高一數(shù)學(xué)--函數(shù)單調(diào)性與最值(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 函數(shù)單調(diào)性引入對(duì)于二次函數(shù)fx=x2，我們可以這樣描述“在區(qū)間（0，+）上，隨著x的增大，相應(yīng)的fx也隨著增大”；在區(qū)間（0，+）上，任取兩個(gè)x1，x2，得到fx1=x12，fx2=x22，當(dāng)x1<x2時(shí)，有fx1<fx2.這時(shí)，我們就說函數(shù)fx=x2在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù). 一、 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、函數(shù)增減性的定義一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1<fx2，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）如果對(duì)于定義域I

2、內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1>fx2，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)（decreasing function）.【例1】下列四個(gè)函數(shù)中，在(0，)上為增函數(shù)的是()Af(x)3xBf(x)x23x Cf(x) Df(x)|x|【解析】選C當(dāng)x>0時(shí)，f(x)3x為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)x23x為減函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)x23x為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)|x|為減函數(shù)故選C.【例2】判斷函數(shù)g(x)在(1，)上的單調(diào)性【解】任取x1，x2(1，)，且x1<x2，則g(x1)g(x2)，

3、因?yàn)?<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函數(shù)【例3】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)3|x|； (2)f(x)|x22x3|； (3)yx22|x|1.【解】(1)f(x)3|x|圖象如圖所示f(x)在(，0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)(2)令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到f(x)|x22x3|的圖象，如圖所示由圖象易得：函數(shù)的遞增區(qū)間是3，1，1，)；函數(shù)的遞

4、減區(qū)間是(，3，1,1(3)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)【例4】求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間【解】令ux2x6，y可以看作有y與ux2x6的復(fù)合函數(shù)由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)，而y在(0，)上是增函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間為(，3，單調(diào)增區(qū)間為2，)【例5】證明：函數(shù)fx=x3+x在R上是增函數(shù)【變式1】利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)fx=x在區(qū)間 0,+上是增函數(shù)。【例6】討論函數(shù)fx=x+axa>0的單調(diào)性，請(qǐng)作出當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)的圖像?！咀兪?】討論fx=axx2-1-1<x<

5、1,a0的單調(diào)性2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=fx在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=fx在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=fx的單調(diào)區(qū)間.（1）區(qū)間端點(diǎn)的確認(rèn)函數(shù)在其定義域內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值是確定的，討論函數(shù)在某點(diǎn)處的單調(diào)性沒有意義。因此，書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處有意義，既可以寫成閉區(qū)間，也可以寫成開區(qū)間；若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無意義，則必須寫成開區(qū)間。（2）多個(gè)單調(diào)區(qū)間的寫法當(dāng)同增（減）單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí)，區(qū)間之間不一定能寫成并集?！咀⒁狻恳粋€(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接。【例7】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）

6、fx=x+1+x-2；（2）fx=-x2+2x+3【變式3】（1）作出函數(shù)fx=x2-6x+9+x2+6x+9的圖像，并指出函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間（2）求函數(shù)fx=-x2+4x+5的單調(diào)區(qū)間。【例8】求解下列問題：（1）求函數(shù)fx=1-x1+x的單調(diào)區(qū)間（2）求函數(shù)y=1-13-2x-x2的單調(diào)區(qū)間【練習(xí)1】1、設(shè)函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且在為減函數(shù)，則的大小順序 2、在(0,2)上是增函數(shù)，是偶函數(shù)，則的大小關(guān)系 3、判斷正誤(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性()(2)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(3)>f(3)()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩個(gè)自變量”改為“存

7、在兩個(gè)自變量”()(4)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(5)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)()4(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)yx22x(x2,4)的增區(qū)間為_5若函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_ 二、函數(shù)最值1、函數(shù)最值定義一般地，設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)M滿足： （1）對(duì)于任意的xI，都有fxM（2）存在x0I，使得fx0=M那么，我么稱M是函數(shù)y=fx的最大值（maximum value）請(qǐng)你模仿函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=fx的最小值（minimum value）的定義。 【例9】函數(shù)f(x)的最大值為

