初中數(shù)學專題復習97.幾何圖形中的動點問題-三角形

1、幾何圖形中的動點問題一三角形一、三角形相關幾何動點問題1.【易】2021年巴彥淖爾市初中畢業(yè)、高中招生統(tǒng)一測試試卷2021內(nèi)蒙古巴彥淖爾市如圖,在 4ABC中,AB =20cm , AC =12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm的 速度向點A運動,點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動,其中一個動點 到達端點時,另一個動點也隨之停止運動,當APQ是等腰三角形時,運動的時間是 A. 2.5秒B, 3 秒C. 3.5秒D. 4 秒【答案】D2 .【易】延慶縣2021年初三第二次模擬試卷如圖：等邊4ABC中,邊長AB=3,點D在線段BC上,點E在射線AC上,點D沿BC方向從B點以每秒1個單位的

2、速 度向終點C運動,點E沿AC方向從A點以每秒2個單位的速度運動,當 D點停止時 E點也停止運動,設運動時間為 t秒,假設D、E、C三點圍成的圖形的面積為 y來表 示,那么y與t的圖象是1 / 55【答案】B3 .【易】2021年河南中考模擬題 5在ABC中,AB=6, AC =8 , BC =10, P為邊BC上一動點,PE_LAB于E, PF_LAC于F, M為EF中點,那么AM的最小值 為.【答案】2.44 .【易】2021廣州初二中段模擬測試如下圖,正三角形ABD和正三角形CBD的邊長均為a , E是AD上異于A、D兩點的一動點,F是CD上一動點,滿足AE +CF =a,隨著E、F的移

3、動, BEF的形狀改變嗎？試說明理由.【答案】4BEF為正三角形,證實： AE +CF =a , AE+ED=a, DE =CF ,在 BDE和ABCF中,BD =BCBCF /BDE =60ZDE =CF BDE BCF ,BE=BF , ZCBF =/DBE , 又 ZCBF +ZFBD =60.ZFBD +ZDBE =60°, ABEF為等邊三角形.5.【易】2021深圳外國語分校初一下期末如圖,在 ABC中,AB=AC=2, /B=40 1點D在線段BC上運動D不與B、C重合,連接 AD ,作 ZADE=401 DE 交線段 AC 于 E. 當/BDA =115,寸,/DEC

4、 =°點D從B向C運動時,/BDA逐漸變填 大或??；2 / 55在點D的運動過程中, ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？假設可以,請直接寫出 /BDA的度數(shù).假設不可以,請說明理由.【答案】115.；小.當 ABDDCE 時,DC =AB ,AB =2 ,DC =2 ,當 DC 等于 2 時, ABD DCE . ; AB =AC ,NB =/C =40%當 AD = AE 時,NADE =NAED =40. AED . . C ,此時不符合；1當 DA = DE 時,即 /DAE =/DEA = 180© 40.=70., 2.BAC =180 -40 -40 =100 ,

5、./BAD =100 70, =30 ,/BDA =180, 30 J40©=110°；當 EA = ED 時,ZADE =ZDAE =40 1NBAD =1006-40°=60°,NBDA =180°60°-40°=80°當NADB =110 或80 時, ADE是等腰三角形.6.【易】2021年北京北師大附中期末練習：如圖, 4ABC中,AB = AC =8cm , BC =6cm , ZB =2C,點D為AB的中點,如果 P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動,與此同時點 Q在線段CA上由C點向A點

6、運動.1假設點Q的運動速度與點P的運動速度相同,是否會出現(xiàn)某一時刻4BPM與 CPQ全等的情況？為什么？假設不能全等,說明理由；假設能夠全等,求出這個時 刻.2假設點Q的運動速度與點P的運動速度不相同,是否會出現(xiàn)某一時刻4BPM與 CPQ全等的情況？為什么？假設不能全等,說明理由；假設能夠全等,求出這個時刻 以及Q點的運動速度.A / 55【答案】 經(jīng)過1秒后,PB=3cm , PC = 5cm , CQ=3cm , ABC 中,AB =AC ,NABC =NACB,且 BD = PC , BP =CQ , . ABPDACQP (SAS). 設點Q的運動速度為x(x3 Jcm/s,經(jīng)過t s

