響沸騰 熱流密度 . 對不同的接觸角 , 模型預測的

2、結果與實驗相符合 .關鍵詞 :池沸騰 , 傳熱 , 數(shù)學模型 PACC :4710, 4725, 4755K*三明學院科學研究發(fā)展基金 (批準號 :B0704P Q 和福建省教育廳科技項目 (批準號 :J A07167和 JA08240 資助的課題 . E 111引 言沸騰是通過大量氣泡的形成、 成長和運動將工 質(zhì)由液態(tài)轉(zhuǎn)換到氣態(tài)的一種劇烈蒸發(fā)過程 . 池沸騰 換熱在工業(yè)領域有很重要的應用價值 , 它關系到如 何最大限度地挖掘相變換熱器的工作潛力 , 以期達 到節(jié)約能源的目的 . 因此 , 在過去的幾十年里 , 各國 學者對池沸騰換熱的研究很多 . 對池沸騰換熱現(xiàn)象 的模型研究 , 不僅對揭示

3、沸騰換熱的運動規(guī)律有科 學意義 , 而且對鍋爐、 蒸發(fā)器等換熱設備的設計具有 重要的指導價值 . 因此 , 國內(nèi)外許多學者作了大量 的沸騰 換熱實 驗 , 提 出了 各種池 沸騰 換熱 機理模 型1 5. 但是 , 由于實驗與各種假設的限制 , 這些模型都有各自的缺陷 , 因此綜合理論仍然缺乏 , 比較完 善的機理模型 還未建立 . 造成 這一現(xiàn)象 的原因之 一 , 是換熱表面活化核心密度對沸騰換熱有重要影 響 , 而迄今還沒有令人滿意的理論和方法來描述活 化核心密度分布 . 為此 , 本文用統(tǒng)計方法來描述活 化核心密度分布 , 對池沸騰換熱進行數(shù)學分析 , 以期 得到一個比較自洽的沸騰換熱機

4、理模型 .21池沸騰換熱的數(shù)學模型到目前為止 , 已提出的池沸騰換熱研究模型很多 , 但這些模型都有各自的缺陷 , 部分研究結果由于 實驗與各種假設的限制應用范圍較小 , 經(jīng)驗常數(shù)較 多 , 部分研究結果與實驗數(shù)據(jù)相比有一定的差距 .本模型的基本思路是 :根據(jù)活化核心密度分布 N a 與活化穴半徑 R c 的函數(shù)關系及氣泡的脫離直徑 D b 和脫離頻率 f 與活化穴半徑 R c 的函數(shù)關系 , 用 數(shù)學方法處理得到池沸騰熱流密度 q tot . 本模型是 在前人模型的基礎上進行改進后得到的 , 改進后的 模型實際操作比較簡單 , 物理意義明確 , 包含較少的 經(jīng)驗常數(shù) , 可以解 釋相關的物理

5、現(xiàn) 象 , 如壁面 過熱度、 流體的接觸角等對池沸騰熱流密度的影響 , 模型 預測的結果與實驗數(shù)據(jù)符合較好 . 下面我們對池沸 騰傳熱進行數(shù)學分析 .活化核心密度分布對池沸騰熱流密度的影響非 常大 , 氣泡在活化核心處產(chǎn)生 , 氣泡引起的熱流密度 在核態(tài)池沸騰中占主 導地位 . Wang 等3對活 化核心密度進行了系統(tǒng)研究 , 他們在一個大氣壓下的銅 表面用飽和水做池沸騰實驗 , 對接觸角 18b <90b 范圍 , 提出了活化核心密度隨接觸角的變化 , 得到了 如下經(jīng)驗關聯(lián)式 :N a =510105(1-cos < D -6c ,(1其中系數(shù) 510105與冪指數(shù) -6是經(jīng)驗常

6、數(shù) , N a 的單位是 sites P cm 2, <是接觸角 , D c 是活化穴直徑 , 單 位是 L m. 使用國際單位制 , 根據(jù)統(tǒng)計理論由 (1 式 可以得到半徑在 R c 與 R c +d R c 之 間的活化 穴數(shù)第 58卷 第 4期 2009年 4月 1000-3290P 2009P 58(04 P 2523-5物 理 學 報AC TA PHYSIC A SINICAVol. 58, No. 4, April, 2009n 2009Chin. Phys. Soc.量 , 有-d N a (R c,min R c R c, max =46. 87510-29(1-cos

