最優(yōu)化-第3章-一維搜索方法PPT課件

1、1 第三章 一維搜索方法3.3 一維搜索的試探法3.1 搜索區(qū)間的確定3.2 區(qū)間消去法原理3.4 一維搜索的插值法2求解求解最優(yōu)解的過程，稱為最優(yōu)解的過程，稱為( (一一維搜索維搜索) )，所使用的方法稱為，所使用的方法稱為。 由前由前可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，迭代過迭代過程程每一步的格式都是從每一步的格式都是從某一定點(diǎn)某一定點(diǎn)X(k) 出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定函數(shù)下降的規(guī)定方向方向 S(k)搜索，以找出此方向的搜索，以找出此方向的極小點(diǎn)極小點(diǎn)X(k+1) 。這一過程是各種最優(yōu)化方法的一種。這一過程是各種最優(yōu)化方法的一種。一般一

2、般： 首先首先確定確定一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的初始區(qū)間初始區(qū)間，即，即確定確定 函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間單峰區(qū)間； 然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到得到最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)， 最終求出該搜索區(qū)間內(nèi)的最終求出該搜索區(qū)間內(nèi)的一維極小點(diǎn)一維極小點(diǎn)。3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定3根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將分為分為單峰區(qū)間單峰區(qū)間和和多峰區(qū)間多峰區(qū)間。所謂所謂，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值，即函數(shù)的極小值。即函數(shù)的極小值。即在即在內(nèi)的

3、內(nèi)的的的左側(cè)左側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈，而在而在內(nèi)的內(nèi)的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)X* 的的右側(cè)右側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈上升趨勢(shì)上升趨勢(shì)。也就是說，也就是說，的函數(shù)值呈的函數(shù)值呈的變化特征的變化特征。3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定x*abx0f(x)4目前在一維優(yōu)化搜索中確定目前在一維優(yōu)化搜索中確定單峰區(qū)間單峰區(qū)間常用的方法常用的方法是是進(jìn)退試算法進(jìn)退試算法。 為：為： 1)1) 按照一定的規(guī)律給出按照一定的規(guī)律給出若干試算點(diǎn)若干試算點(diǎn)， 2)2) 依次比較各依次比較各試算點(diǎn)的函數(shù)值試算點(diǎn)的函數(shù)值的大小，的大小， 3) 3) 直到找到直到找到相鄰三點(diǎn)相鄰三點(diǎn)函數(shù)值按函數(shù)值按“高高- -低低- -高高

4、” 變化的變化的單峰區(qū)間單峰區(qū)間為止為止3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定5進(jìn)退試算法的進(jìn)退試算法的如下：如下：(2)將將0及及0+h 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù) f(x) 進(jìn)行計(jì)算并比較大小進(jìn)行計(jì)算并比較大小(1)給定給定初始點(diǎn)初始點(diǎn)0和和初始步長(zhǎng)初始步長(zhǎng)h3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定f(x)x0aba0f(a0)a0+hf(a0+h)a0+3hf(a0+3h)f(x)x0aba0-hf(a0-h)a0f(a0)a0+hf(a0+h)6 若若f(0+h) f(0+3h) ，則所計(jì)算的相鄰三點(diǎn)，則所計(jì)算的相鄰三點(diǎn) 的函數(shù)值已具的函數(shù)值已具“高高-低低-高高”特征，這時(shí)可

5、確定特征，這時(shí)可確定 搜索區(qū)間搜索區(qū)間(3)若若f(0 ) f(0+h)，則表明極小點(diǎn)在試算點(diǎn)，則表明極小點(diǎn)在試算點(diǎn) 的右側(cè)，需做的右側(cè)，需做前進(jìn)試算前進(jìn)試算。00, 3abh否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 在做在做前進(jìn)運(yùn)算前進(jìn)運(yùn)算時(shí)，為加速計(jì)算，可將步長(zhǎng)時(shí)，為加速計(jì)算，可將步長(zhǎng)h 增加增加2倍，并取計(jì)算新點(diǎn)為倍，并取計(jì)算新點(diǎn)為0+h+2h=0+3h7(4)若若 f(0) f(0) ，則，則搜索區(qū)間搜索區(qū)間可取為可取為00, ahbh否則，將步長(zhǎng)加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)否則，將步長(zhǎng)加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步上述步