8、_【解析】當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2. 故函數(shù)f(x)的最大值為2.【例10】函數(shù)fx=1x-1在區(qū)間a,b（a>1）上的最大值是1，最小值是13，則a+b= 【變式4】函數(shù)fx=1x,x1-x2+2,x<1的最大值為 【例11】寫出函數(shù)y=3x2+2x+1的單調(diào)區(qū)間，并求其最值?！揪毩?xí)2】1判斷正誤(1)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值()(2)函數(shù)y在1,3上的最小值為()2(人教A版教材例題改編)已知函數(shù)f(x)(x2,6)，則函數(shù)的最大值為_2、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【

9、例12】若函數(shù)fx=x2+2a-1x+2的單調(diào)區(qū)間是-,4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【變式5】若函數(shù)fx=x2+2a-1x+2在區(qū)間-,4上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【例13】已知二次函數(shù)fx=x2-2x+3（1）當(dāng)x-2,0時(shí)，求fx的最值（2）當(dāng)x-2,3時(shí)，求fx的最值（3）當(dāng)xt,t+1時(shí)，求fx的最小值gt【變式6】設(shè)函數(shù)fx=x2-2x+2，xt,t+1，tR，求函數(shù)fx的最小值。三、小結(jié)1、設(shè)x1，x2a，b，如果>0，則f(x)在a，b上是單調(diào)遞增函數(shù)，如果<0，則f(x)在a，b上是單調(diào)遞減函數(shù)2、確定單調(diào)性的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的

10、和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再取值作差變形確定符號(hào)下結(jié)論(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間3、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的

11、，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.四、課后練習(xí)一、選擇題1下列說法中正確的有()若x1，x2I，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，則yf(x)在I上是增函數(shù)；函數(shù)yx2在R上是增函數(shù)；函數(shù)y在定義域上是增函數(shù)；y的單調(diào)區(qū)間是(，0)(0，)A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)【解析】選A 函數(shù)的單調(diào)性的定義是指定義在區(qū)間I上任意兩個(gè)值x1，x2，強(qiáng)調(diào)的是任意，從而不對(duì)；yx2在x0時(shí)是增函數(shù)，x<0時(shí)是減函數(shù)，從而yx2在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性；y在整個(gè)定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，如3<5而f(3)

12、>f(5)；y的單調(diào)遞減區(qū)間不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意寫法2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)【解析】選A由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,23(2015·黑龍江牡丹江月考)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【解析】選B由題設(shè)知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，而x1為對(duì)稱軸，ffff，又<<<

13、;1，ff>f，即f>f>f.4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12【解析】選C由已知得當(dāng)2x1時(shí)，f(x)x2，當(dāng)1<x2時(shí)，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)f(x)的最大值為f(2)2326.5函數(shù)y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4 B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4 D沒有最大值也沒有最小值【解析】選C y|x3|x1|作出圖象可求6(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f

14、(x)0，且在(，0)上單調(diào)遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的值()A可能為0 B恒大于0C恒小于0 D可正可負(fù)【解析】選C由x1x2<0不妨設(shè)x1<0，x2>0. x1x2<0，x1<x2<0. 由f(x)f(x)0知f(x)為奇函數(shù)又由f(x)在(，0)上單調(diào)遞增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.故選C.二、填空題7已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若f<f(1)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_【解析】由題意知f(x)為R上的減函數(shù)且f<f(1)；則>1，即|x

15、|<1，且x0.故1<x<1且x0.8已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【解析】函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知，函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需a1或a2，從而a(，12，)答案：(，12，)9設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_【解析】由題意知g(x)函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)10設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是_【解析】f(x)a，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)

16、上是增函數(shù)a1.答案1，)三、解答題11已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值【解】(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)證明：任取x1，x2(0，)，且x1>x2，則>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在(

17、0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.12已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值【證明】(1)設(shè)x1>x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2.13函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)&l