7、 BPD與ACQP全等；那么可知 PB=3tcm, PC=83tcm, CQ=xtcm,AB =AC ,ZB ZC ,根據(jù)全等三角形的判定定理 SAS可知,有兩種情況：當BD=PC, BP=CQ時,當BD=CQ, BP = PC時,兩三角形全等;當 BD=PC 且 BP=CQ 時,8_3t =5 且 3t=xt ,解得x =3 ,x :3 ,舍去此情況； BD=CQ, BP=PC 時,5=xt 且 3t =83t , r15解得：x =-；4故假設點Q的運動速度與點 P的運動速度不相等,當點 Q的運動速度為15,cm/s時,能夠使 4BPD與4CQP全等.47. 【易】(本溪市初中畢業(yè)生學業(yè)測

8、試)在 ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以 AD為一邊在 AD的右側(cè) 作AADE ,使AD = AE ,NDAE =/BAC,連接 CE .(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果 NBAC=90*,那么/BCE =()度；(2)設 ZBAC =" , /BCE =P .如圖2,當點D在線段BC上移動,那么口,P之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理 由；4 / 55圖1圖2當點D在直線BC上移動,那么a , P之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié) 論.【答案】90°. a +P =180,理由： /BAC =/DAE ,. BAC -7DAC =.

9、DAE -/DAC .即,BAD =. CAE .又 AB=AC , AD=AE , ABDA ACE ./B =/ACE ./B +/ACB =/ACE +ZACB .ZB ZACB =,a +ZB +ZACB =180、 a +P =180©.當點D在射線BC上時,ct+P=180°, 當點D在射線BC的反向延長線上時, a = P .8.【中】北京十二中初二下學期月考測試數(shù)學試題如圖,等邊三角形 ABC中,點D, E, F分別為邊AB, AC, BC的中點,M為 直線BC上一動點,4DMN為等邊三角形點 M的位置改變時, 4DMN也隨之整體 移動.1如圖,當點M在點B

10、左側(cè)時,請你判斷 EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點 F 是否在直線NE上？都請直接寫出結(jié)論,不必證實或說明理由；2如圖,當點M在BC上時,其它條件不變,1的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量 關系是否仍然成立 *成立,請利用圖 證實；假設不成立,請說明理由；3假設點M在點C右側(cè)時,請你在圖 中畫出相應的圖形,并判斷1的結(jié)論中 EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立 *成立 叫直接寫出結(jié)論,不必證實或說明理 由.5 / 55A圖AA【答案】 判斷：EN與MF相等或EN =MF ,點F在直線NE上,成立.方法一：連接DE , DF . ABC是等邊三角形,AB =.AC =BC又D, E, F是三邊的中點,DE ,

11、DF , EF為三角形的中位線、DE =DF =EF , . FDE =60又.MDF . FDN =60 , . NDE . FDN =60 , , MDF =. NDE在 DMF 和 DNE 中,DF = DE , DM = DN , /MDF =/NDE , DMF DNE ,MF =NE .方法二：連接DF , NF , ABC是等邊三角形,AB =BC =AC ,又.D, E, F是三邊的中點,DF為三角形的中位線,11DF = -AC = AB =DB 22又/BDM +/MDF =60、ZNDF +/MDF =60°, /BDM =/FDN .在 DBM 和 DFN 中

12、,DF = DB ,DM =DN , /BDM =/NDF , DBM DFN .ZB ZDFN =60又 ADEF是ABC各邊中點所構(gòu)成的三角形, NDFE =60*.,可得點N在EF上,MF =EN .如圖,MF與EN相等的結(jié)論仍然成立或 MF=NE成立.9.【中】北京八中2021-2021學年度第一學期期中練習6 / 55 如圖,在 RtABC中,/C=90 AC=3, AB =5 ,點P從點C出發(fā)沿CA以 每秒1個單位的速度向點 A勻速運動；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速 度向點B勻速運動；點P、Q同時出發(fā),當點 P到達點A時停止運動,點 Q也隨之停 止.伴隨著P、Q的運動,

13、DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線QB BC CP于點E .設點P、Q運動的時間是t秒t>0.當t =2時,求AP的值及Q到AC的距離；用S表示 APQ的面積,寫出S與t的函數(shù)關系式；在點E運動的過程中,四邊形 QBED能否成為直角梯形時,t的值為多少.【答案】 t =2,.-CP =2 ,AC =3 ,AP=1 , C =90 , AC =3 , AB =5 , BC = 4 ,設點Q到AC的距離是h ,h 2 . 4 一5,''' h =-.5故答案為1； 8；5如圖1 ,作QF,AC于點F . AQF s' ABC ,QF AQ一一=一,