7、< R -7c d R c ,(2其中 R c, min 與 R c, max 分別是最小與最大活化穴半徑 . 因為 d R c >0, 所以 -d N a >0.Hsu 6為了描述活化穴的尺寸大小 , 提出模型把 活化穴的尺寸大小表示為壁面溫度或熱流密度的函 數(shù) , 認為在核化點上氣泡核被熱的液體包圍著 , 僅當 氣泡核周圍的液體足夠熱時氣泡核開始生長成為一個氣泡 . 這里 , Hsu 6模型描述了活化穴的最小半徑 (R c, min 與最大半徑 (R c, max , 有 R c, min =(D P C 1 1-H s P H w-(1-H s P H w -(4F C

8、 3 P (D H w , (3aR c,max =(D P C 1 1-H s P H w+(1-H s P H w -(4F C 3 P (D H w , (3b式中 , F =2R T s P (Q g h fg ; C 1=(1+cos < P sin < C 3=1+cos < H s =T s -T ; H w =T w -T , 其中 T w 是壁面 溫度 , T 是流體主 流溫度 , T s 是液體飽和 溫度 ; D 是液體熱邊界層厚度 ,D =k l P h nc ,(4其中 k l 是流體的熱導率 , Han 等 7取得了自然對流 的平均熱傳遞系數(shù) h n

9、c , 對湍流和層流分別有 , h nc =0. 14Q l c pl C g (T w -T A 2l P M l 1P 3,(5ah nc =0. 54Q l c pl C g (T w -T A 3l P (A M l 1P 4, (5b其中 , Q l 是流體密度 , c pl 是定壓比熱 , C 是流體體積 膨脹系數(shù) , A l 是流體熱擴散率 , M l 是流體運動黏度 . Han 等7把方程 (5 應用于有氣泡的自然對流傳熱中來計算熱流密度 , Mikic 等 1也把方程 (5 應用于 有氣泡的池沸騰換熱關系式中 .下面研究池沸騰換熱的熱流密度 . 我們預測池 沸騰熱流密度隨活化

10、穴尺寸大小而變化 , 并且是壁 面過熱度 ($T w 的函數(shù) . 目前關于池沸騰換熱的模 型很多 , 但是由于實驗與各種假設的限制 , 各種模型 都有自己的缺陷 , 因此綜合理論仍然缺乏 , 也沒有統(tǒng)一的機理模型 . 如氣泡擾動模型 8提出了與單相流 體對流換熱相類似的一些無因次數(shù)群 , 并以這些無 因次數(shù)群的關聯(lián)式去表述泡態(tài)沸騰換熱規(guī)律 ; 再如 湍流自然對流類比模型 , 文獻 9索性將大空間泡態(tài) 相自然對流問題 . 這些模型都反映了泡態(tài)沸騰過程 換熱規(guī)律的各個不同側面 , 都有自己的缺陷與局限性 . 若通過恰當?shù)木C合分析把不同的物理模型有機 地組合起來 , 則可形成對大空間泡態(tài)沸騰換熱規(guī)律

11、的較全面的描述 . 這里我們采用的是 Mikic 等 1的 疊加模型 , 池沸騰換熱的總熱流密度 q tot 可表示為 :q tot =q nc +q b ,(6這里 q tot 采用的是 q nc 與 q b 的疊加形式 , 一般尚需引 入經(jīng)驗參數(shù)予以修正 . 為了簡化計算 , 我們?nèi)⌒拚?參數(shù)為 1. q nc 為自然對流換熱引起的熱流密度 , q b 是由氣泡引起的熱流密度 . Mikic 等1假設氣泡脫離時的影響區(qū)域的面積是 P D 2b , 并且鄰域氣泡不重 疊 , q b 表示為q b =2Pk l Q l c pl fD 2b N a $T w ,(7式中 f 與 D b 分別是

