七年級數(shù)學(xué)竟賽輔導(dǎo)資料

1、七年級數(shù)學(xué)竟賽輔導(dǎo)資料(1)數(shù)的整除（一）甲內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整數(shù)整除. 一些數(shù)的整除特征除 數(shù) 能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除 4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324) 11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，212

2、81等)能被7整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）乙例題例1已知兩個(gè)三位數(shù)和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，能被9整除，y=6.328567，x=3例2己知五位數(shù)能被12整除，求X解：五位數(shù)能被12整除，必然同時(shí)能被3和4整除，當(dāng)1234X能被3整除時(shí)，x=2，5，8當(dāng)末兩位能被4整除時(shí)，X0，

3、4，8X8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。丙練習(xí)1 分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）59318591287327610101102962 若四位數(shù)能被3整除，那么 a=_3 若五位數(shù)能被11整除，那么X_-4 當(dāng)m=_時(shí)，能被25整除5 當(dāng) n=_時(shí)，能被7整除6 能被11整除的最小五位數(shù)是_,最大五位數(shù)是_7 能被4整除的最大四位數(shù)是_，能被8整除的最小四位數(shù)是_8 8個(gè)數(shù)：125

4、，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號）：6_,8_,9_,11_9 從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，能同時(shí)被2和3整除的共_個(gè)，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共_個(gè)。10 由1，2，3，4，5這五個(gè)自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個(gè)？為什么？11 己知五位數(shù)能被15整除，試求A的值。12 求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13 在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是（1989年全國初中聯(lián)賽題）參考答案1.223273371337233211132.0，3，6，93.04.

5、2，75.36.10010，99907.9996，99928.6：B8：F，G9：B，D11：G，H9.16；2710. 沒有一個(gè)，1234515是3的倍數(shù)，與數(shù)字的位置無關(guān)11. 仿例2，a512. 10269（由最小五位數(shù)10234調(diào)換末兩位數(shù)）13. 七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（2） 倍數(shù)約數(shù)甲內(nèi)容提要1兩個(gè)整數(shù)A和B（B0），如果B能整除A（記作BA），那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如315，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3整數(shù)A（A0）的倍數(shù)有無數(shù)多

6、個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，0，A，2A，都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有5，10，。4整數(shù)A（A0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其中必包括1和A。例如6的約數(shù)是1，2，3，6。5通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)除數(shù)商數(shù)余數(shù)若用字母表示可記作：ABQR，當(dāng)A，B，Q，R都是整數(shù)且B0時(shí)，AR能被B整除例如23372則232能被3整除。乙例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2，22，23，24，3，32，33

7、，34，23，223，2232。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)21，2231，32231，2，3，64221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其規(guī)律是：設(shè)Aambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))那么合數(shù)A的正約數(shù)的個(gè)是（m+1）(n+1)例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：36023325，360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（31）（21）（11）24（個(gè)）例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，9

8、0最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：24233，902325最大公約數(shù)是23， 記作（24，90）6最小公倍數(shù)是23325360， 記作24,90=360例3己知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公約數(shù)（30，42）6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意，N6，3例4一個(gè)數(shù)被10余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時(shí)被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：10,9,8=360,所以所求的數(shù)是359丙練習(xí)21， 12的正約數(shù)有_,16的所有約數(shù)是_2，

9、 分解質(zhì)因數(shù)300_,300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_3， 用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4， 一個(gè)三位數(shù)能被7，9，11整除，這個(gè)三位數(shù)是_5， 能同時(shí)被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_最大三位數(shù)是_6， 己知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A_7， 寫出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答_8， 一個(gè)長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數(shù)寸作國邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9， 一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步跨4階，那么

10、最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4階，如果每步跨6階，那么最后剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？參考答案1.1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，182.22352；183.25；22534.6935.3，5，11165，1155；9906.A3即求142與232的公約數(shù)7.30，60，908. （135，105）15，正約數(shù)有1，3，5，159. 119。2，3，4，5，660，6021119 七年級數(shù)學(xué)竟賽輔導(dǎo)資料(3)抽屜原則甲內(nèi)容提要1， 4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于2個(gè)（即等于或多于2個(gè)）；如果7個(gè)