6、驟驟，直到滿足，直到滿足單峰區(qū)間單峰區(qū)間條件為止。條件為止。3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定8f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)af(a1) 搜索區(qū)間確定搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間縮短搜索區(qū)間，找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。 假定在搜索區(qū)間內(nèi)假定在搜索區(qū)間內(nèi)a,b 任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn)a1、b1,且且a1f2 f1f2 f1=f2 f(x) f(x) f(x) 9(1)f1f2, 新區(qū)間為新區(qū)間為a1,b(3)f1=f2, 新區(qū)間為新區(qū)間為a1,b1對(duì)于上述對(duì)于上述縮短后的新區(qū)間縮短后的新區(qū)間，可在其內(nèi)再取

7、一個(gè)，可在其內(nèi)再取一個(gè)新點(diǎn)新點(diǎn)，然后，然后將此點(diǎn)和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)值大小的比較，將此點(diǎn)和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)值大小的比較，以再次按照以再次按照上述方法上述方法，進(jìn)一步，進(jìn)一步縮短區(qū)間縮短區(qū)間，這樣不斷進(jìn)行下，這樣不斷進(jìn)行下去，直到去，直到所保留的區(qū)間所保留的區(qū)間縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解。12ff新區(qū)間為新區(qū)間為a1, bf(b1)af(a1) a1 b1bf(b1)f(a1)a1ab b1f(b1)f(a1)a1bab110111222(1)(),( )(),()aabaff aaabaff a一、適用范圍一、適用范圍

8、 適用于適用于a, b區(qū)間上的任何區(qū)間上的任何單谷函數(shù)單谷函數(shù)求極小值問題。對(duì)求極小值問題。對(duì)函數(shù)除要求函數(shù)除要求“單峰單峰”外不作其他要求，甚至可以外不作其他要求，甚至可以不連不連續(xù)續(xù)。適應(yīng)面相當(dāng)廣?；驹頌?。適應(yīng)面相當(dāng)廣?；驹頌閰^(qū)間消去法區(qū)間消去法3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法黃金分割法插入兩點(diǎn)：黃金分割法插入兩點(diǎn)：f(a2)af(a1) a1 a2bf(a2)af(a1) a1b a21121510.61823.3 3.3 黃金分割法黃金分割法212ab11-13(1-)2a12ab黃金分割法程序框圖黃金分割法程序框圖 開開 始始輸入輸入a, b, , 120.382()0.

9、618()xabaxaba12( )()f xf x22121111,0.382(),( )bx xx ffxabaff x11212222,0.618(),()ax xxffxabaff x結(jié)結(jié) 束束*0.5(),()xabff xaf(x2)f(x1)b x1 x2b x2f(x2) x113例例 3-1 用黃金分割法求函數(shù)用黃金分割法求函數(shù)f(x)=3x3-4x+2的極小點(diǎn)，的極小點(diǎn)， 初始點(diǎn)初始點(diǎn) x0=0, 步長(zhǎng)步長(zhǎng)h=1,精度精度 =0.2。解：解：1）確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間 x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=0+1=1 f2=f(x2)=1 由于由于f1f

10、2, 應(yīng)繼續(xù)向前探測(cè)應(yīng)繼續(xù)向前探測(cè) x3= x0+2h=0+2=2 f3=f(x3)=18 由于由于f2f3,可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即 a, b=x1, x3=0, 23.3 3.3 黃金分割法黃金分割法f(x1)=2x1=0f(x2)=1x2=1f(x3)=18x3=2ab142）用黃金分割法縮小區(qū)間用黃金分割法縮小區(qū)間 第一次縮小區(qū)間：第一次縮小區(qū)間： x1=0+0.382(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618(2-0)=1.236, f2=2.72 由于由于f10.2,應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法f(x