12、是氣泡的脫離頻率與脫離直徑 , $T w 是液體的壁面過熱度 (T w -T s .一些研究者10 12運用單個氣泡的 脫離直徑關系來計算核沸騰熱流密度與臨界熱流 , Ha 等 13, 14也認為在臨界熱流時活化穴處的每個氣泡有均勻的熱負荷 , 其模型預測與實驗數(shù)據(jù)符合很好 , Zhao15等也有類似的論述 . 這里我們?yōu)榱撕喕嬎?, 運用單個氣泡的脫離直徑關系來計算熱流密度 . 我們集中研 究 q b . 從 R c, min 到 R c,max , 通過修改 (7 式得到 q b 的 一個數(shù)學模型q b =Qd q b =QRc, max Rc, min2P k l Q l c pl $

13、T w D 2b f (-d N a .(8最近 Chung 5等運用 (1 式來計算池沸騰熱流密度 , 這里我們也將運用 (1 式的變化形式 (2 式來計算池沸騰熱流密度 . (-d N a 由 (2 式給出 . 如果氣泡的 脫離頻率 f 和脫離直徑 D b 都是活化穴半徑 R c 的函 數(shù) , 則我們可以對 (8 式進行積分 . 下面我們來推導 氣泡的脫離頻率和脫 離直徑與活化穴半徑的 函數(shù) 關系 .van der Geld16討論了通常情況下氣泡的 脫離標準 , 取得單個氣泡的脫離體積 V b 的表達式為V b =P D 3c P Eo ,(9a其中 Eo 是 Eotvos 數(shù) . Mo

14、ri17等在人造 核化點上進行了一項實驗來調(diào)查氣泡的生長與脫離 , 該實驗發(fā) 現(xiàn)用力的平衡來分析氣泡不能精確預測氣泡的脫離 尺寸與生長時間 , 同時發(fā)現(xiàn)了氣泡的脫離直徑與活 172524物 理 學 報 58卷Eo 的如下表達式 :Eo =g (Q l -Q g D 2c P R . (9b 把 (9b 式代入 (9a 式 , 我們可以得到單個氣泡 的脫離體積 V bV b =PR D c P g (Q l -Q g . (10 從 (10 式可以看出 , 單個氣泡的脫離體積 V b 正比于 活化穴直徑 D c 與流體的物理特性 . (10 式表示較 大的活化穴直徑 D c 就有較大的單個氣泡的

15、脫離體 積 V b , 這是 符合實 際物理 現(xiàn)象的 . 根據(jù)上 面文獻 10 15所述 , 可以認為活化穴處的每個氣泡有均 勻的熱負荷 , 可以運用單個氣泡的脫離直徑關系來 表示池沸騰換熱 , 所以單個氣泡的脫離體積 V b 也 可以表示為V b =P D 2b P 6. (11 (10 和 (11 式是等價的 , 則我們可以推導出單 個氣泡的脫離直徑 D b 的表達式 , 有D b =(12R 1P 3g (Q l -Q g -1P 3R 1P 3c . (12 從 (12 式可以看出氣泡的脫離直徑 D b 與活化穴半 徑 R c 的函數(shù)關系 , 這與 Mori 等 17的實驗結果相符 合

16、 . (12 式表示有較大的活化穴半徑 R c 就有較大 的氣泡的脫離直徑 D b .Rohseno w 18取得了氣泡的脫離直徑 D b 與脫離 頻率 f 的經(jīng)驗關聯(lián)式D b f 2=1132g . (13 把 (12 式代入 (13 式 , 可以得到氣泡的脫離頻 率 ff =1. 32g (12R -1P 6g (Q l -Q g 1P 6R -1P 6 c .(14 由于 (14 式是經(jīng) (9 (13 式推導得到的 , 同樣 也是經(jīng)驗關聯(lián)式 . 從 (14 式可以看出氣泡的脫離頻 率 f 與活化穴半徑 R c 的函數(shù)關系 , 活化穴半徑越 大 , 氣泡的脫離頻率越低 . 這是我們所預期的