11、蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于3個(gè)（即的等于或多于3個(gè)），這就是抽屜原則的例子。2， 如果用表示不小于的最小整數(shù)，例如3， 。那么抽屜原則可定義為：m個(gè)元素分成n個(gè)集合（m、n為正整數(shù)mn）,則至少有一個(gè)集合里元素不少于個(gè)。3， 根據(jù)的定義，己知m、n可求；己知，則可求的范圍，例如己知3，那么23；己知2，則 12，即3x6，x有最小整數(shù)值4。乙例題例1某校有學(xué)生2000人，問至少有幾個(gè)學(xué)生生日是同一天？分析：我們把2000名學(xué)生看作是蘋果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m（2000）個(gè)元素，分成n(366)個(gè)集合，至少有一個(gè)集合的元素不少于個(gè)解：56答：至

12、少有6名學(xué)生的生日是同一天例2 從1到10這十個(gè)自然數(shù)中，任意取出6個(gè)數(shù)，其中至少有兩個(gè)是倍數(shù)關(guān)系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為5個(gè)集合，它們是：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。要在5個(gè)集合里取出6個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。（本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3 袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個(gè),請你從袋中取出一些球，要求至少有3個(gè)顏色相同，那么至少應(yīng)取出幾個(gè)才有保證。分析：我們可把4種球看成4個(gè)抽屜（4個(gè)集合），至少有3個(gè)球同顏色，看成是至少有一個(gè)抽

13、屜不少于3個(gè)（有一個(gè)集合元素不少于3個(gè)）。解：設(shè)至少應(yīng)取出x個(gè)，用表示不小于的最小整數(shù)，那么3，23，即8x 12，最小整數(shù)值是9。答：至少要取出9個(gè)球，才能確保有三個(gè)同顏色。例4 等邊三角形邊長為2，在這三角形內(nèi)部放入5個(gè)點(diǎn)，至少有2個(gè)點(diǎn)它們的距離小于1，試說明理由。 解：取等邊三角形各邊中點(diǎn)，并連成四個(gè)小三角形（如圖）它們邊長等于1，5個(gè)點(diǎn)放入4個(gè)三角形，至少有2個(gè)點(diǎn)放在同一個(gè)三角形內(nèi)，而同一個(gè)三角形內(nèi)的2個(gè)點(diǎn)之間的距離必小于邊長1。丙練習(xí)81， 初一年新生從全縣17個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有人來自同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2， 任取30個(gè)正整數(shù)分別除以7，那么它們的余數(shù)至少有個(gè)是相同的。3， 在200

14、3m中，指數(shù)m任意取10個(gè)正整數(shù)，那么這10個(gè)冪的個(gè)位數(shù)中相同的至少于個(gè).4， 暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙）那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5， 袋子里有黑、白球各一個(gè)，紅、藍(lán)、黃球各6個(gè)，請你拿出一些球，要確保至少有4個(gè)同顏色，那么最少要取幾個(gè)？6， 任意取11個(gè)正整數(shù)，至少有兩個(gè)它們的差能被10整除，這是為什么？7， 右圖有3行9列的方格，若用紅、藍(lán)兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說明這是為什么。8， 任意取3個(gè)正整數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由。9， 90粒糖果分給13個(gè)小孩，每人至少分1粒

15、，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？10，11個(gè)互不相同的正整數(shù)，它們都小于20，那么一定有兩個(gè)是互質(zhì)數(shù)。（最大公約數(shù)是1的兩個(gè)正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11，任意6個(gè)人中，或者有3個(gè)人他們之間都互相認(rèn)識，或者有3個(gè)人他們之間都互不相識，兩者必居其一，這是為什么？參考答案1.32.53.34.5只，23只5.126.正整數(shù)的個(gè)位數(shù)字只有0，1，2，9共10個(gè)，7. 設(shè)1表示紅色，2代表藍(lán)色，每列3格用2種涂色，最多只有如下8種涂法，第9列必與前8種中的一種相同1111222211222211121221218. 把正整數(shù)按奇數(shù)，偶數(shù)分為兩個(gè)集合，3個(gè)正整數(shù)放入兩個(gè)集合，必有一個(gè)集合中，有2個(gè)