11、1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abb153.3 3.3 黃金分割法黃金分割法第二次縮小區(qū)間：第二次縮小區(qū)間： 令令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382 (1.236-0)=0.472, f1=0.317 由于由于f1f2, 故故新區(qū)間新區(qū)間a, b=x1, b=0.472, 1.236 由于由于 b-a=1.236-0.472=0.7640.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間f(x1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abbx2f(x2)x1f(x1)a16 第三次縮小區(qū)間：第三次縮小區(qū)間：

12、 令令 x1=x2=0.764, f1=f2=0.282 x2=0.472+0.618 (1.236-0.472)=0.944, f2=0.747 由于由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 第四次縮小區(qū)間：第四次縮小區(qū)間： 令令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0.472+0.382 (0.944-0.472)=0.652, f1=0.223由于由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。17第五次縮小區(qū)間：第五次縮小區(qū)間：令令 x2=x1=0.652, f2=f1=0.223 x1=0.472+0.382 (0.

13、764-0.472)=0.584, f1=0.262由于由于f1f2, 故故新區(qū)間新區(qū)間a,b=x1,b=0.584, 0.764因?yàn)橐驗(yàn)?b-a=0.764-0.584=0.180.2, 停止迭代。停止迭代。黃金分割法黃金分割法求的的極小點(diǎn)與極小值：求的的極小點(diǎn)與極小值： x=0.5 (0.584+0.764)=0.674, f(x)=0.2223.3 3.3 黃金分割法黃金分割法求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算求的極小點(diǎn)與極小值：求的極小點(diǎn)與極小值： x=0.667, f(x)=0.22218一、牛頓法一、牛頓法3.4 3.4 插值方法插值方法利用一點(diǎn)的利用一點(diǎn)的函數(shù)值函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)以及以及二階

14、二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造二次多項(xiàng)構(gòu)造二次多項(xiàng)式。用構(gòu)造的二次式。用構(gòu)造的二次多項(xiàng)式的極小點(diǎn)作多項(xiàng)式的極小點(diǎn)作為原函數(shù)極小點(diǎn)的為原函數(shù)極小點(diǎn)的近似。近似。x*xf(x) x20(x) x0f(x) 1(x) x119一、牛頓法一、牛頓法設(shè)設(shè)f(x)為一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，則在點(diǎn)為一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，則在點(diǎn)x0附近附近進(jìn)行泰勒展開并保留到二次項(xiàng)：進(jìn)行泰勒展開并保留到二次項(xiàng)：2000001( )( )()()()()()2f xxf xfxxxfxxx1( )0 x用二次函數(shù)用二次函數(shù)(x)的極小點(diǎn)的極小點(diǎn)x1作為作為f(x)極小點(diǎn)的一個(gè)近似極小點(diǎn)的一個(gè)近似點(diǎn)。根據(jù)極值必要條件點(diǎn)。根據(jù)極值必要條件:3.4 3

15、.4 插值方法插值方法xf(x) x1x20(x) x*f(x) 1(x) x0200010()()()0fxfxxx即即0100()()fxxxfx依此類推可得依此類推可得牛頓迭代公式：牛頓迭代公式：1()()kkkkfxxxfx一、牛頓法一、牛頓法3.4 3.4 插值方法插值方法x2x1x0 x*f(x) f(x) 0(x) 1(x) 21在在x0處用一拋物線處用一拋物線(x)代替曲線代替曲線 f(x)，相當(dāng)于用一斜直線相當(dāng)于用一斜直線 (x)代替曲線代替曲線 f (x) 。這樣各個(gè)近似點(diǎn)。這樣各個(gè)近似點(diǎn)是通過對(duì)作是通過對(duì)作f (x)切切線求得與軸的交點(diǎn)線求得與軸的交點(diǎn)找到的，所以有時(shí)找到