17、 , 因為 活化穴半徑越大 , 氣泡的脫離直徑越大 , 所需要的脫 離時間越長 , 從而氣泡的脫離頻率越低 .需要說明的 是 , 氣泡 脫離直徑 公式 (9 和 (12 式 , 是基于浮力與界面張力的平衡推導出來的 , 忽略 了其他因素的影響 (如慣性力 . 關于氣泡脫離直徑 公式 , 到目前為止 , 還沒有一個公認的表達式 . 著名 的 Fritz 19氣泡脫離直徑公式也是基于浮力與界面 張力的平衡推導出來的 , 沒有顧及影響因素 , 至今仍 在使用 , 其預測值與大氣壓力下的實驗觀測數(shù)據(jù)比 計算值與實測值偏離較大 . 所以我們的模型也應該 在大氣壓力下使用 , 我們模型預測結果與實驗數(shù)據(jù)

18、也是在大氣壓力下進行比較的 . 實際影響因素考慮 得越多 , 氣泡脫落直徑表達式越復雜 .現(xiàn)在從 (12 和 (14 式可以看出 , 氣泡的脫離頻 率 f 和脫離直徑 D b 都是活化穴半徑 R c 的函數(shù) , 對 (8 式積分可以得到q b =12c b R -65P 12c,min 1-(R c, min P R c, max 65P 12$Tw P 65, (15 這里 c b =9317510-29(1132g 1P 4(1-cos <l l pl (12R 7P 12g (Q l -Q g -7P 12. 方程 (15 中 包含兩個經(jīng)驗參數(shù) c b 與 12P 65, 與活化穴

19、半徑無關 . $T w 屬于自變量 . 需要注意的是 , c b 包含若干個經(jīng) 驗參數(shù) , 而其中一個經(jīng)驗參數(shù) (1-cos < 是經(jīng) (1 式 變化而來 , 所以 (15 式中接觸角取 18b <90b , 后 面我們與實驗數(shù)據(jù)的比較也是 在接觸角 18b < 90b 范圍內(nèi)進行的 (見圖 1 3. 由于方程 (9 及 (12 是基于浮力與界面張力的平衡推導出來的 , 其預測 值與大氣壓力下的實驗觀測數(shù)據(jù)比較符合 , 而經(jīng)驗 參數(shù) c b 又包含方程 (9 及 (12 的經(jīng)驗參數(shù) , 所以該 模型在大氣壓力下比較適用 .自然對流換熱引起的熱流密度 q nc 一般可以表 示為

20、q nc =h nc (T w -T . (16 把 (15 與 (16 式代入 (6 式 , 我們可以得到 q tot 的一個數(shù)學模型q tot =12c b R -65P 12c, min 1-(R c,min P R c, max 65P 12$T w P 65 +h nc (T w -T , (17 這里 R c, min 與 R c, max 由 (3 式給出 , h nc 由 (5 式給出 . (17 式表示 q tot 是壁面過熱度、 活化穴最小與最大尺 寸、 流體的接觸角與流體物理特性的函數(shù) . 沒有引 進其他參數(shù) , 與傳統(tǒng)的模型相比 , 該模型包含較少的 經(jīng)驗常數(shù) , 并且

21、每個參數(shù)都有物理意義 . 本模型可 以解釋濕性是如何影響池沸騰熱流密度的 , 在接觸 角 18b <90b 范圍內(nèi) , 從 (15 式中 c b 的表達式可 以看到 , 當接 觸角 增加 時 , 熱流 密度也 增加 , 這 與 Wang 等 3與 Dhir 等 20及 Gaertner 等 21的實驗結果 一致 .31結果與討論325254期 肖 波齊等 :池沸騰傳熱的數(shù)學分析做實驗 . 現(xiàn)在把我們模型預測的結果與 Wang 等3的實驗數(shù)據(jù)進行比較 . 對接觸角 <=18b 與 <=35b , 圖 1中給出了模型預測與實驗數(shù)據(jù)的比較 , 實線代 表本模型的預測 , 從圖 1可