16、是同奇數(shù)或同偶數(shù)，9. 如果我們給13人分配都不相同的粒數(shù)，121391，而實(shí)際糖果只有90粒，必有1人要少分1粒，因而他一定與其余12人中的1個(gè)相同10. 用A，B，C，D，E，F(xiàn)表示6個(gè)人。A與其他5個(gè)人的關(guān)系相識或不相識兩種，必有一種不少于3人，不妨設(shè)A與B，C，D3人都相識，這時(shí)，只B，C，D3人中有2人相識，則本題的結(jié)論就成立。若B，C，D3人都互不相識，那么結(jié)論也成立。所以七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(4) 一元一次方程解的討論甲內(nèi)容提要1， 方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x

17、=0, 0x=2的解分別是：x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的數(shù)，無解。2， 關(guān)于x 的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當(dāng)a0時(shí)，有唯一的解x=；當(dāng)a=0且b0時(shí)，無解；當(dāng)a=0且b0時(shí)，有無數(shù)多解。（不論x取什么值，0x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)ab時(shí)，方程有整數(shù)解；當(dāng)ab，且a、b同號時(shí)，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號時(shí)，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡方程ax=b乙例題例1 a取什么值時(shí)，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數(shù)多解？是正數(shù)解？解：當(dāng)a0且a2 時(shí)，

18、方程有唯一的解，x=當(dāng)a=0時(shí)，原方程就是0x= 8，無解；當(dāng)a=2時(shí)，原方程就是0x=0有無數(shù)多解由可知當(dāng)a0且a2時(shí)，方程的解是x=,只要a與4同號，即當(dāng)a0且a2時(shí)，方程的解是正數(shù)。例2 k取什么整數(shù)值時(shí)，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數(shù)？（1x）k=6的解是負(fù)整數(shù)？解：化為最簡方程（k2）x=4當(dāng)k+2能整除4，即k+2=1，2，4時(shí)，方程的解是整數(shù)k=1，3，0，4，2，6時(shí)方程的解是整數(shù)。化為最簡方程kx=k6，當(dāng)k0時(shí)x=1，只要k能整除6,即 k=1，2，3，6時(shí)，x就是整數(shù)當(dāng)k=1,2,3時(shí)，方程的解是負(fù)整數(shù)5，2，1。例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問

19、a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a=b0。例4a、b取什么值時(shí)，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據(jù)0x0時(shí)，方程有無數(shù)多解，可知當(dāng)時(shí)，原方程有無數(shù)多解。解這個(gè)方程組得答當(dāng)a=2且b=1時(shí)，原方程有無數(shù)多解。丙練習(xí)（9）1, 根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x 2,關(guān)于x的方程ax=x+2無解，那么a_ 3,在方程a(a3)x=a中，當(dāng)a取值為時(shí)，有唯一的解；

20、當(dāng)a時(shí)無解；當(dāng)a時(shí),有無數(shù)多解；當(dāng)a時(shí),解是負(fù)數(shù)。4， k取什么整數(shù)值時(shí)，下列等式中的x是整數(shù)？ x= x= x= x=5， k取什么值時(shí)，方程xk=6x的解是 正數(shù)？ 是非負(fù)數(shù)？6， m取什么值時(shí)，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正數(shù)？7， 己知方程的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？8， m取什么整數(shù)值時(shí)，方程的解是整數(shù)?9， 己知方程有無數(shù)多解，求a、b的值。參考答案1. 139無解無解無數(shù)多個(gè)解2. a=1 3. a3,a0；a=3；a=0；a3且a04.k=1,2,42，0，3，1，4，2，7，51，34，5，02（）5.k0 8. 化為最簡方程mx=m+3, 當(dāng)m=1,3

