201709年高考數(shù)學(xué)立體幾何中的最值問題

1、立體幾何中的最值問題湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 衡陽縣一中 劉亞明 一、線段長度最短或截面周長最小問題例1. 正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長均為2，M為AA1中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的最短距離是多少?并求之.解析： (1)從側(cè)面到N，如圖1，沿棱柱的側(cè)棱AA1剪開，并展開，則MN(2)從底面到N點(diǎn)，沿棱柱的AC、BC剪開、展開，如圖2.則MN .例2.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=BN=（1）求MN的長；（2）當(dāng)為何值時，MN的長最??； （3）當(dāng)MN長最小時，求面MNA與

2、面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MPAB交BC于點(diǎn)P，NQAB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB即為二面角的平面角。又，所以由余弦定理有ABCDEFGHPMN。故所求二面角。例3. 如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為。點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM=FN ,(1)求證:MN/面BCE ; (2)求證:MNAB; (3)求MN的最小值

3、.解析：(1)如圖,作MG/AB交BC于G, NH/AB交BE于H, MP/BC交AB于P, 連PN, GH , 易證MG/NH,且MG=NH, 故MGNH為平行四邊形,所以MN/GH , 故MN/面BCE ;(2)易證AB面MNP, 故MNAB ;(3)即為面ABCD與ABEF所成二面角的平面角,即,設(shè)AP=x , 則BP=ax , P=ax ,所以： ，ABFECDPNM故當(dāng)時，有最小值例4.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=x ,BN=y, （1）求MN的長(用x,y表示)；（2）求MN長的最小值，

4、該最小值是否是異面直線AC，BF之間的距離。解析：在面ABCD中作MPAB于P，連PN，則MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=，在中，MN=；（2）MN，故當(dāng)，時，MN有最小值。且該最小值是異面直線AC，BF之間的距離。例5. 如圖，在ABC中，ACB90°，BCa,ACb,D是斜邊AB上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?解析： 設(shè)ACD，則BCD90°-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因?yàn)锳CDB是直二面角，AMCD，B

5、NCD，AM與BN成90°的角，于是AB.當(dāng)45°即CD是ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.例6. 正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.解析：(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平面圖.如圖1，當(dāng)周長最小時，EF在直線BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理BFBDa.FDBADB，,DFa,AFa.又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的

6、周長的最小值為a.(2)如圖2，BEF等腰，取EF中點(diǎn)G，連BG，則BGEF.BGa SBEF·EF·BG·a·aa2.(3)VA-BCDVB-ACD，而三棱錐BAEF，三棱錐BACD的兩個高相同，所以它們體積之比于它們的兩底面積之比，即評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問題，從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體，其中任何一個面都可以做為底面，因而它可有四個底面和與之對應(yīng)的四條高，在解決有關(guān)三棱錐體積題時，需要靈活運(yùn)用這個性質(zhì).二、面積最值問題例7. 如圖1所示，邊長AC3，BC4，AB5的三

7、角形簡易遮陽棚，其A、B是地面上南北方向兩個定點(diǎn)，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，試問：遮陽棚ABC與地面成多大角度時，才能保證所遮影面ABD面積最大?解析： 易知，ABC為直角三角形，由C點(diǎn)引AB的垂線，垂足為Q，則應(yīng)有DQ為CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如圖2所示.因太陽光與地面成30°角，所以CDQ30°，又知在CQD中，CQ，由正弦定理，有,即 QDsinQCD.為使面ABD的面積最大，需QD最大，這只有當(dāng)QCD90°時才可達(dá)到，從而CQD 60°.故當(dāng)遮陽棚ABC與地面成60°角時，才能保證所遮影面A

8、BD面積最大.例8. 在三棱錐ABCD中，ABC和BCD都是邊長為a的正三角形，二面角ABCD，問為何值時，三棱錐的全面積最大。解析：SBACSBCDa2為常量，所以三棱錐全面積的大小取決于SABD與SACD的大小，由于ABDACD，所以只求SACD何時面積取最大值即可。SACDasinACD，所以當(dāng)ACD90°時面積最大，問題得解。解 如圖，取BC中點(diǎn)M，連AM、DM，ABC和BCD都是正三角形，AMD是二面角A-BC-D的平面角，AMD，又ABDACD，且當(dāng)ACD90°時，ACD和ABD面積最大，此時ADa，在AMD中，由余弦定理cosAMD-，當(dāng)-arccos時，三棱

9、錐A-BCD的全面積最大。點(diǎn)評 本題將求棱錐全面積的最大值，轉(zhuǎn)化為求ACD面積的最大值，間接求得角。例9、一個圓錐軸截面的頂角為1200，母線為1，過頂點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面面積為 。分析：本題是截面問題中的常見題，設(shè)圓錐的軸截面頂角是，母線長為l，則截面面積Smax=，本題軸截面頂角為1200，最大面積為。例10、圓柱軸截面的周長L為定值，求圓柱側(cè)面積的最大值。分析：設(shè)圓柱的底面直徑和高分別為d,h,則有：2（d+h）=L,d+h=L/2,S側(cè)=dh=（當(dāng)且僅當(dāng)d=h時取“=”）。ABCDD1A1C1B1EFG例11、在棱長為1的正方體ABCDABCD中，若G、E分別是BB1、C1D1的

10、中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形ADD1A1的中心。則四邊形BGEF在正方體側(cè)面及底面共6個面內(nèi)的射影圖形面積的最大值是 。分析：可得四邊形BGEF在前后側(cè)面上的射影相等且等于；在左右側(cè)面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等且等于，所以射影圖形面積的最大值為。三、體積最值問題例12. 如圖，過半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐PABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得O1，AB是O1的直徑，連PO1并延長交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓

11、就可以了.解： (1)設(shè)過PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直徑，連PO1并延長交O1于D，則PADB是矩形，PD2PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O，截球得大圓，又PCPD.CD是球的直徑.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)設(shè)PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐PABC的體積Vxyz，V2x2y2z2()3·R6.VR3.即 V最大R3.評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點(diǎn)對球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).四、角度最值問題。例13. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上的一動點(diǎn)，平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為、，試求+的最大值和最小值.解析：如圖.對角面A1B1CD對角面ABC1D1，其交線為EF.過P作PQEF于Q，則PQ對角面ABC1D1.分別連PE、PF.EFAD1，PEAD1(三垂線定理).故由二面角的平面角定義知 PF