22、以看出模型預測值與實 驗數(shù)據(jù)符合較好 . 對接觸角 <=38b 與 <=69b , 圖 2給出了本 模型預測與 Dhir 等20實驗數(shù)據(jù) 的比較 .從圖 2可以看出本模型預測的結果與實驗數(shù)據(jù)符合 較好 . 對接觸角 <=22b , 圖 3給出了本模型預測與 Gaertner 等21實驗數(shù)據(jù)的比 較 , 從圖 3再次可以看到本模型預測 的結果與實驗 數(shù)據(jù)符 合較好 . 從圖 1 3可以看出 , 我們與不同研究者在不同接觸角的 條件下進行了比較 , 模型預測的結果與實驗結果符 合較好 , 其一致性能保證其 較廣泛的適用性與可靠 性 .圖 1 模型預測與實驗數(shù)據(jù)的比較 (a <

23、;=18b , (b <=35b41結 論通過本文的研究 , 可以得到如下結論 :1 池沸騰熱流密度是壁面過熱度、 活化穴最小 與最大尺寸、 流體的接觸角與流體物理特性的函數(shù) .與傳統(tǒng)的池沸騰經(jīng)驗公式相比 , 本模型沒有增加經(jīng)圖 2 模型預測與實驗數(shù)據(jù)的比較 (a <=38b , (b <=69 b圖 3 模型預測與實驗數(shù)據(jù)的比較驗常數(shù) , 并且用了較少的經(jīng)驗常數(shù) .2 本模型可以較好地解釋潤濕性是如何影響池 沸騰熱流密度的 , 當接觸角增加時 , 熱流密度 也增 加 , 與實驗結果一致 .3 與不同接觸角的實驗數(shù)據(jù)進行了比較 , 模型 預測的結果與實驗結果符合較好 , 從而

24、證明了該模 型的可靠性與較廣泛的適用性 .2526物 理 學 報58卷1M i kic B B, R ohsenow W M 1969J . Heat Tran . 912452Paul D D, Abde -l Khalik S I 1983Int . J . Heat Mass Tran . 265093Wang C H, Dhir V K 1993J . Heat Tran . 1156594Diao Y H, Zhao Y H, Wang Q L 2007Heat Mass Tran . 439355Chung H J, No H C 2007Int . J . He at M ass

25、 Tran . 5029446Hsu Y Y 1962J . Heat Tran . 842077Han C Y, Griffith P 1965Int . J . Heat Mass Tran . 88878Rohsenow W M 1952J . Heat Tran . 749699Zuber N 1963Int . J . Heat Mass Tran . 65310Deiss ler R G 1954Columbia Unive rsit y Heat Trans fer Symposium (Ne w York:Cotumbi a Universi ty Press p1611Roh

26、senow W, Griffith P 1956Che m Eng . Prog . Symp . Se r . 524712Chang Y P, Snyder N W 1960Chem . Eng . Pro gr . Symp . Se r . 562513Ha S J, No H C 1998Int . J . Heat Mass Tran . 4130314Ha S J, No H C 2000Int . J . Heat Mass Tran . 4324115Zhao Y H, Masuota T, Tsuruta T 2002Int . J . Heat Mass Tran . 4

27、5318916van der Geld C W M 1996Int . J . He at Mass Tran . 3965317Mori B K, Douglas B W 2001Int . J . Heat Mass Tran . 4477118Rohsenow W M 1973Hand Book o f Heat Transfe r (New York:McGraw -HiLL p319Fri tz W 1935J . Phys . Ze itschr . 363720Dhir V K, Liaw S P 1989J . He at Tran . 11173921Gaertner R F

28、 1960Chem . Eng . Sym p . Se r . 5639Mathematical analysis of pool boiling heat transfer *Xia o Bo -Qi 1 ­ Wang Zong -Chi 1 Jiang Guo -Ping 2 Che n Ling -Xia 1 Wei Mao -Jin 1 Rao Lian -Zhou 11 (De pa rtme nt o f Ph ysics an d Ele ctro mec han ica l Eng in ee rin g , Sa nmin g Un ive rsity , San min g 365004, Ch ina 2 (Earthqua ke Eng inee rin g Resea rc h Te st Cen ter , Gu an g zhou U ni ve rsit y , Gu an g zhou 510405, Ch ina (Received 11May 2008; revised man uscript recei ved 11Au gu st 2008AbstractI n this paper for the mechanisms of pool