14、BC AB又 AQ =CP =t , AP =3 -t,BC =6 -32 =4,QF t一二一,4574 QF t , 51 4 S 二- 3 -t t , 25即 s=-2t2 +-t ；557 / 55BB能.如圖2,當DE / QB時.DE ± PQ,PQ ± QB ,四邊形QBED是直角梯形, 此時 NAQP =90.由 APQs ABCAQACAPAB '.t 3 -t. 一 二,359斛得t =一 ；8如圖3,當PQ /此時 ZAPQ =70°.由 AQPs ABCBC時,DE ± BC ,四邊形 QBED是直角梯形.分,得空APA

15、B ACt 3 -t即-=.53解得t =15 .8 15 綜上,可知當t =9或15時,四邊形QBED能成為直角梯形. 8810.【中】2021?fj博將一幅三角尺如圖拼接：含30.的三角尺4ABC的長直角邊與含45咋1的三角尺4ACD 的斜邊恰好重合. AB = 2,3, P是AC上的一個動點. 當點P在/ABC的平分線上時,求 DP的長； 當點PD=BC時,求此時 NPDA的度數(shù)； 當點P運動到什么位置時,以 D、P、B、Q為頂點構(gòu)成平行四邊形的頂點 Q恰 好在BC邊上,求出此時平行四邊形DPBQ的面積.【答案】在 RtABC 中,AB=273,/BAC=30>BC =召,AC =

16、3 .如圖1 ,作DF,AC .3 RtAACD 中,AD =CD ,34 . DF =AF =CF =- 2,BP 平分 /ABC ,ZPBC =30 ,CP =BC tan30 ' =1,PF i-,222105 DP =7 PF + DF =.2圖2當P點位置如圖2所示時,3根據(jù)中結(jié)論,DF=, /ADF =45)2又 v PD =BC =J3 ,DF 36 cos/PDF =,PD9 / 55/PDF =30./PDA =/ADF _/PDF =15 叫當P點位置如圖3所示時,同 可得/PDF =30. PDA =/ADF . PDF =75 .故/PDA的度數(shù)為15唱75 口

17、；3當點P運動到邊AC中點如圖4,即CP =萬時,以D, P, B, Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上.7 .四邊形DPBQ為平行四邊形,. BC / DP ,8 ZACB =90.ZDPC =90.,即 DP ± AC .而在 RtABC 中,AB =273 , BC =/3 ,根據(jù)勾股定理得：AC =3,9 DAC為等腰直角三角形,13DP =CP =AC =一, 22 BC / DP , PC是平行四邊形DPBQ的高,9一 S2行四邊形 DPBQ DP CP .411.【中】虹口區(qū)2021學年度第一學期初三年級數(shù)學學科如圖10,AM / /BN , ZA=ZB=90S

18、, AB =4 ,點D是射線AM上的一個動點點D與點A不重合,點E是線段AB上的一個動點點 E與點A、B不重合, 聯(lián)結(jié)DE ,過點E作DE的垂線,交射線 BN于點C ,聯(lián)結(jié)DC .設AE =x ,BC =y .1當AD =1時,求y關于X的函數(shù)關系式,并寫出它的定義域；2在1的條件下,取線段 DC的中點F ,聯(lián)結(jié)EF ,假設EF =2.5 ,求AE的長；3如果動點D、E在運動時,始終滿足條件 AD+DE=AB,那么請?zhí)骄浚篈BCE 的周長是否隨著動點 D、E的運動而發(fā)生變化？請說明理由.10 / 55【答案】 可證 MED st BCEAD AE 二一 BE BC. AE=x, BC=y, A

19、B =4, AD =1 BE =4 -x1 x二一4 -x y .2 - y - -x 4x 0 ：: x :二 4 ; DE ± EC , . DEC =90 又DF =FC ,DC =2EF =2父2.5=5 .過 D 點作 DH _L BN 于 H ,那么 DH = AB =4 .RtDHC 中,HC =757=3BC = BH + HC =1 +3 =4 即 y =4 - 2-x 4x = 4解得：Xi =x2 =2AE=2 . ABCE的周長不變,理由如下：Ca aed =AE +DE +AD =4+x , BE =4 -x ,設 AD =m,那么 DE =4m,11 /