16、的，所以有時(shí)牛頓法又稱作切線牛頓法又稱作切線法。法。x2x1x0 x*f(x) f(x) 0(x) 1(x) f (x) f (x) x*x0 1(x) x2x1221kkxx牛頓法牛頓法開開 始始計(jì)算計(jì)算 ，*1kxx給定初始點(diǎn)給定初始點(diǎn) ，誤差，誤差 ,令令k=00 x( ),( )kkf xf x計(jì)算計(jì)算 ，1()()kkkkfxxxfx1kk結(jié)結(jié) 束束23數(shù)值數(shù)值 k 0 1 2 3 4 3 5.1667 4.33474 4.03960 4.00066 -52 153.35183 32.30199 3.38299 0.00551 24 184.33332 109.44586 86.86

17、992 84.04720 5.1667 4.33474 4.03960 4.00066 4.00059 2.1667 0.83196 0.29514 0.03894 0.00007kxkfxkfx給定初始點(diǎn)給定初始點(diǎn)x0=3，=0.001，計(jì)算公式：，計(jì)算公式：1()()kkkkfxxxfx 2122412fxxx函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：32( )4121216fxxxx解：解： 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：3.4 3.4 插值方法插值方法1kx1kkxx=24 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1）收斂速度快。）收斂速度快。 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：1）要計(jì)算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，增加每次）要計(jì)算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)

18、，增加每次 迭代的工作量。迭代的工作量。 2）數(shù)值微分計(jì)算函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，舍入誤差將）數(shù)值微分計(jì)算函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，舍入誤差將 嚴(yán)重影響牛頓法的收斂速度，嚴(yán)重影響牛頓法的收斂速度， f (x)的值越的值越 小問題越嚴(yán)重。小問題越嚴(yán)重。 3）牛頓法要求）牛頓法要求初始點(diǎn)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)初始點(diǎn)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)，否則，否則 可能使極小化序列發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)?？赡苁箻O小化序列發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)。一、牛頓法一、牛頓法3.4 3.4 插值方法插值方法1()()kkkkfxxxfx(1)( )()( )kkKkXXd25二、二次插值法（二、二次插值法（）在給定的在給定的單峰區(qū)間單峰區(qū)間中，利用目標(biāo)函數(shù)上的中，利

19、用目標(biāo)函數(shù)上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)來來構(gòu)構(gòu)造造一個(gè)一個(gè)二次插值函數(shù)二次插值函數(shù)，以近似地表達(dá)，以近似地表達(dá)原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù) f(a)，并，并求這個(gè)插值函數(shù)的求這個(gè)插值函數(shù)的極小點(diǎn)極小點(diǎn)近似作為原目標(biāo)函數(shù)的近似作為原目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)極小點(diǎn)。3.4 3.4 插值方法插值方法2( )=ABCp xxxB=-2Cpxf(x)xf1x1f2x2f3x3xpx*26y0 xxp1x1x2xpx3xy0 x*y1y2ypy3x1x2xpx*y1y2ypyp127xpxp1x1x2xpx3xy0 x*y1y2ypy3x2x3xy0 x*y2ypy3yp128211112222223333p( )ABCp()ABC

20、p()ABCxxxfxxxfxxxf構(gòu)造的構(gòu)造的上的三個(gè)點(diǎn)上的三個(gè)點(diǎn): : 解得解得系數(shù)系數(shù)222222231312123122331231312123122331()()()()()()()()()()()()xxfxxfxxfBxxxxxxxxfxxfxxfCxxxxxx 222222231312123231312123()()()122 ()()()pxxfxxfxxfBCxxfxxfxxf 二、二次插值法（二、二次插值法（）3.4 3.4 插值方法插值方法292pxx二次插值法二次插值法開開 始始計(jì)算計(jì)算 ，*2min,pyyy給定給定 ,123123x x x y y y ,ppx y縮短區(qū)間縮短區(qū)間名稱置換名稱置換結(jié)結(jié) 束束30 x1x2xpx3xy0 x*y1y2ypy3x1x2xpx3x0 x*yy1y2ypy3*2min,pyy y31二次插值法程序編制換名方法二次插值法程序編制換名方法(1)(1)1) x2xp y2yp y2xp y2 ypyp y2y2y3xpx1x2x3xx3x2 y2ypypy1y2xpx1x2x3xx133（1 1）二次插值法只要求）二次插值法