21、時(shí)，有整數(shù)解9.化為最簡方程(3ab)x=b+2 當(dāng)時(shí)方程無解，解得七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（5）二元一次方程的整數(shù)解甲內(nèi)容提要1， 二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數(shù)解。返過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們在正整數(shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實(shí)為它們的絕對值。2， 二元一

22、次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個(gè)，常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x= (1) , 設(shè)是整數(shù)），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二，公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）3， 求二元一次方程的正整數(shù)解： 出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值 用觀察法直接寫出。乙例題例1求方程5x9y=18整數(shù)解的能通解解x=設(shè)（k為整數(shù)），y=35k,代入得x=99k 原方程整數(shù)解是（

23、k為整數(shù)） 又解：當(dāng)x=o時(shí)，y=2，方程有一個(gè)整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)， 設(shè)(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k,k的整數(shù)解是1，2，3，正整數(shù)解是例3，甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設(shè)甲種書買x本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）x1時(shí)，y=7，是一個(gè)整數(shù)解通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解答：甲、乙兩種書分別買1和7

24、本或6和4本或11和1本。丙練習(xí)101， 求下列方程的整數(shù)解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整數(shù)解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4， 兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5， 下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個(gè)？答：（填編號） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+12

25、1y=324.6, 一張?jiān)噹営?0道選擇題，選對每題得5分，選錯(cuò)每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？7用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=142x=參考答案1. 公式法由特解得通解（k為整數(shù)）由特解得通解（為k整數(shù)） 整除法x=-3y,通解是（k為整數(shù)）通解是（k為整數(shù)）2. 3.有6種截法4.16，135.A，D. 6.127.（略）七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（6）用枚舉法解題甲內(nèi)容提要有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意： 按一定的順序，有系統(tǒng)地進(jìn)行； 分類列舉時(shí)，要做到既不重復(fù)又不違漏； 遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入

26、手，由列舉中找到規(guī)律。乙例題1例1如圖由西向東走，從A處到B處有幾種走法？ 1 解：我們在交叉路上有順序地標(biāo)上不同走法的數(shù)目，例如從A到C有三種走法，在C處標(biāo)上3，從A到M（N）有314種，從A到P有34411種，這樣逐步累計(jì)到B，可得111113（種走法）例2 寫出由字母X，Y，Z中的一個(gè)或幾個(gè)組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為1）的所有四次單項(xiàng)式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的項(xiàng)的順序列出（如左）解法二：按XYZX的順序輪換寫出（如右）X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4X3Y，X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3XX2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY

27、3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY解法三：還可按3個(gè)字母，2個(gè)字母，1個(gè)字母的順序輪換寫出(略)例3 討論不等式axb的解集。解：把a(bǔ)、b、c都以正、負(fù)、零三種不同取值，組合成九種情況列表ax0時(shí)，解集是x, 當(dāng)a, 當(dāng)a=0,b0時(shí)，解集是所有學(xué)過的數(shù)， 當(dāng)a=0,b0時(shí)，解集是空集(即無解)例4如圖把等邊三角形各邊4等分，分別連結(jié)對應(yīng)點(diǎn)，試計(jì)算圖中所有的三角形個(gè)數(shù)解：設(shè)原等邊三角形邊長為4個(gè)單位，則最小的等邊三角形邊長是1個(gè)單位，再按頂點(diǎn)在上和頂點(diǎn)在下兩種情況，逐一統(tǒng)計(jì)

28、： 邊長1單位，頂點(diǎn)在上的有：1+2+3+4=10邊長1單位，頂點(diǎn)在下的有：1+2+3=6邊長2單位，頂點(diǎn)在上的有：1+2+3=6邊長2單位，頂點(diǎn)在下的有：1邊長3單位，頂點(diǎn)在上的有：1+2=3邊長4單位，頂點(diǎn)在上的有：1合計(jì)共27個(gè)丙練習(xí)131 己知x，y都是整數(shù)，且xy=6，那么適合等式解共_個(gè)，它們是2 a+b=37,適合等式的非負(fù)整數(shù)解共_組，它們是3 xyz=6,寫出所有的正整數(shù)解有：4 如圖線段AF上有B，C，D，E四點(diǎn),試分別寫出以A，B，C，D，E為一端且不重復(fù)的所有線段，并統(tǒng)計(jì)總條數(shù)。A B C D E F 5.寫出以a,b,c中的一個(gè)或幾個(gè)字母組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為1）的