20、55 /A =900,DE2 vAE2 AD2即4 m2 =x2 m216 -x2由知：AEDsBCE216 -x JadeAD / xCabce - BE - 4 - x - 8,人8 CA BCE = CA ADE4 -xABCE的周長不變.12 .【中】蘇州市第十六中學 2021 2021學年度八年級下學期期末模擬測試數(shù)學試卷 如圖,在 ABC中,AB=5, BC=3, AC =4 ,動點E 與點A、C不重合在 AC邊上,EF / AB交BC于點F .當4ECF的面積與四邊形 EABF的面積相等時,求 CE的長；當4ECF的周長與四邊形 EABF的周長相等時,求 CE的長；試問在AB上是

21、否存在點P ,使得4EFP為等腰直角三角形？假設不存在,請簡要說 明理由；假設存在,請求出 EF的長.【答案】不變,Sh邊形 CDBF =23形狀為菱形,13 .【中】2021屆九年級第一模擬試題如圖, 4ABC中,CC =90°, BC=5, AC =12,點P從點C出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向點 B作勻速運動,到達點 B后,馬上以原速度返回,到達 C后再返回,如此循環(huán)；點 Q同時從點B出發(fā),向點 A以每秒1個單位長度的速度勻速運動,到達點A時停止運動,當點 Q停止運動時點P也停止運動.設點P、Q運動的時間為t秒t>0,當t=2時,BP=, Q至IJBC的距離是； 在點P

22、第一次向B運動的過程中,求四邊形 ACPQ的面積與t的函數(shù)關系式不寫 t的取值范圍； 在點P、Q運動的過程中,四邊形 ACPQ能否成為直角梯形？假設能,請直接寫出 t 的值；假設不能,請說明理由.12 / 55ABC -PC =5t ,=2,Q到BC的距離是2413【答案】由題意得：PC=t, BP當 t=2 時,BP =3,過點Q作QD,BC于D ,CC =90 ,. QD / AC ,. BDQ s' BCA ,.BQ DQ"BA - AC,BC =5 , AC =12 , BQ 二AB = . BC2 - AC2 =13, 2 DQ,131224 故答案為：3, 一 D

23、Q = -13 .13過Q作QD,BC于D ,12可得：QD = t ,13Sh邊形 ACPQ = Sa ABC - SabPQ11125 125 -tt22136 230,=-t t 30131313 / 55AA能當PQ / AC時,四邊形 ACPQ成為直角梯形, /QPB 乙 C =90 ,BQ =t , BP =5 -t , PQ =12t13 '. _ 22_ 2- BQ =BP PQ ,65t =, 18B > C ,12 t ,13點Q到達A需13s,BQ =t , BP =t -5 , PQ =同理：當P從B返回時,由即可求得t = 65 ,8當P從C第二次向B運

24、動時,12BQ F , BP =15 -t , PQ *t,13一 65即可求得t -65 6. 165 T 65t =或一,86t的值為65或65或空. 188614.【中】2021-2021學年鄭州二中九年級上期期中數(shù)學模擬試卷如圖,ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,點 D為AB的中點. 如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點 Q在線段 CA上由C點向A點運動.假設點Q的運動速度與點 P的運動速度相等,經(jīng)過 1秒后,4BPD與4CQP是否全 等,請說明理由；假設點Q的運動速度與點 P的運動速度不相等,當點 Q的運動速度為多少時,能夠使 BPD與4CQP

25、全等？14 / 55 假設點Q以中的運動速度從點 C出發(fā),點P以原來的運動速度從點 B同時出發(fā), 都逆時針沿 ABC三邊運動,求經(jīng)過多長時間點 P與點Q第一次在 ABC的哪條邊 上相遇？【答案】t=1秒, . BP =CQ =3x1 =3 厘米,AB=10厘米,點 D為AB的中點,BD =5 厘米.又 PC =BC BP , BC =8厘米, PC =8 3 =5 厘米,PC =BD .又 AB=AC , . B u/C ,在 BPD和ACQP中,PC =BD"=.CBP =CQ ABPDACQP . (SAS)Vp =Vq ,BP#CQ ,又 ABPDACPQ , NB=/C ,那

