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文檔簡介
1、絕密啟用前sinx x5、函數(shù)f(x)=2在-n,n的圖像大致為()cosx x2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(全國一卷)2019.06. 07滿分150分,考t用時120分鐘、選擇題:本題共 12小題,每小題5分,共60分。1、已知集合 M =x -4 <x <2, N =x x2 -x-6 <01,則 M Pl N =C.2、3、4、A. x Y <x <3)B. x -4 <x <-2C. x -2<x<2)D.x2<x<3A.00B.D.-TT6、我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-
2、i =1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x, y),則()成,爻分為陽爻“”和陰爻“一一”,如圖就是22.A. (x+1) +y =1B.(x -1)2y2 =1C.22x2 (y-1)2 =1D.22x2 (y+1)2 =15該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.316B.0.2已知 a log 20.2, b 2 ,03c =0.2 ,則(A. a <b <cB.C.D.古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是.5 -12. 51 一, 、5-0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭2頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之
3、比也是Y5二1.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且27、已知非零向量 a,腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是(“重卦”由從下到上排列的一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,1132C 21口 義. 3216(開蛤a與b的夾角為()b 滿足 | a |=2| b |,且(a-b) _L b,則6個爻組 則花A.一68、如圖是求_ 冗B.一312 f2 -22冗C. 一35冗D. 一6的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入(A. 165 cm B. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm1A. A=2 AB.1A=2 AC. A=-1 D. A=1+ 1 2A2A1
4、0三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共 60分。2217、(12 分) ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a, b, c,設(shè)(sin BsinC) = sin AsinBsinC.(1)求 A; (2)若 V2a+b=2c ,求 sinC.18、(12分)如圖,直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形, AAi=4, AB=2 , /BAD=60° ,巳M , N分別是BC, BB1, A1D的中點.(1)證明:MN/平面CQE; (2
5、)求二面角A-MAi-N的正弦值.9、記a為等差數(shù)列an的前n項和.已知 & =0, a5 =5 ,則()212_A. an=2n5B. a=3n10 C. Sn =2n 8n D. Sn=n -2n210、已知橢圓C的焦點為Fi(1,0), F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若| AF2|=2|F2B|,|ABR BF1 |,則C的方程為() 2222222x 2 .x y ,x y ,x y ,A. 一+ y2=1 B. 一+工=1 C.+ =1D. 一+工=1232435411、關(guān)于函數(shù)f (x) =sin | x | +1 sin x |有下述四個結(jié)論:f(x)是
6、偶函數(shù);f(x)在區(qū)間(-,n)單調(diào)遞增;f(x)在一耳可有4個零點;2f(x)的最大值為2;其中所有正確結(jié)論的編號是()A.B.C.D.12、已知三棱錐 P-ABC的四個頂點在球 。的球面上,PA=PB=PC, 4ABC是邊長為2的正三角形,E, F分別是PA, PB的中點,/ CEF=90° ,則球。的體積為()A. 8芯五 B, 4Z6hC. 2而冗D. 76n二、填空題:本題共 4小題,每小題5分,共20分。2 一 x13、曲線y=3(x +x)e在點(0,0)處的切線方程為 .1014、記Sn為等比數(shù)列an的刖n項和.右a1 =-,a4 =a6 ,則S5=.315、甲、乙兩
7、隊進行籃球決賽, 采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為主主客客主客主設(shè)甲隊主場取勝的概率為 0.6,客場取勝的概率為 0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立, 則甲隊以4: 1獲勝的I率是 .2216、已知雙曲線 C:與4=1(a>0,bA0)的左、右焦點分別為 F1, F2,過F1的直線與C的兩 a bT T T -I條漸近線分別交于 A, B兩點.若F1A = AB, F1B F2B = 0,則C的離心率為.19、(12分)已知拋物線 C: y2=3x的焦點為F,斜率為-的直線l與C的交點為A, B,與x軸的 2交點為 P. (
8、1)若 AF|+|BF|=4,求 l 的方程;(2)若 TP=3pB,求 |AB|.20、(12分)已知函數(shù) f (x) =sin x ln(1+x), f'(x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù).證明:(1) f (x)在區(qū)間(1,)存在唯一極大值點;2(2) f(x)有且僅有2個零點.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22、選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程(10分)_1-t2x -2 ,在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為11 + t(t為參數(shù)).以坐標原點 。為極點,x4ty y 1 t2軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標
9、方程為2P cose + J3P sine +11 = 0.(1)求C和l的直角坐標方程;(2)求C上的點到l距離的最小值.21. (12分)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行 動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只 施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白 鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得_1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲
10、藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得_1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為“和3, 一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi (i= 0,1111,8)表示用藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則Po=0, p8=1, r =apy+bpi+cr由(i=1,2,|,7),其中 a=P(X=1), b=P(X=0), c=P(X=1).假設(shè) a=0.5, P=0.8.(i)證明:PhR (i =0,1,2,111,7)為等比數(shù)列;23、選彳45:不等式選講(10分) 已知a, b, c為正數(shù)
11、,且滿足 abc=1.證明:111222(1)-+-+-< a + b + c ;a b c(2) (a+b)3 + (b+c)3 + (c+a)3 224.(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國一卷)理科數(shù)學(xué)?參考答案一、選擇題:1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D二、填空題:13. y=3x ; 14. 121 ; 15. 0.18; 16. 23三、解答題22 222217、解:(1)由已知得 sin B+sin Csin A = s
12、inBsinC,故由正弦定理得 b +c -a =bc.A(2,0,0) , A1 (2,0,4), M (1,73,2), N(1,0,2),篇=(0,0,4) , "AM = (-1,73-2),由余弦定理得.222.A b C - a1八 A/CCL ACCcosA =-.因為 0 < A <180 ,所以 A = 60 .2bc 2由(1)知 B=120°C ,由題設(shè)及正弦定理得 J2sin A + sin(120°C )=2sin C,>AN =(-1,0,-2), MN = (0,-V3,0)./ 、一一m AM 0 I x . 3y
13、-2z0,設(shè)m= (x,y,z)為平面Aima的法向量,則$ 一 ,所以<)I m A A = 0-4z = 0.可取 m = (J3,1,0).設(shè)即+ cosC +二sin C =2sin C ,可得 cos(C +60口)=- 2222n MN = 0, n= (p,q,r)為平面Aimn的法向量,則 一n AN = 0.2由于0 <C <120 ,所以sin (C+60 )=,故2所以 |一«q = 0,可取 n= (2,0,1) .于是 cos«m,n)=-mn= -3-p - 2r = C| mil n| 2 . 5所以二面角A- MA1 一 N
14、的正弦值為YE .5.6 F 2sinC =sin C 60 -60 . -sin C 60 cos60 -cos C 60 sin 60 =419、解:設(shè)直線118、解:(1)連結(jié)BiC, ME.因為M, E分別為BBi, BC的中點,所以ME/BC,且ME=BiC. 2,3i :y = -x+t,A(,yO,B(x2,y2 )1一一一又因為N為AiD的中點,所以ND=-AiD,由題設(shè)知AiBi 口 DC,可得BiCAiD,故MEND,2 I 3. 35(1)由題設(shè)得 F .-,0 ,故 | AF | + |BF |= X + x2 +,由題設(shè)可得 x1 + x2 =.U )223,y =
15、- x t由 22y = 3x12(t-1)9因此四邊形MNDE為平行四邊形, MN/ED.又MN0平面EDC1,所以MN/平面CDE .(2)由已知可得DEXDA.以D為坐標原點,DA的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐,可得 9x2 + 12(t 1)x+4t2 = 0 ,則 x1 + x2 =標系D-xyz,則12(t -1) 5737從而一=一,得t = 一一 .所以l的方程為y = - x一一92828(ii)當 x w 0,3 I2由 AP =3pB可得 y1 = -3y2 .由 1y - 2 X 1,可得 y2 2y + 2t = 0 .!2J y = 3x所以 yi +
16、 y2 = 2 .從而 3y2 + y2 = 2 , 故 y2 = 1,yi = 3 . 14,13代入C的方程得x1 =3,x2 =.故| AB |="3331120、解:(1)設(shè) g(x) = f '(x),則 g(x) =cosx -, g (x) = -sinx +2 .1 x(1 x),g'(x)單調(diào)遞減,而 g'(0) >0,g'(3 <0 ,可得 g'(x)在 1 -1,22設(shè)為 ot .則當 x w (-1,a)時,g' (x) a 0 ;當 x w it - I時,g'(x) <0 .2所以g
17、(x)在(-1戶)單調(diào)遞增,在la, '單調(diào)遞減,故g(x)在1 -1,-'存在唯一極大值點, I 2;I 2;即f '(x)在1 -1,1 存在唯一極大值點.(2) f(x)的定義域為(1, ).(i)當xW(Tq 時,由(1)知,f'(x)在(1,0)單調(diào)遞增,而f'(0) =0 ,所以當xW (1,0)時,f'(x) <0,故f(x)在(1,0)單調(diào)遞減,又f (0)=0 ,從而x = 0是f (x)在(1,0的唯一零點.( n、,由(1)知,f'(x)在(0,口)單調(diào)遞增,在1口二|單調(diào)遞減,而 f'(0)=0 ,2
18、又 f(0)=0, f 勺=1_"1 +三>0,所以當 xw 1。, 時,f(x)>0.從而,f(x)在''0,- 1 22. 22沒有零點.(iii)當 x 三9,/時,f'(x)<0,所以 f(x)在i-,H 1 單調(diào)遞減.而 f'-1>0, f (n)< 0,所222以f (x)在,J有唯一零點.2(iv)當x三(兀,心)時,ln(x+ 1)> 1 ,所以f (x) <0,從而f (x)在(江,氏c )沒有零點.綜上,f (x)有且僅有2個零點.P(X = - 1> (-1 P)21、解:X的所有可
19、能取值為1,0,1. P(X= 0>«P + (1)例,)P(X= 1>a (1,)所以X的分布列為X 701P (I i a)* n' + (l_/?) a(l -(2) (i)由(1)得 a = 0.4, b = 0.5, c=0.1.因此 Pi=0.4p+0.5 R+0.1pi+,故 0.1( 口書r )= 0.4( Pi % ),即Pi 1 - Pi = 4 p - Pi.又因為R P0= P10 0,所以P)(i = 0,1,2,111,7)為公比為4,首項為R的等比數(shù)歹U.( n、,使彳導(dǎo)(F)=0,且當*10邛)時,f'(x) >0;當xw ! I,2f n、時,f'(x) <0 .故f (x)在(0, P)單調(diào)遞增,在!氏二|單調(diào)遞減.,2(ii)由(i)可得(2)因為a, b, c為正數(shù)且abc=1,故有48 -1P8=P8-P7P7-P6IHPl- P0P0=P8- P76 -P6l|l R -Po二二一Pl.3P4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為
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