29、所有三次單項(xiàng)式 。6. 除以4余1 兩位數(shù)共有幾個(gè)？7. 從1到10這十個(gè)自然數(shù)中每次取兩個(gè)，其和要大于10，共有幾種不同取法？8.把 邊長等于4的正方形各邊4等分，連結(jié)各對應(yīng)點(diǎn)成16個(gè)小正方形，試用枚舉法，計(jì)算共有幾個(gè)正方形？如果改為 5等分呢？10等分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5條路，如果從A到B(只能從北向南，從西向東)，有幾種走法？ 10.列表討論不等式axb的解集. 11.一個(gè)正整數(shù)加上3是5的倍數(shù)，減去3是6的倍數(shù)，則這個(gè)正整數(shù)的最小值是 參考答案1.8組2.18組3.9組4.15條5.10個(gè)6.22個(gè)（從13，17，97）7.25種8.122324230個(gè)，55個(gè)，38

30、5個(gè)9.70種10. 當(dāng)a0時(shí)，x； 當(dāng)a；當(dāng)a=0,b0時(shí)，無解；當(dāng)a=0,b3時(shí)3n（n1）！。例3求適合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整數(shù)解。分析：這2003個(gè)正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個(gè)正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗(yàn)歸納法從2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解：x1+x2=x1x2的正整數(shù)解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整數(shù)解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數(shù)解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x3=1,x4=

31、2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數(shù)解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整數(shù)解為x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。丙練習(xí)141 除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有個(gè)，二位數(shù)有個(gè)，三位數(shù)有個(gè)，n位數(shù)有個(gè)。2 十進(jìn)制的兩位數(shù)可記作10a1a2,三位數(shù)記作100a1+10a2+a3,四位數(shù)記作，n位數(shù)記作3 由1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323n3=( )2。4 用經(jīng)驗(yàn)

32、歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）（）2；（）2。（）2；（）25 把自然數(shù)1到100一個(gè)個(gè)地排下去：1239101199100 這是一個(gè)幾位數(shù)？這個(gè)數(shù)的各位上的各個(gè)數(shù)字和是多少6計(jì)算（提示把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差）7a是正整數(shù)，試比較aa+1和(a+1)a的大小.8. 如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然后把寬3等分，把長8等分，分成24個(gè)小長方形，那么這24個(gè)長方形中，兩邊涂色的有個(gè)，一邊涂色的有個(gè)，四邊都不著色的有個(gè)。本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個(gè)長方形中，兩邊涂色的有個(gè)，一邊涂色的有個(gè)，四邊都不著色的有個(gè)9把表面涂有紅色的正方體的各棱

33、都4等分，切成64個(gè)小正方體，那么這64個(gè)中，三面涂色的有個(gè)，兩面涂色的有個(gè)，一面涂色的有個(gè)，四面都不涂色的有個(gè)。本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然數(shù)）那么這mnp個(gè)正方體中，三面涂色的有個(gè)，兩面涂色的有個(gè)，一面涂色的有個(gè)，四面都不涂色的有個(gè)。10一個(gè)西瓜按橫，縱，垂直三個(gè)方向各切三刀，共分成塊，其中不帶皮的有塊。11已知兩個(gè)正整數(shù)的積等于11112222，它們分別是，。 參考答案1. 3，30，3102，310n-12. 10n-1a1+10n-2a2_+10an-1+an4. 333332, ，5.192位，901位（50個(gè)18，加上1）6.7. a=

34、1,2時(shí)，aa+1(a+1)a 8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)9. 8,24,24,8；8，4（m2）（n-2）+(p-2),2（m-2）(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2),(m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（8）乘法公式甲內(nèi)容提要1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變