26、么 BP =PC =4cm , CQ =BD =5cm ,. BP 4,點P,點Q運動的時間t=一秒,335CQ 4Vq t 3=竺厘米/秒.一 4設經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇,一 - 15由題息,得x =3x 2 10,4,點P共運動了 更MBugO厘米.380 =56 +24 =2X28 +24,點P、點Q在AB邊上相遇,15 / 55經(jīng)過80秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇. 315.【中】寧夏回族自治區(qū)中考：等邊三角形ABC的邊長為4厘米,長為1厘米的線段MN在4ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動運動開始 時,點M與點A重合,點N到達點B時運動終止,過點 M、N

27、分別作AB邊的垂 線,與4ABC的其它邊交于 P、Q兩點,線段MN運動的時間為t秒.線段MN在運動的過程中,t為何值時,四邊形 MNQP恰為矩形？并求出該矩形的 面積；線段MN在運動的過程中,四邊形 MNQP的面積為S,運動的時間為t .求四邊形 MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關系式,并寫出自變量 t的取值范圍.當MN運動到被CD垂直平分時,四邊形【答案】 過點C作CD,AB ,垂足為D .MNQP是矩形,一 3即AM =3時,四邊形 MNQP是矩形,3 . t =-秒時,四邊形 MNQP是矩形.PM =AM tan60*=373 ,2NSI邊形MNQP =3、321.當0 ct &l

28、t;1時,_1_酮邊形 MNQP =2 PM QN MN二；1/3t . 3 t 116 / 55二372 口當 1 w t w 2 時-1 LSg邊形 mnqp =3 PM QN i MN= 3.323 口當 2 ct <3 時,-1 LSh 邊形 mnqp = PM QN MN2=2 3 3-t .3 4-t16.【中】廣東清遠中考如圖 9,一個三角形紙片 ABC, BC邊的長為8, BC邊 上的高為6, /B和/C都為銳角,M為AB一動點點 M與點A、B不重合,過 點M作MN / BC ,交AC于點N ,在 AMN中,設MN的長為x , MN上的高為 h .請你用含x的代數(shù)式表示h

29、 .將4AMN沿MN折疊,使4AMN落在四邊形BCNM所在平面,設點 A落在平面 的點為A, AAiMN與四邊形bcnm重疊局部的面積為y ,當x為何值時,y最【答案】: MN / BC , AMN s' ABC .h x 一 二一6 8.卜3x h4 : AAMNAMN17 / 55AAMN的邊MN上的高為h ,當點A落在四邊形BCNM內(nèi)或BC邊上時,c1 一,y = Sa A1MN =3 MN1 h =-x23 2 一-x (0<xW 4)8當A落在四邊形BCNM外時,如以下圖4<x<8,設AEF的邊EF上的高為hi,3貝U % =2h -6 = x -62EF

30、II AM , AEF AMN AAMN ABC , AEF s、ABCSa aefSa ABCh12=I I61=-6 8 =24, 2-SA aeF3x -626- y = Sa amn _$ aef243 2二一 x212x+24 .3=-x8! 3x2 T2x 24 29 2一一 x812x-249 2所以 y=-9x 12x -24 4 ：: x ：: 83 2綜上所述：當0 MxW4時,y=-x89 2當 4<x<8 時,y = 9x +12x24 8取x=苴38 6,y最大=818 / 5517.【中】2021. 5順義/ABC =30)問題：如圖1,在RtAABC中

31、,£C =90*,圖1點D是射線CB上任意一點, ADE是等邊三角形,且點D在/ACB的內(nèi)部,連接BE .探究線段BE與DE之間的數(shù)量關系.請你完成以下探究過程：先將圖形特殊化,得出猜測,再對一般情況進行分析并加以證實.(1)當點D與點C重合時(如圖2),請你補全圖形.由 ZBAC的度數(shù)為,點E落 在,容易得出BE與DE之間的數(shù)量關系為；(2)當點D在如圖3的位置時,請你畫出圖形,研究線段BE與DE之間的數(shù)量關系是否與(1)中的結(jié)論相同,寫出你的猜測并加以證實.【答案】如圖2,ZC =90 °, ZABC =30*,/BAG =60 , ADE是等邊三角形,AE =CE ,

32、點E落在AB的中點處；AE =CE =BE =DE ,故答案為：60° AB的中點處；BE=DE.如圖3猜測：BE=DE.證實：取AB的中點F ,連接EF .' ZACB =90°, /ABC =30、1 - 1 =60 , CF =AF AB , 219 / 55 ACF是等邊三角形.AC =AF . ADE是等邊三角形,.N2=60.,AD=AE.N1 =/2 . . 1 . BAD = . 2 . BAD .即 /CAD =/FAE .由得 ACDAFE (SAS)./ACD =/AFE =90%F是AB的中點,EF是AB的垂直平分線,BE=AE , ADE是

33、等邊三角形, DE =AE ,BE = DE .18.【中】普陀區(qū)第一學期九年級如圖,AB =16cm , AC =12cm ,動點P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運動,其中點P從點A出發(fā)沿AC邊一直移到點 C為止,點Q從點B出發(fā)沿BA邊一直移動到點A為止.寫出 AP的長y1和AQ的長y2關于時間t的函數(shù)；經(jīng)過多少時間后, APQ與4ABC相似？在整個過程中,是否存在使 APQ的面積恰好為4ABC面積一半的情況,假設存在,請問此時點Q運動了多少時間？假設不存在,請說明理由.【答案】 y =2t (0wtw6) , y2=16t (0wtw6)當0 W t W 6時,假設 QP /

34、BC ,那么有 AQP s' ABC .AQ AP AB AC , AB =16cm , AC =12cm , AP =2t , AQ =16t ,20 / 55.16 -t 2t.=1612 '、448解得：t=48.11; /A=/A ,假設 NAQP =/C , 那么有 Aaps acb .,AQ AP, 二 .AC AB16 -t 2t. .=一,1216解得：t=6.4.不符合題意,舍去當6W y 16時,點P與C重合. /A=/A ,只有當 ZAQC =/ACB 時, 有 AQCs ACB .AQ AC AC - AB16 -t 12 二一1216解得：t=7.綜上

35、所述：.,48在0 W tw 6中,當t = 一時, 11在6W tw 16中,當t =7時,當0 w t w 6時, AQPA ABC . AQC ACB .垂足為 D、E.過點P、C分別作AB的垂線,PD =APsin/A , CE = ACsinNA .如果 APQ的面積恰好為 ABC面積一半,那么$ apqAQ PDAB CEAQ PD 1一 ,AB CE 2得：t2 -16t 48 =0 ,21 / 55解得：t =4或者t=12 舍去.當6W y 16時,點P與C重合.rr S»A AQCAQ即=,Sa abcAB '如果AQC的面積恰好為 4ABC面積一半,那么

36、16 -1 1162解得：t=8.綜上所述：在0WtW6中,當t=4時,APQ的面積恰好為 ABC面積一半.在6W tw 16中,當t =8時,4AQC的面積恰好為 4ABC面積一半.19,【中】在三角形紙片 ABC中,/ABC =90.,AB =6 , BC=8.過點A作直線l平行于BC ,折疊三角形紙片 ABC ,使直角頂點B落在直線l上的T處,折痕為MN .當點T在直線l上移動時,折痕的端點 M、N也隨之移動.假設限定端點 M、N 分別在AB、BC邊上移動點 M可以與點A重合,點N可以與點C重合,求線段 AT長度的最大值與最小值的和計算結(jié)果不取近似值.【答案】當點 M與點A重合時,AT取

37、得最大值如圖lC由軸對稱可知, AT =AB =6 .當點N與點C重合時,AT取得最小值如圖22 / 55過點C作CD,l于點D ,連結(jié)CT ,那么四邊形ABCD為矩形,CD =AB =6 .由軸對稱可知, CT=BC =8 . 在 RtACDT 中,CD =6 , CT =8 ,由勾股定理,得DT =2幣. 1- AT =AD - DT =8-2 7 . 線段AT長度的最大值與最小值的和為14 2" .20.【中】2021.徐州市中考如圖 ,在4ABC中,AB = AC, BC=acm, /B=30專.動點P以1cm/s的速度從點B出發(fā),沿折線Bt At C運動到點C時停止運動,設

38、點P出發(fā)x s時,4PBC的面積為ycm2,y與x的函數(shù)圖象如圖 所示,請根據(jù)圖中信息,解答以下問題： 試判斷DOE的形狀,并說明理由； 當n為何值時, DOE與 ABC相似？圖x【答案】 DOE是等腰三角形,理由如下：過點 A作AM ± BC于M ,23 / 55圖. AB=AC, BC=acm, /B=30©,一AM二3a, AC. AB.6. c1-S»A ABC = BC2AM3 2 -a 12P在邊AB上時,x1y = S»a abc =_ axAB4P在邊AC上時,AB AC - x S»A ABCAB-lax,4AB=AC,點P以