35、形及其逆運(yùn)算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推廣： 多項(xiàng)式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項(xiàng)式平方等于各項(xiàng)平方和加上每兩項(xiàng)積的2倍。 二項(xiàng)式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意觀察右邊展開式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)

36、、系數(shù)、符號的規(guī)律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意觀察左邊第二個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的變形及其逆運(yùn)算由（a+

37、b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推廣可知：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。乙例題例1. 己知x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解：x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy（x+y）a33abx4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y

38、2xy3+y4) =(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求證：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a, a+1, a+2, a+3(a為整數(shù))a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)a2+3a+1是整數(shù)證畢例3. 求證：22223111能被7整除證明：22223111（22）111311141113111

39、根據(jù)a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（見內(nèi)容提要4）41113111能被43整除22223111能被7整除例4. 由完全平方公式推導(dǎo)“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計(jì)算規(guī)律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點(diǎn)是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個(gè)位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。如：152=225 冪的百位上的數(shù)字2=12)， 252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)丙練習(xí)151 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2

40、=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空：(x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y53.計(jì)算：552= 652= 752= 852= 952=4. 計(jì)算下列各題 ，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.已知x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值6.化簡：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+

41、b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知a+b=1,求證：a3+b33ab=18.己知a2=a+1，求代數(shù)式a55a+2的值9.求證：2331能被9整除10.求證：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個(gè)數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11如圖三個(gè)小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c 求證：三個(gè)小圓周長的和等于大圓的周長 求：大圓面積減去三個(gè)小圓面積和的差。參考答案13.略4.十位上的數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)的和為10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，其積的末兩位數(shù)是兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，積的百位以上的數(shù)是，原十位上數(shù)字乘上比它大1的數(shù)的積10. n(n+1)+(n+1)=(n+1)211. 可證明3個(gè)小

42、圓周長的和減去大圓周長，其差等于0 (ab+ac+bc)七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（8） 完全平方數(shù)預(yù)備知識：，一、基本概念及性質(zhì)一個(gè)數(shù)如果是一個(gè)整數(shù)的平方，則稱之為完全平方數(shù)。比如0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,特殊地，0也是一個(gè)完全平方數(shù)，且是最小的一個(gè)。很顯然，正整數(shù)中，完全平方數(shù)有無限多個(gè)。關(guān)于完全平方數(shù)，有以下的性質(zhì)：（1）任何完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9中的一個(gè)，不能是2，3，7，8.證明：平方運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字取決于底數(shù)的個(gè)位數(shù)字，與其他位上

43、的數(shù)字沒有關(guān)系，因此按照個(gè)位分別是09討論，立得上述結(jié)果。（2）偶完全平方數(shù)是4的倍數(shù)。證明：設(shè)一個(gè)偶數(shù)為2n，則（2n）2=4n2.（3）奇完全平方數(shù)是8的倍數(shù)余1.證明：用表示一個(gè)奇數(shù)，則=，其中為相鄰兩數(shù)之積，必為偶數(shù)，因此為8的倍數(shù)加1.（4）奇完全平方數(shù)的十位數(shù)字一定是偶數(shù)。證明：首先注意到它們的十位都是偶數(shù)。一般地，對一個(gè)奇數(shù)，當(dāng)b是奇數(shù)時(shí)，的十位與的十位相同，為偶數(shù)。（5）如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明：我們僅證明后一個(gè)結(jié)論。已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)

44、為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6，即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3，k為奇數(shù)。推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。（6）完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)不同的正約數(shù)。證明：先介紹一個(gè)一般性的結(jié)論。一個(gè)正整數(shù)a分解質(zhì)因數(shù)結(jié)果為，則a有個(gè)不同的正約數(shù)。應(yīng)用以上結(jié)論，完全平方數(shù)因式分解的結(jié)果中，所有的都是偶數(shù)，因此（+1）都是奇數(shù)，任意多個(gè)奇數(shù)相乘的結(jié)果還是奇數(shù)。（7）完全平方數(shù)與完全平方數(shù)的積還是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)與非完全平方數(shù)的積是非完全平方數(shù)。證明：這一點(diǎn)可以根