39、1cm/s的速度運動,點P在邊AB和AC上的運動時間相同,.點F是OE的中點,DF是OE的垂直平分線,DO =DE ,ADOE是等腰三角形. 由題意得：, AB =AC , BC=acm, ZB =30°, .3 a 3一 AM = = a , 3263-AB = a ,3,.D -a,33 2 一 a12 DO =DE , AB =AC ,當且僅當 /DOE =/ABC 時,ADOE ABC ,24 / 55E ,連接PQ交AB于 當/BQD=307寸, 在運動過程中線段 改變,請說明理由.【答案】解法一：過 P作PF / QC在 RtADOF 中,tan/DOF =21=2_=1

40、a, Xd _34至由a =tan30 =3 ,得 a =4-3 ,433當 a=4 時, DOE ABC.321.【中】2021貴州遵義中考如圖, ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動與A、C不重合,Q是CB延長線上一動點,與點 P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動Q不與B重合,過P作PE,AB于D .求AP的長；ED的長是否發(fā)生變化？如果不變,求出線段ED的長；如果發(fā)生那么4AFP是等邊三角形, P、Q同時出發(fā)、速度相同,即 BQ = AP . BQ =PF . DBQA DFP ,BD =DFZBQD =/BDQ =/FDP =/FPD =30 口11BD

41、 =DF =FA AB6 =233'AP=2 .解法二：P、Q同時同速出發(fā),AP =BQ .設 AP =BQ =x,貝U PC =6 x, QC=6+x25 / 55在 RtQCP 中,/CQP=30> /C =60 + ,. /CQP =90,. QC =2PC ,即 6 +x = 2(6_x)x =2AP=2 .由知BD=DF而 APF是等邊三角形,PE _L AF ,AE =EF又 DE +(BD +AE) =AB=6 ,DE +(DF +EF) =6,即 DE DE =6DE =3為定值,即DE的長不變.22,【中】如圖,等腰 RtABC的直角邊AB = BC=2,點P、

42、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),以相同速度做直線運動,點P沿射線AB運動,點Q沿BC的延長線運動,當點P到達點B時兩點同時停止運動,PQ與AC交于點D . 設AP為長為X,當X為何值時,Sapcq =Sa ABC ? 作PEL AC于點E,當點P、Q運動時,線段 DE的長度是否改變？請證實你的 結(jié)論.1【答案】 當點P在線段AB上時(如圖1) , Sq =CQ PB .2AP =CQ =x , PB =2 -x ._12 Sapcq = x ZX .21 2即 S=(2xx ) (0<x<2);當點P在AB延長線上時如圖2,-1 -Sa pcq CQ PB .23 AP =CQ =x

43、, PB =x2 ._1Sapcq =&x(x -2 ).12即 S =3(x -2 ) ( x >2 );26 / 55小一 1 一一一 Saabc =一 M2 M2 = 2 .2令12xx2 =2 ,即x2 -2x+4=0 ,此方程無解；公,12令-x -2x =2 ,即 x -2x -4 =0 ,解得 x =1 ±75 .故當AP的長為1+75時,Sa PCQ = S ABCF ,貝J AP = PF =CQ . 作PF B BC交AC交延長線于 PFD AQCD .八 CFFD =CD =2AP =x ,2x一 AE = EF =2AB =2 ,AC =2應.當

44、點P在線段AB上時,''' CF =AC - AF =202 J2x , FD = = v2 x .221 DE =EF +DF =V2-x+2x;22當點P在AB延長線上時,CF =AF -AC =72x -2j2 . FD =CF= -x -6 .22 DE =EF -FD =AF -AE - DF故當P、Q運動時,線段DE的長度保持不變,始終等于 短.27 / 5523.【中】黑龍江一模如圖,/ABM為直角,點C為線段BA的中點,點D是射線BM上的一個動點不與點 B重合,連結(jié) AD,作BE_LAD,垂足為E,連結(jié)CE ,過點E作EF 1CE ,交BD于F.求證：B

45、F =FD ;/A在什么范圍內(nèi)變化時,四邊形 ACFE是梯形,并說明理由；1/A在什么范圍內(nèi)變化時,線段 DE上存在點G,滿足條件DG=-DA,并說明理4由.【答案】 在RtAEB中,AC=BC , 1CE AB 2, CB uCE , /CEB =/CBE . , CEF =. CBF =90 ,ZBEF ZEBF, EF =BF . ZBEF +/FED =90 1 /EBD +/EDB =901 FED =/EDF .7 EF =FD .二 BF =FD .由BF =FD ,而BC =CA , CF / AD , 即 AE / CF .假設 AC / EF ,貝U AC = EF , ,

46、 BC =BF .,BA = BD, /A = 45)當 Oc/AcdS41或 45*</A <90 口時,四邊形 ACFE 為梯形. 作GH _LBD ,垂足為H ,那么GH / AB . 11, DG =一 DA ,二 DH =一 DB .44又F為BD中點,二H為DF的中點.,GH為DF的中垂線.二Ngdf =/gfd .丁點G在ED上, 二/EFD > /GFD .；/EFD +/FDE +/DEF =180、28 / 55,/GFD +/FDE +ZDEF < 180s.二 3/EDF v 180 土 j.NEDF v 60 4.又 NA+NEDF =90 &

47、#176;,30 < NA <90°.1當30 m /a <90叩寸,DE上存在點G ,滿足條件 DG =- DA .424.【中】2021西安一高新一中一七年級數(shù)學下 一期末測試試卷如圖,在 ABC 中, AB=AC , ZBAC =90°, BC =6cm ,直線 CM IBC ,動點 D 從點C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運動,動點 E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運動,連接 AD、AE,設運動時間為t秒.1當t為多少時,4ABD的面積為6cm2?2當t為多少時,ABDACE,請說明理由可在備用圖中畫出具體圖 形.【答案】 :

48、 AB =AC , ZBAC =90ZABC 乙 ACB =45由勾股定理可得：AB=AC =3應cm設 ABC的高為h ,- 6h =- 3 2 3 222. h = 3當點D在線段BC上運動時C1 f ,Sa abd - 一 BD h2 CD =2tBD =6 -2t一 1 一一 一 Sa ABD =-6 -2t h =6 2 ' t =1 .當點D在CB的延長線上運動時,BD =2t -6 ,1-(2t -6 卜h=6 .229 / 55答：當1=5或1=1時,AABD的面積是6cm2 .如圖,當點E在射線CM上運動時,點 D必在線段CB上, CM _LBC ,/ACE +/AC

49、B =90,又 /ABC +/ACB =90 /ABC 乙ACE.AB =AC ,當 BD =CE 時, ABD ACE 即：62t=t 時, ABDA ACE .t =2當點E在CM反向延長線上運動時,點 D必在CB延長線上, /ABC =/ACE ,/ABD =ZACE =180 s-45 s=135s.AB =AC ,當 BD =CE 時, ABD ACE .即：2t 6=t 時, ABDA ACE . . t =6答：當 t =6或者 t =2 時, ABD ACE .25,【中】2021北京中考在 ABC中,BA = BC, /BAC =a , M是AC的中點,P是線段BM上的動點,

50、將線段 PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ . 假設ot =60 口且點P與點M重合如圖1,線段CQ的延長線交射線 BM于點D ,請補全圖形,并寫出 /CDB的度數(shù);圖1圖2在圖2中,點P不與點B , M重合,線段CQ的延長線與射線 BM交于點D ,猜想WCDB的大小用含口的代數(shù)式表示,并加以證實；30 / 55對于適當大小的 a ,當點P在線段BM上運動到某一位置不與點B , M重合時,能使得線段 CQ的延長線與射線 CM交于點D ,且PQ =QD ,請直接寫出 a 的范圍.【答案】/CDB=301.4 連接 PC , AD ,易證APDCPD,AP =PC ,. ADB =/CDB,. PAD =/PCD' W三：又PQmPA. PQ =PC , /ADC =2/CDB ,ZPQC ZPCD /PAD . . PAD . PQD =. PQC . PQD =180.APQ . ADC =360't/PAD PQD =180 . . ADC =180 ' -/APQ =180 ' -2 ;2 CDB =180 ' -2 ZCDB =903 3 / ZCDB =90°-a,且 PQ =QD /PAD /